Sur l'expression mathématique des courbes de Bragg pour les particules α des corps radioactifs naturels

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Sur l’expression mathématique des courbes de Bragg

pour les particules α des corps radioactifs naturels

Marcus Francis

To cite this version:

SUR L’EXPRESSION

_{MATHÉMATIQUE}

DES COURBES DE BRAGG POUR LES PARTICULES 03B1

DES CORPS RADIOACTIFS NATURELS

Par MARCUS FRANCIS. Institut du Radium.

Sommaire. - Les _{courbes d’ionisation des rayons} 03B1, qui ne peuvent pas être déterminées

expérimen-talement, peuvent être déduites des courbes d’autres substances déjà étudiées. Il n’est pas possible

d’ex-primer ces courbes dans toute leur étendue par des expressions mathématiques simples, mais, en divisant les courbes en deux parties, on _{peut représenter chaque partie séparément par} une _expression assez _simple avec une concordance satisfaisante. La courbe de Bragg de l’uranium a été utilisée pour démontrer la méthode.

i. Notation. - En introduisaut

une

_expression

pour la

première

fois nous

_suivrons,

_{autant que}

pos-sible,

la notation de l’auteur

_qui

l’a _{formulée le}

pre-mier.

_Après

substitution des valeurs

_numériques

dans les

_équations,

nous

_écrivons,

_après

Flamm

_{(1) cp (r)}

_pour

le

_pouvoir

_{ionisant par} cm du _pour l’ionisation totale

_produite

dans les derniers r cm du

trajet

de la

_particule

a.

r = _parcours

_restant,

c’est-à-dire distance

qui

reste à la

_particule

à traverser

avant d’atteindre _{la fin du parcours}

extrapolé.

~x = distance

_déjà

_parcourue

_(~°

= R -

_x).

a,

a’, b, l, k

= constantes

multiplicatives

dans les

équations

de

_{Capron, de Bragg}

et de

Geiger.

(b

(r)

= ionisation totale d’une

particule x

en

_

fonction de r.

di ... .

2013,

m (7°)

=

_pouvoir

ionisant d’une

_{particule a}

_en

dr

fonction de r.

2. Introduction. - L’ionisation

_produite

par une

particule ex

en traversant la matière est

_exprimée

géné-ralement par une

courbe,

dite courbe de

_{Bragg, qui}

donne la densité d’ionisation trouvée

expérimenta-lement en différents

_points

de la

_trajectoire

_{de la} par-ticule en fonction de la distance à la source. Les courbes

pour les

particules x

émises par les corps radioactifs naturels sont

_identiques

dans leur

_partie

la

_plus

éloi-gnée

de la source, mais elles diffèrent les unes des autres par la

longueur

de la

_trajectoire.

Cette

_longueur

peut

être _{utilisée pour caractériser les rayons} a d’un

corps radioactif naturel déterminé

(2).

Elle est nommée

« _parcours » de la

_{particule a}

_{pour la matière} en

ques-tion et elle est

_{désignée généralement}

par le sym-bole l~.

Puisque

le parcours d’un

_rayonnement

donné

_dépend

de la nature de _{la matière traversée par les}

_particules,

il est

_plus

_{commode de définir les parcours des}

parti-cules x émises par les divers corps radioactifs naturels

pour une même substance traversée. L’air sous les

con-ditions normales de

_températurc

et de

_pression

a été

(1) L. FLAMM. _Phys. Z. _{(1913), 14, p. 819-.}

V) H. BRAGcet Phil. déc. 1904.

choisi comme étalon. Dans ce

_qui

suit la

_température

de 15°C sera

_prise

comme normale.

Par suite de difficultés

_{expérimentales}

il _{n’est pas}

possible

de déterminer par

l’expérience

les courbes de

Bragg

pour toutes les

_particules

a connues. La dernière

partie

de _{la courbe étant presque}

_identique

_{pour les}

trajectoires

de tous _{les rayons a,} nous _{pouvons utilisera}

la courbe d’ionisation d’une substance bien étudiée pour construire des courbes pour des

particules

de parcours

plus

faible. Il sulfit de retrancher de la pre-mière

_partie

de la courbe une distance

_égale

à la

diffé-rence entre les _{deux parcours. Dans le}

_graphique

de la

figure

1 est

_{représentée}

la courbe de

_Bragg

_{pour le}

polonium

déterminée par I. Curie

(1),

à

_partir

de

_laquelle

nous _pouvons

_construire,

_par

_exemple,

les courbes pour

le

_{protactinium,}

_l’uranium,

etc. Pour des

_particules

de parcours

plus long

on

_peut

utiliser la courbe de

_Bragg

du

_RaC’,

_qui

a été

_également

bien étudiée

_(2).

La détermination

_précise

de la distance à la sources

pour

laquelle

tout effet ionisant des rayons x

disparaît

présente

elle aussi certaines difficultés. Elle

_dépend

de la méthode

_adoptée

et de la sensibilité des instruments

employés

dans les mesures. Afin d éviter les incerti--tudes dues à ces causes on

_emploie

très souvent une

longueur plus

facile à déterminer avec

_précision,

le

parcours

extrapolé.

Cette

longueur

est obtenue en

pro-longeant

la

_partie

_rectiligne

de la courbe d’ionisation

jusqu’à

ce

_qu’elle

_{coupe l’axe des abscisses}

₍₃₎

_(RE

en

fig.

i).

En raison de la chute

_rapide

de la courbe en.

cette

_région

_{le parcours}

_extrapolé

est relativement facile à

_préciser.

En

_agissant

ainsi on

_néglige

inten-tionnellement une certaine

quantité

_{d’ionisation,}

mais

l’erreur introduite dans le calcul de l’ionisation totale

est tout à fait

_{insignifiante}

_{sauf pour les deux derniers} millimètres du parcours.

On a

_proposé

diverses

_expressions

_{mathématiques,}

afin

_d’exprimer

l’allure des courbes d’ionisation

expé--rimentales. Pour les parcours assez

_longs

on

_peut

arri-ver à avoir une _{concordance à peu}

_{près satisfaisante,}

mais pour les rayons de parcours

plus

faibles la diver-gence entre les données calculées et les mesures

expé--(1) 1. CupiE. Ar2n. de _phys., 10e _{année, (i9?), 3,} p. 299. (2) G. II HEDEpsoN. Plu/. Piag. (192i).42, p. ,»9. 1 CURIE et H. UÉBQUVEIi. Journ. de _l’htp. 7, p, 125 I. CuRiE et F. Jonoi. (’3s, C. R. 187. No 1, p. 43.

(3) G. H. HEXDERSON. Gofy rit.

109

rimentales devient

_appréciable

dans la

_plupart

des cas

proposés (voir

Îig.

’1).

Nous allons considérer de

_plus

près

quelques expressions

bien connues en les

appli-quant

au cas d’un

_rayonnement

a de faible parcours,

notamment aux _{rayons x émis} par l’uranium.

3. Base des calculs.-Comme

base des calculs nous _{prenons la}

courbe de

_Bragg

pour la

particule

oc du

_{polonium, d’après}

les don-nés de I. Curie

_(’).

L’ionisation totale dans l’air à 760 mm de

_Hg

et à est de

~,49 X

10e

_paires

d’ions

_1’).

En

_intégrant

graphi-quement

la courbe entre 0 et

RE

d’un

_côté,

et entre

_O2

et

RE

de l’autre

_(fig.

_1),

nous calculons

pour l’ionisation totale d’une par-ticule a _{d’un parcours de 3.00} cm

la valeur moyenne de

UI-2, 73

cm et

UII=3,28

cm

₍₂₎

le nombre de

~,~3

i8~ X

_105paires

d’ions.C’estcette valeur que

nous prenons comme _{base pour les}

calculs suivants.

4.

_Expressions

mathéma-tiques.

1°

_{L’équation}

de

_Bragg.

-L’équation

proposée

originale-ment par

Bragg

(3)

pour

repré-senter l’ionisation totale d’une

particule

a est :

où i = l’ionisation

produite

dans

les derniers r cm de la

_trajectoire

de la

_particule.

1 = une constante

_{indépendante}

de 1~.

Par différentiation nous obtenons le

_pouvoir

ioni-sant _{par unité de}

_longueur

à

_{n’importe quel}

_point

de

la

_trajectoire.

Introduisant les valeurs

_numériques

dans

l’équa-tion

_(t)

nous _{pouvons écrire :}

1

pour la

particule

« de

l’uranium,

où

9

(r)

== le

pouvoir

ionisant par centimètre du

par-cours

m

_(r)

= l’ionisation totale

produite

avant la fin de sa

trajectoire

par une

_{particule a}

_{de parcours} restant r.

Les écarts entre les valeurs calculées

_d’après

les for-mules

₍₂₎

et

₍₃₎

et les valeurs obtenues en utilisant la

(1) 1. CURIE. I,oc. cit.

(2) Constante., radioactives a1mises en 1930. J.

_phys.

Sér. VII.

(i~3I), t. 2, p. ?73.

(3) H. BRAGG. _{Pfiil. 3Iag. (i906),il, p. ï54.}

courbe

_{expérimentale}

de I. Curie _{pour le}

_polonium,

que nous

_appellerons

dans la suite cc valeurs

expéri-mentales ~~, sont

représentés

par les courbes 1 des

gra-phiques

3 et 4. La

_comparaison

a été faite pour

_chaque

millimètre du parcours.

Fig. 1. - Co2crbe _en trails pleins. - La courbe de

Bragg relative au _{polonium, d’après} les donnPes de 1 Curie.

_(loc.

cit.). - 0 R =

parcours des rayons a. du polonium dans l’air à 760 mm

et 15o C. - ORE =

parcours extrapolé relatif au _{polonium. -} ORc - parcours concordant relatif au _{polonium. - 01,02} = origines _{pour les courbes de Bragg} relatives au _protactinium

et à l’uranium respectivement.

Courbes en _{po2ntülé. -1.} Courbe construite d’après l’équation de Bragg (éq. (2) dans le _texte).

- Il. Courbe construite

d’après l’équation de Geiger (éq. (6) dans le _texte), en utilisant le parcours extrapolé. - III. Courbe construite

d’aprts l’équation de Glockler et _Heisig (éq. (8)

dans le texte), en utilisant le parcours concordant. - Echelle des abscisses en cm. - Echelle des ordonnées en valeurs relatives à la valeur au maximum de l’ionisation.

En faisant des

_{interpolations}

il faut tenir

_compte

du fait que la courbe tracée est en vérité la fonction

_log

(1 +

1 el)

où

1

e

1

représente

la valeur absolue de l’écart. Les valeurs de

_{log (1}

_{-~- j}

sont associées

avec les

_signes

des écarts

_{correspondants.}

Cet

expé-dient nous

_permet

d’utiliser un

_papier

à échelle

loga-rithmique

afin de

_comprimer

les courbes dans la

région

des valeurs élevées des

écarts,

tout en

conser-vant la

_possibilité

_{de passer des valeurs}

_négatives

aux

valeurs

_positives

de l’écart en

_passant

_{par la valeur}

zéro. Il faut considérer les valeurs

_négatives

de l’échelle des ordonnées dans les

_figures

3 et 4 comme

étant

_produites

par réflexion des valeurs

positives

par

rapport

à l’axe des abscisses.

20

_{L’équation}

de

_Geiger.

- Bien que

l’équation

de

Bragg

s’accorde mieux avec les résultats

expérimen-taux, elle a été

_{généralement}

abandonnée en faveur de

l’équation

de

_Geiger.

Celle-ci est basée sur le fait

expérimental,

observé par

Geiger (’),

que le parcours

est

_{proportionnel}

à la troisième

_puissance

de la vitesse de la

_particule

a. Si nous _{admettons que le nombre de}

paires

d’ions

_produites

_{par unité de}

_longueur

de la

tra-jectoire

est

_{proportionnel à}

la

_perte

_d’énergie

ciné-tique,

nous obtenons :

d’où

ou R _{est le parcours et} x la distance

_déjà

_parcourue

par la

particule

a.

En introduisant les valeurs

_numériques

nous

obte-nons :

Les écarts entre les valeurs calculées en utilisant les

équations (6)

et

_(7),

et les valeurs

_{expérimentales}

sont donnés par les courbes II des

graphiques (3)

et

_(4).

La courbe en traits

_{pleins représente}

les écarts

_qui

résultent

_quand

on se sert _{du parcours}

_extrapolé

dans

l’équation

de

_Geiger;

la courbe en

_pointillé

a été

obte-nue en utilisant le parcours moyen, ce

_qui

rend

néces-saire une

_légère

modification dans les valeurs des

constantes. La _{différence entre les deux parcours est} de

_0,4

mm _{pour les rayons} a de l’uranium

_(1).

C’est le

parcours moyen

qui

a été utilisé pour calculer

₍₂₎

les

pouvoirs

ionisants totaux

_qu’on

trouve dans les tables de constantes dans la littérature.

3°

_{L’équation}

de Glockler et

_Heisig.

- Afin

d’obte-nir une meilleure concordance entre les valeurs calcu-lées et

_{expérimentales,}

ces auteurs introduisent la

notion _{de parcours concordant}

_(3).

En

_prenant

la courbe de

_Bragg

relative à RaG’’ déterminée par Ilenderson comme

_point

de

_départ,

ils construisent les courbes de Rn et de RaA. Ils constatent alors que, afin d’obtenir une bonne

concor-dance entre les courbes de

_Bragg

et celles de

_Geiger

pour ces trois corps, il faut raccourcir les trois parcours cle la même

quantités

et introduire dans

l’équation

de

_Geiger

les valeurs de R _{différentes pour}

chaque

substance. Glockler et

_{tieisig appellent}

ces par-cours raccourcis concordants et trouvent

_0,49

cm _pour

la

différence,

constante _{pour la même famille}

radioac-tive,

entre _{le parcours concordant et}

_extrapolé.

En

jti-lisant

la courba de

_Bragg

relative au

RaC’,

comme

elle a été déterminée par 1. Curic

_(~),

et en

_prenant

comme _{contrôle la courbe pour le Po déterminée par}

cet

auteur,

Colmant

₍₅₎

trouve une valeur notablement

(1) Cf. GEORGES MAXO. _{Thèses, Paris,} i933.

(2) H. FONOYITS-SMEREKER. U’ietiei- Rer. _(1922), 131, p. 355.

(2) G. GLocKLER et G. B. HEISIG../. _phys. chem. _{(1932), 36, p. -,69.}

(4) I. CURIE. J _{phys. (19 2 6),} 7, p. 125.

(5) S. J. CaLNAXT. Bull. Chirn.

_Belge

(i932), 41, p. &6i.

plus petite

0,29

cm, pour la différence entre les deux parcours. Suivant

l’exemple

de Colmant nous

raccour-cissons le parcours

extrapolé

de l’uranium de

0,30

cm

en chiffres ronds. Les

équations

deviennent :

Les courbes III des

_{graphiques (3)}

et

_{(4~ reproduisent}

les écarts entre les valeurs calculées et

_{expérimentales.}

4°

_{L’équation}

de

_{Capron. -}

Dans

_{l’impossibilité}

où

on se trouve

_d’exprimer

totite l’étendue de la courbe de

_Bragg

par une fonction

_simple

du

parcours,’

Capron

(1)

la divise en deux

parties.

Pour la

_portion

comprise

entre le maximum d’ionisation et la fin du parcours

extrapolé

Capron

propose une

_équation

de la

forme :

et _pour la

_{portion comprise}

entre

_l’origine

et le

maxi-mum _{il propose} d’écrire :

De même _que

_Capron

l’a fait _{pour le} RaC’ nous divi-sons _{la courbe pour} l’uranium en deux

_{parties ;}

l’une

s’étend de la fin du parcours

jusqu’à

un

_point

un _peu au delà du maximum

_{(fig. 2),}

l’autre

_comprend

le reste de la courbe. Pour la

_{première partie}

nous trouvions

qu’il

est nécessaire d’introduire un terme en r3 afin de. bien

_exprimer

l’allure de la courbe dans la

_région

du maximum.

_{L’équation}

_que nous avons

_adoptée

est

d’où,

en

_intégrant,

Les nombres calculés sont

_indiqués

_{par les}

_points

sur la courbe IV de la

_figure

_2,

et les écarts entre les. valeurs calculées et

_{expérimentales}

_par les courbes IV des

_graphiques

3 et 4.

Pour

_exprimer

l’autre

_partie

de la courbe il est

pos-sible de trouver de nombreuses

_expressions

_qui

repré-sentent les valeurs

_{expérimentales}

avec une

concor-dance satisfaisante. Nous nous limitons à trois

exem-ples :

-1 4

111

Par

analogie

on

_peut

dé-signei

respectivement

ces

équations :

a)

forme de

_Bragg

₍₁₄₎

et

(15).

b)

forme de

_{Geiger ~r6) ;}

et

_(17).

1

c)

forme de

_{Capron (18)}

et

_(19).

bien que dans ce dernier cas

nous _ayons

_l’exposant

-0,4 (ou 0.6)

au lieu de - 0,4038 (ou o,5~c~~, Les

courbes

calculées à

partir

de ces

_équations

sont

représentées

dans

_lafigure2,

et les écarts entre les valeurs calculées et

_{expérimentalps}

dans les

_figures

3 et 4

(cour-bes

_V,

VI et

_VII).

5.

_{Discussion .-D’après}

les courbes I et Il des

gra-phiques

3 et 4 il est évident que pour l’uranium, ni l’é- i

quation

de

_Bragg

dans sa

forme

_primitive

ni celle de

Geiger

ne sont

_capables

de

représenter

avec exactitude les

résultats expérimentaux,

si ce n’est dans une

_région

assez restreinte de la

trajec-toire. Des deux

_équations,

celle de

_Bragg

concorde le mieux avec les faits

Pxpéri-mentaux,

bien

_qu’elle

ne

tienne pas

compte

de la rela-tion observée par

Geigcr

entreleparcours

et la vitesse

initiale des

_particules

a. En

particulier,

l’équation

de

Bragg

reproduit

l’ionisation totale avec une erreur

inférieure à 2 pour iOO pour les

premiers

deux centi-mètres de la

_trajectoire,

alors que celle de

Geiger

ne

donne avec la mème

_précision

_{que les}

_premiers

six millimètres du parcours

4,

courbes I et

Il).

De même dans le cas du

_pouvoir

ionisant,

avec

_{l’équation}

de

_{Bragg la}

concordance est nettement

_supérieure

pour

les

_{premiers 2,5}

_cm, soit 83

_{pour 100}

du _parcours. L’étude des derniers 5 mm du parcours rend

éga-lement

_{l’équation}

de

_Bragg

_supérieure

dans son

appli-cation à

_{l’expérience (fig.}

_3,

courbes 1 et

_II).

La _{modification introduite par} Glockler et

_Heisig

dans

_{l’équation}

de

_Geiger

améliore considérablement la

représentation

des faits

_{expérimentaux.}

L’ionisation

totale et le

_pouvoir

ionisant sont

_{représentés}

avec une

approximation

suffisante sur 80 pour 100 du parcours

et

_fig.

3 et

_4,

courbes

_III).

Par contre cette

équa-tion ne

_peut

_pas

_renseigner

sur les trois derniers

milli-Fig. 2. - Courbe _en traits

pleins.

- Courbe de

Bragg pour l’uranium déduite de la courbe relative au

Po déterminée par I. Curie. La courbe est tracée en _{fonction du parcours restant} en _négligeant la

petite queue au delà du parcours extrapolé (voir fig. 1).

La surface _comprise entre la _courbe, l’axe des abscisses, et l’ordonnée = _3,0 cm correspond à

1,23485 X 105 paires d’ionÇ.

La surface au dessous de la courbe IV entre _l’origine et la valeur r = _0,5 cm _correspond à 2,1872 X 104

paires d’ions.

La surface au dessous de chacune des courbes f, Il et III entre les valeurs r = _0,5 cm et r - _3,0 em~

correspond à _1,01613 m 105 _paires d’ions. Courbes en traits _{pommes :}

mètres. - De

plus

il

paraît

ne _pas

_toujours

_y avoir

avantage

à l’introduire à la

_place

de

_{l’équation}

de

Gei-ger dans

d’autres

_{expressions..Ainsi,}

dans le calculs de l’ionisation au-dessus des couches de matière radio-active

_{d’épaisseur variable,}

si cette ionisation est

exprimée

comme fraction de celle

qui correspond

à une

dispa-rait dans

_{l’expression}

obtenue et _{le parcours R n’est}

plus exprimé

que sous la forme

_{du rapport}

où h est

_{l’épaisseur}

de la couche.

Fig. 3.

Ecarls entre les valeurs du _pouvoir ionisant par centimètre dru parcours calculées d’après les _équations (2) (courbe 1),

’

(6) (courbe II), (8) (courbe IIl), (12) (courbe IV), (1’.) (courbe V), (16) (courbe VII) et _{(18), (courbe} VI) et les valeurs tirées de la courbe de _Bragg expérimentale. Les écarts sont _exprimés en

.

pourcentages des valeurs _{expérimentales.}

La solution du

_problème

la

_plus

satisfaisante a été

obtenue en suivant la métbode

adoptée

_par

_Capron.

Sur les derniers

_cinq

_{millimètres du parcours,}

c’est-à-dire,

dans la

_région

où les

_équations

_déjà

discutées

manquent

totalement

_{d’exactitude,}

_{l’équation proposée}

ici en

_puissances

de r

_(éq.

et

_{13), reproduit}

les

don-nées

_{expérimentales}

avec une très bonne concordance.

(Courbe,,;

IV des

_fig.

3 et

_4).

La courbe IV a en

_pointillé

de la

_figure

3

_représente

les écarts entre les valeurs calculées et

_{expérimentales}

en tenant

_compte

de la

petite quantité

d’ionisation

_{correspondant}

à _{la queue} de la courbe de

_Bragg.

_que nous avons

_négligée

dans les calculs

_jusqu’ici.

_{On constate que l’influence de} cette queue de l’ordre de 53

paires d’ions,

est

_déjà

inférieure à 2 pour 100 pour » = 1 mm et devient tout t

à fait

_négligeable

_{pour les valeurs de}

_{r plus}

élevées. Pour l’autre

_partie

de la courbe de

_Bragg

toutes les

équations

(14)

à

(t9)

donnent une concordance

satis-faisante. Les écarts dans le cas de l’ionisation totale

sont

_compris

entre _{les limites -.i:: 1 pour 100} et dans le

cas du

_pouvoir

_{ionisant par} centimètre _{du parcours}

l’lg. 4.

Ecarts entre les valeurs de l’ionisation totale produire dans les der-niers r cm. du parcours, calculées d’après les _{équations (3)}

(courbe 1). (9) (courbe J Il) , (13) (courbe ii et Ii’ a) , (1~) (courbe V), (i7) (courbe VII), (19) (courbe YI) et les valeurs obtenues par intégration graphique de la courbe de Bragg

expérimentalP. Les écarts sont _exprimés en _pourcentages des valeurs expérimentales.

entre _{pour 100. Seulement} une

_{petite région}

(3

lnm en

_étendue),

dans le

_voisinage

de la valeur

r === 1 cm sur la courbe

_{représentée}

_par

_{l’équation}

16

(forme

de

_Geiger)

et la

_région

entre )- ~

0,5

et

r =

0,6

_{cm sur} la même

courbe,

font

exception.

Ici

l’écart _{s’élève à presque} 3 _{pour 100 et à}

_{+ 3}

_juizqu’à

+ t3

pour l00

respectivement.

113

D’après

ces chiffres les

_{équations (18) et}

_(19),

que

nous

_appelons

la forme de

_{Capron, correspondent}

le mieux aux faits

_{expérimentaux.}

D’autre

_part,

la forme de

Bragg

(éq. (14)

et

₍₁₅₎

_{est presque aussi}

_bonne,

la différence entre les _{deux écarts moyens étant de}

l’ordre de

0,01

pour 100 seulement. Du

point

de vue

purement

pratique

la forme de

_Bragg

est la

_plus

simple

et cette

_{plus grande simplicité}

_peut

la rendre

préférable

sous certaines

conditions,

par

exemple

là où

l’exposant 0,à

entraînerait des difficultés dans

l’inté-gration.

Nous avons choisi les

_exposants

des

équations

(14)

à

~I9)

par

analogie

avec les

_équations

_déjà

existantes. Il est évident que nous _{aurions pu choisir d’autres}

expo-sants fractionnaires sans nuire

_beaucoup

à la bonne

con-cordance. Une fois les

_{exposants choisis,}

les valeurs des constantes

_{multiplicatives}

et additives sont déterminées par les conditions :

a)

l’ionisation totale entre les limites r =

0,5

et J’ = 30 cm doi t être

_égale

à celle donnée par la courbe

expérimentale

entre les mêmes

imites;

b)

la somme des carrés des écarts doit être minimum.