Bloc 4
Géométrie et mesures
4 – Démontrer une compréhension des formes géométriques pour interpréter les structures du monde réel et pour en créer de nouvelles.
5 – Utiliser la mesure pour décrire et comparer des phénomènes du monde réel.
RÉSULTATS D’APPRENTISSAGE SPÉCIFIQUES
5.2 Modéliser des situations à l’aide de triangles quelconques pour résoudre des problèmes,
Relations entre les angles et les côtés des triangles
Mesures manquantes de triangles o Loi du sinus
o Loi du cosinus o Périmètre o Aire
Nous avons travaillé avec les rapports trigonométriques de bases qu’on utilise pour résoudre des rapports dans des triangles rectangles.
côté opposé à A opp sin A
côté hyphothénuse hyp
côté adjacent de A adj cos A
côté hypothénuse hyp côté opposé de A opp tan A
côté adjacent de A adj
Lorsque le triangle n’a pas un angle de 90o, on ne peut pas se servir des rapports de base, il existe deux lois qui nous permet de résoudre ces triangles.
Loi des cosinus - est une généralisation de la relation de Pythagore aux triangles quelconques. Elle permet de trouver la mesure d'un côté ou d'un angle dans un triangle quelconque.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c c
c c
c C
a 2 C
a
b b
b
os 2 Cos 2
A B b
a a abCos
On se sert de la loi des cosinus dans deux situations :
- Où on connait les mesures de deux côtés et de l’angle qu’ils forment, ce qui nous permet de trouver le troisième côté.
2 2 2 o
2 2 2 o
2 2
NP MN MP 2 MN MP cos M NP 6, 6 7, 2 2 6, 6 7, 2 cos 25 NP 43, 56 51,84 95, 04 0,9063 NP 95, 4 86, 13 9, 27
NP 3, 04 cm
- Lorsqu’on connaît les mesures des trois côtés, ce qui permet de trouver la mesure d’un angle.
2 2 2 o
2 2 2 o
o o
o o
MP MN NP 2 MN NP cos N 4,8 6, 6 3,9 2 6, 6 3,9 cos N 23, 04 43, 56 15, 21 51, 48cos N
35,73 51, 48cos N 0, 6941 cos N
N 46, 0
Loi des sinus – est une formule qui établit un lien entre les rapports des sinus des angles et les mesures de leurs côtés opposés. Pour ce faire, il faut connaître la mesure d'un angle, de son côté opposé et d'un autre côté ou d'un autre angle. (toutes les autres situations
sauf les deux mentionnées dans la loi des cosinus)
c
s nB
b a
in A si sinC
- Lorsqu’on cherche un angle et qu’on connaît le côté opposé à cet angle.
o
o
sin X sin Z
x z
sin 25 sin Z
3 6, 3
0, 4226 6, 3 3 sin Z 2, 6624 3 sin Z
2, 6624
sin Z 0,8875
Z 62, 63
- Lorsqu’on cherche le côté et qu’on connaît l’angle opposé à ce côté.
o o
sin 25 sin 42
YZ 8
0, 4226 8 0, 6691YZ 0, 4226 8
YZ 5, 1 cm
0, 6691
Exemple :
Détermine le périmètre et l’aire du RST.
R 180 25,9 82, 6 71, 5 o
o o
sin71, 5 sin 25,9
53 RS
RS 24, 4 cm
o o
sin71, 5 sin82, 6
53 RT
RT 55, 4 cm
o h
sin 25,9
55, 4 h 24, 2 cm
2
bh 53 24, 2
A 2 2
641, 3 cm
Détermine le périmètre et l’aire du ABC
2 2 2 o
2
AC 52 36 2 52 36 cos 42 AC 1217,7
AC 34,9 cm
o h
sin 42 h 24, 136
2
bh 52 24, 1
A 2 2
626, 6 cm
Exemple : Hauteur du Mauna Kea. Le schéma ci-dessous montre les mesures qu’un arpenteur a utilisées pour calculer la hauteur du Mauna Kea.
a) Trouve h au mètre près.
D 180 53 42 85 o
o o
sin 85 sin 42
6 x
x 4, 0 km
o h
tan 37,8
h 3, 103 km 3103m4
b) S’il l’altitude des points A, B et D est de 1077 m, quelle est la hauteur du Mauna Kea?
1077 3103 4180 m
Omnimath 10 p. 347 # 1 à 15 impair, 18 Omnimath 10 p. 352 # 1 à 15 impair, 18 Omnimath 10 p. 356 #12 à 31
Omnimath 10 p. 347 # 1 à 15 impair, 18
Trouve la longueur du côté indiqué, au dixième près.
1. 3.
o
W 180 81, 3 67, 5 W 31, 2
o o
sin71 sin 56
40 a
0,9455a 0,8290 40 a 35, 1 cm
o o
sin 31, 2 sin 67, 5
15, 6 y
0, 5180y 0,9239 15, 6 y 27,8m
5. Dans le ABC, B 38, 2 , C 65, 6o o et b 54 cm. Trouve c.
7. o
o
Dans le GHK, G 44, 1 , k 9, 5 cm et H 29, 4 . Trouve h.
o o
sin 38, 2 sin 65, 6
54 c
0, 6184c 0,9107 54 c 79, 5 cm
o
K 180 44, 1 29, 4 K 106, 5
o o
sin 106, 5 sin 29, 4
9, 5 h
0,9588h 0, 4909 9, 5 h 4,9 cm
9. Résous
o
R 180 22, 2 31, 4 R 126, 4
o o
sin 31, 4 sin 22, 2
41 q
0, 5210q 0, 3778 41 q 29,7 cm
o o
sin 31, 4 sin 126, 4
41 r
0, 5210r 0,8049 41 r 63, 3 cm
Trouve l’aire de chaque triangle, à l’unité carrée près.
11.
o
X 180 45 65 X 70
o o
sin70 sin 65
10 z
0,9397z 0,9063 10 z 9, 6 cm
o hauteur sin 45
hauteur 6,8cm9, 6
bh 10 6,8 2
Aire 34 cm
2 2
13.
o
G 180 82, 3 48, 1 G 49, 6
o o
sin 49, 6 sin 48, 1
20 e
0,7615e 0,7443 20 e 19, 5 cm
o hauteur sin82, 3
hauteur 19,8cm20
bh 19, 5 19,8 2
Aire 193, 1 cm
2 2
15. Nil – à Thèbes, il y a deux musées du même côté du Nil. Ces musées se trouvent sur la rive du fleuve et sont distants de 1600 m. De l’autre côté du fleuve, il y a un quai pour les deux
traversiers qui emmènent les touristes jusqu’aux musées. Voici les angles formés par la rive et les droites tracées depuis les musées jusqu’aux quai, Q.
a) Quelle distance sépare chaque musée du quai, au mètre près?
o
Q 180 42 19 Q 119
o o
2 2
2
sin 119 sin 19
1600 m
0,8746m 0, 3256 1600 m 596 m
o o
1 1
1
sin 119 sin 42
1600 m
0,8746m 0, 6691 1600 m 1224 m
b) Quelle est la largeur de cette partie du Nil, au mètre près?
o hauteur sin 42
hauteur 399m596
18. Falaise inaccessible – Pour déterminer la hauteur, AB, d’une falaise inaccessible, un arpenteur note les données ci-dessous.
Détermine la hauteur de la falaise, au mètre près.
o o
sin 65, 6 sin 49, 3
185 d
0,9107d 0,7581 185 d 154 m
o AB
tan 30, 5 AB 91m154
Omnimath 10 p. 352 # 1 à 15 impair, 18
Trouve la longueur manquante, au dixième d’unité près.
1. 3.
2 2 2 o
2 2
s 10 20 2 10 20 cos 40 s 500 306, 42
s 193, 58 s 13,9m
2 2 2 o
2 2
m 97 133 2 97 133 cos 121 m 27098 13289, 0
m 40387, 0 m 201, 0 m
Trouve l’angle indiqué, au dixième de degré près.
5. 2 2 2
o
14 17 16 2 17 16 cos C 196 289 256 544 cos C 196 289 256 544 cos C
349 544 cos C cos C 349 0, 6415
C 50, 1544
7.
Dans le PQR, p 15, 3m, q 18, 2 m et R 70 . Trouve r. o
2 2 2 o
2
2 2
r 18, 2 15, 3 2 18, 2 15, 3 cos70 r 331, 24 234, 09 556,92 0, 3420
r 565, 33 190, 47 r 374,86
r 19, 4 m
9. Dans le BCD, b 35, 6 cm, c 22, 1 cm et d 22, 1 cm. Trouve B.
2 2 2
o
35, 6 22, 1 22, 1 2 22, 1 22, 1 cos B 1267, 36 488, 41 488, 41 976,82 cos B 1267, 36 488, 41 488, 41 976,82 cos B
290, 54 976,82 cos B 290, 54 cos B
976,82 cos B 0, 2974
B 107, 3
Résoudre 11.
2 2 2
o
3, 2 2, 5 2,8 2 2, 5 2,8 cos M 10, 24 6, 25 7,84 14 cos M 10, 24 6, 25 7,84 14 cos M
3,84 14 cos M cos M 3,84
cos M 0, 274314 M 74, 1
o o
o
sin74, 1 sin L 3, 2 2, 5 3, 2 sin L 0,9617 2, 5
sin L 0,7514 L 48,7
4
K 180 74, 1 8,7 57, 2
13. Dans le IJK, i 10, 5 m, j 20, 1m et k 12, 5 m.
2 2 2
o
20, 1 12, 5 10, 5 2 12, 5 10, 5 cos J 404, 01 156, 25 110, 25 262, 5 cos J
137, 51 262, 5c os J 137, 51 cos J
262, 5 cos J 0, 5238
J 121, 6
o o
o
sin 121, 6 sin K 20, 1 12, 5 20, 1 sin K 0,8517 12, 5
s
3 in K 0, 5297
K 32, 0
K 180 121, 6 2, 0 26, 4
15. Golf – Au club de golf de Fisherville, la plus courte distance entre le tee et le huitième trou est de 348 m. Au premier coup, Mario frappe la balle et la fait atterrir à 195 m du tee. Toutefois, il coupe sa balle et la droite qui relie le tee et la balle forme un angle de 12o avec la droite qui relie le tee et le trou. Après ce premier coup, quelle est la distance entre le trou et la balle, au mètre près.
2 2 2 o
2
2
t 195 348 2 195 348 cos 12 t 38025 121104 135720 0,9781
t 26381, 3 t 162 m
18. Mesure – Trouve l’aire du triangle RST au mètre carré près à partir des mesures indiquées.
2 2 2
o
17, 4 19,8 12, 1 2 19,8 12, 1 cos S 302,76 392, 04 146, 4 479, 16 cos S
235, 68 479, 16 cos S 235, 68 cos S
479, 16 cos S 0, 4919
S 60, 5
2 o hauteur sin 60, 5
12, 1 hauteur 10
1 , m 19,8 10, 5 Air
5
e 04 m
2
Omnimath 10 p. 356 #12 à 27, 31
Résous chaque triangle. Arrondis chaque longueur au dixième d’unité et chaque angle au dixième de degré.
12. 13.
o
o
sin 47, 1 9,7
m 0,732 b
A 180 47, 1 90 42,9
1
5b 9,7 b 3, 2 c
, cos 47, 1 a
a 9 0 13 2 m , c
o
o
o
m F 18
s
0 36
1
, 6 in E 3,
sin E 0, 59625, 2 E 36
, f
90 53 4 , 6
sin 53, 4 f 4, 2 5, 2
14. One Canada Square – Le plus haut gratte-ciel de Londres, en Angleterre, se trouve à l’adresse suivante : One Canada Square. Du sommet de ce gratte-ciel, l’angle de dépression d’un point situé au sol à 50 m de la base du gratte-ciel mesure 78,4o. Calcule la hauteur du gratte-ciel, au mètre près.
o h
tan78, 4 h 243, 6m50
La hauteur du gratte-ciel est de 244 m.
15. Trouve la longueur de AB, au centimètre près.
o
tan DCE 28 DCE 27, 454
o AB
sin 27, 4
0, 4602 65 65AB AB 30 cm
16. Pont en contre-haut – Le pont de Lethbridge, appelé High Level Bridge, traverse la rivière Oldman à Lethbridge, en Alberta. Il mesure plus de 1 km de long. À partir d’un point donné sur la rivière, l’angle d’élévation du sommet du pont est de 62,6o. à partir d’un autre point, situé 20 m plus près du pont, il est de 72,8o. Quelle est la hauteur du pont au-dessus de la rivière, au mètre près?
La hauteur du pont est de 96 m.
o x
tan 62, 6
20 y 1,9292 20 y x
o x
tan 72,8 3, 2305y xy
38, 58 1,9292y 3, 2305y
38, 58 1, 3013y y 29, 6 m
3, 2305 29, 6 x x 96m
Résous, au dix-millième près.
17. sin 92o= 0,9994 18. Cos 100o=-0,1736 19. Sin 129,3o= 0,7738 20. Cos 163,7o= -0,9598
Suppose que 0o A 180 o . Trouve A au dixième de degré près.
21. sin A = 0,7531 22. cos A = -0,3412
A 48,9 o A 110, 0 o
23. a) Si sinA = 0,5 et que les angles A et B sont complémentaires, quelle est la mesure de l’angle B?
o
o
A 30
B 90 30 60
b) Si cos C = -0,5 et que les angles C et D sont supplémentaires, quelle est la mesure de l’angle D?
o
o
C 120
D 180 120 60
Trouve la longueur du côté indiqué, au dixième près.
24.
o o
Dans le KLM, K 54, 3 , L 61, 3 et k 23, 2 m. Trouve l.
sin 54, 3o sin 61, 3
23, 2 l
0,8121l 0,8771 23, 2 l 25, 1 m
25.
o o
Dans le PQR, Q 33, 3 , R 45,9 et p 28, 3cm. Trouve r.
o o
sin 100,8 sin 45,9
28, 3 r
0,9823r 0,7181 28, 3 r 20,7 m
Trouve l’aire de chaque triangle, à l’unité carrée près.
26. 27.
o
F 180 62 40 F 78
o o
sin78 sin 62
12 h
0,9781h 0,8829 12 h 10,8cm
o hauteur sin 40
hauteur 6,9 cm10,8
bh 6,9 12 2
Aire 41 cm
2 2
2 2 2 o
2
r 21 15 2 21 15 cos 135 r 1111, 5
r 33, 3m
o o
o
sin 135 sin T 33, 3 15 33, 3 sin T 0,7071 15
sin T 0, 3185 T 18, 6
o hauteur sin 18, 6
hauteur 6,7 m21
bh 33, 3 6,7 2
Aire 112 m
2 2
31. Navigation – Deux embarcations de plaisance quittent Churchill, au Manitoba, au même moment.
L’une des embarcations se déplace à 10 km/h selon un angle de route de 47o. L’autre se déplace à 8 km/h selon un angle de route de 79o. Quelle distance sépare les deux embarcations après 45 min, au dixième de kilomètre près.
2 2 2 o
2
2
x 6 7, 5 2 6 7, 5 cos 34 x 36 56, 25 90 0,8290
x 17, 64 x 4, 2 km
