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Submitted on 1 Jan 1981
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Théorie d’un faisceau gaussien dans un laser à gaz
G. Stephan, H. Taleb
To cite this version:
G. Stephan, H. Taleb. Théorie d’un faisceau gaussien dans un laser à gaz. Journal de Physique, 1981, 42 (12), pp.1623-1639. �10.1051/jphys:0198100420120162300�. �jpa-00209360�
Théorie d’un faisceau gaussien dans un laser à gaz
G. Stephan et H. Taleb
Laboratoire de Spectroscopie, Université de Rennes, Avenue du Général-Leclerc, 35042 Rennes Cedex, France (Reçu le 24 novembre 1980, révisé le 21 juillet 1981, accepté le 27 août 1981)
Résumé. 2014 Le milieu amplificateur d’un laser n’est pas homogène à cause des variations transversale et longitu-
dinale de la saturation. Nous donnons une théorie de perturbation permettant de calculer les conséquences de cette inhomogénéité sur le mode propre gaussien fondamental non perturbé d’une cavité homogène. Cette théorie permet de prévoir que deux paramètres caractéristiques du faisceau de sortie ont des variations dissymétriques en fréquence : l’intensité sur l’axe du laser a son minimum du côté des hautes fréquences et le diamètre du mode
a son minimum de l’autre côté. Il en résulte que la dimension et la position du détecteur dans le faisceau ont
une influence sur la forme de raie mesurée en fonction de la fréquence. La discussion théorique est illustrée par des calculs numériques portant sur la raie 3,39 03BC du Ne pour plusieurs valeurs des paramètres géométriques de la
cavité.
Abstract. 2014 The amplifying médium of a laser is not homogeneous due to transversal and longitudinal variations
of saturation. We give a perturbation theory which allows the calculation of the conséquences of this inhomogeneity
on the non perturbed fundamental Gaussian eigen-mode of a homogeneous cavity. This theory predicts that two parameters characterizing the output beam have asymmetric variations in frequency : the intensity on the laser
axis has its minimum on the higher side frequency and the diameter of the mode has its minimum on the other side.
This results in a dependence of the shape of the measured line 03BDs. frequency upon the position and the area of the
detector. The theoretical discussion is illustrated by numerical calculations using the 3.3903BC line of Ne as an example
and for several values of the geometrical parameters of the cavity.
Classification Physics Abstracts
42.55F - 42.60D - 42.60H
1. Introduction. - Cet article donne une théorie d’un laser monomode qui permet de relier les para- mètres géométriques et optiques de la cavité active à certains paramètres qui caractérisent la lumière observable en régime stationnaire. Les premiers sont
les rayons de courbure et les pouvoirs réflecteurs des
miroirs, leur distance ainsi que la polarisabilité satu-
rée du milieu. Les seconds sont l’intensité, la fréquence,
le diamètre et le rayon de courbure du faisceau lumi-
neux. Cette théorie est semi-analytique et semi- numérique ; elle est appliquable aux lasers à faible
gain comme le laser à HeNe. Il s’agit d’une théorie
de perturbation par le milieu amplificateur du mode
propre fondamental gaussien d’une cavité vide et
elle est restreinte pour l’instant à un laser non dia-
phragmé dont le gain linéaire est homogène et fonc-
tionnant en polarisation linéaire.
Les approximations fondamentales de la théorie de Lamb [1] consistent à utiliser une représentation
du champ en ondes planes et à répartir les pertes d’une manière uniforme ce qui permet d’obtenir les équa-
tions d’évolution d’un champ moyen dans le laser.
Plusieurs théories s’écartant de ces hypothèses ont
ensuite été établies : par exemple Rigrod [2] décrit
la variation de l’intensité le long de l’axe du lasèr,
Le Floch [3] celle de la polarisation et Maeda et Shi-
moda [4] introduisent un champ gaussien dans les équations de Lamb. Ces derniers auteurs utilisent des pertes réparties, un champ d’amplitude et de diamètre
moyen constants et une représentation transversale
inhomogène du gain linéaire. Avec ces hypothèses,
ils trouvent que la forme de raie est fortement dissy- métrique. En fait, cette dissymétrie a plusieurs origines
et C. Bordé et al. [5], qui introduisent la forme gaus- sienne du faisceau dans une théorie détaillée de l’in- teraction champ-molécules, en distinguent au moins
trois : la variation dans le temps de l’interaction cohé- rente entre le faisceau et le système actif, la variation
dans l’espace des paramètres de saturation et les déformations géométriques du faisceau provoquées
par les inhomogénéités de saturation. Notre étude
concernera surtout le dernier point, le premier étant représenté simplement par un paramètre phénomé- nologique constant. Le second apparaîtra en par- tie analytiquement dans le terme de saturation trans- versal et numériquement pour la partie longitudinale.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198100420120162300
Jusqu’à présent, les théories faisant appel à la géo-
métrie du faisceau étaient essentiellement phénomé- nologiques : en particulier, dans le cadre d’une théorie relative aux lasers en anneaux, Garside [6] a expliqué
la dissymétrie de l’intensité en fonction de la fréquence
par un effet de lentille transversal qui élargit plus ou
moins le mode ; le faisceau étant diaphragmé par les miroirs subit des pertes qui dépendent de la fréquence,
ce qui crée le phénomène. Cette explication a été
récemment utilisée avec un laser monomode [7].
Une autre explication phénoménologique a été donnée
par G. Kramer et al. [8] qui tient compte également des propriétés géométriques du faisceau. Enfin une abon- dante littérature soviétique est consacrée au rôle d’un diaphragme dans un laser en anneau [9, 10] mais ces
travaux concernent essentiellement un problème à
deux modes et ne se trouvent donc pas reliés de façon
immédiate au présent travail.
Nos hypothèses de base consistent à localiser les pertes sur les miroirs (pertes par transmission) et à découper le milieu en tranches dans lesquelles les équations sont établies ; ceci permet d’éviter l’approxi-
mation du champ saturant moyen ou du faisceau
gaussien de diamètre constant. Les équations sont
ensuite intégrées numériquement. Les hypothèses simplificatrices que nous faisons sont de deux types :
nous supposons d’abord que le mode gaussien d’une
cavité remplie d’un milieu linéaire est faiblement
perturbé par les termes de saturation. Ceci nous
permettra de trouver les paramètres qui représentent
la perturbation en résolvant les équations de Maxwell
au premier ordre. Ensuite, comme les polarisabilités
constituent les termes de perturbation, nous utilisons
ces coefficients calculés en ondes planes. Ces approxi-
mations sont justifiées, d’une part, par le fait qu’un
laser a un spectre de modes quasi identique à celui
d’une cavité vide [11], et d’autre part, parce que les
polarisabilités calculées en ondes planes rendent compte d’un nombre important de faits vérifiés expé-
rimentalement [12].
Dans un deuxième paragraphe, nous rappelons les paramètres du champ gaussien dans une cavité vide
ou comportant un milieu linéaire en appliquant la
méthode usuelle [11] ainsi qu’une condition de réso-
nance « transversale ». Dans un troisième, nous établissons les équations relatives aux termes de per- turbation et nous les interprétons. L’une d’entre elles
peut être résolue analytiquement et la seconde servira
au calcul numérique dont la description constitue le
quatrième paragraphe dans lequel on donne également
les résultats numériques obtenus dans le cas particulier
de la raie du néon à 3,39 03BC.
Ces résultats permettent de prévoir la forme dissy- métrique et le déplacement vers les grandes fréquences
du centre des raies en accord avec des mesures déjà
faites [13], la variation de l’intensité avec les rayons de courbure des miroirs ainsi qu’avec la disposition de
leurs pouvoirs réflecteurs. La variation du diamètre du mode est également obtenue et l’importance de la
position et de la dimension de la surface sensible du détecteur soulignée : en particulier, on peut prévoir
que la forme de raie change avec la position d’un
détecteur de faible surface dans le faisceau de lumière
ce qui rend compte en particulier d’une observation
expérimentale faite lors de la comparaison de lasers métrologiques [14].
2. Cas d’une cavité comportant un milieu linéaire. - Pour fixer les idées, nous considérons dans cet article le modèle de cavité représenté figure 1 où se trouvent
Fig. 1. - Modèle de cavité choisi.
[Type of cavity chosen.]
indiqués les paramètres géométriques convenables : il s’agit d’une cavité composée d’un miroir plan en
z = 0 (pouvoir réflecteur ri pour l’amplitude) et d’un
miroir concave (pouvoir réflecteur r2, rayon de cour-
bure R ) séparés d’une distance d. r et z sont les coor-
données transversale et longitudinale respectivement.
On se place dans la condition de stabilité R > d. On suppose que cette cavité n’est pas diaphragmée et qu’elle contient un milieu linéaire homogène caraé-
térisé par une polarisabilité complexe ao. Par la suite,
nous la prendrons proportionnelle à la fonction de
dispersion des plasmas changée de signe. On écrit les
équations de Maxwell macroscopiques en un point (r, z) :
Le champ électrique E obéit à l’équation de propa-
gation :
Supposons que E soit polarisé linéairement sur un axe. Alors, ainsi que l’ont montré Lax et al. [15], un champ gaussien possède sur les autres axes une petite composante de façon à rendre compte de div D = 0.
Nous nous occuperons seulement de la composante
principale. Ecrivons celle-ci pour les champs harmo- niques progressifs « aller » et « retour » notés
L’exposant 0 à gauche indique qu’il s’agit de grandeurs
non perturbées. Ces champs obéissent aux équa-
tions de propagation :
En suivant la méthode usuelle [11], on sépare les champs en une partie rapidement variable exp( ± ikz)
et une partie lentement variable selon z soit :
Op a,r et °qa,r sont les paramètres longitudinaux et
transversaux lentement variables avec z et nous
n’avons pas indiqué 0 Pa(z) etc... pour alléger l’écriture.
Ces paramètres sont complexes et on pose :
Par conséquent :
On obtient le facteur d’amplitude gaussien
(2 ° Wa est donc le diamètre du faisceau à l’intensité
1/e2) et le facteur exp( + ik(z + r2/2 °Ra)) indiquant
qu’il s’agit d’une onde sphérique de rayon de courbure local °Ra au voisinage de l’axe (approximation par-
axiale). En plaçant les solutions d’essai (5) dans les équations (4), on obtient d’abord :
En négligeant ensuite les dérivées secondes et les
produits de dérivées premières en fonction de z de
op a,r et 0 qa,r, on obtient les équations différentielles
au premier ordre pour ces quantités et qui donnent,
une fois intégrées :
Ici °qoa et °qor désignent les valeurs de 0 qa et 0 qr
en z = 0. Pour les obtenir, on écrit les conditions aux
limites sur les miroirs :
Ces conditions aux limites expriment que le diamètre du mode se conserve lors de la réflexion et que son rayon de courbure obéit aux lois géométriques de la
réflexion sur un miroir concave soit :
et
Les équations (9), (11) et (12) décrivent la conservation du paramètre q lors d’un aller-retour dans la cavité : elles constituent donc la formulation de la condition de résonance transversale.
Les équations (11) et (12) donnent :
Dans le cas d’une cavité vide, ao = 0 et
on écrit alors [11] :
ce qui donne la formule bien connue du diamètre du mode au pincement en z = 0 :
que l’on écrira 0 W20 puisqu’il est le même pour les ondes « aller » et « retour. De plus, on appellera
1 W2 la grandeur dans le vide au point z.
Par continuité, on peut donc choisir les signes de 0q0a et °qor tels que :
Remarquons que les paramètres q ne changent pas
quand on passe d’une cavité vide à cette cavité pleine,
contrairement aux paramètres W et R. Calculons explicitement le diamètre du mode et son rayon de courbure en un point z pour l’onde « aller ». Compte
tenu de :
on a :
ce qui donne :
en séparant les parties réelle et imaginaire et en posant :
On en déduit :
puis °Ra par (21a). Dans ce cas, on remarque que les diamètres sont les mêmes pour les deux ondes. Pour terminer ce paragraphe, rappelons qu’au lieu d’écrire les équations (10) pour les paramètres longitudinaux,
on peut encore écrire :
en introduisant :
Cet angle nous servira par la suite ; c’est un déphasage supplémentaire, propre au faisceau gaussien par rap-
port à l’onde plane. Son importance apparaîtra dans l’équation de résonance longitudinale relative à la
phase, mais aussi dans l’expression du gain où il
viendra répartir l’influence des miroirs le long du
laser. On peut remarquer que :
est d’autant plus petit que R est grand à d constant.
3. Cas d’une cavité comportant un milieu saturé. - 3.1 DÉTERMINATION DES ÉQUATIONS AUX VARIA- TIONS. - Dans le cas d’une cavité remplie d’un milieu amplificateur non linéaire, la polarisabilité est saturée.
Cette saturation varie de manière transversale d’abord
puisque le faisceau est plus intense sur l’axe, mais
aussi longitudinalement puisqu’il est plus étalé du
côté du miroir concave. En accord avec un calcul
précédent [18] effectué en ondes planes, nous posons
que la polarisabilité au point (r, z) pour l’onde « aller » est :
et pour l’onde « retour » :
03B11 et rx 2 sont respectivement proportionnelles à - iI1 et - i12 (18) avec :
Nous rappelons dans l’appendice C les expressions complètes de 03B11 et a2.
Dans ces équations :
est la fonction de dispersion des plasmas. Z lx + iy)
représente la forme de raie appelée profil de Voigt
résultant d’une convolution entre une courbe de Lorentz de demi-largeur y et une courbe de Gauss due à l’effet Doppler :
est l’écart en fréquence par rapport au centre de la raie normalisé par la demi-largeur Doppler Wû vM/c.
est l’inverse du temps de vie associé au système des
deux niveaux actifs normalisé également. I1 représente
la saturation de l’onde « aller » par elle-même et 12
sa saturation par l’onde « retour ». La représentation
du milieu saturé a donc été simplifiée à l’extrême
puisque un seul paramètre y constant représente les
différents niveaux et leurs interactions. Les approxi-
mations faites sont convenables seulement quand la
saturation est faible car on néglige en particulier les harmoniques spatiaux des populations saturées.
L’étude de 03B11 et OC2 relève essentiellement des deux
premiers points indiqués par C. Bordé et al. [5]
cités ci-dessus. Cette étude révèle les formes de raie
sub-Doppler [16].
Les équations à résoudre sont :
On utilise encore les solutions d’essai :
comme précédemment. Pour résoudre (33), nous avons supposé qu’une théorie de perturbation au premier
ordre selon les polarisabilités 03B10, al et a2 pouvait s’appliquer compte tenu des arguments indiqués précédemment : les paramètres précédents longitudi-
naux (°Pa,r) et transversaux (°qa,r) deviennent Pa,, et
qa,r tels que :
Tous ces termes dépendent de z. Les Epa,r et Flqa,, sont les variations et représentent la perturbation apportée
par les non-linéarités du milieu. Nous considérons les membres de droite des équations (33) contenant ai et a2 comme des perturbations ce qui nous permet aussi de justifier le fait que nous avons pris les expres- sions de a 1 et a2 calculées en ondes planes. De plus,
pour ne conserver que des termes au premier ordre en 03B1/E0 (a = 03B10, 03B11, 03B12) nous remplacerons les termes
w2, par leur valeur pour une cavité vide soit [11] :
Enfin, pour trouver des équations analytiques
pour les e, nous remplaçons les intensités gaussiennes apparaissant dans les termes de saturation par des intensités paraboliques :
a est une constante que l’on peut choisir de façon à
avoir l’égalité entre les deux courbes pour l’intensité
l/e2 soit a = 0,86.... On obtient alors :
On peut obtenir les équations au premier ordre selon les 8 en remplaçant dans les équations (33) les champs
par les solutions d’essai (34) avec, dans les termes de
saturation, les approximations (40). Le détail des calculs est donné dans l’appendice A. En posant :
on trouve les équations suivantes (les points indiquent
les dérivées par rapport à z) :
3.2 RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION EN Eqa. - Comme les quantités Ta et T, dépendent de z par l’intermé-
diaire des intensités qui elles-mêmes dépendent des 8,
on peut penser que les équations différentielles ci- dessus sont impossibles à intégrer analytiquement.
Cependant, dans le cadre des approximations choisies,
on peut obtenir 8qa (et e,,). En effet, on peut d’abord
poser :
où f reste à déterminer, puisque 8qa = 0 quand les
intensités sont nulles.
On aura donc :
La variation sur z de Ta est due à celle des intensités,
elle-même due à deux causes : la diffraction (terme
Mais la dérivée de Ta au premier ordre selon les oc
(a = 03B10, 03B11, OE2) ne comporte que le terme relatif à la
diffraction, soit explicitement pour le champ « aller » :
La dérivée de e.. au premier ordre selon les oc s’écrit donc :
Ceci donne l’équation différentielle permettant de déterminer f :
Le détail du calcul est donné dans l’appendice B et
l’on trouve :
On trouve de même :
Ici Ka et K, sont les constantes d’intégrations que l’on
trouve en appliquant les conditions aux limites sur
les miroirs, soit :
en z = 0 :
ce qui donne, en tenant compte de (11) et de (37) :
On écrit de même en z = d :
ce qui donne :
Les équations (49) et (51) permettent d’écrire :
On est donc conduit à définir :
En utilisant (53) et en définissant de même :
on trouve que :
avec :
On a posé 0 = e(z=d)’
Nous allons interpréter Kr - i03C0a/2 03BB et Ka + inca/2 À
comme les termes de réaction de cavité dont l’in- fluence est répartie dans toute la vapeur par le terme de phase variable e± 2iez. Ces termes sont nuls quand U° = Ud = 1 ce qui peut se produire dans deux cas particuliers : d’abord au centre de la raie où al = OE2 et ensuite quand r21 = r2 = 1. Pour distinguer les
effets dus à la réaction de cavité de ceux propres au faisceau gaussien lui-même il suffira donc de séparer
les termes contenant Ka + inal2 03BB (ou Kr - i03C0a/2 03BB)
des autres. La figure 2 représente ces grandeurs
normalisées par na/ À pour deux cas de cavité.
3.3 ETUDE DES PARAMÈTRES TRANSVERSAUX. - Comme 8qa (ëqr) représente la variation du paramètre
transversal °qa (°qr), il représente la variation du dia- mètre du mode et celle de son rayon de courbure. Afin
de les interpréter, calculons ces variations. Par défi- nition :
la partie imaginaire donne :
soit :
Fig. 2. - Constantes de cavité Ka + i03C0a/2 03BB et Kr - i03C0a/2 03BB nor-
malisées par na/ À en fonction de la fréquence. Les courbes en traits pleins représentent les parties réelles soit  K’ et  K’ , 03C0a a na et les
courbes en pointillés les parties imaginaires soit 03BB’ K; na a+ 0,5 et
na K r - 0,5. On voit que la valeur absolue de ces constantes est
7ra
petite devant 1, ce qui signifie que la réaction de cavité sera petite
devant les phénomènes propres au faisceau comme l’effet de lentille complexe. Les courbes (A) sont calculées avec R = 1 m, ri = 0,9,
ri = 0,8 et d = 30 cm. Les courbes (B) sont calculées pour les mêmes valeurs de R et d mais avec r’ = 0,8 et r2 = 0,9. Dans toutes ces courbes comme dans les suivantes, la fréquence centrale w0 est prise
comme origine ; de plus on a utilisé kv M = 100 MHz qui est considéré
ici simplement comme un facteur d’échelle et enfin y = 0,3 peut correspondre à y = 54 MHz si kvM = 180 MHz typiques pour la raie 3,39 J.1 du néon.
[Cavity constants Ka + i03C0a/2 03BB and Kr - ina/2 À normalized by na/ À vs. frequency. Real parts are represented by full curves and imaginary parti
by dotted curves. Compared to 1, the absolute values of these constants are small. This means that the cavity reaction will be small
compared to the effects due to the beam itself such as the complex lens
effect. Curves (A) are calculated with R = 1 m, r21 = 0.9, r22 = 0.8
and d = 0.3 m. Curves (B) are calculated with the same values of R and d but with ri = 0.8 and r2 = 0.9. In these and following curves, central frequency cva is taken as origin. We have used kv, =100 MHz
and this is considered only as a scale factor for the frequency axis. We
have used also y = 0.3 which can correspond to y = 54 MHz if
kvM = 180 MHz typical of the 3.39 g line of neon.]
On a aussi :
A cause du terme en ro/2 c, le produit Eâa 0W2 est
prépondérant devant aô/2 eo et par conséquent Eqa
décrit la variation du diamètre du mode dans (61a).
On a :
où 3m désigne la partie imaginaire du crochet et Tâ
la partie réelle de T,,. La variation du diamètre est donc due à deux causes :
Le premier terme (qui est un terme de dispersion) représente l’effet de lentille propre du faisceau. Il est positif du côté des basses fréquences (par rapport à la fréquence centrale) et négatif de l’autre côté.
Donc son influence est de diminuer Wa du côté des
basses fréquences. C’est ce terme qui a été utilisé pour
expliquer la dissymétrie des raies [6]. En effet, on peut le représenter phénoménologiquement par une len- tille locale convergente du côté des basses fréquences, divergente de l’autre côté, ce qui explique une auto-
focalisation ou défocalisation du faisceau.
Le second terme représente la réaction de la cavité
puisqu’il est proportionnel à ,Ka + ina/2 03BB. Nulle au
centre de la raie, celle-ci dépend d’une manière compli- quée des paramètres géométriques, mais aussi, par l’intermédiaire de Ta, des parties réelle et imaginaire
de oci et a2.
La partie réelle de (59) donne la variation du rayon de courbure :
Le dernier terme en ejw est négligeable devant 161r.
en w/c et il reste :
Quand a.. est positif (négatif), le rayon de courbure diminue (augmente); ceci signifie que le faisceau
« aller » diverge plus (moins) dans le laser que dans la cavité vide. Or, plus un faisceau diverge, plus son
intensité sur l’axe diminue. D’ores et déjà, on voit
donc que ceci aura une incidence sur l’intensité sur
l’axe qui aura tendance à diminuer (augmenter). C’est pourquoi il sera intéressant d’étudier le signe de e,..
On a :
où Re désigne la partie réelle du crochet et Ta la partie imaginaire de Ta. Le terme propre du faisceau
- naTa/2 Â est négatif et symétrique en fonction de la fréquence : son rôle va donc être’ d’augmenter le
rayon de courbure. Il correspond à la partie imaginaire
de l’effet de lentille propre représenté par le terme
naTa/2 03BB. La réaction de cavité plus compliquée à
étudier est représentée figure 2 et ces courbes montrent
que les ondes « aller » et « retour » n’ont pas le même rayon de courbure en général et que ce rayon ne
