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Show that B(a, r

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Academic year: 2022

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(1)

MATH-GA 2210.001: Homework Local Fields 2 1. Show that in Q2

1 + 2 +. . .+ 2n+. . .

converges to −1.

2. Let K be a filed and | | a nonarchimedean absolute value on K.

(a) Recall that an open disk centred at a of radius r is defined as B(a, r) = {x ∈ K,|x−a| < r}. Show that B(a, r) = B(b, r) for any b ∈ D(a, r).

Deduce that if two disks meet, then the large disk contains the smaller.

(b) Assume K is complete. Show that the series P

an converges iffan→0.

3. For which a ∈Z the equation 7x2 =a is solvable in Z7? For which a ∈ Q is it solvable in Q7?

4. (a) Show that (x2−2)(x2−17)(x2−34) has a root in Zp for every p.

(b) Show that 5x3−7x2+ 3x+ 6 has a root αin Z7 with |α−1|7 <1. Find a ∈Z such that |α−a|7 ≤7−4.

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Références

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r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r j r r r r r r u r r r ⎛ ⎞ j u u ∧ ∧ E c E c B t B t B t E t 0 div B B B B B B E E E E E E = = = = = B B − E f f = gradV ( ( cos( z 0 y e )cos( )cos( k z ) t e t − − kz kz ) ) u u u r r k ∧

Par contre si le milieu est de dimension finie selon z, on peut très bien avoir des solutions en exp(z/ δ) qui croissent au fur et à mesure de la progression de l’onde (combinées à

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r →∞ V → 0 u B ( rB ) idl dV F B div B B B E E E E E M 0 z = = = = B = ∧ ( = B B B q E i B ( S − ( ( ) E z z e = E ) ) ( u u . 0 P d r ) − = E − ( ( E N )) dx + E dy + E dz ) = − E dz z r 0 z z z x y z 0 + = 0

Par exemple il est inexploitable pour calculer le champ au centre d’une spire car on ne peut pas trouver de contour fermé passant par le centre de la spire qui vérifie les conditions