Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
TP n˚5 Matrices
1 La biblioth` eque linalg
Les diff´erentes commandes pour manipuler les matrices sont rassembl´ees dans la biblioth`equelinalg. Pour la charger, il suffit de saisir la ligne suivante.
with(linalg) ;
2 D´ efinition d’une matrice en Maple
On d´efinit une matrice (et donc un vecteur) avec Maple en utilisant la commandematrix.
Exercice 1
SoitA∈ M3(R) d´efinie parA=
1 2 3
6 5 4
7 8 9
.
1. D´efinir la matrice Aen Maple.
2. Extraire le coefficient d’adresse (1,3) de la matriceA.
3. Extraire la deuxi`eme ligne deA. Mot cl´e :row.
4. Extraire la troisi`eme colonne de A. Mot cl´e :col.
5. Extraire de A la sous-matrice obtenue en supprimant la premi`ere colonne et la derni`ere ligne. Mot cl´e : submatrix.
3 Inversibilit´ e d’une matrice en Maple
On donne ci-dessous trois commandes qui peuvent ˆetre utilis´ees pour ´etudier l’inversibilit´e d’une matrice avec Maple.
• det: calcule le d´eterminant d’une matrice (carr´ee)
• rank: calcule le rang d’une matrice (non n´ecessairement carr´ee)
• kernel: livre une base de l’espace vectoriel solution du syst`eme lin´eaire homog`ene canoniquement associ´e
`a une matrice (non n´ecessairement carr´ee)
Exercice 2
On consid`ere de nouveau la matriceA introduite dans l’exercice 1.
1. Calculer det(A) avec Maple.
R´eponse : . . . . 2. Qu’en d´eduire quant `a l’inversibilit´e de la matriceA?
R´eponse : . . . . 3. En observant la matriceAet en utilisant le r´esultat de la question 1, donner la valeur du rang deA.
R´eponse : . . . .
1
4. V´erifier le r´esultat donn´e `a la question 3 `a l’aide de Maple.
5. SoitSoll’ensemble solution de l’´equationAX= 0R3 d’inconnueX ∈R3. On a donc : Sol={X ∈R3|AX= 0R3}.
(a) Justifier queSolest un sous-espace vectoriel deR3.
(b) D´eduire du calcul du rang deAla dimension deSol.
R´eponse : . . . . (c) Calculer une base deSol`a l’aide de Maple.
R´eponse : . . . .
4 Inverse d’une matrice inversible en Maple
L’inverse d’une matrice (carr´ee) inversible s’obtient avec la commandeinverseen Maple.
Exercice 3
SoitM ∈ M4(R) d´efinie parM =
−2 1 −3 1
0 2 1 −4
1 2 −1 3
4 5 2 0
.
1. D´emontrer de trois mani`eres, `a l’aide de Maple, que la matriceM est inversible.
• M´ethode 1 : `a l’aide de calcul du d´eterminant de M
R´eponse : . . . .
• M´ethode 2 : `a l’aide de calcul du rang deM
R´eponse : . . . .
• M´ethode 3 : `a l’aide de la r´esolution de l’´equationM X= 0R4 d’inconnueX ∈R4
2
2. Soit Y ∈R4. R´esoudre le syst`eme lin´eaire `a param`etreM X =Y avec Maple et en d´eduire la valeur de M−1. Mot cl´e :linsolve.
M−1=
3. V´erifier le r´esultat donn´e `a la question 2 `a l’aide de la commandeinverse.
5 Op´ erations sur les matrices
Pour additionner (resp. soustraire) deux matrices de mˆeme format, on utilise l’op´erateur+(resp.-). L’op´erateur
*ne permet pas, en revanche, de multiplier deux matrices (quand le produit est d´efini). Il faut utiliser l’op´erateur
&*
et souvent la commandeevalmpour demander `a ce que calcul matriciel soit ´evalu´e (le≪m≫ `a la fin du nom de la commandeevalmr´ef`ere `a≪matrix≫).
Exercice 4
SoitA∈ M3(R) d´efinie par
2 2 −4
−1 2 −1
1 −4 3
et soitB∈ M3(R) d´efinie par
1 2 3
1 2 3
1 2 3
.
1. Justifier, sans utiliser Maple, queB n’est pas inversible.
R´eponse : . . . . 2. Calculer le produit AB avec Maple.
AB =
3. D´eduire du r´esultat de la question 2 queA n’est pas inversible.
4. Proposer une autre m´ethode pour montrer, `a l’aide de Maple, queAn’est pas inversible.
R´eponse : . . . .
3
Exercice 5 SoitN ∈ M5(R) d´efinie parN =
6 6 2 −2 −6
7 3 3 −1 −5
8 4 0 0 −4
9 5 1 −3 −3
10 6 2 −2 −6
.
1. `A l’aide d’une boucle for, calculer Nn pour tout n ∈ J1,10K. On cherchera `a minimiser le nombre d’op´erations effectu´ees.
2. D´eduire des calculs pr´ec´edents queNn= 0M5(R) pour toutn∈N≥5.
6 Commutant d’une matrice
Exercice 6
SoitA∈ M3(R) d´efinie par
1 5 −5
2 4 −2
−3 3 −1
.
On d´efinit le commutant deA, not´e Comm(A), par :
Comm(A) ={M ∈ M3(R)|AM=M A}.
1. Justifier que Comm(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).
2. Calculer une base de Comm(A) avec Maple.
4
