I- Modélisation d'une source lumineuse

Introduction à l'optique ondulatoire

Les points du cours à connaître

I- Modélisation d'une source lumineuse

1. Modèle scalaire de la lumière

• au début du XIXième s., la lumière est une onde (Fresnel...) ;

• dans la seconde partie du XIXième s., la lumière est une onde électromagnétique (Maxwell) ;

On faisait de l'optique ondulatoire avant de savoir de quel type d'onde il s'agissait ! Petit historique de la lumière s'y retrouver

Le modèle scalaire de la lumière revient à dire que :

• la polarisation de la lumière n'est pas dénie ;

• et le milieu est isotrope (il se comporte de la même manière pour toutes les directions de polarisation).

Modèle scalaire de la lumière s'y retrouver

Si~uest un vecteur unitaire orthogonal à la direction de propagation de l'onde, on appelle

"vibration lumineuse"

s(M, t) = α ~E·~u où α est une constante non dénie !

NB : le champ magnétique B = ^E_c sera aussi proportionnel às. Vibration lumineuse s'y retrouver

Si N sources (numérotées k) créent, au point M, N vibrations lumineuses sk(M, t), la vibration lumineuse totale est la somme de toutes ces vibrations lumineuses :

s(M, t) =

k=N

X

k=1

s_k(M, t)

(cela est dû à la linéarité des équations de Maxwell) Propriété de la vibration lumineuse s'y retrouver

les récepteurs lumineux ont des temps de réponse τ_r très grands devant la période des ondes lumineuses dans le visible T ∼10⁻¹⁵ s :

• pour l'÷il τ_r est de l'ordre de 0,1 s;

• pour une photodiode, le temps de réponse est de 10⁻⁶ s; Les récepteurs sont quadratiques s'y retrouver

temps d'exposition de la pellicule à la lumière.

Fondamentalement, le détecteur moyenne (sur une durée τr) le signal qui lui est envoyé.

Les détecteurs lumineux font donc la moyenne du carré de l'amplitude : ils sont quadra- tiques (en électrocinétique, on dirait qu'il s'agit en fait de faire une mesure "ecace").

L'intensité lumineuse (ou l'éclairement) est proportionnelle à la moyenne temporelle (sur un temps τ_r) du carré de la vibration lumineuse au point M :

I(M) =K

s²(M, t)

τr

NB : on prendra souvent K = 1! Et ni s, ni I n'ont d'unités xées, ce qui est assez inhabituel en physique.

Intensité lumineuse ou éclairement dénition

comme les récepteurs ne sont sensibles qu'aux variations relatives de l'éclairement (ou de l'intensité), peu importe la valeur eective de cet éclairement, mais seulement les variations de celui-ci dans le plan d'observation.

Ainsi, l'impression au point M sur une plaque photo, ou l'éclairement au point M d'un écran, ou la réponse au point M d'un photodétecteur, est proportionnelle à l'intensité reçue au point M. La constante de proportionnalité n'est pas accessible mais on pourra prendre une référence : par exemple, on pourra se référer à l'éclairement maximal sur l'écran.

Relativité de l'intensité s'y retrouver

2. Spectre d'une source lumineuse

L'intensité lumineuse est décomposable en intensité spectrale I_ν : I(M) =

Z ∞

ν=0

I_ν(ν) dν

Le tracé de I_ν(ν) est appelé spectre.

On peut le réaliser expérimentalement grâce à un spectromètre.

Spectre d'une source lumineuse s'y retrouver

contrairement aux lasers, les sources classiques sont fondées sur l'émission spontanée de lumière.

Un laser est un appareil émettant de la lumière ampliée par émission stimulée. Le terme laser provient de l'acronyme anglo-américain light amplication by stimulated emission of radiation (en français : amplication de la lumière par émission stimulée de radiation).

Sources lumineuses classiques et LASER s'y retrouver

On pourrait montrer que I_ν = |ˆs(M, ν)|², où s(M, νˆ ) est la transformée de Fourier de s(M, t):

ˆ

s(M, ν) = Z +∞

−∞

s(M, t)e^{−2i π ν t}dt Spectre et transformée de Fourier s'y retrouver

On admet que les propriétés de la transforme de Fourier nous donnent : ⇒ Une source lumineuse a une largeur spectrale ∆ν telle que τ_c∆ν≈1 où

• τ_c est la durée ("durée de cohérence temporelle") de la vibration lumineuse émise par la source ;

• et`_c =c τ_c, la longueur de cohérence temporelle.

1 Durée et longueur de cohérence temporelle^théorème

Le tableau 1 présente quelques caractéristiques spectrales (largeur de raie ∆ν, durée de cohérence temporelle τ_c et longueur de cohérence temporelle `_c = c τ_c) pour quelques sources lumineuses

Caractéristiques spectrales de quelques sources tableau

source ∆λ ∆ν τc `c

laserHeN e 10⁻⁶nm 10⁴ Hz 10⁻⁶ s 100 m raie spectraleHg 1 nm 10¹² Hz 10⁻¹² s 0,3 mm

lampe blanche 350 nm 3×10¹⁴ Hz 3×10⁻¹⁵ s 1 µm

Table 1 Quelques caractéristiques spectrales (largeur de raie∆λet∆ν, durée de cohérence temporelleτ_c et longueur de cohérence temporelle`_c=c τ_c) pour quelques sources lumineuses.

3. Modèle du train d'onde

L'amplitude est "sinusoïdale par parties" : ...

a(S, t) =a₀cos (ωt−φ_n) sit ∈[n τ_c; (n+ 1).τ_c[ a(S, t) =a₀cos (ωt−φ_n+1) si t∈[(n+ 1) τ_c; (n+ 2) τ_c[

...

où les phases à l'origine des dates φ_n, φ_n+1 sont constantes mais les trains d'onde sont aléatoires entre eux : la suite φ_n est une suite aléatoire.

Modèle du train d'onde s'y retrouver

La gure 1représente

• en un endroit : "wagons" sinusoïdaux de durée τ_c dans le temps ;

• à une date xée : "wagons" sinusoïdaux de longueur `_c dans l'espace.

Modèle du train d'ondes schéma

Figure 1 Modèle du train d'ondes

II- Propagation d'une onde monochromatique

1. Propriétés des ondes monochromatiques

Au pointM repéré par le vecteur~r=−−→

OM, à l'instantt, la vibration lumineuse d'onde monochromatique s'écrit

s(M, t) =A(M) cos

ω t−~k·~r

=A(M) cos (ω t−ϕ(M)) = Re(˜s) avec la vibration complexe

˜

s=A(M)exp[−i(ω t−ϕ(M))] = ˜a(M)exp[−i ω t]

d'amplitude complexe

˜

a(M) = A(M)exp[i ϕ(M)]

Vibration lumineuse monochromatique à retenir

• ω : pulsation (en rad·s⁻¹);

Grandeurs temporelles d'une monochromatique : pulsation, fréquence, pé- riode s'y retrouver

• ν = _2π^ω : fréquence (en Hz) ;

• T = _ν¹ = ^2π_ω : période (en s).

• ~k : vecteur d'onde (en rad·m⁻¹) ;

• σ = ^k_2π^~kk : nombre d'onde (enm⁻¹) ;

• λ = _σ¹ = ^2π

k~kk : longueur d'onde (en m).

Grandeurs spatiales d'une onde monochromatique : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombre d'onde s'y retrouver

Dans un milieu d'indice optique n, l'onde lumineuse se propage à la vitesse v = _n^c : k = 2π

λ = ω

v = 2π n λ0

oùλ₀ = _ν^c est la longueur d'onde dans le vide.

Lien entre les grandeurs spatiales et temporelles à retenir

2. Déphasage et chemin optique

Le retard temporel dû à la propagation du signal d'un point M jusqu'en un point N en ligne droite dans un milieu d'indice n est

∆t= M N

v =nM N c Retard dû à la propagation s'y retrouver

Pour un milieu quelconque, on dénit le chemin optique sur un rayon lumineux curvi- ligne quelconque de A àB par

L_AB = (AB) = Z B

A

n(P) ds(P)

oùn(P) est l'indice optique au point P d'abscisse curviligne s(P). Chemin optique dénition

L_AB = (AB) = Z t_B

tA

n(P).v(P).dt = Z t_B

tA

c.dt d'où

Chemin optique et retard de propagation s'y retrouver

On peut donc interpréter le chemin optique comme le chemin parcouru dans le vide pendant la durée réelle mise pour aller de A àB dans le milieu d'indice n.

a(O, t) = a₀.cos (ω.t−φ₀) On peut réécrire la vibration lumineuse en un point M :

a(M, t) =α a₀.cos (ω (t−∆t)−φ₀) oùα prend en compte les éventuelles diminutions d'amplitude et

∆t= (OM)

c ⇒∆ψ_O→M =ω∆t = 2π λ₀(SM)

⇒

Le déphasage, lorsque l'onde se propage deO jusqu'en M, est

∆ψO→M = 2π

λ₀(OM) +ϕ_sup

oùλ₀ est la longueur d'onde dans le vide de la radiation et on admet queϕ_sup =π dans le cas :

• d'une réexion sur un métal (miroir) ;

• d'une réexion d'un milieu d'indicen₁, sur un milieu d'indice plus élevén₂ > n₁;

• du passage par un point de convergence.

2 Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatiquethéorème

3. Surfaces d'onde et théorème de Malus

on appelle surface d'onde d'une sourceS, à l'instantt, l'ensemble des pointsM de phase

∆ψS→M constante. C'est l'ensemble des points M à égal chemin optique de la source S :

(SM) = constante Surfaces d'onde dénition

(Idée de la démonstration, hors programme) Les rayons lumineux sont les lignes de champ de~k et les surfaces d'ondes sont les surface équi-ψ.

En passant dez àz+ dz, un déphasage est introduit, qui vautdψM→M⁰ =−−→

gradψ·−→ d` or dψM→M⁰ = 2π

λ₀(M M⁰) +ϕ_sup=k dz =~k ·−→ d`

Donc~k =−−→

gradψ. ⇒

Il y a orthogonalité des rayons lumineux et des surfaces d'ondes.

3 Théorème de Malus théorème

La gure 2 représente Comme H est le projeté orthogonal de S₁ sur le rayon issus de S₂, H et S₁ sont dans le même plan d'onde.

Ainsi, (S₁M) = (HM) d'après le théorème de Malus.

Exemple d'application du théorème de Malus schéma

Figure 2 Exemple d'application du théorème de Malus

III- Divers types d'ondes lumineuses

1. Ondes sphériques et ondes planes

La gure 3 représente une onde sphérique issue d'un point S. Les trois points M1, M2 et M₃ sont situés sur trois rayons lumineux diérents mais sur la même surface d'onde.

Onde sphérique schéma

La gure 4représente une onde plane issue d'un point à l'inni. Les trois points M₁, M₂ et M3 sont situés sur trois rayons lumineux diérents mais sur la même surface d'onde.

Onde plane schéma

deux points appartenant à la même surface d'onde de la source A (ou A⁰ par principe du retour inverse de la lumière) sont à même chemin optique deA (ou de A⁰). ⇒

(AA⁰) = constant siA est conjugué avec A⁰ 4 Stigmatismethéorème

Figure 3 Onde sphérique

Figure 4 Onde plane

La gure 5 représente le stigmatisme dans le cas où deux points sont conjugués grâce à une lentille convergente. Cela illustre la conservation du chemin optique entre deux points conjugués.

Stigmatisme dans le cas d'une lentille convergente schéma

Figure 5 Stigmatisme dans le cas d'une lentille convergente

2. Faisceau gaussien d'un LASER

On admet que, sous certaines conditions, la vibration lumineuse émise par un laser est du type (dit "gaussien fondamental") est, en coordonnées cylindriques (r, θ, z):

˜

s(r, z, t) = ˜A₀ w₀ w(z)e⁻

r2

w(z)2 e^{−i(ω t−ϕ(z))} où la taille du faisceau à l'abscisse z est :

w(z) =w₀ s

1 + z

zR

2

Vibration lumineuse gaussienne d'un LASER s'y retrouver

Le faisceau gaussien d'un laser est caractérisé par :

• sa taille minimale (ou "waist") notéew0,

• sa longueur de Rayleigh notée z_R,

• son ouverture angulaireθ = _{π w}^λ

0 = ^w_z⁰

R.

Caractéristiques du faisceau gaussien d'un LASER dénition

La gure 6 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser au cours de sa propagation.

Faisceau gaussien d'un laser schéma

z extension du faisceau laser

zR

w₀ θ

faisceau conique

onde sphérique faisceau conique

onde sphérique faisceau cylindrique

onde plane

Figure 6 Faisceau gaussien d'un laser

La limite de diraction due à l'ouverturew₀ donne θ= _{π w}^λ

0. D'autre part, siz z_R,

w(z)≈w₀ z

z_R ⇒θ = w(z) z = w0

z_R A courte distance, au contraire,w(z)≈w0. ⇒

On retiendra que :

• pour|z|< zR, l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w0,

• pour |z| zR, l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O), et le faisceau conique d'ouverture angulaire θ= _{π w}^λ

0 = ^w_z⁰

R.

5 Comportements du faisceau à courte et longue distancethéorème

En admettant que la vibration lumineuse émise par un laser est : A˜(r, z, t) = ˜A₀ w₀

w(z)e⁻

r2

w(z)2 e^{−i(ω t−ϕ(z))}

déterminer l'évolution de l'éclairementI(r, z)dans un plan transversezà la propagation.

6 Évolution de l'éclairement dans un plan transverse à la propagation exercice

CommeI =k|A˜(r, z, t)|², on trouve I(r, z, t) =I0

w₀ w(z)e⁻

r2 w(z)2

2

=I0

w₀ w(z)

2

e⁻²

r2 w(z)2

soit

I(r, z, t) =I0

w₀ w(z)e⁻

r2 w(z)2

2

=I0

1 1 +

z zR

2 e

−2r2 w0

1+(_zR^z )²

3. Eet d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER

La gure 7représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser focalisé grâce à une lentille convergente.

Focalisation du faisceau gaussien d'un laser schéma

z⁰_R

w⁰₀ θ⁰

w₀

F'

Figure 7 Focalisation du faisceau gaussien d'un laser

Un faisceau laser de caractéristiques w₀ et z_R incident sur une lentille convergente de focalef⁰ est transformé en faisceau laser de caractéristiques w⁰₀ etz_R⁰ .

Le schéma montre que θ⁰ = ^w_f⁰0. Or d'autre part, θ⁰ = _{π w}^λ0 0

= ^w_z0⁰⁰

R. Aussi, ^w_f⁰⁰ = _{π w}^λ0 0, soit w₀⁰ = _{π w}^{λ f0}

0. Comme l'ouverture de la lentille est w₀ < f⁰, on trouve w₀⁰ > λ. ⇒

La tache de focalisation d'un laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde : w₀⁰ > λ.

7 Extension de la tache de focalisation d'un laserthéorème

Le tableau 2 présente l'évolution des longueurs d'ondes et des capacités de stockage des disques optiques.

Évolution des capacités de stockage des disques optiques tableau

disque optique année λ couleur capacité

CD 1982 780 nm IR 0,8 Go

DVD 1997 650 nm rouge 8 Go

blu-Ray 2006 405 nm bleu 100 Go

Table 2 évolution des disques optiques

La gure 8 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser pour lequel une lentille convergente opère une conjugaison des deux "waists".

Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser schéma

zR

w₀ θ θ⁰ −z_R⁰ w₀⁰

A A'

Figure 8 Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser

On s'intéresse à un faisceau laser de longueur d'ondeλ, de waist w₀. Déterminer son angle de divergence θ à longue distance.

Le faisceau encore cylindrique est incident sur une lentille convergenteL₁ de focalef₁⁰. Déterminer alors l'angle θ⁰ du faisceau après la lentille L₁.

Le faisceau divergent du laser susamment loin de L₁ est incident sur une lentille convergente L2 de focale f₂⁰. Déterminer le waist w0”du faisceau émergent de L2. Montrer qu'un choix astucieux de ^f_f²⁰⁰

1 permet de conférer au faisceau laser émergent de L₂ un angle de divergence à longue distance θ”θ.

8 Réduction de la divergence du faisceau d'un LASER grâce à un un élargisseur de faisceau. exercice

L'angle de divergence à longue distance est θ= _{π w}^λ

0. Après la lentille L₁,θ⁰ = ^w_f⁰0

1.

Le faisceau est incident sur la lentille L₂ avec l'angle θ⁰ = ^w_f⁰0

1 qui est aussi θ⁰ = ^w_f⁰0^” 2 . L' angle de divergence à longue distance après L₂ estθ” = _{π w}^λ

0”. Or les précédentes relations ont montré que ^w_f⁰⁰

1 =θ⁰ = ^w_f⁰0^”

2 . Aussi, θ” = λ

π w₀” = f₁⁰ f₂⁰

λ

π w₀ θ⇔f₁⁰ f₂⁰

La gure 9 représente un télescope formé de deux lentilles convergentes permet d'élargir le faisceau d'un laser.

Élargisseur de faisceau d'un laser schéma

w₀⁰ θ⁰ w₀

w0” L1

L₂

F₁⁰ F₂

Figure 9 Élargisseur de faisceau d'un laser

Exercice traité en n de cours

Quelle est la dangerosité d'un pointeur laser ?

article paru dans "le garo" le 03/12/2014, disponible à l'adressehttp://sante.lefigaro.fr/actualite/

2014/12/03/23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.

"En apparence inoensifs, les pointeurs laser, principalement utilisés notamment dans les conférences pour désigner des informations sur un tableau, peuvent causer des dommages très importants lorsqu'ils sont dirigés vers les yeux. [...]

En France, seuls les lasers dont la puissance ne dépasse pas 1 mW (classe 1 et 2) sont autorisés à la vente.

Mais il est très facile de se procurer sur Internet des modèles beaucoup plus puissants, de catégories 3 et 4, normalement réservés à un usage professionnel. Selon le Pr Renard, "les plus dangereux sont ceux qui émettent dans la couleur verte, avec une puissance pouvant aller jusqu'à 1500 mW. Projetée pendant quelques instants à courte distance sur l'÷il, la lumière peut brûler la rétine et laisser des séquelles irréversibles".

1) Estimer la puissance surfacique du faisceau d'un pointeur laser reçu par un joueur sur un terrain de football.

Correction :

1) Il faut estimer la distance `≈50 m;savoir si on est en modélisation cylindrique ou conique.

Techniques à maîtriser

I- Spectre d'une source lumineuse

Relier la longueur de cohérence,∆λet λen ordre de grandeur.

ce qu'il faut savoir faire capacités

1.1) Train d'onde

On s'intéresse à une source lumineuse qui envoie un rayonnement sinusoïdal pendant la durée∆t, supposée parfaitement connue. On compteN périodes avec une incertitude sur ce décompte de∆N ≈1.

1) Quelle est la fréquence ν et la longueur d'ondeλdu signal en fonction dec,∆tet N?

2) Exprimer les incertitudes∆ν sur la fréquence et∆λsur la longueur d'onde en fonction dec,∆t etN. 3) Quelle est la longueur de cohérence lc des trains d'onde ?

4) Trouver une relation liant l'incertitude ∆E sur l'énergie des photons envoyés par la source et la durée d'émission∆t.

5) Applications numériques : la longueur d'onde estλ= 500nmexprimerN,l_c et ∆λsi 5.a) ∆t= 1ns;

5.b) ∆t= 1ps; 5.c) ∆t= 10f s.

1) ν =_∆t^N et λ=^c.∆t_N . 2) ∆ν≈ _∆t¹ et∆λ≈ ^c.∆t_N2 . 3) lc=c.∆t.

4) E=h.ν⇒∆E.∆t≈h(qui est la relation de Heisenberg).

5) Applications numériques :

5.a) Si∆t= 1ns,N = 6,0.10⁵,lc= 0,30met ∆λ= 8,3.10⁻¹³m. 5.b) Si∆t= 1ps,N = 6,0.10²,lc= 0,30mmet∆λ= 0,83nm. 5.c) Si∆t= 10f s,N = 6,0,lc= 3,0µm et∆λ= 83nm.

1.2) Longueur de cohérence de la lumière blanche On s'intéresse à une source blanche.

1) Rappeler le domaine en longueur d'onde du visible.

2) Relier la longueur de cohérence`c, ∆λetλen ordre de grandeur.

3) Estimer alors un ordre de grandeur de la longueur de cohérence de la lumière blanche.

1) Le domaine en longueur d'onde du visible est[400 nm; 750 nm]. 2) On sait que

λ ν=c⇒ ∆λ λ ≈ ∆ν

ν Ainsi, la longueur de cohérence est

`c=c τc ≈ c

∆ν =c τc≈ c ν

λ

∆λ ≈ λ²

∆λ 3) Comme∆λ≈λ, on trouve`_c ≈λ≈1µm pour la lumière blanche.

1.3) Filtre interférentiel

On s'intéresse à une source blanche avec un ltre interférentiel dans le vert.

1) Calculer la longueur de cohérence temporelle de cette source de largeur ∆λ = 10 nm autour de la longueur d'ondeλ= 546 nm.

1) lc=c.τ =_∆ν^c avecλ.ν =c, soit ^∆ν_ν = ^∆λ_λ . Donc∆ν =^c.∆λ_λ2 . Donc :

lc= λ²

∆λ= 30µm

1.4) Spectre d'une lampe à vapeur de sodium

On s'intéresse à une lampe à vapeur de sodium. La raie principale est à la longueur d'onde dans le vide λ0= 589 nm.

1) Calculer la fréquence ν0 relative à cette raie.

Une vapeur de sodium se trouve dans un voisinage du point O, et on observe la lumière qu'elle émet dans la directionOz: un détecteur se trouve en M tel que−−→

OM =OM ~ez.

La probabilité qu'un atome de sodium de masse m à la température T ait la projection de vitessevz est proportionnelle au facteur de Boltzmann :

e⁻

1 2m v2

z kB T

oùkB= 1,38×10⁻²³ J·K⁻¹est la constante de Boltzmann.

Du fait de l'eet Doppler, la fréquence reçue par un récepteur n'est pas ν0 mais plutôtν=ν0 1 +^v_c^z oùc est la célérité de l'onde.

2) Montrer que la probabilité de recevoir la fréquence ν est proportionnelle à la gaussienne

e⁻

(ν−ν0 )2

∆ν2

On donnera l'expression de∆ν et on évaluera son ordre de grandeur.

3) En déduire l'ordre de grandeur de la largeur en longueur d'onde de la raie ∆λ, ainsi que la durée du train d'ondeτc associé et la longueur de cohérence temporelle`c.

En fait, il y a deux raies très proches (un "doublet"), d'intensités égales, àλ1= 589,0 nmetλ2= 589,6 nm. 4) Tracer l'allure du spectre de la lampe à vapeur de sodium.

1) La fréquence estν₀=_λ^c

0 = 5,09×10¹⁴ Hz. 2) Commeν=ν0 1 +^v_c^z,

v_z=c ν

ν0

−1

= c ν0

(ν−ν₀) La probabilité d'émission à la fréquence ν est donc proportionnelle à :

e⁻

1 2m v2

z kB T =e⁻

m c2 (ν−ν0 )2 2ν2

0kB T =e⁻

M c2 (ν−ν0 )2 2ν2

0R T =e⁻

(ν−ν0 )2

∆ν2

oùM est la masse molaire etR= 8,31 J·K⁻¹·mol⁻¹est la constante des gaz parfaits.

C'est ce qu'il fallait démontrer avec

∆ν =ν0

c

r2R T

M =5×10¹⁴ 3×10⁸

r2×8×10³

23×10⁻³ ≈10⁹ Hz 3) Comme

∆λ λ₀ =∆ν

ν₀ ⇒∆λ≈1 pm La durée du train d'onde est τc≈ _∆ν¹ = 10⁻⁹ s.

Et la longueur de cohérence temporelle est`c=c τc ≈30 cm.

4) L'allure du spectre de la lampe à vapeur de sodium est le suivant :

1.5) Spectres en longueur d'onde et en fréquence Une source lumineuse a

• un spectre en fréquence Iν(ν)

• et un spectre en longueur d'onde (dans le vide)Iλ(λ). 1) Rappeler

1.a) le lien entreλetν,

1.b) ce que doivent vérier les intégrales des fonctionsIν(ν)etIλ(λ). 2) En déduire l'expression de Iλ(λ)en fonction deIν(ν).

1) 1.a) λ ν=c. 1.b) R∞

0 I_ν(ν) dν =R∞

0 I_λ(λ) dλ=I₀. 2) Commedν = d^c_λ =−c^dλ_λ2,

Z ∞

0

I_λ(λ) dλ= Z ∞

0

I_ν(ν) dν = Z 0

∞

−c λ²I_ν(c

λ) dλ= Z ∞

0

+c λ²I_ν(c

λ) dλ aussiIλ(λ) = ^+c_λ2Iν(^c_λ).

II- Calculs de chemins optiques et de diérences de marche

Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique.

Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.

Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image.

Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfaces d'onde.

ce qu'il faut savoir faire capacités

∆ψ_O→M =RM O ~k.−→

d`=^2π_λ

0(OM) +ϕsup.

Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indice optique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués.

NB : il y a égalité de chemin optique entre un pointAet deux pointsBetB⁰ sur le trajet de la lumière depuisA, si B etB⁰ sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'inni).

A) Calculer un chemin optique^méthode

Sur le schéma ci-contre, le point d'observation M étant dans le plan focal image, il est conju- gué avec l'inni.

Du point de vue de l'optique géométrique, les rayons issus deS₁etS₂qui aboutissent enM sont parallèles (et parallèles au rayon ctif qui passerait par le centre de la lentille sans être dévié).

Du point de vue de l'optique ondulatoire, commeHest le projeté orthogonal deS1sur le rayon issus deS2,H etS1 sont dans le même plan d'onde.

Ainsi,(S1M) = (HM)d'après le théorème de Malus.

B) Appliquer le théorème de Malusméthode

2.1) Démonstration des lois de la réfraction grâce aux chemins optiques

1) Tracer le chemin de deux rayons lumineux parallèles réfractés suivant les anglesi₁eti₂par rapport à la normale à un dioptre séparant l'air d'un milieu d'indicen.

2) Exprimer la diérence de marcheδentre les deux rayons grâce au théorème de Malus. Pourquoiδ= 0? Montrer que l'on retrouve la loi de Snell-Descartes de la réfraction.

3) Interpréter le calcul précédent en terme de retard entre les ondes grâce aux célérités de ces dernières.

1) Tracé classique.

2) La diérence de marcheδentre les deux rayons provenant deS (à l'inni) et allant enM (Ã l'inni) est δ = (SIM)−(SJ M) où I et J sont les points de passage des deux rayons sur le dioptre. En faisant apparaître les plans d'onde AJ etIB :

δ= (SAIM)−(SJ BM) = [(SA) +AI+ (IM)]−[(SJ) +n J B+ (BM)]

Or grâce au théorème de Malus :(SA) = (SJ)et (IM) = (BM), d'où : δ=AI−n J B=IJ[sini1−nsini2] = 0

car c'est le même pour toutIJ. Aussi, on retrouve la loi de Snell-Descartes de la réfraction :sini₁=nsini₂. 3) Le retard pris par la première onde entreAetI:δt= ^AI_c = ^IJsin_c ⁱ¹ est le même que pour la seconde onde entreJ etB :δt= ^{J B}c

n

=^{IJ n}_c^sini2.

2.2) Calcul de chemin optique dans le cas d'une lentille

Soient A et A⁰ deux points sur l'axe d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f⁰, de centre O. On connait0A.

1) Déterminer le chemin optique (AA⁰).

2) En déduire(AH), siH est un point sur la lentille à une distancehde l'axe, du côté deA⁰.

1) _0A¹0 = ¹

0A+ ¹

0A , donc0A⁰= ^0A.f0

f⁰+0A Ainsi,AA⁰=AA⁰=−0A+ ^0A.f0

f⁰+0A =− ^0A2

f⁰+0A. Le chemin optique est : (AA⁰) =AA⁰−e+n.e, soit

(AA⁰) =− 0A²

f⁰+ 0A+ (n−1).e

2) (AH) + (HA⁰) = (AA⁰), donc (AH) = (AA⁰)−(HA⁰). Or (HA⁰) = HA⁰ = r

h²+ 0A²

d'après Pythagore. Donc, comme0A⁰= ^0A.f0

f⁰+0A,

2 v

2!

2.3) Calcul de chemin optique dans le cas d'un foyer

SoitF le foyer objet d'une lentille d'épaisseured'indicende focalef⁰, de centreO.

1) Déterminer le chemin optique (AB), oùB est accolé à la lentille, sur l'axe de la lentille, côté image.

2) Même question pour C, accolé à la lentille, à une distancehde l'axe de la lentille, côté image.

1) (AB) =f⁰+n.e.

2) C sont sur le même plan d'onde, donc(AB) = (AC) =f⁰+n.e.

2.4) Calcul de chemin optique dans le cas d'un miroir plan

SoitAun point ayant pour symétriqueA⁰ par rapport à un miroir planM.

1) Déterminer le chemin optique(AP), oùP est est un point atteint par la lumière après réexion surM.

(AP) =A⁰P.

2.5) Limitation du taux de transfert d'une bre optique

Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une bre optique d'indicen= 1,5subit un élargisse- ment temporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informations à grande distance. En eet, les rayons lumineux d'inclinaisons diérentes n'ont pas le même chemin à parcourir dans la bre, donc leur temps de parcours est variable.

1) Calculer la diérence de temps∆tmis par deux rayons lumineux se propageant dans une bre optique de longueurL= 10km, l'un sur l'axe de la bre et l'autre incliné deθ= 20^◦ par rapport à celui-ci.

2) Quel nombre d'informationsN peut transférer une telle bre par unité de temps ?

1) Rayon sur l'axe : distancel₁, temps de parcourst₁= ^lc¹ n. Rayon incliné : distancel2, temps de parcourst2= ^lc²

n. Géométriquement,cosθ= ^l_l¹

2, soit ∆t=t₂−t₁, en prenantl₁=L. Soit :

∆t= n.L c

1 cosθ−1

= 3,2µs

2) On doit éloigner deux "bips" de∆t au moins, donc la fréquence des bips doit êtref < N= _∆t¹ , soit

N = c

n.L. _cos¹_θ−1 = 0,31M Hz

III- Le faisceau du LASER

Relier l'ouverture angulaireλ/aet le rayon minimal a.

Utiliser l'expression fournie du prol radial d'intensité en fonction de la distance axiale.

Construire l'allure d'un faisceau de prol gaussien à partir de l'enveloppe d'un faisceau cylindrique de rayon a et d'un faisceau conique centré sur l'orice de sortie du laser, et de demi-ouverture angulaire λ/a.

Exploiter la convergence angulaire du faisceau issue de l'optique géométrique, la loi du retour inverse, et le lien entre l'ouverture angulaire λ/aet le rayon minimalapour obtenir la dimension et la position de la section minimale.

ce qu'il faut savoir faire capacités

• pour|z|< zR, l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeurw0,

• pour|z| zR, l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centreO), et le faisceau conique d'ouverture angulaireθ= _{π w}^λ

0 =^w_z⁰

R.

C) Trouver les caractéristiques du faisceau d'un LASERméthode

3.1) Divergences du faisceau d'une diode LASER GaAs

La cavité optique d'une diode laser GaAsa à peu près les dimensions suivantes :

• suivantOz: 1 mm;

• suivantOx:1 µm;

• suivantOy :100µm.

Elle émet un rayonnement dans l'infra-rouge à870 nm.

1) Estimer la divergence de son faisceau, assimilé à un faisceau gaussien 1.a) suivant la directionOx

1.b) et suivant la directionOy.

1) La divergence du faisceau est due à la diraction :θ=_{π w}^λ

0, soit : 1.a) suivant la directionOx: θx= _π×1×10^780×10−9−6 = 248×10⁻³ rad = 14^◦, 1.b) et suivant la direction Oy:θ_y =_π×100×10^780×10−9−6 = 248×10⁻⁵ rad = 0,14^◦.

3.2) Caractéristiques des faisceaux d'un LASER Nd :YAG On s'intéresse au laser Nd :Yag, de longueur d'onde λ= 1064 nm.

1) Déterminer la divergenceθ à longue distance et la longueur de Rayleighz_R d'un tel laser 1.a) lorsque son faisceau est focalisé assez ecacement , avec un waistw₀= 10µm, 1.b) lorsque son faisceau est assez collimaté , avec un waistw₀= 1 mm.

1) Commeθ= _{π w}^λ

0 =^w_z⁰

1.a) lorsquew₀= 10Rµm,θ= 1,8^◦et z_R= 314µm, 1.b) lorsquew₀= 1 mm,θ= 0,018^◦ etz_R= 3,14 m.

3.3) Épurateur de faisceau LASER

Soit un faisceau laser gaussien peu divergent de rayon w0.

On admet que l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est :

A˜(r, z, t) = ˜A0

w0

w(z)e⁻

r2

w(z)2e^{−i(ω t−ϕ(z))} avecw(z) =w0

s 1 +

z zR

2

en coordonnées cylindriques(r, θ, z).

1) Déterminer l'évolution de l'éclairementI(r, z)dans un plan transversez à la propagation.

2) De façon à "épurer" le faisceau du laser, on positionne un diaphragme circulaire de rayon a, centré en z= 0.

2.a) Quelle est la proportion de l'énergie transmis à travers le diaphragme circulaire en fonction dea? 2.b) Applications numériques :a= ^w₂⁰,a= ^3w₄⁰,a=w0 eta= 2w0.

1) CommeI=k|A˜(r, z, t)|², on trouve

I(r, z, t) =I0

w0

w(z)e⁻

r2 w(z)2

2

=I0

w0

w(z) 2

e⁻²

r2 w(z)2 =I0

1 1 +

z ²e

−2r2 w0 1+

z zR

2!

2.a)

I(r, z= 0, t) =I0e⁻²

r2 w2 0

L'énergie totale est donc

E_tot=I₀ Z Z

e⁻²

r2 w2

0d²S=I₀ Z ∞

r=0

Z 2π

θ=0

e⁻²

r2 w2

0dr r dtheta= 2π I₀ Z ∞

r=0

r e⁻²

r2 w2

0dr

tandis que l'énergie qui passe à travers le diaphragme est

E(a) = 2π I0

Z a

r=0

r e⁻²

r2 w2

0dr

Pour calculer l'intégrale, on peut faire le changement de variable suivant : t=r²⇒dt= 2r dr, soit

E(a) =π I₀ Z a²

t=0

e

−2t w2

0dt=π I₀ w₀²

−2e

−2t w2

0

^a2

t=0

=π I0w₀² 2

1−e

−2a2 w2

0

Aussi, la fraction est

E(a) Etot

= 1−e

−2a2 w2

0

2.b) AN : ^E(^a=w₂⁰)

Etot = 0,39, ^E(^a=3w₄⁰)

Etot = 0,67, ^E(a=w_Etot⁰⁾= 0,86, et ^E(a=2_Etot^w0)= 0,999

IV- Les transformations du faisceau du LASER

Montrer que le rayon minimal est de l'ordre deλ.

Utiliser un élargisseur de faisceau pour réduire l'ouverture angulaire.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il sut de positionner le centre de l'onde conique du LASER au point de convergence prévu par l'optique géométrique. Cela donne une première relation sur l'angle de divergence du faisceau conique.

Il y a d'autre part continuité de l'ouverture du faisceau de part et d'autre de la lentille. Cela donne l'autre relation qui permet de déterminer la totalité des caractéristiques du faisceau LASER.

D) Déterminer l'eet d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER

méthode

4.1) Focalisation d'un LASER

On cherche à focaliser un faisceau laser collimaté, issu d'un laser He-Ne (longueur d'onde 633 nm), de taille 1 mm, situé à une positionz= 0de telle façon que la longueur de Rayleigh du faisceau focalisé soit égale à 30 mm.1) Quelle distance focale doit posséder la lentille qu'il faut utiliser ?

1) Les données sont :λ= 633 nm, avant la lentille le waist estw₀= 1 mm, après la lentille, on veut que la longueur de Rayleigh soitz_R⁰ = 30 mm.

Le faisceau conique converge au foyer, avec un angle θ⁰= w0

f⁰ = λ π w⁰₀ = w⁰₀

z_R⁰

aussi le waist après la lentille estw⁰²₀ =^{λ z}

0 R

π , d'où f⁰= w0

w⁰₀z_R⁰ = r π

λ z⁰_Rz_R⁰ w0= rπ z_R⁰

λ w0=

rπ×30×10⁻³

633×10⁻⁹ ×1×10⁻³= 39 cm