30 30

On considère la suite ( ) u

n

définie par :

0 1

30 30

_n

n

u

u

₊

u

⎧⎪

⎨⎪

⎩

=

= +

1. Donner les valeurs exactes et des valeurs approchées de u

₁

, u

₂

et u

3

et u

₄.

2. Montrer que la suite ( ) u

n

est minorée par 0.

3. Montrer que la suite ( ) u

n

est majorée par 6.

4. Montrer que la suite ( ) u

n

est strictement croissante.

5. Montrer que la suite ( ) u

n

converge et déterminer sa limite.

6. Montrer que, pour tout n entier naturel, on a :

1

6 6

30 30 6

n n

u

₊

u −

− ≤ + +

7. Déduire de la question précédente que, pour tout entier naturel n, on a :

0

6 6

30 30 6

n n

u u

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

− ≤ −

+ +

8. Déterminer un entier naturel N telle que pour tout n supérieur ou égal à N, on ait : u

_n

− ≤ 6 10

⁻⁹

.

Analyse

Une récurrence classique du type un₊1= f u

( )

n où les premières questions (jusqu’à la 5, comprise) visent à permettre l’utilisation d’un théorème de convergence du cours et à déterminer la limite de la suite considérée. Dans un deuxième temps (questions 6, 7 et 8), on obtient une majoration de la différence (en valeur absolue) entre un terme quelconque et la limite. La dernière question, application numérique, permet de se faire une meilleure idée de la rapidité de la convergence.

Résolution

Partie A

Question 1.

On a facilement :

1 0

2 1

3 2

4 3

30 30 30 5, 956 275

30 30 30 30 5, 996 355

30 30 30 30 30 5, 999 696

30 30 30 30 30 30 5, 999 975

u u

u u

u u

u u

= + = +

= + = + +

= + = + + +

= + = + + + +

Question 2.

Nous menons un raisonnement par récurrence pour établir : ∀ ∈n `,u_n ≥0. Initialisation.

On a : u₀ = 30>0.

La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité.

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

Supposons que la propriété soit vraie au rang n. On suppose donc : u_n≥0.

On a alors : 30+u_n ≥30>0 et on en déduit immédiatement : u_n+1= 30+u_n ≥ 30>0. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion.

La propriété est vraie pour tout n entier naturel.

La suite

( )

un est minorée par 0.

Question 3.

Nous menons un raisonnement par récurrence pour établir : ∀ ∈n `,u_n ≤6. Initialisation.

On a : u₀² =30<36. D’où : u₀< 36=6. La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité.

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

Supposons que la propriété soit vraie au rang n. On suppose donc : u_n≤6. On a alors : u_n²₊₁=30+u_n≤30 6+ =36 et on en déduit immédiatement : u_n+1≤6. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion.

La propriété est vraie pour tout n entier naturel.

La suite

( )

un n est majorée par 6.

Question 4.

Pour tout entier naturel n, on a :

2 2 2

1 30

n n n n

u ₊ −u = +u −u

Comme ^{− + +x2 x 30=}

(

^{x+5 6}

)(

^−x

)

, on a donc : ³⁰+un−un² =

(

un+^{5 6}

)(

−un

)

. D’où :

( )( )

2 2 2

1 30 5 6

n n n n n n

u ₊ −u = +u −u = u + −u On a d’abord (question 2) : ∀ ∈n `,u<sub>n</sub> ≥0. D’où : ∀ ∈n `,u_n+ >5 0_n. Par ailleurs (question 3) : ∀ ∈n `,u<sub>n</sub>≤6. D’où : ∀ ∈n `, 6−u_n≥0. En définitive, on a : ∀ ∈n `,u<sub>n</sub><sup>2</sup><sub>+1</sub>−u<sub>n</sub><sup>2</sup>≥0<sub>n</sub>, soit : ∀ ∈n `,u_n²₊₁≥u_n². Comme ,∀ ∈n ` u<sub>n</sub> ≥0, il vient finalement : ∀ ∈n `,u_n+1≥u_n. Le résultat est ainsi établi.

La suite

( )

un est croissante.

Question 5.

La suite

( )

un étant croissante (question 4) et majorée (question 3), elle est convergente.

Notons L sa limite.

Comme

( )

un est minorée par 0 et majorée par 6, on a finalement : , 0 _n 6

n u

∀ ∈` ≤ ≤ On en déduit immédiatement : 0≤ ≤L 6.

On a aussi : u_n+1= 30+u_n , d’où : u_n²₊₁=30+u_n. On a : lim _{n 1} lim _n

n u ₊ n u L

→+∞ = →+∞ = . La fonction carrée étant continue sur \, il vient alors :

2 2

lim _n 1

n u ₊ L

→+∞ =

Par ailleurs : n^lim un L^sommen^{lim 30}

(

un

)

³⁰ L

→+∞ = ⇒ →+∞ + = + .

On a donc finalement :

2 30

L = +L

On a vu plus haut (question 4) que l’équation − + +x² x 30=0 admettait 5− et 6 comme racines. Comme on a 0≤ ≤L 6, 6 est la seule valeur acceptable. Finalement :

lim _n 6

n u

→+∞ =

Remarque : historiquement, on se plaisait à écrire :

30+ 30+ 30+ 30+ 30 ...+ =6

Question 6.

Pour tout n entier naturel, on a :

( )( )

1 6 30 6

30 6 30 6

30 6

30 36

30 6

n n

n n

n

n n

u u

u u

u u

u

+ − = + −

+ − + +

= + +

+ −

= + +

Par ailleurs, comme u₀= 30 et comme

( )

un est croissante, on a : ∀ ∈n `,u<sub>n</sub>≥ 30. On en tire alors : ∀ ∈n `, 30+u_n≥30+ 30 puis ∀ ∈n `, 30+u_n + ≥6 30+ 30+ >6 0

et enfin : 1 1

,

30 n 6 30 30 6

n

∀ ∈ u ≤

+ + + +

` .

On a donc :

1

6 6

6 30 6 30 30 6

n n

n

n

u u

u ⁺ u

− −

− = ≤

+ + + +

Le résultat est ainsi établi.

1

, 6 6

30 30 6

n n

n u ₊ u −

∀ ∈ − ≤

+ +

`

Question 7.

Nous allons établir ce résultat par récurrence.

Initialisation.

On a bien sûr :

(

⁰

) (

⁰

)

0 0 0

6 6

6

30 30 6 30 30 6

u u

u − −

− = ≤

+ + + +

. La propriété est donc vraie au rang 0.

Hérédité.

Soit maintenant n un entier naturel quelconque fixé. On suppose que la propriété est vraie au rang n, c'est-à-dire :

(

^{0 6}

)

6

30 30 6

n n

u u −

− ≤

+ +

.

En utilisant le résultat de la question précédente, on a alors :

(

⁰

) (

⁰

)

1 1

6 1 6 6

6

30 30 6 30 30 6 30 30 6 30 30 6

n

n n n

u u u

u ₊ − − − ₊

− ≤ ≤ × =

+ + + + + + + +

La propriété est donc vraie au rang n+1. Elle est héréditaire.

Conclusion.

La propriété est vraie pour tout entier naturel n.

(

^{0 6}

)

, 6

30 30 6

n n

n u u −

∀ ∈ − ≤

+ +

`

Question 8.

On veut u_n− ≤6 10⁻⁹. En utilisant le résultat de la question précédente, cette inégalité sera vérifiée si on a :

(

^{30+u0−306 +6}

)

^{n ≤10−9.}

On a :

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

0 9

9 0

9

9

9

6 10

30 30 6

6 10 30 30 6

30 6 10 30 30 6

ln 30 6 10 ln 30 30 6

ln 30 6 10

ln 30 30 6

n

n

n

u

u

n

n

− −

≤

+ +

⇔ − ≤ + +

⇔ − ≤ + +

⇔ − ≤ + +

⇔ ≥ −

+ +

Or, on a :

( )

( )

ln 30 6 109

9, 018 5

ln 30 30 6

−

+ + . On choisit donc N =10.

Pour N =10, on a : n≥N⇒ u_n− ≤6 10⁻⁹.