ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE LA RÉFLEXION D'UN FAISCEAU GAUSSIEN FOCALISÉ SUR UNE INTERFACE FLUIDE-SOLIDE

(1)

HAL Id: jpa-00230625

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00230625

Submitted on 1 Jan 1990

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE LA RÉFLEXION D’UN FAISCEAU GAUSSIEN FOCALISÉ SUR UNE

INTERFACE FLUIDE-SOLIDE

T. Matikas, M Rousseau, Ph. Gatignol

To cite this version:

T. Matikas, M Rousseau, Ph. Gatignol. ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE LA RÉFLEXION D’UN

FAISCEAU GAUSSIEN FOCALISÉ SUR UNE INTERFACE FLUIDE-SOLIDE. Journal de Physique

Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-1239-C2-1242. �10.1051/jphyscol:19902291�. �jpa-00230625�

(2)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

C o l l o q u e

C2,

s u p p l é m e n t

au n02,

T o m e 51, Février 1990

ler Congrès Français d'Acoustique 1990

ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE LA REFLEXION D'UN FAISCEAU GAUSSIEN FOCALISE SUR UNE INTERFACE FLUIDE- SOLIDE'^)

T.E.

M A T I K A S ,

M. ROUSSEAU et PH. GATIGNOL

Division Acoustique, Université de Compiègne. BP. 649, F-60206 Fompiègne Cedex, France

LMM (URA

2 2 9 ) ,

Université de Paris 6 , 4 Place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France

Résumé

-

^Les effets non-spéculaires qui apparaissent au voisinage de l'incidence de Rayleigh montrent une distorsion de la caustique réfléchie par rapport aux résultats de l'acoustique géométrique. Cette distorsion est étudiée qualitativement ; en particulier, on peut exhiber un déplacement de l'axe acoustique et du point focal qui confirme les résultats d'études antérieures. Le champ acoustique réfléchi est évalué dans tout le demi-espace fluide par le biais de méthodes asymptotiques basées sur des hypotheses d'ondes courtes (méthode de plus grande pente loin de la caustique

-

^méthode

de Luwig près de la caustique).

Abstract

-

The non-specular effects which appear at or near the Rayleigh incidence show a distorsion of the reflected caustic with respect t o t h e geometric acoustic. The distorsion is studied qualitatively ; in particular, we exhibit an acoustic axis shift and a focal shift which confirm previous results. The acoustic reflected field is evaluated in al1 fluid half-space by means of asymptotic methods based upon short waves hypothesis (steepest descent method for from the caustic

-

Ludwig method near the caustic).

1

-

INTRODUCTION

En contrdle non destructif des matériaux, les expérimentateurs utilisent des transducteurs focalises afin de limiter les effets d e diffusion qui peuvent Stre importants notamment dans les métaux. L'étude quantitative du faisceau réfléchi est nécessaire pour avoir une interprétation correcte des erreurs d e mesures.

L'étude théorique d e Bertoni, Hsue et Tamir /1/ montre un déplacement de l'axe acoustique et du point focal du faisceau réfléchi focalisé sur une interface fluide-solide. Dans une étude récente, Nagy, Cho et Adler /2/ ont observés ces effets de déplacements par photographie Schlieren.

Un modele de faisceau gaussien focalisé a été introduit par Rousseau et Gatignol / 3 / . Dans ce papier, nous proposons une étude complète de la réflexion d'un faisceau gaussien focalisé sur une interface fluide-solide. L a distribution de vitesse normale est donnée sur le plan émetteur situé dans le milieu fluide. Nous introduisons la notion de caustique réfléchie. Une distorsion de cette caustique est observée au voisinage de l'incidence de Rayleigh. Une expression asymptotique du champ réfléchi est ensuite obtenu par le biais de méthodes asymptotiques basées sur des hypothèses d'ondes courtes.

2

-

FORMULATION MATHEMATIOUE

On se réferre

a

la Figure 1 pour la définition des coordonnées. Le plan émetteur est placé en zi=O dans le milieu fluide. L'angle d'incidence du faisceau est noté 8i.

L'interface fluide-solide est en z=O. Le milieu fluide est caractérisé par sa masse volumique

P

6.t la vitesse du son c.

Le milieu solide élastique est caractérisé par sa masse volumique Pz et les vitesses des ondes longitudinale et transversale c Z L et CZT. La distribution de la vitesse normale le long de l'émetteur est donnée par :

2

vn (xi,O) = V, e x p

{-

EL) a 1 x t 2

e x P {-iksinOo

-}

a e x p {-lot)

où Vo est l'amplitude centrale de V,, a est la largeur caractérisitque du faisceau gaussien, k est le nombre d'onde dans le fluide k=IA/c où U est la fréquence angulaire, 8, est l'angle de fscalisation.

Le champ de pression incident est décrit par une superposition d'ondes planes sous la forme d'une intégrale de Fourier :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902291

(3)

COLLOQUE DE

PHYSIQUE

sont des quantités sans dimension.

D'apràs l'expression ( 2 ) , la pression r6fléchie est donnée par : + ⁰⁰

-

²

exp

!-2

kxi

4sin go

exp {i(ka) f(i;xa) 1 dExa

-

kzi

- - ^kxS2 - - ^- -

avec (4) f(kx.1 =

⁺

A~ kx'

+

Bi kz'

où -

(5)

Ai = Z cos2

+

2' sin2 Bi , ni ^=?sin2 ^ei - I'cos2 oi

+

- _{cos ei}

d

R(i;]

est le coefficient de réflexion d P u n e onde plane sur 1°intrrface 2-0 exprimee

-

dans le systame

Gs,

- -

Les coordonnées ( x o , 2.) sont choisies pour écrire l'expression du champ rCfléchi 1 cause de la forme simple de la fonction f dans ce systeme d'axes.

Pour l'évaluation asymptotique d e l'intégrale ( 3 ) , on suppose que ka<<l ; ceci signifie que la largeur caractéristique du faisceau est grande devant la longueur d'onde &mission.

La méthode de plus grande pente peut alors être appliquée.

Les cols 7 sont définis par :

'Yj - Bi 'Yj

-= O

+

i -4-* ^j ⁼ ^1,2,3

2 sine,,

Ce sont les points stationnaires de la fonction f ; ils peuvent etre reels ou

- -

cornplexes et dépendent du p i n t

( ^{a i .}

^Bi)

i ) Cas 03 f [kit)

.

^,r trois cols iso10s : Ceci concerne les points loins de la caustique. (a) Dans le cas où les trois cols Sont réels, la topographie dans le plan k,, est decrite sur la Figure 2. le contour d'intégration initial est remplacé par le contour de plus grande pente

(rR).

L e champ reflechi est alors donn4 par :

-9.2

3 exp {--+j-~

X R ( Y i )

4 s i n Bo

(7) **pref(x*,f')= w ^{e x p} {i(ka) f(Yi**

))

k 2 s i n 0 ~ f " ~ t i

i=1

(4)

( b ) Dans le cas où on a un col réel

-

(Y,)- et deux cols cornulexes ( y 2 )

,

( y j ) , la topographie dans le plan

s,

est décrite sur la figure 3. Le nouveau contour d'int6gration

TR

pàsse par les cols Y, et Y2

.

La contribution (du col 'Y2 est exponentiellement negligeable devant celle du col Y , . Le champ de pression est alors donne par :

Y-

2 exp

{-*

R(Yi) 4 s i n2e0 x

(8) pref(2',~') =

\/i_hZ exp {i(ka)f(Yi)-i2.

( - 2 s i n 0 ~ f " ( Y i ) Ka

(ii) cas

où f(EX4

a deux OU trois Cols Voisins: Ceci concerne les points prés de l a caustique ou l e point cuspidb. On applique alors l a méthode de Ludwing. Le resultat contient des termes avec l a fonction d'Airy ou de Pearcey (voir /3/)

3

-

ETUDE OUAtITATIVE ET INTERPRETATION

Sur l'axe réel, le coefficient de teflexion peut-être dOvelopp6 en module et phase :

On observe sur la Figure 4 qu'au voisinage de l'incidence de Rayleigh

r

k, E 1

¹ ,

^la

phase <p varie tres vite. Dans l'intervalle 1, la fonction <p peut Btre développée sous la forme :

La methode de plus grande pente s'applique alors B la fonction :

qui a pour dérivée :

L'expression

( 1 2 )

montre pue les cols de

?

au point

Fi

⁺^)_

^, -

Bi) Sont les m*me* pu.

ceux de f au point

Fit ^ii).

L'équation de la caustique géométrique réfllchie/définie par : f e (Ici,) = etfl*,,) a O

s'écrit :

L'equation de la caustique réfléchie en présence de l'onde de Rayleigh (définie par : ( k , = O et

,

^O ^devient^:

La distorsion de cette caustique par rapport aux résultats de l'acoustique géométrique est montrée sxr la Fiçure 5.

(5)

C2-1242 COLLOQUE DE PHYSIQUE

Les quantites

4, %

^et

3,

sont définies par :

où Y est dans l'intervalle 1, le col le plus pres de l'angle de Rayleigh.

Alors dans les expressions ( 7 ) , (8) on remplace R par p et f par f.

..

4

-

CONCLUSION

Lors de la reflexion d'un faisceau gaussien focalise sur une interface fluide-solide, des effets de distorsion de la caustique réflichie sont observés. Ces effets de distrosion sont liés

a

la variation rapide de la phase du coefficient de reflexion c'est-a-dire à la genération de l'onde de Rayleigh. Par contre la réémission de l'onde de Rayleigh a une contribution négligeable.

Les experiences en cours semblent confirmer ces résultats

---

caustique géometrique

. -

caustique distordue

.

Fig.4 (4)ce travail a était financlé par l a CEE (programme BRlTE)

REFERENCEÇ

/ 1 / H.L.BERTONI,C.W.HSUE,T.TAMlR~Nonspecular ref lection of convergent beams from liquid-solld interface. trait.sign, 2 (1985) 201

/2/ P.B.NAGY,K.CHO,L.ADLER,Focal shlft of convergent ultrasonic beams reflected f rom a iiquld-solid interface J.Acoust.Soc.Am. 8 1 (4)

April 1987

/3/ ~.ROUSSEAU,Ph.GATIGNOL,Etude asympto'tique d'un faisceau gaussien focalisé J Acoust 1 ( 1 988)