UPMC Math´ ematiques Approfondies pour les Sciences 2016-2017

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TD 4` eme semaine

Exercice 1. On consid`ere le probl`eme de Cauchy suivant : (y⁰ = ^(y−t)_t2+1²

y(0) = 0

1. V´erifier qu’il existe une unique solution maximale y: I →R.

2. Prouver que I =R `a travers la construction d’un entonnoir pourt >0 et d’un anti-entonnoir pourt <0. (Cherchez des fonctions simples !)

3. Prouver que y est impaire.

4. Prouver qu’il existe un β >0 tel que pour tous 1/2> ε >0, il existe un instant t_ε >0 tel qu’on ait pour tous t≥tε

β+ε > (β+ε−1)²t²

t²+ 1 , (β−ε−1)²t²

t²+ 1 > β−ε.

5. Calculer les limites

t→+∞lim y(t)

t , lim

t→−∞

y(t) t . Exercice 2. On consid`ere l’´equation suivante

(y⁰ = _y^t2²+1^y3

y(t₀) =α

1. ´Etudier l’intervalle de d´efinition de la solution maximale y: I_t0,α→Rlorsque α∈R ett₀ ∈R, grˆace `a des entonnoirs et des anti-entonnoirs.

2. Dessiner un graphe qualitatif de y et calculez, si elles existent, les limites de y lorsque t→infI_t0,α ett →supI_t0,α.

3. Trouver une formule explicite pour y.

Exercice 3. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) : x⁰ =f(t, x), avec f(t, x) :=x³−sin(2πt).

1. Repr´esenter le champ de vecteurs associ´e `a (E).

2. D´eterminer les fonctions constantes qui sont des barri`eres inf´erieures (resp. sup´erieures).

3. Montrer que le domaine {(t, x)∈R² :−1≤x≤1} est un anti-entonnoir pour (E).

4. Soit x:I →Rune solution maximale de (E). On note α:= infI.

(a) On suppose que pour tout t∈I, x(t)>1. Montrer queα=−∞. En d´eduire une contradiction.

(b) De mˆeme, montrer qu’il existe t∈I tel que x(t)≥ −1.

(c) Montrer que α =−∞.

5. Soient x, y deux solutions maximales de (E), telles quex≤y.

(a) Montrer que pour tous r´eels a≤b, (b−a)³ ≤4(b³−a³).

(b) En notant z :=y−x, montrer que z⁰ ≥ ¹₄z³.

(c) D´eterminer les solutions maximales de l’´equation u⁰ = ¹₄u³. (d) Montrer que limt→−∞z(t) = 0.

6. On note yn (resp. zn) la solution maximale de (E) telle queyn(n) = 1 (resp. zn(n) = −1).

(a) Montrer que y_n(t) = y₀(t−n) et z_n(t) = z₀(t−n) pour tout t≤n.

(b) Montrer qu’il existe une solution maximale w:R→[−1; 1].

(c) En comparant w(0) avec y_n(0) et z_n(0), montrer que w est unique.

(d) Montrer que w est 1-p´eriodique.

7. Soit x:I →Rune solution maximale, telle que x6=w. En consid´erantδ :=x−w, montrer que l’intervalleI est born´e `a droite.

8. Tracer l’allure des solutions maximales de (E).

Exercice 4. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (F) : x⁰ =f(t, x), avec f(t, x) := (t−x)(x− _t¹2) d´efinie sur le domaine U :=]0; +∞[×R.

1. Repr´esenter le champ de vecteurs associ´e `a (F). Identifier quatre domaines D₁ :={(t, x)∈U : _t¹2 ≤x≤t},D₂ :={(t, x)∈U :x≤inf{t;_t¹2}},

D₃ :={(t, x)∈U :t ≤x≤ _t¹2},D₄ :={(t, x)∈U :x≥sup{t;_t¹2}}.

2. Construire des barri`eres inf´erieures (resp. sup´erieures) simples pour l’´equation (F).

3. Soit t0 ≥1, x0 ∈Rtel que (t0, x0)∈D1. On note x:I →R la solution maximale de (F) telle quex(t₀) =x₀.

(a) Montrer que I n’est pas born´e `a droite.

(b) Montrer que limt→+∞x(t) = +∞.

(c) Montrer qu’il existeA >0 tel que la fonction h(t) := t− ²_t est une barri`ere inf´erieure stricte sur [A; +∞[.

(d) On suppose que pour tout t≥A, x(t)< h(t). Montrer qu’il existe B ≥A tel que x⁰(t)≥ ³₂^x(t)_t pour tout t > B. En d´eduire une contradiction.

(e) Montrer qu’il existeT > A tel que x(t)≥h(t) pour tout t ≥T.

Pour touta ∈R, on note x_a:I_a→R la solution maximale de (F) telle quex_a(1) =a.

4. On note J :={a∈[0; 1] :∀t∈I_a∩[1,+∞[,0≤x_a(t)≤ _t¹2}.

(a) Montrer que J 6=∅.

(b) Montrer que pour tout a∈J, Ia n’est pas born´e `a droite.

(c) Soienta ≤b∈J. On pose ∆ :=x_b−x_a. Montrer que pour tout t assez grand,

∆⁰(t)≥ ₂^t∆(t). En d´eduire que a=b et que J ={a₀}est un singleton.

(d) Montrer que a₀ ∈]0; 1[.

(e) Soit a ∈]a₀; 1]. Montrer que x_a est globale, que limt→+∞x_a(t) = +∞ et t− ²_t ≤x_a(t)≤t pour tout t assez grand.

(f) Soit a ∈]− ∞;a₀[. Montrer qu’il existe T_a∈I_a tel que pour tout t > T_a, x_a(t)<0. En d´eduire quex⁰_a(t)≤ −x_a(t)² pour t assez grand, puis queI_a est born´e `a droite.

5. Soit a∈]− ∞; 1]. On noteIa=]α;β[.

(a) On suppose que pour tout t∈]α; 1], x_a(t)< t. Montrer que α= 0 et quex_a a une limite finie l ≤0 en t= 0.

(b) Sous la mˆeme hypoth`ese, montrer que pour tout t∈]0; 1], |x⁰_a(t)| ≥ ¹_t. En d´eduire une contradiction.

(c) ´Etablir le tableau de variation de x_a sur ]0; 1].

6. On note ϕ(t) := _t²2 et pour tout α >0, ψ_α(t) := _(t−α)¹ 2 pourt > α.

(a) Montrer que ϕ est une barri`ere sup´erieure sur ]0;C] pour un certain C > 0.

(b) Montrer que ψα est une barri`ere sup´erieure au voisinage `a droite de α.

(c) Montrer qu’il existe des solutions maximales x:I →R de (F) avec (t₀, x₀)∈D₄, telles que

– infI >0.

– infI = 0 et limt→0x(t) = 0.

– infI = 0 et limt→0x(t) = +∞.

7. Tracer l’allure des solutions maximales de (F).