Existence et non-existence de solutions des équations différentielles fractionnaires

Département de Mathématiques

Thèse

pour obtenir le grade de

Docteur de l'université de Constantine Discipline : Mathématiques

présentée par

Kamel Haouam

en Septembre 2007 Titre

Existence et non-existence de solutions des

équations différentielles fractionnaires

Directeur de thèse Nacer-Eddine Hamri Co-Directeur de thèse François Hamel

JURY

M.   Professeur, Université 

M.   Professeur, Université 

M.   Professeur, Université 

M.   Professeur, Université 

M. François HAMEL Professeur, Université Paul Cézanne M. Nacer-Eddine HAMRI Professeur, Université de Constantine

Table des matières

Introduction iii

1 Intégrales et dérivées fractionnaires 1

1.1 Terminologie . . . 1

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov . . . 3

1.2.1 L'unication des dérivées et des intégrales fraction-naires d'ordre entier . . . 3

1.2.2 Intégrales d'ordre arbitraire . . . 9

1.2.3 Dérivées d'ordre arbitraire . . . 13

1.2.4 Dérivée fractionnaire de (t − a)ν _{. . . 17}

1.2.5 Composition avec les dérivées d'ordre entier . . . 18

1.2.6 Composition avec des dérivées fractionnaires . . . 20

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . 24

1.3.1 Unication des dérivées et intégrales d'ordre entier . . 25

1.3.2 Intégrales d'ordre arbitraire . . . 26

1.3.3 Dérivées d'ordre arbitraire . . . 29

1.3.4 La dérivée fractionnaire de (t − a)ν _{. . . 34}

1.3.5 Composition avec les dérivées d'ordre entier . . . 34

1.3.6 Composition avec les dérivées fractionnaires . . . 36

1.3.7 Lien avec l'approche de Grünwald-Letnikov . . . 37

1.4 Autres approches . . . 39

1.4.1 Dérivée fractionnaire de Caputo . . . 39

1.5 Dérivée fractionnaire séquentielle . . . 43

1.6 Dérivée fractionnaire à gauche et à droite . . . 46

1.7 Propriétés des dérivées fractionnaires . . . 47

1.7.1 Linéarité . . . 47

1.7.2 La règle de Leibniz pour les dérivées fractionnaires . . 48

1.7.3 Diérentiation fractionnaire de Riemann-Liouville d'une intégrale dépendant d'un paramètre . . . 54

1.7.4 Comportement au voisinage de la borne inférieure . . 55 1.8 Transformées de Laplace des dérivées fractionnaires . . . 57 1.8.1 Outils de base de la transformée de Laplace . . . 57 1.8.2 La transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire

de Riemann-Liouville . . . 58 1.8.3 La transformée de Laplace de la dérivée de Caputo . . 60 1.8.4 La transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire

de Grünwald-Letnikov . . . 61 1.8.5 La transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire

séquentielle de Miller-Ross . . . 62 1.9 Transformées de Fourier des dérivées fractionnaires . . . 64 1.9.1 Outils de base pour la transformée de Fourier . . . 64 1.9.2 Transformée de Fourier pour les intégrales fractionnaires 65 1.9.3 Transformée de Fourier des dérivées fractionnaires . . 66

2 Quelques résultats d'existence et d'unicité 67

2.1 Equation diérentielle fractionnaire linéaire . . . 67 2.2 Equation diérentielle fractionnaire de forme plus générale . . 70 3 Résultats de non-existence de solutions pour un système de

type (FDS) 75

3.1 Introduction . . . 75 3.2 Enoncés des résultats . . . 78 4 Système d'inégalités sur le groupe d'Heisenberg 85 4.1 Introduction . . . 85 4.2 Cas d'une seule inégalité . . . 89 4.3 Système de deux inégalités . . . 92 5 Interprétations et applications des dérivées fractionnaires 99 5.1 Interprétation graphique . . . 99 5.2 Interprétation des intégrales fractionnaires . . . 101 5.2.1 Intégrales fractionnaires à gauche de Riemann-Liouville 101 5.2.2 Intégrale fractionnaire à droite de Riemann-Liouville . 102 5.3 Applications en physique . . . 103

5.3.1 Identication des paramètres d'un modèle d'ordre frac-tionnaire . . . 107

Introduction

L

'objectif principal de cette thèse est l'étude de l'existence et de la non-existence de solutions de certaines équations diérentielles fractionnaires. Nous commençons par rappeler, dans le chapitre 1, la notion de dérivation et d'intégration fractionnaire au sens de Grünwald-Letnikov, de Riemann-Liouville, de Caputo et autres. Nous présentons dans ce dernier les propriétés relatives à celles-ci, leurs signications physiques et leurs applications.

Dans le deuxième chapitre, nous étudions l'existence et l'unicité de solu-tions de deux problèmes. Le premier est linéaire du type

     0Dαty(t) = f (t), (0 < t < T < ∞), h 0Dα−1t y(t) i t=0 = b. (1)

où f est une fonction donnée dans L1_{(0, T ). Le symbole}

0Dαt désigne la

dérivée (à droite) fractionnaire d'ordre (réel) α ∈ (0, 1), au sens de Riemann-Liouville dénie par

0Dαtψ(t) = 1 Γ(1 − α) d dt Z _t 0 ψ(τ ) (t − τ )αdτ, pour tout ψ ∈ L1_{(0, T ).}

On peut tout de suite remarquer que pour α = 1 (notons que0D1t ≡ dtd),

le problème (1) se réduit au problème de Cauchy classique    ˙y(t) = f (t), y(0) = b, (2)

dont la solution existe et est unique. Il est tout à fait naturel que notre problème (1), généralirisant le problème (2), va admettre une solution unique. Nous établissons donc et sans grande surprise le résultat suivant :

Théorème 1. Si f(t) ∈ L1_{(0, T ), alors le problème (2) admet une unique}

solution y(t) ∈ L1_{(0, T ).}

Quant au deuxième problème, il est d'une forme plus général (non-linéaire),

du type _     0Dαty(t) = f ¡ t, y(t)¢, h 0Dα−1t y(t) i t=0 = b. (3)

et admet, à son tour, une unique solution d'après le

Théorème 2. Soit f(t, y) une fonction continue à valeurs réelles, dénie dans un certain domaine G dans lequel elle satisfait la condition de Lipschitz par rapport à y, i.e., _¯ ¯f(t, y₁) − f (t, y₂)¯¯ 6 A|y₁− y₂|, et telle que ¯ ¯f(t, y)¯¯ 6 M < ∞ pour tout (t, y) ∈ G. Soit aussi K > M h Γ(1 + α).

Alors il existe, dans une région appropriée R(h, K), une unique solution continue y(t) du problème (3).

Dans le chapitre 3 et contrairement au précédent, on s'intéresse plutôt à la non-existence de solution d'un problème de type réaction-diusion suivant :

(FDS)      Dα 0|tu + ¡ −∆¢β2_{u =} ¯¯v¯¯p dans RN _{× R}+_, Dδ 0|tv + ¡ −∆¢γ2_{v =} ¯¯u¯¯q dans RN _{× R}+_, (4)

où N ≥ 1, p et q sont deux nombres réels positifs. Pour α ∈ (0, 1) (resp. δ ∈ (0, 1)), "Dα

0|t" (resp. "Dδ0|t") désigne cette

fois-ci la dérivée fractionnaire en temps d'ordre α (resp. δ) de Caputo :

Dα 0|tψ(t) = 1 Γ(1 − α) Z _t 0 ψ0_{(τ )} (t − τ )αdτ,

Introduction v

pour tout ψ0 _{∈ L}1_{(0, T ). Par contre, pour β ∈ [1, 2] (resp. γ ∈ [1, 2]),}

"¡−∆¢β2" (resp. "¡_−∆¢

γ

2") est réservé pour le laplacien fractionnaire, par rapport à x, d'ordre β₂ (resp. γ₂) lequel est déni par

¡ −∆¢β2_{v(x) = F}−1 ³ |ξ|βF (v)(ξ) ´ (x), où F désigne la transformée de Fourier et F−1 _{son inverse.}

Nous attribuons au système (FDS) les conditions initiales suivantes :

u(., 0) = u0 and v(., 0) = v0, (5)

et nous supposerons que les fonctions u0 et v0 sont toutes deux continues et

positives.

A ce propos, nous établissons des conditions nécéssaires d'existence locale et globale de solution de (4) et nous montrons que ces conditions dépendent du comportement des données initiales pour |x| assez grand. Plus précisé-ment, nous avons le premier théorème suivant :

Théorème 3. (Haouam, Sfaxi, IJMMS-2006) Soit (u, v) une solution faible locale (T < +∞) du problème (FDS). Alors, on a les estimations suivantes :

lim inf |x|→∞ u0(x) 6 C T −α+pδ_pq−1, et lim inf |x|→∞ v0(x) 6 C 0_T−δ+qα_pq−1,

où C et C0 _{sont des constantes positives.}

Notre deuxième principal résultat est énoncé dans le

Théorème 4. (Haouam, Sfaxi, IJMMS-2006) Supposons que le problème (FDS) admet une solution faible positive globale et non-triviale. Alors il existe deux constantes H et K telles que

lim inf |x|→∞ u0(x) ¯ ¯x¯¯α+pδpq−1 _{6 H,} lim inf |x|→∞ v0(x) ¯ ¯x¯¯δ+qαpq−1 _{6 K.}

Dans le chapitre 4, nous nous intéressons à des inégalités et à un système d'inégalités paraboliques posées dans le groupe d'Heisenberg (HN _{' R}2N +1₎

et nous étudions la non-existence de solutions de tels problèmes. En no-tant par ∆H l'opérateur Laplacien sur le groupe d'Heisenberg de dimension

Q = 2N + 1 _{(appelée la dimension homogène), nous considérons les deux}

problèmes suivants : Dα_0|tu − ∆H ¡ a u¢>¯¯u¯¯p, (6)    Dα_0|tu − ∆H ¡ a u¢>¯¯v¯¯p, Dδ_0|tv − ∆H ¡ b v¢>¯¯u¯¯q, (7)

posés dans HN _{× R}+_{, avec a, b ∈ L}∞_(HN _{× R}+_).

Pour l'inégalité (6), nous établissons le théorème suivant :

Théorème 5. (Haouam, Sfaxi, soumis au JDE-2006) Soit N ≥ 1 et p > 1. Si

1 < p < Qc:=

Q + 2

α + γ

Q + 2¡_α1 − 1¢ , (8)

alors il n'existe aucune solution faible globale autre que la solution triviale. Dans le cas de deux inégalités, nous avons le

Théorème 6. (Haouam, Sfaxi, soumis au JDE-2006) Supposons que

Q < Q?_e := max n Q1, Q2 o , où _                 Q₁ = α ³ 1 +_2qγ ´ +δ q ³ 1 +_2pβ ´ − ³ 1 − 1 pq ´ α 2q0 +_2pδ0_q , Q₂= δ ³ 1 +_2pβ ´ +α p ³ 1 +_2qγ ´ − ³ 1 − 1 pq ´ δ 2p0 +_2qα0_p . (9)

Alors, il n'existe aucune solution (u, v) faible globale non-triviale du système (7)_.

En prenant α = 1 dans (8) et α = δ = 1 dans (9), nous retrouvons les exposants critiques :            Qc= Q + 2 + γ Q et Q?_e= max ½ p(γ + 2) + (β + 2) pq − 1 , q(β + 2) + (γ + 2) pq − 1 ¾ ,

Introduction vii

obtenus par Pohozaev-Véron [40] et El Hamidi-Kirane [15] correspon-dant respectivement, à l'inégalité et au système d'inégalités paraboliques :

∂u ∂t − ∆H ¡ a u¢>¯¯u¯¯p,          ∂u ∂t − ∆H ¡ a u¢>¯¯v¯¯p, ∂v ∂t − ∆H ¡ b v¢>¯¯u¯¯q.

Le tout dernier chapitre est consacré à l'illustration de quelques applica-tions physiques et interprétaapplica-tions géomètriques de la notion de dérivation et d'intégration fractionnaires extraites de la littérature.

Chapitre 1

Intégrales et dérivées

fractionnaires

Dans ce chapitre, nous présentons diérentes approches de généralisation de la notion de diérentiation et intégration. Le choix étant réduit aux dénitions qui sont liées aux applications.

1.1 Terminologie

Les mathématiques sont l'art de donner des choses trompantes des noms. La belle et mystérieuse appellation (à première vue) "le calcul fractionnaire" est juste un de ces termes mal appropriés qui sont l'essence des mathéma-tiques.

Par exemple, nous connaissons de telles noms comme les nombres naturels et les nombres réels que nous utilisons très souvent; reéchissons un moment à ces noms. La notion d'un nombre naturel est une abstraction naturelle, mais est-ce que le nombre est lui même naturel ?

La notion d'un nombre réel est une généralisation de la notion d'un nombre naturel. Le mot réel accentu qu'on prétend à ce qu'il reète des quantités réelles. Les nombres réels reètent de vraies quantités, mais ceci ne peut changer le fait qu'elles n'existent pas. Tout est en ordre dans l'ana-lyse mathématique, et la notion d'un nombre réel la facilite, mais si on veut calculer quelque chose, on se rend compte immédiatement qu'il n'y a aucune place pour les nombres réels dans le vrai monde; de nos jours, des calculs sont exécutés la plupart du temps sur les calculateurs numériques, qui peuvent

fonctionner seulement avec les ensembles nis de fractions nies, qui servent à approcher d'irréels nombres réels.

Retournons à l'appellation "calcul fractionnaire". Il ne signie pas le calcul des fractions. Il ne signie pas non plus une fraction de n'importe quel calcul diérentiel, intégral ou calcul de variations. Le calcul fractionnaire est un nom pour la théorie d'intégrales et de dérivées d'ordre arbitraire, qui unient et généralisent les notions de diérentiation d'ordre entier et d'intégration répétées n-fois.

Considérons la suite innie d'intégrales et dérivées répétées n-fois :

. . . , Z _t a dτ2 Z _τ2 a f (τ1)dτ1, Z _t a f (τ1)dτ1, f (t), df (t)_dt , d 2_{f (t)} dt2 , . . .

La dérivée d'ordre α réel quelconque peut être considérée comme une interpolation de cette suite d'opérateurs; pour laquelle on utilisera la notation suggérée et utilisée par Davis [9], à savoir

aDαtf (t).

La courte appellation des dérivées d'ordre réel quelconque α est dérivées fractionnaires. Les indices a et t désignent les deux bornes liées à l'opé-ration de diérentiation fractionnaire; comme Ross [41] nous les appellerons les bornes de la diérentiation fractionnaire. La présence des bornes dans le symbole de la diérentiation partielle est essentielle. Ceci permet d'éviter des ambiguïtés dans les applications des dérivés fractionnaires aux problèmes réels.

Les mots intégrales fractionnaires signient, dans ce chapitre, inté-grales fractionnaires d'ordre arbitraire et correspondant aux valeurs néga-tives de α. Nous n'utiliserons pas une notation diérente pour les intégrales fractionnaires ; nous noterons l'intégrale fractionnaire d'ordre β > 0 par

aDt−βf (t).

Une équation diérentielle fractionnaire est une équation contenant des dérivées fractionnaires; une équation intégrale fractionnaire est une équation intégrale contenant des intégrales fractionnaires. Un système d'ordre frac-tionnaire est un système décrit par une équation diérentielle fracfrac-tionnaire ou une équation intégrale fractionnaire ou un système de telles équations.

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 3

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov

1.2.1 L'unication des dérivées et des intégrales fraction-naires d'ordre entier

Dans cette section nous décrivons une approche pour l'unication des deux notions, qui sont souvent présentées séparément dans l'analyse clas-sique : dérivée d'ordre entier n et intégrale répétée n-fois. Comme sera montré ci-dessous, ces notions sont proches l'une de l'autre que celles qu'on suppose habituellement.

Considérons une fonction continue y = f(t). Selon la dénition bien connue, la dérivée première de la fonction f(t) est dénie par

f0(t) = df (t)

dt = limh→0

f (t) − f (t − h)

h . (1.2.1)

L'application de cette dénition deux fois nous donne la dérivée seconde :

f00(t) = d 2_{f (t)} dt2 = lim_h→0 f0(t) − f0(t − h) h = lim h→0 1 h ½ f (t) − f (t − h) h − f (t − h) − f (t − 2h) h ¾ = lim h→0 f (t) − 2f (t − h) + f (t − 2h) h2 . (1.2.2)

En utilisant (1.2.1) et (1.2.2) nous obtenons

f000(t) = d3f (t)

dt3 = lim_h→0

f (t) − 3f (t − h) + 3f (t − 2h) − f (t − 3h)

h3 . (1.2.3)

et, par récurrence,

f(n)(t) = dnf (t) dtn = lim_h→0 1 hn n X r=0 (−1)r µ n r ¶ f (t − rh), _(1.2.4) où _µ n r ¶ = n(n − 1) · · · (n − r + 1) r! (1.2.5)

Considérons maintenant l'expression suivante généralisant les fractions (1.2.1)-(1.2.4) : f_h(p)(t) = 1 hp n X r=0 (−1)r µ p r ¶ f (t − rh), (1.2.6) où p est un entier arbitraire; n est aussi un entier, comme ci-dessus.

Evidemment, pour p 6 n on a lim h→0 f (p) h (t) = f(p)(t) = dp_{f (t)} dtp , (1.2.7)

car dans un tel cas, comme entraîné de (1.2.5), tous les coecients du nu-mérateur après µ p p ¶ sont nuls.

Considérons les valeurs négatives de p. Par commodité, on note · p r ¸ = p(p + 1) · · · (p + r − 1) r! . (1.2.8) On a alors µ −p r ¶ = −p(−p − 1) · · · (−p − r + 1) r! = (−1) r · p r ¸ , _(1.2.9)

et en remplaçant p dans (1.2.6) par −p on peut écrire

f_h(−p)(t) = 1 h−p n X k=0 · p r ¸ f (t − rh), (1.2.10)

où p est un nombre entier positif.

Si p est xé, alors f_h(−p)(t) tend vers une limite non-intéressante "0" quand h → 0. Pour arriver à une limite non nulle, on suppose que n → ∞ quand h → 0.

On peut prendre h = t−a

n , où a est une constante réelle, et on considère la

valeur limite, soit nie ou innie, de f_h(−p)(t), que l'on notera comme suit : lim

h → 0 nh = t − a

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 5

Considérons quelques cas particuliers. Pour p = 1 on a : f_h(−1)(t) = h n X r=0 f (t − rh). (1.2.12) En tenant compte de t−nh = a et que la fonction f(t) est supposée continue, on conclut que lim h→0f (−1) h (t) =aDt−1f (t) = Z _t−a 0 f (t − z)dz = Z _t a f (τ )dτ. (1.2.13) Prenons p = 2. Dans ce cas manifold

· 2 r ¸ = 2 · 3 · · · (2 + r − 1) r! = r + 1, et on a : f_h(−2)(t) = h n X r=0 (r + 1)h f (t − rh). _(1.2.14) En notant par t + h = y on peut écrire

f_h(−2)(t) = h

n+1

X

r=1

(rh)f (y − rh), _(1.2.15) et en faisant tendre h vers zéro, nous aurons

lim h→0f (−2) h (t) =aD−2t f (t) = Z _t−a 0 zf (t − z)dt = Z _t a (t − τ )f (τ )dτ, (1.2.16) car y → t quand h → 0.

Le troisième cas particulier, à savoir p = 3, nous verrons l'expression générale deaDt−p. En tenant compte de · 3 r ¸ = 3 · 4 · · · (3 + r − 1) r! = (r + 1)(r + 2) 1 · 2 , on a manifold f_h(−3)(t) = h 1 · 2 n X r=0 (r + 1)(r + 2)h2f (t − rh). _(1.2.17)

En notant, comme ci-dessus, par t + 2h = y, on écrit f_h(−3)(t) = h 1 · 2 n+1 X r=1 r(r + 1)h2f (y − rh). (1.2.18) L'expression (1.2.18) se réécrit comme

f_h(−3)(t) = h 1 · 2 n+1 X r=1 (rh)2f (y − rh) + h2 1 · 2 n+1 X r=1 rhf (y − rh). _(1.2.19)

Faisons tendre h vers zéro, nous obtenons

aDt−3f (t) = 1 2! Z _t−a 0 z2f (t − z)dz = Z _t a (t − τ )2f (τ )dτ, (1.2.20) car y → t et h → 0 et lim h→0 h2 1 · 2 n+1 X r=1 rhf (y − rh) = lim h→0h Z _t a (t − τ )f (τ )dτ = 0. Les relations (1.2.13)-(1.2.20) suggèrent l'expression générale suivante :

aDt−pf (t) = lim_h→0hp n X r=0 · p r ¸ f (t − rh) = 1 (p − 1)! Z _t a (t − τ )p−1f (τ )dτ. (1.2.21) Pour prouver la formule (1.2.21) par récurrence on a à montrer que si elle est vériée pour un certain p, alors elle est aussi vériée pour p + 1.

Introduisons la fonction

f1(t) =

Z _t

a

f (τ )dτ, (1.2.22) qui admet la propriété évidente f1(a) = 0, et considérons

aD−p−1t f (t) = lim_h→0hp+1 n X r=0 · p + 1 r ¸ f (t − rh) = lim h→0h p n X r=0 · p + 1 r ¸ f1(t − rh) − lim h→0h pXn r=0 · p + 1 r ¸ f₁¡t − (r + 1)h¢. _(1.2.23)

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 7

En utilisant (1.2.8), il est facile de vérier que · p + 1 r ¸ = · p r ¸ + · p + 1 r − 1 ¸ , (1.2.24)

où nous devons poser

·

p + 1 −1

¸ = 0.

La relation (1.2.24) appliquée à la première somme de (1.2.23) et le rempla-cement de r par r − 1 dans la seconde somme donnent :

aDt−p−1f (t) = lim_h→0hp n X r=0 · p r ¸ f1(t − rh) + lim h→0h p n X r=0 · p + 1 r − 1 ¸ f1(t − rh) − lim h→0h p n+1 X r=1 · p + 1 r − 1 ¸ f1(t − rh) = aDt−pf1(t) − lim h→0h p · p + 1 n ¸ f1 ¡ t − (n + 1)h¢

manif old = _aD_t−pf₁(t) − (t − a)p lim

n→∞ · p + 1 n ¸ 1 npf1 µ a − t − a n ¶ .

Il suit de la dénition (1.2.22) de la fonction f1(t)que

lim n→∞f1 µ a −t − a n ¶ = 0.

En tenant compte de la limite connue

lim n→∞ · p + 1 n ¸ 1 np = lim_n→∞ (p + 1)(p + 2) · · · (p + n) np_n! = 1 Γ(p + 1),

nous obtenons aD−p−1t f (t) = aDt−pf1(t) = _{(p − 1)!}1 Z _t a (t − τ )p−1f1(τ )dτ = · −(t − τ )pf1(τ ) p! ¸_{τ =t} τ =a + 1 p! Z _t a (t − τ )pf (τ )dτ = 1 p! Z _t a (t − τ )pf (τ )dτ, _(1.2.25)

ce qui termine la preuve par récurrence de la formule (1.2.21).

Montrons maintenant que la formule (1.2.21) est une représentation d'une intégrale répétée p-fois.

En intégrant la relation d dt ³ aDt−pf (t) ´ = 1 (p − 2)! Z _t a (t − τ )p−2f (τ )dτ =aD−p+1t f (t) de a à t nous obtenons aDt−pf (t) = Z _t a ³ aDt−p+1f (t) ´ dt, aD−p+1t f (t) = Z _t a ³ aDt−p+2f (t) ´ dt, etc . . . , et ainsi aDt−pf (t) = Z _t a dt Z _t a ³ aDt−p+2f (t) ´ dt = Z _t a dt Z _t a dt Z _t a ³ aD−p+3t f (t) ´ dt = Z _t a dt Z _t a dt . . . Z _t a | {z } n−fois f (t)dt. (1.2.26)

On voit que la dérivée d'ordre entier n (1.2.4) et l'intégrale répétée n-fois (1.2.21) d'une fonction continue f(t) sont des cas particuliers de l'expression générale aDptf (t) = lim_h→0 h−p n X r=0 (−1)r µ p r ¶ f (t − rh), _(1.2.27)

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 9

qui représente la dérivée d'ordre m si p = m et l'intégrale répétée m-fois si

p = −m.

Cette observation entraîne naturellement l'idée d'une généralisation des notions de diérentiation et d'int
gration en imposant à p, dans (1.2.27), d'être un nombre réel, ou même complexe, arbitraire. On se restreindra aux valeurs réelles de p.

1.2.2 Intégrales d'ordre arbitraire

Considérons le cas p < 0. En guise de courtoisie, remplaçons p par −p dans l'expression (1.2.27). Alors (1.2.27) prend la forme

aDt−pf (t) = lim_h→0hp n X r=0 · p r ¸ f (t − rh), (1.2.28)

où, comme ci-dessus, les valeurs de n et h sont reliées par nh = t − a. Pour pouver l'existence de la limite dans (1.2.28) et évaluer cette limite on a besoin du théorème suivant (A. V. Letnikov, [33]) :

Théorème 1.2.1 Prenons une suite ¡β_k¢_{k=1,2,... et supposons que}

lim k→∞βk= 1 (1.2.29) lim n→∞αn,k= 0 pour tout k, (1.2.30) lim n→∞ n X k=1 α_n,k= A _{pour tout k, (1.2.31)} n X k=1 ¯ ¯α_n,k¯_{¯ < K pour tout n. (1.2.32)} Alors lim n→∞ n X k=1 αn,kβk= A. (1.2.33)

Preuve. La condition (1.2.29) nous mène à poser

βk= 1 − σk, où lim

Il suit de la condition (1.2.30) que pour tout r xé lim n→∞ r−1 X k=1 αn,kβk= 0 (1.2.35) et lim n→∞ r−1 X k=1 α_n,k= 0. (1.2.36)

Utilisant par la suite (1.2.35), (1.2.34), (1.2.31) et (1.2.36) on aura

lim n→∞ n X k=1 α_n,kβ_k = lim n→∞ n X k=r α_n,kβ_k = lim n→∞ n X k=r α_n,k− lim n→∞ n X k=r α_n,kσ_k = lim n→∞ n X k=1 αn,k− lim n→∞ n X k=r αn,kσk = A − lim n→∞ n X k=r αn,kσk.

Maintenant, en utilisant (1.2.36) et (1.2.32), on peut établir l'estimation suivante : ¯ ¯ ¯ ¯ ¯A − limn→∞ n X k=r αn,kσk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < n→∞lim n X k=r ¯ ¯α_n,k¯¯ ·¯¯σ_k¯¯ < σ? _lim n→∞ n X k=r ¯ ¯αn,k ¯ ¯ = σ? _lim n→∞ n X k=1 ¯ ¯αn,k ¯ ¯ < σ?K où σ?_{= max} k>r |σk|.

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 11

Il suit de (1.2.34) que pour chaque petit ε > 0 arbitraire, il existe r tel que σ?_{< ε/K et, de plus,}

¯ ¯ ¯ ¯ ¯A − limn→∞ n X k=r α_n,kσ_k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯< ε,

et (1.2.33) est ainsi démontrée et le théorème est prouvé. ¥ Le théorème 1.2.1 a une conséquence simple, à savoir, si on prend

lim k→∞ βk= B, alors lim n→∞ n X k=1 αn,kβk = AB. (1.2.37)

En eet, en introduisant la suite ˜

β_k = βk

B, k→∞lim

˜

β_k = 1, on pourra appliquer le théorème 1.2.1 et obtenir

lim n→∞ n X k=1 αn,kβ˜k= lim_n→∞αn,kβ_Bk = A. D'où (1.2.37).

Pour appliquer le théorème 1.2.1 an d'évaluer la limite (1.2.28), on écrit

aD−pt f (t) = lim_h→0 hp n X r=0 · p r ¸ f (t − rh) = lim h→0 n X r=0 1 rp−1 · p r ¸ h(rh)p−1f (t − rh) = 1 Γ(p) h→0lim n X r=0 Γ(p) rp−1 · p r ¸ h(rh)p−1f (t − rh) = 1 Γ(p) n→∞lim n X r=0 Γ(p) rp−1 · p r ¸ t − a n µ rt − a n ¶_p−1 f µ t − rt − a n ¶

et on prend βr= Γ(p)_rp−1 · p r ¸ , αn,r = t − a n µ rt − a n ¶_p−1 f µ t − rt − a n ¶ . En utilisant l'identité Γ(z) = lim n→∞ n! nz z(z + 1) · · · (z + n), on aura lim r→∞ βr = limr→∞ Γ(p) rp−1 · p r ¸ = 1. (1.2.38)

Evidemment, si la fonction f(t) est continue sur l'intervalle fermé [a, t], alors lim n→∞ n X r=0 αn,r = lim n→∞ n X r=0 t − a n µ rt − a n ¶_p−1 f µ t − rt − a n ¶ = lim h→0 n X r=0 h(rh)p−1f (t − rh) = Z _t a (t − τ )p−1f (τ )dτ. _(1.2.39)

En tenant compte de (1.2.38) et (1.2.39) et en appliquant le théorème 1.2.1 on conclut que aD−pt f (t) = lim_h→0 hp n X r=0 · p r ¸ f (t−rh) = 1 Γ(p) Z _t a (t−τ )p−1f (τ )dτ. _(1.2.40)

Si la dérivée f0_{(t) est continue dans [a, b], alors en intégrant par parties}

on pourra écrire (1.2.40) sous la forme

aDt−pf (t) = f (a)(t − a)p Γ(p + 1) + 1 Γ(p + 1) Z _t a (t − τ )pf0(τ )dτ, (1.2.41) et si la fonction f(t) est de classe Cm+1_{, alors}

aD−pt f (t) = m X k=0 f(k)_{(a)(t − a)}p+k Γ(p + k + 1) + 1 Γ(p + k + 1) Z _t a (t−τ )p+mf(m+1)(τ )dτ, (1.2.42) La formule (1.2.42) nous motive immédiatement à étudier asymptotique-mentaD−pt f (t) en t = a.

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 13

1.2.3 Dérivées d'ordre arbitraire

Commençons par considérer le cas p > 0. Notre but, comme ci-dessus, est d'évaluer la limite

aDptf (t) = lim_h→0 h−p n X r=0 (−1)r µ p r ¶ f (t − rh) = lim h→0f (p) h (t) (1.2.43) où f_h(p)(t) = h−p n X r=0 (−1)r µ p r ¶ f (t − rh). (1.2.44) An de calculer la limite (1.2.43), commençons par transformer tout d'abord l'expression de fh(p)(t)comme suit.

En utilisant la propriété connue des coecients du biôme µ p r ¶ = µ p − 1 r ¶ + µ p − 1 r − 1 ¶ (1.2.45) on peut écrire f_h(p)(t) = h−p n X r=0 (−1)r µ p − 1 r ¶ f (t − rh) + h−p n X r=1 (−1)r µ p − 1 r − 1 ¶ f (t − rh) = h−p n X r=0 (−1)r µ p − 1 r ¶ f (t − rh) + h−p n−1 X r=0 (−1)r+1 µ p − 1 r ¶ f¡t − (r + 1)h¢ = (−1)n µ p − 1 n ¶ h−pf (a) + h−p n−1 X r=0 (−1)r µ p − 1 r ¶ ∆(t − rh), _(1.2.46) où nous notons par

En appliquant la propriété (1.2.45) des coecients du binôme répétée

m-fois, on obtient en partant de (1.2.46) :

f_h(p)(t) = (−1)n µ p − 1 r ¶ h−pf (a) + (−1)n−1 µ p − 2 n − 1 ¶ h−p∆f (a + h) + h−p n−2_X r=0 (−1)r µ p − 2 r ¶ ∆2f (t − rh) = (−1)n µ p − 1 r ¶ h−pf (a) + (−1)n−1 µ p − 2 n − 1 ¶ h−p∆f (a + h) +(−1)n−2 µ p − 3 n − 3 ¶ h−p∆2f (a + 2h) + h−p n−3_X r=0 (−1)r µ p − 3 r ¶ ∆3f (t − rh) (1.2.47) = . . . = m X k=0 (−1)n−k µ p − k − 1 n − k ¶ h−p∆kf (a + kh) + h−p n−m−1_X r=0 (−1)r µ p − m − 1 r ¶ ∆m+1f (t − rh). (1.2.48) Calculons la limite du k-ième terme de la première somme de (1.2.48) :

lim h→0(−1) n−k µ p − k − 1 n − k ¶ h−p∆kf (a + kh) = lim h→0(−1) n−k µ p − k − 1 n − k ¶ (n − k)p−k × µ n n − k ¶_p−k (nh)−p+k∆kf (a + kh) hk

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 15 = (t − a)−p+k lim n→∞(−1) n−k µ p − k − 1 n − k ¶ (n − k)p−k × lim n→∞ µ n n − k ¶_p−k × lim n→∞ ∆kf (a + kh) hk = f(k)(t − a)−p+k Γ(−p + k + 1), (1.2.49) car en utilisant (1.2.7) on a lim n→∞ (−1) n−k µ p − k − 1 n − k ¶ (n − k)p−k = lim n→∞ (−p + k + 1)(−p + k + 2) · · · (−p + n) (n − k)−p+k_{(n − k)!} = 1 Γ(−p + k + 1) et lim n→∞ µ n n − k ¶_p−k = 1, lim h→0 ∆k_{f (a + kh)} hk = f(k)(a).

Connaissant la limite (1.2.49) on peut facilement écrire la limite de la première somme de (1.2.48).

Pour calculer la limite de la seconde somme dans (1.2.48), écrivons la sous la forme : 1 Γ(−p + m + 1) n−m−1_X r=0 (−1)rΓ(−p + m + 1) µ p − m − 1 r ¶ r−m+p ×h(rh)m−p∆ m+1_{f (t − rh)} hm+1 . (1.2.50)

Pour appliquer le théorème 1.2.1 on prend

βr = (−1)rΓ(−p + m + 1) µ p − m − 1 r ¶ r−m+p, α_n,r = h(rh)m−p∆m+1f (t − rh) hm+1 , h = t − a n .

En s'aidant toujours de l'identité Γ(z) = lim

n→∞

n! nz

z(z + 1) · · · (z + n),

on peut vérier que lim r→∞βr = limr→∞(−1) r_{Γ(−p + m + 1)} µ p − m − 1 r ¶ r−m+p = 1. _(1.2.51) En résumé, si m − p > −1, alors lim n→∞ n−m−1_X r=0 αn,r = lim h→0 n−m−1_X r=0 h(rh)m−p∆ m+1_{f (t − rh)} hm+1 = Z _t a (t − τ )m−pf(m+1)(τ )dτ. (1.2.52) En tenant compte de (1.2.51) et (1.2.52) et en appliquant le théorème 1.2.1, on conclut que lim h→0 h −p n−m−1_X r=0 (−1)r µ p − m − 1 r ¶ ∆m+1f (t − rh) = 1 Γ(−p + m + 1) Z _t a (t − τ )m−pf(m+1)(τ )dτ. _(1.2.53) Utilisant (1.2.49) et (1.2.53), on obtient nallement la limite (1.2.43) :

aDtpf (t) = _h→∞lim fh(p)(t) = m X k=0 f(k)_{(a)(t − a)}−p+k Γ(−p + k + 1) + 1 Γ(−p + m + 1) Z _t a (t − τ )m−pf(m+1)(τ )dτ._(1.2.54) La formule (1.2.54) est obtenue sous l'hypothèse que les dérivées f(k)_(t),

(k = 1, 2, . . . , m + 1) sont continues dans l'intervalle fermé [a, t] et que m est un nombre entier vériant la condition m > p − 1. La plus petite valeur possible de m est déterminée par l'inégalité :

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 17

1.2.4 Dérivée fractionnaire de (t − a)ν

Calculons la dérivée fractionnaireaDptf (t)au sens de Grünwald-Lutnikov

de la fonction polynôme

f (t) = (t − a)ν,

où ν est un nombre réel.

On va commencer par considérer des valeurs négatives de p, ce qui veut dire qu'on va commencer par évaluer l'int
grale fractionnaire d'ordre −p. Utilisons la formule (1.2.40) : aDpt(t − a)ν = 1 Γ(−p) Z _t a (t − τ )−p−1(τ − a)νdτ, (1.2.55) et supposons ν > −1 pour la convergence de l'intégrale. En appliquant, dans (1.2.55), le changement de variable r = a+ξ(t−a) et en utilisant la dénition de la fonction béta B(z, w) := Z ₁ 0 τz−1(1 − τ )w−1dτ, (<e(z) > 0, <e(w) > 0), on obtient : aDtp(t − a)ν = 1 Γ(−p)(t − a) ν−p Z ₁ 0 ξν(1 − ξ)−p−1dξ = 1 Γ(−p)B(−p, ν + 1)(t − a) ν−p = Γ(ν + 1) Γ(ν − p + 1)(t − a) ν−p_{, (p < 0, ν > −1).(1.2.56)}

Considérons maintenant le cas 0 6 m 6 p < m + 1. An d'appliquer la formule (1.2.54), on a besoin d'imposer ν > m pour la convergence de l'intégrale de (1.2.54). On a alors aDtp(t − a)ν = 1 Γ(−p + m + 1) Z _t a (t − τ )m−pdm+1(τ − a)ν dτm+1 dτ. (1.2.57) En tenant compte de dm+1_{(τ − a)}ν dτm+1 = ν(ν − 1) · · · (ν − m)(τ − a)ν−m+1 = Γ(ν + 1) ν − m (τ − a) ν−m−1_.

et en faisant le changement de variable τ = a + ξ(t − a), on aura : aDpt(t − a)ν = Γ(ν + 1) Γ(ν − m)Γ(−p + m + 1) Z _t a (t − τ )m−p(τ − a)ν−m−1dτ = Γ(ν + 1)B(−p + m + 1, ν − m) Γ(ν − m)Γ(−p + m + 1) (t − a) ν−p = Γ(ν + 1) Γ(−p + ν + 1)(t − a) ν−p_{. (1.2.58)}

Notons que l'expression (1.2.58) est formellement identique à l'expres-sion (1.2.56), on peut alors conclure que la dérivée fractionnaire au sens de Grünwald-Lutnikov de la fonction polynôme f(t) = (t − a)ν _{est donnée par}

la formule aDpt(t − a)ν = Γ(ν + 1) Γ(−p + ν + 1)(t − a) ν−p_{, (1.2.59)} (p < 0, ν > −1) ou bien (0 6 m 6 p < m + 1, ν > m).

On reviendra à la formule (1.2.59) pour la déirvée fractionnaire, au sens de Grünwald-Letnikov, de la fonction polynôme plutard, quand on considère certaines autres approches de diérentiation fractionnaire. La formule sera la même, mais les conditions pour son application seront diérentes.

D'un point de vue théorique, la classe de fonctions pour laquelle la déni-ton de la dérivée fractionnaire au sens de Grünwald-Letnikov est considérée est dénie (fonctions (m+1)-fois continûment diérentiables) est très réduite. Cependant, dans de nombreux problèmes décrivant des processus physiques continus, chimiques et autres on travaille avec de telles fonctions régulières. 1.2.5 Composition avec les dérivées d'ordre entier

Notons que nous avons une seule restriction pour m dans la formule (1.2.54), à savoir la condition m > p − 1, écrivons s à la place de m et réécrivons (1.2.54) comme aDptf (t) = s X k=0 f(k)(a)(t − a)−p+k Γ(−p + k + 1) + 1 Γ(−p + s + 1) Z _t a (t − τ )s−pf(s+1)(τ )dτ. _(1.2.60) Dans ce qui suit on suppose que m < p < m + 1.

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 19

Calculons la dérivée d'ordre entier n de la dérivée fractionnaire d'ordre réel p de la forme (1.2.60), où on prend s > m + n − 1. Le résultat est :

dn dtn(aD p tf (t)) = s X k=0 f(k)_{(a)(t − a)}−p−n+k Γ(−p − n + k + 1) + 1 Γ(−p − n + s + 1) Z _t a (t − τ )s−p−nf(s+1)(τ )dτ (1.2.61) = aDp+nt f (t). (1.2.62)

Comme s > m + n − 1 est arbitraire, prenons s = m + n − 1. Ceci donne

dn dtn(aD p tf (t)) = aDtp+nf (t) = m+n−1_X k=0 f(k)(a)(t − a)−p−n+k Γ(−p − n + k + 1) + 1 Γ(m − p) Z _t a (t − τ )m−p−1f(m+n)(τ )dτ (1.2.63)

Considérons maintenant l'ordre inverse des opérations et calculons la dérivée fractionnaire d'ordre p d'une dérivée d'ordre entier dn_dtf (t)n .

En utilisant la formule (1.2.60), nous obtenons :

aDtp µ dn_{f (t)} dtn ¶ = s X k=0 f(n+k)_{(a)(t − a)}−p+k Γ(−p + k + 1) + 1 Γ(−p + s + 1) Z _t a (t − τ )s−pf(n+s+1)(τ )dτ. (1.2.64)

En posant ici s = m − 1, on obtient : aDtp µ dn_{f (t)} dtn ¶ = m−1_X k=0 f(n+k)_{(a)(t − a)}−p+k Γ(−p + k + 1) + 1 Γ(m − p) Z _t a (t − τ )m−p−1f(m+n)(τ )dτ, (1.2.65) et en comparant (1.2.63) et (1.2.65) on arrive à la conclusion que

dn dtn(aD p tf (t)) = aDpt µ dnf (t) dtn ¶ + n−1 X k=0 f(k)(a)(t − a)−p−n+k Γ(−p − n + k + 1) . (1.2.66)

La relation (1.2.66) veut dire que les opérations dn

dtn etaDtp commutent, c.à.d., que dn dtn(aD p tf (t)) = aDtp µ dn_{f (t)} dtn ¶ = _aDp+n_t f (t), _(1.2.67)

seulement si, en la borne inférieure t = a de la diérentiation fractionnaire on a

f(k)(a) = 0, (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1). (1.2.68) 1.2.6 Composition avec des dérivées fractionnaires

Considérons maintenant la dérivée fractionnaire d'ordre q d'une dérivée fractionnaire d'ordre p : aDqt ³ aDptf (t) ´ .

Deux cas seront considérés séparémment : p < 0 et p > 0. Le premier cas veut dire que, dépendant du signe de q, la diérentiation d'ordre q > 0 ou l'intégration d'ordre −q > 0 est appliquée à l'intégrale fractionnaire d'ordre

−p > 0. Dans le second cas, l'objet de l'opération extérieure est la dérivée fractionnaire d'ordre p > 0.

Dans les deux cas, on obtiendra une propriété analogue à celle de dié-rentiation d'odre entier connue :

dn dtn µ dm_{f (t)} dtm ¶ = dm dtm µ dn_{f (t)} dtn ¶ = dm+nf (t) dtm+n .

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 21

Cas p < 0

Prenons d'abord q < 0. Alors on a :

aDtq ³ aDtpf (t) ´ = 1 Γ(−q) Z _t a (t − τ )−q−1 ³ aDptf (τ ) ´ dτ = 1 Γ(−q)Γ(−p) Z _t a (t − τ )−q−1dτ Z _τ a (τ − ξ)−q−1f (ξ)dξ = 1 Γ(−q)Γ(−p) Z _t a f (ξ)dξ Z _t ξ (t − τ )−q−1(τ − ξ)−p−1dτ = 1 Γ(−p − q) Z _t a (t − ξ)−p−q−1f (ξ)dξ = aDp+qt f (t), (1.2.69) où l'intégrale Z _t ξ (t − τ )−q−1(τ − ξ)−p−1dτ = (t − ξ)−p−q−1 Z ₁ 0 (1 − z)−q−1z−p−1dz = Γ(−q)Γ(−p) Γ(−p − q) (t − ξ) −p−q−1

est obtenue à l'aide du changement de variable τ = ξ + z(t − ξ) et de la dénition de la fonction bêta.

Supposons maintenant que 0 < n < q < n + 1. En remarquant que

q = (n + 1) + (q − n − 1), où q −n−1 < 0, et en utilisant les formules (1.2.62) et (1.2.69) on obtient : aDtq ³ aDtpf (t) ´ = dn+1 dtn+1 n aDtq−n−1(aDtpf (t)) o = d n+1 dtn+1 n aDtp+q−n−1f (t) o = _aDp+q_t f (t). _(1.2.70)

En combinant (1.2.69) et (1.2.70) on conclut que si p < 0, alors pour tout réel q aDqt ³ aDptf (t) ´ = aDp+qt f (t). Cas p > 0

Supposons que 0 6 m < p < m + 1. Alors, d'après la formule (1.2.54), on a aDtpf (t) = _h→∞lim fh(p)(t) = m X k=0 f(k)_{(a)(t − a)}−p+k Γ(−p + k + 1) + 1 Γ(−p + m + 1) Z _t a (t − τ )m−pf(m+1)(τ )dτ. (1.2.71) Prenons q < 0 et calculons aDqt ³ aDptf (t) ´ .

En examinant le membre de droite de (1.2.71) on voit que les fonctions (t − a)−p+k _{ont des singularités non-intégrables pour k = 0, 1, . . . , m − 1. De}

plus, la dérivée d'ordre réel q deaDptf (t) existe seulement si

f(k)(a) = 0, (k = 1, 2, . . . , m − 1). (1.2.72) L'intégrale du membre de droite de (1.2.71) est égale à aDtp−m−qf (t)

(l'intégrale fractionnaire d'ordre −p + m + 1 de la fonction f(t)). Ainsi, sous les conditions (1.2.72) la représentation (1.2.71) de la dérivée p-ième de f(t) prend la forme suivante :

aDptf (t) =

f(m)(a)(t − a)−p+m Γ(−p + m + 1) +aD

p−m−1

t f(m+1)(t). (1.2.73)

1.2 Les dérivées fractionnaires de Grünwald-Letnikov 23

l'intégrale d'ordre −q > 0) de la dérivée d'odre p donnée par (1.2.73) :

aDqt ³ aDtpf (t) ´ = f(m)(a)(t − a)−p−q+m Γ(−p − q + m + 1) + 1 Γ(−p − q + m + 1) Z _t a f(m+1)_{(τ )} (t − τ )p+q−mdτ, (1.2.74) car aDtq ³ aDtp−m+qf(m+1)(t) ´ = aDp+q−m−1t f(m+1)(t) = 1 Γ(−p − q + m + 1) Z _t a f(m+1)_{(τ )} (t − τ )p+q−mdτ.

En tenant compte des conditions (1.2.72) et de la formule (1.2.71) on arrive à aDtq ³ aDptf (t) ´ = aDp+qt f (t). (1.2.75)

Prenons maintenant 0 6 n < q < n + 1. En supposant que f(t) satisfait les conditions (1.2.72) et en tenant compte du fait que q − n − 1 < 0, la formule (1.2.75) peut ainsi être utilisée et nous obtenons :

aDtq ³ aDtpf (t) ´ = dn+1 dtn+1 n aDtq−n−1(aDtpf (t)) o = dn+1 dtn+1 n aDtp+1−n−1f (t) o = aDp+qt f (t). (1.2.76)

qui est la même que (1.2.75).

Ainsi, on conclut que si p < 0, alors la relation (1.2.75) a lieu pour tout réel arbitraire q; si 0 6 m < p < m + 1, alors la relation (1.2.75) a lieu aussi pour tout réel arbitraire q, si la fonction f(t) satisfait les conditions (1.2.72). De plus, si 0 6 m < p < m + 1 et 0 6 n < q < n + 1 et la fonction f(t) vérie les conditions

f(k)(a) = 0, (k = 1, 2, . . . , r − 1), _(1.2.77) où r = max(n, m), alors les opérateurs de diérentiation fractionnaire aDpt

etaDtq commutent : aDqt ³ aDptf (t) ´ =aDtp ³ aDqtf (t) ´ =aDtp+qf (t). (1.2.78)

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

La manipulation avec les dérivée fractionnaire au sens de Grüwald-Letnikov dénie comme limite d'une diérence d'odre fracionnaire n'est pas commode. L'expression (1.2.54) obtenue est bien meilleure grâce à la présence de l'in-tégrale dedans; mais que faire du terme non-intégral ? La réponse est simple et élégante : Considérer l'expression (1.2.54) comme un cas particulier de l'expression intégro-diérentielle aDptf (t) = 1 Γ(−p + m + 1) µ d dt ¶_m+1Z _t a (t − τ )m−pf (τ )dτ, (1.3.1) (m 6 p < m + 1).

L'expression (1.3.1) est la dénition la plus connue de la dérivée fractionnaire; elle est souvent appelée la dénition de Riemann-Liouville.

Evidemment, l'expression (1.2.54), laquelle est obtenue pour la dérivée fractionnaire de Grüwald-Letnikov sous l'hypothèse que la fonction f(t) doit être m + 1-fois continûment diérentiable, peut être obtenue à partir de (1.3.1) sous la même hypothèse en faisant des intégrations par parties et diérentiations répétées. Ceci donne

aDptf (t) = 1 Γ(−p + m + 1) µ d dt ¶_m+1Z _t a (t − τ )m−pf (τ )dτ = m X k=0 f(k)_{(a)(t − a)}−p+k Γ(−p + k + 1) + 1 Γ(−p + m + 1) Z _t a (t − τ )m−pf(m+1)(τ )dτ = _aD_tpf (t), (m 6 p < m + 1). _(1.3.2) De plus, si on considère une classe de fonctions f(t) admettant (m+1) dé-rivées continues pour t > 0, alors la dénition (1.2.43) de Grünwald-Letnikov (ou bien, qu'est-ce qu'il y a en commun dans ce cas, sa forme intégrale (1.2.54)) est équivalente à la dénition (1.3.1) de Riemann-Liouville.

Du point de vue purement mathématique, une telle classe de fonctions est réduite; cependant, cette classe de fonctions est très importante pour les ap-plications, car le caractère de la majorité des processus dynamique est assez

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 25

régulier et ne présente pas des discontinuités. En comprenenant ce fait qui est important pour la propre utilisation des méthodes de calculs des dérivées fractionnaires dans les applications, spécialement à cause du fait que la dé-nition (1.3.1) de Riemann-Liouville donne une excellente opportunité pour aaiblir les conditions sur la fonction f(t). A savoir, il sut de demander l'intégrabilité de la fonction f(t); alors l'intégrale (1.3.1) existe pour t > a et peut être diérentiée (m + 1)-fois. Les conditions faibles sur la fonction

f (t) dans (1.3.1) sont nécessaires, par exemple, pour obtenir la solution de l'équation intégrale d'Abel.

Voyons comment la dénition (1.3.1) de Riemann-Liouville apparaît comme le résultat d'unication des notions d'int
gration et diérentiation d'ordre en-tier.

1.3.1 Unication des dérivées et intégrales d'ordre entier Supposons que la fonction f(τ) est continue et intégrable sur tout in-tervalle ni (a, t); la fonction f(t) pourrait avoir une singularité intégrable d'ordre r < 1 en le point τ = a : lim τ →a (τ − a) r_{f (t) = const (6= 0).} Alors l'intégrale f(−1)(t) = Z _t a f (τ )dτ _(1.3.3)

existe et admet une valeur nie, à savoir 0, quand t → a. En eet, en faisant le changement de variables τ = a+y(t−a) et en posant ε = t−a, on obtient

lim t→a f (−1)_{(t) = lim} t→a Z _t a f (τ )dτ = lim t→a(t − a) Z ₁ 0 f¡a + y(t − a)¢dy = lim ε→0 ε 1−r Z ₁ 0 (εy)rf (a + yε)y−rdy = 0, (1.3.4) car r < 1. De plus, on peut considérer la double intégrale

f(−2)(t) = Z _t a dτ1 Z _τ1 a f (τ )dτ = Z _t a f (τ )dτ Z _t τ dτ1 = Z _t a (t − τ )f (τ )dτ. (1.3.5)

L'intégration de (1.3.5) donne l'intégrale triple de f(τ) : f(−3)(t) = Z _t a dτ1 Z _τ1 a dτ2 Z _τ2 a f (τ3)dτ3 = Z _t a dτ1 Z _τ1 a (τ1− τ )f (τ )dτ = 1 2 Z _t a (t − τ )2f (τ )dτ, _(1.3.6)

et par récurrence dans le cas général , on a la formule de Cauchy

f(−n)(t) = 1 Γ(n)

Z _t

a

(t − τ )n−1f (τ )dτ. _(1.3.7)

Supposons maintenant que n > 1 est xé et prenons un entier k > 0. Evidemment, on obtiendra f(−k−n)(t) = 1 Γ(n)D −k Z _t a (t − τ )n−1f (τ )dτ, _(1.3.8)

où le symbole D−k _{(k > 0) désigne k intégrations itérées.}

D'autre part, pour un n > 1 et un entier k > n, la (k − n)-ième dérivée de la fonction f(t) peut sécrire comme

f(k−n)(t) = 1 Γ(n)D k Z _t a (t − τ )n−1f (τ )dτ, (1.3.9) où le symbole Dk _{(k > 0) désigne k diérentiations itérées.}

On voit que les formules (1.3.8) et (1.3.9) peuvent être considérées comme des cas particuliers l'une de l'autre, à savoir, dans laquelle n (n > 1) est xé et le symbole Dk_{signie k int
grations si k 6 0 et k diérentiations si k > 0.}

Si k = n − 1, n − 2, . . . , alors la formule (1.3.9) donne les intégrales itérées de

f (t); pour k = n elle donne la fonction f(t), pour k = n + 1, n + 2, n + 3, . . . elle donne les dérivées d'ordre k − n = 1, 2, 3, . . . de la fonction f(t). 1.3.2 Intégrales d'ordre arbitraire

Pour étendre la notion n-uple intégration aux valeurs non-entières n, on peut démarrer de la formule de Cauchy (1.3.7) et remplacer l'entier n par un réel p > 0 : aD−pt f (t) = 1 Γ(p) Z _t a (t − τ )p−1f (τ )dτ. _(1.3.10)

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 27

Dans (1.3.7) l'entier n doit satisfaire la condition n > 1; la condition correspondante pour p est faible : pour l'existence de l'intégrale (1.3.10) on doit avoir p > 0.

De plus, sous certaines hypothèses raisonnables lim

p→0 aD −p

t f (t) = f (t), (1.3.11)

et on peut alors poser

aD0tf (t) = f (t). (1.3.12)

La preuve de la relation (1.3.11) est très simple si f(t) admet des déri-vées continues pour t > 0. Dans un tel cas, une intégration par parties et l'utilisation de la formule classique

Γ(z + 1) = zΓ(z) donne aD−pt f (t) = (t − a)pf (a) Γ(p + 1) + 1 Γ(p + 1) Z _t a (t − τ )pf0(τ )dτ, et nous obtenons lim p→0 aD −p t f (t) = f (a) + Z _t a f0(τ )dτ = f (a) +¡f (t) − f (a)¢= f (t). Si f(t) est seulement continue pour t > a, alors la preuve de (1.3.11) est "relativement" longue. Dans un tel cas, écrivons aD−pt f (t) sous la forme :

aD−pt f (t) = 1 Γ(p) Z _t a (t − τ )p−1¡f (τ ) − f (t)¢dτ + f (t) Γ(p) Z _t a (t − τ )p−1dτ = 1 Γ(p) Z _t−δ a (t − τ )p−1¡f (τ ) − f (t)¢dτ (1.3.13) + 1 Γ(p) Z _t t−δ (t − τ )p−1¡f (τ ) − f (t)¢dτ _(1.3.14) +f (t)(t − a)p Γ(p + 1) . (1.3.15)

Considérons l'intégrale (1.3.14). Comme f(t) est continue, pour tout δ > 0_{, il existe alors ε > 0 tel que}

¯

Et donc on a l'estimation suivante sur l'intégrale (1.3.14) : |I2| < _Γ(p)ε Z _t t−δ (t − τ )p−1dτ < εδ p Γ(p + 1), (1.3.16) et en tenant compte du fait que ε → 0 quand δ → 0, nous obtenons que pour pour tout p > 0

lim

δ→0 |I2| = 0. (1.3.17)

Prenons maintenant un ε > 0 arbitraire et choisissons δ tel que

|I2| < ε (1.3.18)

pour tout p > 0. Pour ce δ xé, nous obtenons l'estimation suivante sur l'intégrale (1.3.13) : |I1| 6 M Γ(p) Z _t−δ a (t − τ )p−1dτ 6 M Γ(p + 1) ³ δp− (t − a)p ´ , _(1.3.19)

de laquelle il suit, pour tout δ > 0 xé, lim δ→0 |I1| = 0. (1.3.20) En considérant ¯ ¯ ¯aD−pa f (t) − f (t) ¯ ¯ ¯ 6 |I1| + |I2| + |f (t)| · ¯ ¯ ¯ ¯(t − a) p Γ(p + 1) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯

et en tenant compte des limites (1.3.17) et (1.3.20) et l'estimation (1.3.18) nous obtenons lim sup p→0 ¯ ¯ ¯aD−pa f (t) − f (t) ¯ ¯ ¯ 6 ε, où ε peut être choisi assez petit que l'on désire. Ainsi,

lim sup p→0 ¯ ¯ ¯aD−pa f (t) − f (t) ¯ ¯ ¯ = 0, et (1.3.11) a lieu si f(t) est continue pour t > a.

Si f(t) est continue pour t > a, alors l'intégration d'ordre réel arbitraire dénie par (1.3.10) possède la propriété importante suivante :

aD−pt

³

aD−qt f (t)

´

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 29

En eet, nous avons

aD−pt ³ aD−qt f (t) ´ = 1 Γ(q) Z _t a (t − τ )q−1aD−pτ f (τ )dτ = 1 Γ(p)Γ(q) Z _t a (t − τ )q−1dτ Z _τ a (τ − ξ)p−1f (ξ)dξ = 1 Γ(p)Γ(q) Z _t a f (ξ)dξ Z _t ξ (t − τ )q−1(τ − ξ)p−1dτ = 1 Γ(p + q) Z _t a (t − ξ)p+q−1f (ξ)dξ = _aD−p−q_t f (t).

(Pour calculer l'intégrale de ξ à t, nous avons utilisé le changement de variable

τ = ξ + ζ(t − ξ), ce qui nous permet de l'exprimer en termes de la fonction béta.

Evidemment, on peut interchanger p et q, nous avons alors

aD−pt ³ aD−qt f (t) ´ = aD−qt ³ aD−pt f (t) ´ = aD−p−qt f (t). (1.3.22)

Notons que la règle (1.3.22) est similaire à la propriété connue sur les dérivées d'ordre entier :

dm dtm µ dn_{f (t)} dtn ¶ = d n dtn µ dm_{f (t)} dtm ¶ = d m+n_{f (t)} dtm+n . (1.3.23)

1.3.3 Dérivées d'ordre arbitraire

La représentation (1.3.9) pour la dérivée d'odre entier k − n donne une opportunité pour étendre la notion de diérentiation à un ordre non-entier. A savoir, on peut garder l'entier k et remplacer l'entier n par un réel α et alors k − α > 0. Ceci donne

aDk−αt f (t) = 1 Γ(α) dk dtk Z _t a (t − τ )α−1f (τ )dτ, (0 < α 6 1), (1.3.24) où la seule restriction importante pour α est "α > 0", laquelle est nécessaire pour la convergence de l'intégrale dans (1.3.24). Cette restriction, cependant, peut être, sans perte de généralité, remplacée par la condition plus réduite

"0 < α 6 1"; ceci peut être facilement vu à l'aide de la propriété (1.3.22) des intégrales d'ordre réel arbitraire et la dénition (1.3.24).

En notant par p = k − α, on peut écrire (1.3.24) comme

aDptf (t) = 1 Γ(k − p) dk dtk Z _t a (t − τ )k−p−1f (τ )dτ, (k − 1 6 p < k) (1.3.25) ou bien aDptf (t) = dk dtk ³ aD−(k−p)t f (t) ´ , (k − 1 6 p < k). (1.3.26) Si p = k − 1, alors nous avons une dérivée conventionnelle d'ordre k − 1 :

aDk−1t f (t) = dk dtk ³ aD−(k−(k−1))t f (t) ´ = dk dtk ³ aD−1t f (t) ´ = f(k−1)(t). De plus, en utilisant (1.3.12) on voit que pour p = k > 1 et t > a

aDptf (t) = dk dtk ³ aD0tf (t) ´ = dkf (t) dtk = f(k)(t), (1.3.27)

qui signie que pour tout t > a, la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville (1.3.25) d'ordre p = k > 1 conïncide avec la dérivée conventionnelle d'odre k.

Considérons maintenant quelques propriétés des dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville.

La première propriété, et peut être la plus importante, de la dérivée au sens de Riemann-Liouville est que pour p > 0 et t > a

aDpt

³

aD−pt f (t)

´

= f (t), (1.3.28)

qui signie que l'opérateur de diérentiation fractionnaire au sens de Riemann-Liouville est un inverse gauche de l'opérateur d'intégration fractionnaire au sens de Riemann-Liouville du même ordre.

An de prouver la propriété (1.3.28), considérons le cas d'un entier p = n > 1_:

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 31 aDnt ³ aD−nt f (t) ´ = dn dtn Z _t a (t − τ )n−1f (τ )dτ = d dt Z _t a f (τ )dτ = f (t).

Prenons maintenant k − 1 6 p < k et utilisons la règle de composition pour l'intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville. Il vient

aD−kt f (t) =aD−(k−p)t ³ aD−pt f (t) ´ , _(1.3.29) et donc, aDpt ³ aD−pt f (t) ´ = dk dtk n aD−(k−p)t ³ aD−pt f (t) ´o = dk dtk n aD−pt f (t) o = f (t), ce qui achève la preuve de la propriété (1.3.28).

Comme la diérentiation et l'intégration conventionnelle d'odre entier, la diérentiation et l'intégration fractionnaires ne commutent pas.

Si la dérivée fractionnaire aDptf (t), (k − 1 6 p < k), d'une fonction f(t)

est intégrable, alors

aD−pt ³ aDptf (t) ´ = f (t) − k X j=1 h aDp−jt f (t) i t=a (t − a)p−j Γ(p − j + 1). (1.3.30) En eet, d'une part nous avons

aD−pt ³ aDptf (t) ´ = 1 Γ(p) Z _t a (t − τ )p−1aDpτf (τ )dτ = d dt ½ 1 Γ(p + 1) Z _t a (t − τ )paDpτf (τ )dτ ¾ .(1.3.31) D'autre part, en faisant des intégrations par parties répétées et en utili-sant (1.3.22) nous obtenons

1 Γ(p + 1)

Z _t

a

= 1 Γ(p + 1) Z _t a (t − τ )p dk dτk n aD−(k−p)τ f (τ ) o dτ = 1 Γ(p − k + 1) Z _t a (t − τ )p−k n aD−(k−p)τ f (τ )dτ o − k X j=1 · dk−j dtk−j ³ aD−(k−p)t f (t) ´¸ t=a (t − a)p−j+1 Γ(2 + p − j) = 1 Γ(p − k + 1) Z _t a (t − τ )p−k n aD−(k−p)τ f (τ )dτ o − k X j=1 h aDp−jt f (t) i t=a (t − a)p−j+1 Γ(2 + p − j) (1.3.32) = aD−(p−k+1)t ³ aD−(k−p)t f (t) ´ − k X j=1 h aDp−jt f (t) i t=a (t − a)p−j+1 Γ(2 + p − j) = aD−1t f (t) − k X j=1 h aDp−jt f (t) i t=a (t − a)p−j+1 Γ(2 + p − j). (1.3.33) L'existence de tous les termes de (1.3.32) vient de l'intégrabilité deaDptf (t),

car en vertu de cette condition les dérivées fractionnaires aDp−jt f (t), (j =

1, 2, . . . , k), sont toutes bornées en t = a.

La combinaison de (1.3.31) et (1.3.32) achève la preuve de la relation (1.3.30). Un cas particulier important doit être mentionné. Si 0 < p < 1, alors

aD−pt ³ aDptf (t) ´ = f (t) − h aDp−1t f (t) i t=a (t − a)p−1 Γ(p) . (1.3.34) La propriété (1.3.28) est un cas particulier de la propriété générale

aDpt

³

aD−qt f (t)

´

=aDp−qt f (t), (1.3.35)

où nous supposons que f(t) est continue et que si p > q > 0, la dérivée

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 33

Deux cas doivent être considérés : q > p > 0 et p > q > 0.

Si q > p > 0 alors, en utilisant les propriétés (1.3.22) et (1.3.28) nous obtenons aDpt ³ aD−qt f (t) ´ = _aDp_t ³ aD−pt aD−(q−p)t f (t) ´ = aD−(q−p)t f (t) =aDp−qt f (t).

Considérons maintenant le cas p > q > 0. Notons par m et n des entiers tels que 0 6 m−1 6 p < m et 0 6 n 6 p−q < n. Evidemment, n 6 m. Alors, en utilisant la dénition (1.3.25) et la propriété (1.3.22), nous obtenons

aDpt ³ aD−qt f (t) ´ = dm dtm n aD−(m−p)t ³ aD−qt f (t) ´o = dm dtm n aDp−q−mt f (t) o = dn dtn n aDp−q−nt f (t) o =aDp−qt f (t).

La propriété (1.3.30) mentionnée ci-dessus est un cas particulier de la propriété plus générale

aD−pt ³ aDqtf (t) ´ =_aDq−p_t f (t) − k X j=1 h aDq−jt f (t) i t=a (t − a)p−j Γ(1 + p − j), (1.3.36) (0 6 k − 1 6 q < k).

An de prouver la formule (1.3.36), on utilise d'abord la propriété (1.3.22) (si q 6 p) ou bien la propriété (1.3.35) (si q > p) et donc la propriété (1.3.30). Ceci donne : aD−pt ³ aDqtf (t) ´ = aDq−pt n aD−qt ³ aDqtf (t) ´o = aDq−pt n f (t) − k X j=1 h aDq−jt f (t) i t=a (t − a)q−j Γ(p − j + 1) o = aDq−pt f (t) − k X j=1 h aDq−jt f (t) i t=a (t − a)p−j Γ(1 + p − j),