Show that B(a, r

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(1)

MATH-GA 2210.001: Homework Local Fields 2 1. Show that in Q2

1 + 2 +. . .+ 2ⁿ+. . .

converges to −1.

2. Let K be a filed and | | a nonarchimedean absolute value on K.

(a) Recall that an open disk centred at a of radius r is defined as B(a, r) = {x ∈ K,|x−a| < r}. Show that B(a, r) = B(b, r) for any b ∈ D(a, r).

Deduce that if two disks meet, then the large disk contains the smaller.

(b) Assume K is complete. Show that the series P

a_n converges iffa_n→0.

3. For which a ∈Z the equation 7x² =a is solvable in Z7? For which a ∈ Q is it solvable in Q7?

4. (a) Show that (x²−2)(x²−17)(x²−34) has a root in Z^p for every p.

(b) Show that 5x³−7x²+ 3x+ 6 has a root αin Z7 with |α−1|₇ <1. Find a ∈Z such that |α−a|₇ ≤7⁻⁴.

Références

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