Universit´e Claude Bernard–Lyon I CAPES de Math´ematiques : Oral Ann´ee 2006–2007
Equations de droite
On se place dans un plan affine muni d’un rep`ere. “On notera (x, y) les coordonn´ees d’un point courant”, ce qui ne veut pas dire grand chose stricto sensu, mais qu’on peut interpr´eter ainsi :
´etant donn´e une fonction f : R2 → R, on dira qu’une partie D a pour ´equation f (x, y) = 0 si, pour M un point du plan de coordonn´ees (x, y), les conditions M ∈ D et f (x, y) = 0 sont
´equivalentes.
1◦ Condition de concourance de trois droites
Proposition Etant donn´e a, b, . . . , c′′ ∈ R, avec (a, b), (a′, b′), (a′′, b′′) 6= (0, 0), on consid`ere les droites D, D′, D′′ d’´equations respectives
ax+ by + c = 0 a′x+ b′y+ c′ = 0 a′′x+ b′′y+ c′′= 0.
Il est ´equivalent de dire :
(i) deux des droites sont ´egales, ou bien les trois droites sont concourantes, ou bien les trois droites sont parall`eles deux `a deux ;
(ii) det
a b c
a′ b′ c′ a′′ b′′ c′′
= 0.
Remarques : La condition (ii) s’´ecrit aussi (d´eveloppement par rapport `a la derni`ere colonne) : c(a′b′′− a′′b′) + c′(a′′b− ab′′) + c′′(ab′− a′b) = 0,
ou encore (d´eveloppement par rapport `a la derni`ere ligne) :
a′′(bc′− cb′) + b′′(ca′− ac′) + c′′(ab′− ba′) = 0.
Int´erˆets d’´ecrire la condition (ii) sous forme de d´eterminant : c’est plus facile `a se la rappeler ; et aussi, on voit bien que les trois droites jouent le mˆeme rˆole, ce qui n’´etait pas clair quand le d´eterminant est d´evelopp´e `a moiti´e.
Int´erˆet de la premi`ere forme d´evelopp´ee : elle fait apparaˆıtre comme coefficients les d´eterminants des vecteurs directeurs de deux des droites : c’est g´eom´etriquement plus significatif que l’autre forme.
D´emonstration. Si deux des droites sont ´egales, leurs ´equations sont proportionnelles et le d´eterminant est nul. On suppose d´esormais que ce n’est pas le cas.
• Premier cas : D et D′ sont parall`eles, i.e. ab′ − ba′ = 0 (la colin´earit´e des vecteurs directeurs se lit sur leur d´eterminant). Alors, quitte `a multiplier l’´equation de D′ par une constante convenable, on peut supposer que a′ = a et b′ = b. On a alors, puisque D 6= D′ : c6= c′. Mais alors, la condition (ii) s’´ecrit :
c(ab′′− a′′b) + c′(a′′b− ab′′) = 0, ou encore : (c − c′)(ab′′− a′′b) = 0.
Ainsi, la condition (ii) ´equivaut `a ab′′− a′′b= 0, ce qui ´equivaut au fait que D′′ est parall`ele `a D(et D′).
• Deuxi`eme cas : D et D′ ne sont pas parall`eles, i.e. ab′− ba′6= 0. Alors les coordonn´ees de leur intersection sont
bc′− cb′
ab′− ba′,ca′− ac′ ab′− ba′
.
En reportant dans l’´equation de D′′ et en chassant le d´enominateur, on constate que ce point appartient `a D′′ (i.e. les droites sont concourantes) si, et seulement si la condition (ii) est remplie.
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2◦ Interpr´etation du d´eterminant a) Un point dans l’espace
Notre plan R2 n’est pas adapt´e aux intersections de droites, car il faut distinguer droites parall`eles ou pas, ce qui est d´esagr´eable. On plonge dans R3, et on consid`ere que notre plan favori est le plan P0 d’´equation
z= 1.
Noter qu’un point du plan z = 1 est parfaitement d´etermin´e par la droite vectorielle qui la contient. Si on consid`ere une droite vectorielle contenue dans le plan z = 0, elle d´efinit une direction vectorielle dans notre plan, et, si on veut, un point `a l’infini de ce plan.
b) Une droite dans l’espace intersid´eral
Une droite D d’´equation ax + by + c = 0 n’est autre que l’intersection des plans P et P0
d’´equations respectives
ax+ by + cz = 0 z= 1.
z= 0 z= 1
P
D
c) Position relative de deux droites
A pr´esent, interpr´etons la position relative des deux premi`eres droites D et D′ de la proposition, en termes des plans P et P′. Les deux droites sont distinctes SSI leurs ´equations ne sont pas proportionnelles SSI les deux plans sont distincts. Supposons que c’est le cas. On s’int´eresse donc au syst`eme
ax+ by + cz = 0 a′x+ b′y+ c′z= 0 z= 1.
L’int´erˆet, c’est que l’intersection de deux plans vectoriels P et P′ est toujours une droite ∆. Il y a deux cas :
• soit la droite ∆ est contenue dans le plan z = 0, ce qui arrive SSI ab′− a′b= 0 SSI D et D′ sont parall`eles : on peut dire que le point d’intersection de D et D′ est “`a l’infini” ;
• soit la droite ∆ coupe le plan z = 1 en un point, qui d´efinit l’intersection de D et D′.
z= 0 z= 1
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d) Position relative de trois droites
Enfin, consid´erons les trois droites D, D′ et D′′ de la proposition, on doit intersecter
• les trois plans vectoriels P , P′, P′′ d’´equations respectives
(S)
ax+ by + cz = 0 a′x+ b′y+ c′z= 0 a′′x+ b′′y+ c′′z= 0,
• et le plan d’´equation z = 1.
On discute selon le rang du syst`eme, en supposant les trois plans distincts :
• Premier cas : (S) est un syst`eme de rang 1. C’est exclu par l’hypoth`ese, car cela signifie que les trois ´equations sont proportionnelles, donc les trois plans sont ´egaux, donc les trois droites sont ´egales.
• Deuxi`eme cas : (S) est un syst`eme de rang 2. Cela signifie que le d´eterminant est nul, et que l’intersection des trois plans (l’espace des solutions de (S)) est de dimension 3 − 2 = 1 (nb d’inconnues − rang du syst`eme). C’est une droite ∆, on a deux sous-cas :
− si ∆ est contenue dans le plan z = 0, les trois droites sont parall`eles ;
− sinon, ∆ coupe le plan z = 1, et les trois droites sont concourantes.
• Troisi`eme cas : (S) est un syst`eme de rang 3. Cela signifie que le d´eterminant n’est pas nul : le syst`eme est de Cramer, le seul point commun aux trois plans est l’orgine (de l’espace).
En d’autres termes, les trois droites n’ont pas de point commun.
e) Morale
En ajoutant la variable z, on a transform´e un probl`eme affine en un probl`eme lin´eaire, et on est tr`es content, car r´esoudre des syst`emes lin´eaires homog`enes, c’est facile !
De plus, on voit maintenant bien pourquoi le d´eterminant apparaˆıt, alors qu’on avait l’impression que c jouait un rˆole diff´erent de a et b.
3◦ Deuxi`eme interpr´etation de la relation A pr´esent, on constate que l’expression
a′′(bc′− cb′) + b′′(ca′− ac′) + c′′(ab′− ba′)
ressemble `a un produit scalaire. Plus pr´ecis´ement, c’est le produit scalaire du vecteur v′′ de coordonn´ees (a′′, b′′, c′′) et d’un autre vecteur. Cet autre vecteur, form´e de d´eterminants 2 × 2, ne ressemble-t-il pas diaboliquement ¸c un produit vectoriel ?
De fait, munissons l’espace du produit scalaire et de l’orientation qui font de notre rep`ere un rep`ere orthonorm´e direct. Soit v′′ le vecteur de coordonn´ees (a′′, b′′, c′′), v de coordonn´ees (a, b, c) et v′ de coordonn´ees (a′, b′, c′). On a :
a′′(bc′ − cb′) + b′′(ca′− ac′) + c′′(ab′− ba′) = hv′′, v∧ v′i,
Or, le plan P d’´equation ax + by + cz = 0 n’est autre que l’orthogonal de la droite engendr´ee par v. Un vecteur dans l’intersection P ∩ P′∩ P′′, c’est un vecteur orthogonal `a v, v′ et v′′. Or, pour peu que v et v′ ne soient pas colin´eaires (i.e. P 6= P′), les vecteurs orthogonaux `a v et v′ sont exactements les vecteurs colin´eaires au produit vectoriel v ∧ v′. Et donc, pour qu’ils soient aussi orthogonaux `a v′′, il est n´ecessaire et suffisant que hv′′, v∧ v′i = 0.
Ainsi, sous r´eserve que les droites de d´epart soient distinctes, la condition (ii) est ´equivalente au fait que P , P′, P′′ contienne un vecteur non nul, et donc au fait que D, D′, D′′ soient concourantes ou parall`eles.
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