UPMC Math´ ematiques Approfondies pour les Sciences 2016-2017
TD 5` eme semaine Graphes et matrices
Exercice 1. Soit G= (V, E) un graphe simple sans orientation (g´eometriquement, penser `a un nombre fini de points dans un plan avec des segments reliant certains de ces points). Cet objet peut ˆetre d´ecrit facilement avec sa matrice d’adjacence :
Aij =
(1 s’il existe une arˆete entre iet j, i.e. si (i, j)∈E 0 sinon
o`u les indicesi et j d´ecrivent l’ensemble V des sommets de G. On note n:=|V|.
1. Quelle est la forme de la matrice A?
2. Prouver par r´ecurrence sur k que pour tout k, le nombre Aki,j, coefficient d’indices (i, j) de la matriceAk, est ´egal au nombre de chemins de longueur k (pouvant passer plusieurs fois par un mˆeme point) entre les sommets i et j.
3. Prouver que la matrice A est irr´eductible ssi le graphe Gest connexe. Que dire si A est primitive ?
4. Prouver que le nombre de triangles dans le graphe est tr(A63) et que |E|= tr(A22). 5. Expliquer pourquoi le nombre de quadrilat`eres dans le graphe n’est pas ´egale `a tr(A244). 6. Calculer le nombre de triangles dans le graphe suivant :
1 2
3 4
5 6
On note λ1 ≥ · · · ≥λn ∈R les valeurs propres deA.
7. Expliquer pourquoi les valeurs propres λi sont r´eelles.
8. Montrer que λ1 ≥0 et que λ1 = maxx∈Rn\{0}
txAx
txx . Que dire de λn?
9. Soit H un sous-graphe deG. Comparer les valeurs propres minimales et maximales de la matrice d’adjacence de H `a celles de G.
On rappelle que, pour tout v ∈V, on d´efinit le degr´e de v comme d(v) = #{voisins de v},
et le degr´e moyen (resp. maximal) m (resp. M) du graphe comme
m= P
v∈Gd(v)
n , M = max
v∈V d(v).
10. On suppose maintenant Gconnexe. Montrer que m≤λ1 ≤M .
Que dire si Gest k-r´egulier (tout sommet a exactement k voisins) ? Calculer le vecteur de Perron-Frobenius dans ce cas.
11. Montrer que Gest bipartite (i.e. il existe une partition V =V1∪V2 telle que toute arˆete deG rencontre `a la fois V1 et V2) si et seulement si λn =−λ1.
12. On note χ(G) le nombre chromatique de G, i.e. le plus petit entierk tel qu’il existe un
coloriage des sommets deG aveck couleurs, de sorte que deux sommets voisins aient toujours des couleurs diff´erentes. Montrer que χ(G)≤λ1+ 1. (Indication : enlever des sommets dans Gpour obtenir un sous-graphe Gc minimal par rapport au coloriage et ´etudierλ1(Gc), valeur propre maximale du graphe Gc).
13. ´Etudier les coloriages du graphe de la question 6.
Matrices et Applications
Exercice 2.
On consid`ere le graphe suivant : 1oo //2
4
OO
oo 3
. La matrice de transition associ´ee est :
T =
0 1/2 0 1
1 0 0 0
0 1/2 0 0
0 0 1 0
o`u chaque colonne Cj encode les d´eparts du sommetj. (Cette matrice n’est donc pas stochastique, c’est sa transpos´ee qui l’est.)
1. Calculer le polynˆome caract´eristique, puis les valeurs propres de T. 2. D´eterminer les vecteurs propres{v1, v−1, vµ, v−µ} deT.
3. Exprimer v1±v−1 et vµ±v−µ en fonction des vecteurs (e1, . . . , e4) de la base canonique. En d´eduire l’expression de chaque ek dans la base C ={v1, v−1, vµ, v−µ}.
4. Exprimer v1±v−1 et vµ±v−µ en fonction des vecteurs {e1, . . . , e4} de la base canonique. En d´eduire l’expression de chaque ek dans la base C ={v1, v−1, vµ, v−µ}.
5. En d´eduire que lorsque n tend vers +∞, la matrice T2n (resp. T2n+1) tend vers une matriceA (resp. B :=T A). On fixe un sommet j. On dit qu’un entier k >0 est un temps de premier retour en j s’il existe un chemin j =j0 →j1 → · · · →jk=j qui part de j et revient en j en exactementk ´etapes, c`ad tel quej`6=j pour tout `= 1, . . . k−1.
6. Pour j = 1,2, montrer qu’il n’y a que deux chemins de premier retour c2 et c4, calculer leur probabilit´ep(c2) et p(c4) et le temps de retour moyen Tj = 2p(c2) + 4p(c4).
7. Pour j = 3,4, montrer que pour tout temps t = 2k, avec k ≥2, il y a un unique chemin de premier retour c2k de longueur 2k, et qu’il est de probabilit´e 1/2k−1. Puis calculer le temps de retour moyen
X
k≥2
1 2k−12k.
