1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 1
Leçon 6 Fractions simples
1. Fractions simples
Soient deux polynômes P(x) et Q(x) tels que Q(x)0 et deg
( )
(
P x)
deg(
Q( )
x)
- L’expression ) (
) (
x Q
x
P s’appelle fraction rationnelle.
- Les valeurs qui annulent Q(x) s’appelle pôles de la fraction rationnelle.
- Les fractions simples sont les fractions rationnelles de la forme : 1) x a
A
−
2) m
a x
A )
( − , mN 3) x px q
B Ax
+ +
+
2 , p2 −4q0
4) m
q px x
B Ax
) ( 2 + +
+ , p2 −4q0, mN
2. Décomposer fraction rationnelle en fractions simples
La décomposition de la fraction rationnelle en élément simple (fraction simple) se fait selon leurs pôles :
• 1er cas :
Si deg(Q(x))=n et Q(x) admet n racines réelles distinctes deux à deux an
a a
a1, 2, 3,, , alors :
n n
a x
A a
x A a
x A x
Q x P
+ −
− +
− +
=
2 2 1
1
) (
) (
Exemple : Effectuer la décomposition de
) 1 )(
1 (
2 1 +
− +
x x
x
x
en fraction simple.
Solution On a :
1 1
) 1 )(
1 (
2 1
+ + + −
+ =
− +
x C x
B x A x
x x
x
) 1 )(
1 (
) 1 ( )
1 ( )
1 )(
1 ( ) 1 )(
1 (
2 1
+
−
− +
+ +
+
= − +
− +
x x
x
x x C x
x B x
x A x
x x
x
D’après les propriétés, on a :
) 1 ( )
1 ( )
1 )(
1 (
2 +1= A x− x+ +Bx x+ +Cx x−
x
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 2
- Si x=0 alors A=−1 - Si x=1 alors B=1 - Si x=−1 alors C =1 On a donc:
1 1 1 1 1 ) 1 )(
1 (
2 1
+ + + −
− + =
− +
x x
x x
x x
x
• 2eme cas:
SiQ(x)=(x−a)(x−b)2(x−c)3 tels que a,bet csont des réels, alors:
( )( ( ) ) ( )
3 2
2 3 2
) ( ) ( )
( )
( ) (
c x
F c
x E c
x D b
x C b
x B a x
A
c x b x a x
x P x
Q x P
+ − + −
+ − + −
+ −
= −
−
−
= −
Exemple : Décomposer la fraction 2
2
) 2 )(
1 (
4 3 2
− +
+
− x x
x
x en élément simple.
Solution
On a : 2 2
2
) 2 ( 2 1
) 2 )(
1 (
4 3 2
+ − + −
= +
− +
+
−
x C x
B x
A x
x
x x
2
2 2
2
) 2 )(
1 (
) 1 ( ) 2 )(
1 ( )
2 ( )
2 )(
1 (
4 3 2
− +
+ +
− + +
= −
− +
+
−
x x
x C x
x B x
A x
x
x x
D’où 2x2 −3x+4= A(x−2)2 +B(x+1)(x−2)+C(x+1) - Si x=−1 alors 9A=9 A=1
- Si x=2 alors 3C=6 C=2 - Si x=0 alors 4=2B+6 B=1
On a donc: 2 2
2
) 2 (
2 2
1 1 1 )
2 )(
1 (
4 3 2
+ − + −
= +
− +
+
−
x x
x x
x
x x
• 3eme cas:
SiQ(x) admet des racines complexes distinctes, par exemple
0 4 avec
) )(
( )
(x = x−a x2+bx+c b2− ac
Q , alors :
c bx x
C Bx a
x A x
Q x P
+ + + +
= − 2 )
( ) (
Exemple : Décomposer la fraction
) 1 )(
1 (
2 3
2 2
+
−
− +
x x
x
x en élément simple.
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 3
On a :
1 1
) 1 )(
1 (
2 3
2 2
2
+ + +
= − +
−
− +
x C x B x
A x
x
x x
1 ) 1 )(
( 1
) 1 ( ) 1 )(
1 (
2 3
2 2
2 2
+
− + +
−
= + +
−
− +
x x C x B x
x A x
x
x
x
D’où 3x2 +x−2= A(x2 +1)+(Bx+C)(x−1) - Si x=1 alors 2=2A A=1
- Si x=0 alors −2=1−C C =3
- Si x=−1 alors 0=2−2(−B+3) B=2 On a donc:
1 3 2 1 1 ) 1 )(
1 (
2 3
2 2
2
+ + +
= − +
−
− +
x x x
x x
x x
Remarque
1. Pour calculer A, B ou C, on peut choisir les autres valeurs de x.
2. Pour calculer A, B ou C, on peut utiliser l’égalité de deux polynômes.
4eme cas:
SiQ(x) admet des racines complexes d’ordre m, par exemple
0 4 avec
) (
)
(x = x2+bx+c 3 b2− ac
Q , alors :
3 2
2 2
2 ( ) ( )
) (
) (
c bx x
F Ex c
bx x
D Cx c
bx x
B Ax x
Q x P
+ + + + + + + + + +
= +
Exemple : Décomposer la fraction 2 2
2 3
) 1 (
1 4 4
+
−
− +
x
x x
x en fraction simple.
Solution
On a : 2 2 2 2 2
2 3
) 1 ( 1 )
1 (
1 4 4
+ + + +
= + +
−
− +
x D x C x
B x A x
x x x
2 2 2 2
2 2 3
) 1 (
) 1 )(
( )
1 (
1 4 4
+
+ + +
= + +
−
− +
x
D x C x
B x A x
x x
x
D’où x3 +4x2 −4x−1= Ax3 +Bx2 +(A+C)x+(B+D) D’après l’égalité de deux polynômes, on a :
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
=
=
−
= +
−
= +
=
=
5 1
5 4
4 1
1 4 4 1
B D
A C
B A
D B
C A B A
On a donc : 2 2 2 2 2
2 3
) 1 (
5 5 1 4 )
1 (
1 4 4
+
− + +
= + +
−
− +
x x x
x x
x x
x .
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 4
Exercices
Décomposer chacun des polynômes suivants en fraction simple.
1. a.
) 3 4 )(
2 (
3 2
2 2
+
− +
+ +
x x
x
x
x b.
) 2 ( ) 1 (
5 18 17
5
3 2 3
−
−
− +
−
x x
x x
x
c.
81 1
4 3
− + + x
x
x d.
3
4 2
2 1
3 2
x x
x x
− − + +
e.
( )
2 2
8 12
6 x
x x x
−
+ − f.
( )
3 2 2
3 7 4
2
x x
x + −
+
2. a. 28 42
3 18 x
x x
−
+ + b. 29 9
2 7 4
x
x x
− + −
c.
( )( )
2 2
4
1 2
x
x− x− d.
( )2
9 25
3 x x
+ +
