Séances 7 & 8 (29 & 30 novembre)

SEMAINE 4 : S ´ EANCES DU 29 ET 30/11/07

5. Involutions et d´ecompositions de Cartan

5.1. Conjugaison par rapport `a une forme r´eelle. —

Définition 5.1. — ⁽⁸⁾ Soitgune C-alg`ebre de Lie et soitg<sub>0</sub> une forme r´eelle de g (ou, de fa¸con ´equivalente, soientg<sub>0</sub> une R-alg`ebre de Lie et g =g₀⊗_RC).

Alors,

g^R=g₀L ig₀

et l’on d´efinit la conjugaison par rapport `a g₀ par σ(X +iY) = X−iY, ∀X,Y ∈g₀.

Alorsσ²= id, etσ estR-lin´eaire et pr´eserve le crochet de Lie, c.-`a-d., c’est un automorphisme involutif de l’alg`ebre de Lieg^R. De plus,σ estC-semi-lin´eaire, c.-`a-d., pour tout Z∈g, on a

σ(iZ) =−iσ(Z), d’o`u σ(λZ) =λZ, ∀λ∈C.

On r´esume ces propri´et´es en disant queσ est une involution semi-lin´eaire de g.

R´eciproquement, soit τ une telle involution semi-lin´eaire de g, c.-`a-d., un automorphisme involutif de R-alg`ebre de Lie qui v´erifieτ ◦J =−J◦τ, o`u J d´esigne l’op´erateur de multiplication pari. Notonsg<sup>τ</sup> etg<sup>τ,−</sup> les invariants et anti-invariants deτ, c.-`a-d., les sous-espaces propres associ´es `a la valeur propre 1, resp.−1. Alors

g=g^τL g^τ,−,

et comme τ est un automorphisme deR-alg`ebre de Lie, on a [g^τ,g^τ]⊆g^τ, [g^τ,−,g^τ,−]⊆g^τ, [g^τ,g^τ,−]⊆g^τ,−.

(8)version du 30/11/07

Donc g₀ := g^τ est une sous-alg`ebre de Lie et g<sup>τ,−</sup> est ung<sub>0</sub>-module. De plus, commeτ i=−iτ, on voit facilement que la multiplication pari´echange g<sup>τ</sup> et g<sup>τ,−</sup>, c.-`a-d., on a

g^τ,− =ig₀ d’o`u g=g₀L ig₀.

Doncg₀ est uneR-forme degetτ est la conjugaison associ´ee. En conclusion : se donner une forme r´eelle deg´equivaut `a

se donner une involution semi-lin´eaire de g.

Notation 5.2. — On note Aut_C(g) le groupe des automorphismes (C-lin´eaires) de la C-alg`ebre de Lie g, et Aut⁰_C(g) sa composante connexe. C’est un sous- groupe ferm´e de Aut_R(g^R), resp. de Aut⁰_R(g^R).

Lemme 5.3. — Soient g₀ et g₁ deux formes r´eelles de g, et soient τ₀, τ₁ les conjugaisons associ´ees. Alors g₀ etg₁ sont isomorphes (comme R-alg`ebres de Lie)si et seulement siτ<sub>0</sub>etτ<sub>1</sub> sont conjugu´ees sousAut<sub>C</sub>(g), c.-`a-d., s’il existe φ∈Aut_C(g) tel que

φ◦τ₀◦φ⁻¹ =τ₁.

D´emonstration. — Supposons que ψ : g₀ → g₁ soit un isomorphisme de R- alg`ebres de Lie. Alorsψ induit unC-isomorphisme φ:

g=g₀⊕ig₀ −→^∼ g₁⊕ig₁ =g, x₀+iy₀ 7→ψ(x₀) +iψ(y₀),

et l’on aτ₁ =φ◦τ₀◦φ⁻¹. R´eciproquement, siφ∈Aut_C(g) v´erifie cette ´egalit´e, alors φ induit un R-isomorphisme de g₀ = g^τ0 sur g^τ1 = g₁. Le lemme est d´emontr´e.

Proposition 5.4(Involutions qui commutent). — Soient g₁ et g₂ deux formes r´eelles de g, et τ₁, τ₂ les conjugaisons associ´ees. On a les ´equivalences :

τ₁τ₂ =τ₂τ₁⇔τ₁(g₂) =g₂⇔τ₂(g₁) =g₁.

D´emonstration. — Si τ₁τ₂ =τ₂τ₁ alorsτ₁ laisse stable les espaces propres de τ₂, d’o`u τ₁(g₂) =g₂, et de mˆemeτ₂(g₁) =g₁.

R´eciproquement, supposons que τ₁(g₂) = g₂. Comme τ₁τ₂ et τ₂τ₁ sont C- lin´eaires, il suffit de v´erifier qu’ils co¨ıncident surg₂, puisque g=g₂⊗_RC. Et commeg₂ est stable parτ₁, on a

g₂ =g^τ₂¹ ⊕g^τ₂^1,−.

Surg^τ₂¹, on aτ₁τ₂= id =τ₂τ₁, et sur l’autre facteur on a τ₁τ₂=−id =τ₂τ₁.

Ceci montre que τ₁ et τ₂ commutent. La proposition en d´ecoule.

5.2. Existence d’une d´ecomposition de Cartan. — Soient g une C- alg`ebre de Lie semi-simple,g₀ une R-forme deg, et σ la conjugaison associ´ee.

On a vu (Th´eor`eme 4.16) que g poss`ede une forme compacte u. Notons τ la conjugaison associ´ee.

Théorème 5.5. — Soient g uneC-alg`ebre de Lie semi-simple, g₀ et u deux R- formes de g, avec u compacte. Soient σ et τ les conjugaisons associ´ees. Il existe φ∈Aut⁰_C(g) tel que

φτ φ⁻¹ commute `a σ,

c.-`a-d., tel que g<sub>0</sub> soit stable parφτ φ<sup>−1</sup>, qui est la conjugaison par rapport `a la forme compacte φ(u).

D´emonstration. — Soit K_g la forme de Killing deg. On pose, pour X,Y ∈g, K_τ(X,Y) =−K_g(X, τ(Y)).

Lemme 5.6. — K_τ est une forme hermitienne d´efinie positive.

D´emonstration. — Il est clair que K_τ est C-lin´eaire (resp. semi-lin´eaire) en la premi`ere (resp. deuxi`eme) variable. Montrons qu’elle v´erifie la sym´etrie her- mitienne, c.-`a-d.,

∀X,Y∈g, K_τ(Y,X) = K_τ(X,Y).

Posant X =τ(Z) et utilisant la sym´etrie de K, ceci ´equivaut `a l’´egalit´e

∀X,Z∈g, K_g(Y,Z) = K_g(τ(Y), τ(Z)).

Comme τ est C-semi-lin´eaire, les deux termes sont des applications C- bilin´eaires, donc il suffit de v´erifier l’´egalit´e sur une base de g. Or, pour X,Y∈u, on aτ(Y) = Y, τ(Z) = Z, et, d’apr`es le lemme 3.23,

K_g(Y,Z) = K_u(Y,Z)∈R,

d’o`u l’´egalit´e d´esir´ee. Ceci prouve que K_τ est une forme hermitienne. Pour montrer qu’elle est d´efinie positive, il suffit de montrer que K_τ(X,X) > 0 lorsque X parcourt une base deg. Or, pour tout X∈u, on a

K_τ(X,X) =−K_g(X,X) =−K_u(X,X)>0,

puisque K_u est d´efinie n´egative (caru est une forme compacte). Le lemme est d´emontr´e.

Poursuivons la d´emonstration du th´eor`eme 5.5. Posons N =στ. Alors N est C-lin´eaire et est donc unC-automorphisme d’alg`ebre de Lie deg, donc N fixe K_g (Lemme 3.19 ). Observons que N⁻¹=τ σ. Alors, pour tout X,Y∈g,

K_τ(NX,Y) =−K_g(NX, τY) =−K_g(X, τ στY) = K_τ(X,NY).

Ceci montre que N est un op´erateur auto-adjoint pour le produit scalaire hermitien K_τ. Par cons´equent, N est diagonalisable, `a valeurs propres r´eelles, non nulles puisque N est inversible.

Pour toute la suite, on fixe une base B= (e₁, . . . , e_n) de g dans laquelle N est diagonale, et l’on consid´erera des matrices relativement `a cette base. Pour commencer, soit

P = N²,

c’est une matrice diagonale dont les coefficients diagonauxλ₁, . . . , λ_nsont des r´eels >0. On peut donc consid´erer leur logarithmeµ_i = log(λ_i) et la matrice diagonale

D :=





µ₁ · · · 0 ... . .. ...

0 · · ·µ_n



.

Pour toutt∈R, on pose alors λ^t_i = exp(tµ_i) et

P^t= exp(tD) =





λ^t₁ · · · 0 ... . .. ...

0 · · ·λ^t_n



.

Alors P^tN = N P^t, pour toutt∈R. Comme N appartient `a Aut_C(g), il en est de mˆeme de P = N². Montrons que P^t∈Aut_C(g) pour toutt∈R.

Ecrivons [e´ _i, e_j] =P_n

k=1c_i,j;ke_k. Appliquant l’automorphisme P, on obtient les ´egalit´es

∀i, j, k, (λ_iλ_j−λ_k)c_i,j;k= 0.

Donc, chaque fois que c_i,j;k6= 0 on aλ_iλ_j =λ_k, d’o`uµ_i+µ_j =µ_k et donc

∀t∈R, λ^t_iλ^t_jc_i,j;k=λ^t_kc_i,j;k,

et bien sˆur cette ´egalit´e est aussi v´erifi´ee lorsquec_i,j;k = 0. Ceci montre que P^t est un automorphisme deg, pour toutt∈R. On pose alors, pour toutt,

τ_t= P^t◦τ ◦P^−t;

c’est la conjugaison par rapport `a la forme compacte P<sup>t</sup>(u). Montrons que, pour tbien choisi,τ<sub>t</sub> commute `aσ. Observons d’abord que

τNτ⁻¹=τ σ= N⁻¹ d’o`u τPτ⁻¹ = P⁻¹ et τP = P⁻¹τ.

Par un calcul matriciel analogue au pr´ec´edent (facile car P et P^t sont diago- nales), on obtient que

∀t∈R, τP^t= P^−tτ.

Alors : ½

στ_t=σP^tτP^−t= NP^−2t,

τ_tσ = P^tτP^−tσ= P^2tN⁻¹ = N⁻¹P^2t,

la derni`ere ´egalit´e r´esultant du fait que N⁻¹ et P^2tsont diagonales, donc com- mutent. Donc, on voit que

στ_t=τ_tσ⇔N²= P^4t,

et comme N² = P, cette ´egalit´e est v´erifi´ee pourt= 1/4. Par cons´equent, l’au- tomorphismeφ= P^1/4= exp(D/4) convient. Enfin, le sous-groupe `a un para- m`etre t 7→ exp(tD) = P^t est `a valeurs dans la composante connexe Aut<sup>0</sup><sub>C</sub>(g), doncφ∈Aut<sup>0</sup><sub>C</sub>(g). Le th´eor`eme est d´emontr´e.

Définition 5.7. — Soientg₀ uneR-alg`ebre de Lie semi-simple,g=g<sub>0</sub>⊗<sub>R</sub>C, et σ la conjugaison par rapport `ag₀. D’apr`es le th´eor`eme 5.5, il existe une forme r´eelle compacte u de g telle que la conjugaison associ´ee τ commute `a σ, et donc laisse stableg₀. On a donc :

(∗) g₀ =g^τ₀ ⊕g^τ,−₀ = (g₀∩u)⊕(g₀∩iu).

Alors k := g₀ ∩u est une sous-alg`ebre de Lie de g<sub>0</sub>, et p := g<sub>0</sub> ∩iu est un k-module, et l’on a [p,p]⊆k. L’involutionτ (= conjugaison par rapport `a une forme compacte de gqui laisse stableg₀), ou sa restrictionτ|_g0 `ag₀, s’appelle une involution de Cartande g₀, et la d´ecomposition associ´ee

(∗) g₀=k⊕p=g^τ₀ ⊕g^τ,−₀

s’appelle uned´ecomposition de Cartandeg₀. On va voir dans le paragraphe suivant qu’une involution (resp. d´ecomposition) de Cartan deg₀ est unique `a conjugaison pr`es.

5.3. Conjugaison des formes compactes et d´ecompositions de Car- tan. — Soient g₀ une R-alg`ebre de Lie semi-simple, g = g₀ ⊗_RC, et σ la conjugaison associ´ee.

Théorème 5.8. — 1) Soient u₁ et u₂ deux formes r´eelles compactes de g, et τ₁, τ₂ les conjugaisons associ´ees. Il existe un sous-groupe `a un param`etre t7→

P^t de Aut_C(g) tel que φ= P^1/4 envoie u₂ sur u₁. Par cons´equent, toutes les formes compactes de g sont conjugu´ees par Aut⁰_C(g).

2) Si τ₁ et τ₂ commutent `a σ, et d´efinissent donc des d´ecompositions de Cartan

g₀ =k₁⊕p₁=k₂⊕p₂,

o`u k_r =g₀∩u_r et p_r =g₀∩ip_r pour r = 1,2, alors P^t stabilise g₀, pour tout t ∈ R, et φ = P^1/4 envoie k₂ sur k₁ et p₂ sur p₁. Par cons´equent, toutes les d´ecompositions de Cartan de g₀ sont conjugu´ees par Aut⁰_R(g₀).

D´emonstration. — 1) Appliquons le th´eor`eme 5.5 `au =u₂ etg₀=u₁. Alors, posant

N =τ₁τ₂, P = N²,

et introduisant comme pr´ec´edemment le sous-groupe `a un param`etre t7→P^t, on obtient, pour φ= P^1/4, que φ(u₂) est stable par τ₁, d’o`u

φ(u₂) = (φ(u₂)∩u₁)L

(φ(u₂)∩iu₁).

Or,u₂ etu₁ sont des formes r´eelles compactes deg et donc, pourx∈u₂\ {0}

ety∈u₁\ {0} on a :

K_g(iy, iy) =−K_g(y, y) =−K_u1(y, y)>0 K_g(φ(x), φ(x)) = K_g(x, x) = K_u2(x, x)<0.

Il en r´esulte queu₂∩iu₁= (0), d’o`uφ(u<sub>2</sub>)⊆u<sub>1</sub>. Commeφest bijectif etu<sub>2</sub>,u<sub>1</sub> ont mˆeme dimension sur R(`a savoir dim_Cg), on obtient

φ(u₂) =u₁. Ceci prouve 1).

2) Supposons de plus queτ₁ etτ₂ commutent `a σ. Alors, il en est de mˆeme de N = τ<sub>1</sub>τ<sub>2</sub> et de P = N<sup>2</sup>. Se pla¸cant dans une base o`u N, et donc P, est diagonale, l’´egalit´e σP = Pσ entraˆıne, par le mˆeme calcul que dans la preuve du th´eor`eme 5.5, que

σP^t= P^tσ, ∀t∈R.

Donc chaque P^t laisse stable les espaces propres de σ, d’o`u P<sup>t</sup>(g<sub>0</sub>) ⊆g<sub>0</sub> pour tout t ∈ g<sub>0</sub>. Par cons´equent, d´esignant par θ<sub>t</sub> la restriction de P<sup>t</sup> `a g₀, on obtient un sous-groupe `a un param`etre

t7→θ_t, R−→Aut⁰_R(g₀).

Posons ψ = θ_1/4 = P^1/4|_g0. Comme P^1/4 applique bijectivement u₂ sur u₁ et iu₂ suriu₁ (car chaque P^test C-lin´eaire), alorsψ est un ´el´ement de Aut⁰_R(g₀) qui applique bijectivementk₂surk₁etp₂surp₁. Le th´eor`eme est d´emontr´e.

5.4. Correspondance entre formes r´eelles et involutions de g. — Soient g une C-alg`ebre de Lie semi-simple, h une sous-alg`ebre de Cartan, R = R(g,h) le syst`eme de racines, ∆ une base de R,

(h_α)_α∈∆S

(e_β)_β∈R une base de Chevalley deg,

u₀ = L

α∈∆

Rih_αL L

β∈R⁺

(R(e_β−e_−β)⊕Ri(e_β+e_−β))

la forme compacte deg construite dans le th´eor`eme 4.16, etτ₀ la conjugaison associ´ee.

Pour ´eviter des confusions dans ce qui suit, pr´ecisons la terminologie utilis´ee.

Définition 5.9. — 1) Une involution de u₀, resp. de g, est un ´el´ement σ de Aut_R(u₀), resp. Aut_C(g), tel queσ² = id.

2) On a vu (5.1) que se donner une forme r´eelleg₀ deg´equivaut `a se donner une involutionσdeg<sup>R</sup>qui est de plusC-semilin´eaire, c.-`a-d., qui anticommute

`a la multiplication par i.

3) Nous dirons qu’une forme r´eelleg₀ degestcompatible `au<sub>0</sub>si la conju- gaison associ´ee σ commute `a τ₀. D’apr`es la proposition 5.4, ceci ´equivaut `a dire queu₀ (resp.g₀) est stable parσ (resp. parτ₀), et dans ce cas

g₀ = (g₀∩u₀)L

(g₀∩iu₀) est une d´ecomposition de Cartan deg₀.

Observons que si g₀ est une forme r´eelle de g, alors tout γ ∈ Aut_R(g₀) se prolonge de fa¸con unique en un automorphismeγ_C∈Aut_C(g) ; par cons´equent, on a une identification naturelle :

Aut_R(g₀) ={φ∈Aut_C(g)|φ(g₀) =g₀}.

Ceci vaut, en particulier, pour g₀ =u₀. On note : {involutions deu₀}

.

Aut_R(u₀)

l’ensemble des classes de conjugaison d’involutions dans Aut_R(u₀), et l’on note de mˆeme{formes r´eelles deg}/Aut_C(g) l’ensemble des classes de conjugaison sous Aut_C(g) de formes r´eelles de g. Noter que Aut_R(u₀) et Aut_C(g) ne sont pas n´ecessairement connexes !

Théorème 5.10. — On a des bijections

{formes r´eelles de g}/Aut_C(g)^{oo (∗)//}

nformes r´eelles de g compatibles `au0

o .

Aut_R(u₀)

33

ssggggggggggggggg(†) ggggg

{involutions deu₀}/Aut_R(u₀).

D´emonstration. — D’apr`es le th´eor`eme 5.5, toute forme r´eelle deg est conju- gu´ee sous Aut⁰_C(g) `a une forme r´eelle g<sub>1</sub> compatible `a u₀. Soit g₂ une autre forme r´eelle compatible `a u₀. Pour ´etablir la bijection (∗), il faut voir que si g₁ etg₂ sont conjugu´ees sous Aut_C(g), alors elles le sont sous Aut_R(u₀).

Supposons donc qu’il existeφ∈Aut_C(g) tel que φ(g₁) =g₂. Alors, g₂ = (g₂∩u₀) L

(g₂∩iu₀)

=φ(g₁∩u₀)L

φ(g₁∩iu₀)

sont deux d´ecompositions de Cartan de g₂. Donc, d’apr`es le th´eor`eme 5.8, il existeγ ∈Aut_R(g₂) tel que

γφ(g₁∩u₀) =g₂∩u₀ et γφ(g₁∩iu₀) =g₂∩iu₀. Alorsψ:=γ_C◦φappartient `a Aut_C(g) et v´erifie :

ψ(g₁∩u₀) =g₂∩u₀ et ψ(ig₁∩u₀) =ig₂∩u₀. Comme on a, pour k= 1,2,

u₀ = (u₀∩g_k)L

(u₀∩ig_k),

il en r´esulte que ψ(u₀) =u₀, d’o`u ψ∈Aut_R(u₀). Ceci prouve que (∗) est une bijection.

D´efinissons maintenant la correspondance (†). Soientg₀ une forme r´eelle de g compatible `a u₀ etσ la conjugaison associ´ee. Alors σ laisse stable u₀, donc on peut lui associer sa restrictions=σ|_u0. De plus, on a

(1) g₀ = (g₀∩u₀)L

i(ig₀∩u₀) =u^s₀L iu^s,−₀ . R´eciproquement, soientsune involution de u₀ et

(2) u₀ =u^s₀L

u^s,−₀

la d´ecomposition correspondante. Alors u^s₀ est une sous-alg`ebre, u^s,−₀ un u^s₀- module, et l’on a [u^s,−₀ ,u^s,−₀ ]⊆u^s₀. Par cons´equent

(3) g₀(s) :=u^s₀L

iu^s,−₀

est une sous-alg`ebre de Lie de g, et c’en est une forme r´eelle. Notons σ la conjugaison associ´ee ; alors σ= 1 sur g₀(s) et σ=−1 surig₀(s) =u^s,−₀ ⊕iu^s₀, doncσ(u₀) =u₀ etσ|_u0 =s. Ceci montre que les applications

σ7→σ|_u0 et s7→g₀(s)

sont des bijections r´eciproques. De plus, elles sont clairement ´equivariantes sous Aut_R(u₀), d’o`u la bijection (†). Ceci prouve le th´eor`eme.

D’autre part, toute involution s de u₀ se prolonge en une involution s_C de g, et l’on a le th´eor`eme suivant, pour lequel on renvoie `a [Hel, X.1.4].

Théorème 5.11. — L’applications7→s_C induit une bijection

{involutions de u₀}/Aut_R(u₀)↔ {involutions de g}/Aut_C(g).

Ces deux th´eor`emes ram`enent la classification des formes r´eelles de g `a la question, purement alg´ebrique, de la classification des classes de conjugaison d’involutions dans Aut<sub>C</sub>(g). Cette classification est faite dans [Hel,§X.5], voir aussi [Ka, Chap. 8]. On va donner sans d´emonstrations, dans le paragraphe 5.6 plus bas, la classification desR-alg`ebres de Lie simplesg₀de«type classique».

5.5. R-alg`ebres de Lie absolument simples. — Commen¸cons par le lemme suivant.

Lemme 5.12. — SoitguneC-alg`ebre de Lie simple. Alorsg<sup>R</sup>est uneR-alg`ebre de Lie simple.

D´emonstration. — Soit h un id´eal non nul de g^R. D’apr`es le corollaire 3.30, on sait d´ej`a queg^Rest semi-simple et l’id´ealhest somme directe de R-alg`ebre de Lie simples. On a donc

[g,h]⊆h= [h,h], d’o`u h= [g,h].

Donc, tout H∈hs’´ecrit H =P_n

k=1[X_k,Y_k], avec X_k∈g, Y_k∈h. Alors iH =

Xn

k=1

[iX_k,Y_k]∈[g,h] =h.

Ceci montre que hest stable par multiplication par i donc est un C-id´eal de g. Commeg est simple, il vienth=g. Ceci prouve queg^Rest simple.

Donc, parmi les R-alg`ebres de Lie simples, on trouve les g<sup>R</sup>, pour g une C-alg`ebre de Lie simple. Celles-ci sont caract´eris´ees par les r´esultats suivants.

Lemme 5.13. — Soit g une C-alg`ebre de Lie simple. Alors g<sup>R</sup>⊗<sub>R</sub>C est iso- morphe `a g×g, donc n’est pas simple. De plus, g est uniquement d´etermin´ee par g^R.

D´emonstration. — On a vu que g admet au moins une forme r´eelle g₀, par exemple la forme d´eploy´ee 4.8 (ou la forme compacte 4.16). Donc g∼=g₀⊗_R C. Comme C⊗_R C ∼= C×C (isomorphisme de C-alg`ebres), on obtient un isomorphisme de C-alg`ebres de Lie :

g^R⊗C∼=g₀⊗_R(C×C)∼=g×g.

Ceci prouve la premi`ere assertion. La deuxi`eme d´ecoule de l’unicit´e des com- posantes simples d’une alg`ebre de Lie semi-simple (cf. Th´eor`eme 3.4).

Définition 5.14. — Soit g₀ une R-alg`ebre de Lie simple. On dit que g<sub>0</sub> est absolument simplesig<sub>0</sub>⊗<sub>R</sub>Cest une C-alg`ebre de Liesimple.

On vient de voir que si g est une C-alg`ebre de Lie simple, alors g<sup>R</sup> est une R-alg`ebre de Lie simple maispas absolument simple. Ceci caract´erise les g^R, d’apr`es la proposition qui suit.

Lemme 5.15. — SoientV₀ un R-espace vectoriel, V = V₀⊗_RC et τ la conju- gaison par rapport `a V₀. Soit W un sous-C-espace vectoriel de V et soit W₀ = W∩V₀. Alors :

τ(W) = W⇔W = W₀⊗_RC.

D´emonstration. — L’implication⇐est claire. D’autre part, l’application com- pos´ee

W₀⊗_RC−→^f W,→V = V₀⊗_RC

est injective, donc il en est de mˆeme de f. Montrons que f est surjective si τ(W) = W. Soitx∈W. Comme W estτ-stable, alors

Re(x) := x+τ(x)

2 et Im(x) :=iτ(x)−x

2 appartiennent `a W, et sont fix´es parτ, donc appartiennent `a W₀, et l’on a

x= Re(x) +iIm(x)∈W₀⊗_RC.

Ceci montre que f est surjective. Le lemme est d´emontr´e.

Proposition 5.16. — Soitg₀ uneR-alg`ebre de Lie simple telle que g=g₀⊗_RC ne soit pas simple. Alors

g∼=s×s,

o`u s est une C-alg`ebre de Lie simple uniquement d´etermin´ee, etg₀∼=s^R. D´emonstration. — Notons τ la conjugaison de g d´efinie par g₀. On sait d´ej`a que g est semi-simple (corollaire 3.30). Soit s un id´eal simple (non-ab´elien !) de g. Alorsτ(s) est un id´eal de g, donc

s∩τ(s) et s+τ(s).

sont des id´eaux deg qui sont τ-stables, donc d’apr`es le lemme 5.15 on a : s∩τ(s) =a₀⊗_RC, s+τ(s) =b₀⊗_RC,

o`u a<sub>0</sub>,b<sub>0</sub> sont des id´eaux de de g<sub>0</sub>, nuls ou ´egaux `a g₀ puisque g₀ est simple.

Commes6= 0, on a b₀ 6= 0, d’o`ub₀=g₀ et

(1) s+τ(s) =g.

D’autre part, on ne peut avoira₀ =g₀, car sinon g=a₀⊗_RC serait contenue danss, d’o`ug=s, contredisant la non-simplicit´e deg. Donca₀ = 0 =s∩τ(s).

Par cons´equent, la somme (1) est unesomme directe, et [s, τ(s)] est nul, puisque contenu danss∩τ(s) = 0. Donc, gest le produit direct :

(2) g=s×τ(s).

Notons p : g → s la projection sur le premier facteur ; c’est un morphisme de C-alg`ebres de Lie. Comme l’inclusion η : g<sub>0</sub> ,→ g est un morphisme de R-alg`ebres de Lie, la compos´ee

φ=p◦η:g₀ −→s

est un morphisme deR-alg`ebres de Lie, de noyaug<sub>0</sub>∩τ(s). Ce noyau est nul, car si X ∈ g<sub>0</sub>∩τ(s), alors X = τ(X) appartient `a τ(s)∩s = 0. Donc φ est injectif. Or, comme dim_Rs= dim_Rτ(s), il r´esulte de (2) que

2 dim_Rs= dim_Rg= 2 dim_Rg₀,

d’o`u dim<sub>R</sub>s= dim<sub>R</sub>g<sub>0</sub>. Par cons´equent,φest surjectif, donc un isomorphisme de R-alg`ebres de Lie deg₀ surs. Alors, il r´esulte du lemme 5.13 que

g=s^R⊗_RC∼=s×s,

ets est uniquement d´etermin´ee. La proposition est d´emontr´ee.

En conclusion, on a obtenu le th´eor`eme suivant.

Théorème 5.17(L’alternative « complexe/absolument simple »)

Soit g₀ uneR-alg`ebre de Lie simple. Alors, de deux choses l’une :

1) ou bien g₀ est complexe, c.-`a-d., g<sub>0</sub> = g<sup>R</sup> pour une C-alg`ebre de Lie simple, unique `a isomorphisme pr`es ;

2)ou bien g₀ est absolument simple, et donc g₀ est une forme r´eelle de la C-alg`ebre de Lie simpleg=g₀⊗_RC.

5.6. Aper¸cu de la classification. — Pour terminer, donnons un aper¸cu de la classification des R-alg`ebres de Lie absolument simples classiques. Les r´ef´erences pour ce paragraphe sont [Ti,§IV.6.3], [Hel,§X.2] et [Kna,§I.8 &

§I.17].

Soit Hle corps (non-commutatif) des quaternions, il admet comme R-base (1, i, j, k), avec la table de multiplication suivante :i² =−1 =j² =k², et

ij =k=−ji, jk =i=−kj, ki=j=−ik.

Le centre de H est R. Pour tout x = a+ib+jc+kd, avec a, b, c, d∈ R, on pose

x=a−ib−jc−jd.

Alors, τ :x7→x est une anti-involutionde H, c.-`a-d., τ²= id et

∀x, y∈H, xy=y x.

Pour toutx∈H, on pose

Re(x) = x+x

2 Pu(x) = x−x

2 , et l’on dit que x est un quaternionpursix= Pu(x).

Pour tout n> 1, on consid`ere H<sup>n</sup> comme un H-espace vectoriel`a droite, ceci afin de pouvoir ´ecrire les endomorphismes `a gauche. C.-`a-d., notant (e₁, . . . , e_n) la base canonique, tout ´el´ement deHⁿ s’´ecrit de fa¸con unique

x= Xn

`=1

e_{`</sub>x<sub>`}, avec x_`∈H.

Alors, End(Hⁿ) s’identifie `a M<sub>n</sub>(H), c.-`a-d., un endomorphismeuest repr´esent´e par la matrice (α_r,s)ⁿ_r,s=1, o`u

u(e_s) = Xn

r=1

e_rα_r,s,

et l’on a

u(x) =





α_1,1 · · ·α_1,n ... . .. ...

α_n,1 · · ·α_n,n







 x₁

... x_n



.

Le centre de M_n(H) estRI_n, o`u I<sub>n</sub>est la matrice identit´e. Ceci conduit `a poser (∗) sl_n(H) ={M∈M_n(H)|Re Tr(M) = 0};

on a alors M_n(H) =RI_nL

sl_n(H).

Pour toute anti-involution σ de H, on a une notion de forme hermitienne ou anti-hermitienne surHⁿ relativement `aσ : c’est une application biadditive

φ:Hⁿ×Hⁿ−→H,

qui v´erifieφ(xt, yt⁰) =σ(t)φ(x, y)t⁰, pourx, y∈Hⁿett, t⁰ ∈H, ainsi que l’une des propri´et´es de sym´etrie suivantes :

φ(y, x) =

½ σ(φ(x, y)) cas hermitien ;

−σ(φ(x, y)) cas anti-hermitien . On associe `aφsa matrice

J(φ) =





φ(e₁, e₁) · · ·φ(e₁, e_n) ... . .. ... φ(e_n, e₁)· · ·φ(e_n, e_n)



;

alors, si x, y ∈ Hⁿ sont repr´esent´es, comme d’habitude, par des vecteurs co- lonnes X,Y, on a (o`u ^tM d´esigne la transpos´ee de M) :

φ(x, y) =^tσ(X) J(φ) Y = Xn

r,s=1

σ(x_r)φ(e_r, e_s)y_s.

La condition queφsoit hermitienne, resp. anti-hermitienne, ´equivaut `a

tσ(J) = J, resp. ^tσ(J) =−J.

A` σ etφ, on associe le groupe

U_σ(φ) ={A∈Aut(Hⁿ)|^tσ(A) J A = J}

et l’alg`ebre de Lie

su_σ(φ) ={M∈sl_n(H)|^tσ(M) J + J M = 0}.

(En fait, notant GL_n(H) = Aut(Hⁿ), on a une identification GL_n(H) =

½µA −B B A

¶

∈GL_2n(C)

¾ ,

et l’on note SL_n(H) := GL_n(H) ∩SL_2n(C). C’est un sous-groupe ferm´e de GL_4n(R), et son alg`ebre de Lie estsl<sub>n</sub>(H). Les sous-groupes U<sub>σ</sub>(φ) sont auto- matiquement contenus dans SL<sub>n</sub>(H) et donc leur alg`ebre de Lie dans sl_n(H), ce qui explique la notation su_σ(φ).)

Il y a une notion de«similitude» entre formes hermitiennes ou anti-hermi- tiennes ; en particulier des formes similaires donnent des groupes et alg`ebres de Lie isomorphes. D’apr`es [Ti, IV.6.3], les matrices suivantes forment un syst`eme complet de repr´esentants des classes de similitudes de formes hermitiennes ou anti-hermitiennes, relativement `a l’anti-involution t7→t deH:

F_r=

µI_n−r 0 0 −I_r

¶

, (r >0, 2r 6n) F_α=iI_n

On obtient ainsi, d’une part, les groupes U(n, r,H) et alg`ebres de Lie su(n, r,H), r > 0, 2r 6 n, qui sont des formes r´eelles de la C-alg`ebre de Lie simple de type C_n, not´ee sp_2n(C) dans le cours d’Introduction. La forme compacte estsu(n,0,H), not´eesu(n,H).

D’autre part, pour n> 3, on obtient le groupe U_α(n,H) dont l’alg`ebre de Lie su<sub>α</sub>(n,H) est une forme r´eelle de la C-alg`ebre de Lie simple de type D_n, not´ee so_2n(C).

A ces groupes et alg`ebres de Lie construits `a l’aide des quaternions, il` convient d’ajouter les groupes et alg`ebres de Lie «plus classiques» SL_n(R), SU(p, q), SO(p, q) et Sp(2n,R). En r´esum´e, on obtient la table suivante, dans laquelle on a indiqu´e les noms qu’on trouve dans Tits [Ti] d’une part, ou dans Helgason [Hel] ou Knapp [Kna], d’autre part. Ces noms diff`erent pour les groupes li´es aux quaternions, et aussi pour l’indice n ou 2n du groupe symplectique ; dans ces cas, on a donn´e les deux notations (T) et (H-K).

Pour chaque type, on a indiqu´e la forme d´eploy´ee, la forme compacte, les autres formes, et des groupes de Lie associ´es. Pour les s´eries SO, on a r´ep´et´e la forme d´eploy´ee parmi la liste des autres cas.

type d´eploy´ee compacte autres

A_n−1 sl_n(R) su(n) su(p, q), sl(n/2,H)(npair)

A_n−1 SL_n(R) SU(n) SU(p, q) SL(n/2,H)(npair)

B_n so(n+ 1, n) so(2n+ 1) so(p, q) (p+q=2n+1)

B_n SO(n+ 1, n) SO(2n+ 1) SO(p, q) (p+q=2n+1)

C_n (T) sp_2n(R) su(n,H) su(n, r,H)

C_n (T) SP_2n(R) SU(n,H) SU(n, r,H)

C_n (H-K) sp_n(R) sp(n) sp(p, q)

C_n (H-K) SP_n(R) SP(n) SP(p, q)

D_n (T) so(n, n) so(2n) so(p, q), su_α(n,H) D_n (T) SO(n, n) SO(2n) SO(p, q), U_α(n,H) D_n (H-K) so(n, n) so(2n) so(p, q), so^∗(2n) D_n (H-K) SO(n, n) SO(2n) SO(p, q), SO^∗(2n)

I. Groupes de Lie r´eels et groupes alg´ebriques sur C

S´eance du 8/11/07 . . . 1

1. Groupes de Lie . . . 1

1.1. Vari´et´es diff´erentiables . . . 1

1.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 5

1.3. Espace tangent en un point `a une sous-vari´et´e deR^N . . . 8

1.4. Sous-vari´et´es d´efinies par des ´equations de rang constant . . . 11

1.5. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 14

I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 9/11/07 . . . 17

1.6. D´erivations et champs de vecteurs . . . 17

1.7. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 27

I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 15/11/07 . . . 31

2. Groupes et alg`ebres de Lie . . . 31

2.1. Le cas de GL_n . . . 31

2.2. Un «rappel»sur espaces tangents et diff´erentielles . . . 33

2.3. Sous-groupes de Lie ferm´es . . . 34

2.4. Repr´esentations . . . 38

2.5. Champs de vecteurs et flots . . . 42

2.6. Exponentielle d’un groupe de Lie . . . 44

2.7. G-vari´et´es et repr´esentations d’isotropie . . . 47

2.8. Action adjointe . . . 48

I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 16/11/07 . . . 49

2.8. Action adjointe, suite . . . 49

2.9. Sous-groupes et sous-alg`ebres de Lie . . . 52

2.10. Sous-groupes ferm´es d’un groupe de Lie . . . 55

2.11. Le yoga des -zateurs . . . 58

I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 22/11/07 . . . 63

2.12. Morphismes de groupes et d’alg`ebres de Lie . . . 63

2.13. Revˆetement universel d’un groupe de Lie semi-simple compact 68 I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 23/11/07 . . . 71

3. Alg`ebres de Lie semi-simples compactes ou complexes . . . 71

3.1. Automorphismes et d´erivations . . . 71

3.2. R-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 72

3.3. Groupes de Lie semi-simples 1-connexes . . . 73

3.4. Int´egration invariante et groupes de Lie compacts . . . 75

3.5. Groupes et alg`ebres de Lie semi-simples compacts . . . 78

3.6. Alg`ebres de Lie semi-simples compactes . . . 79

3.7. Extension et restriction des scalaires . . . 81

4. Formes r´eelles d´eploy´ees ou bien compactes . . . 83

4.1. Bases de Chevalley . . . 84

4.2. Formes d´eploy´ees . . . 87

4.3. Formes compactes . . . 89

4.4. Astuce unitaire de Weyl . . . 90

I. Groupes de Lie r´eels (suite) Semaine 4 : s´eances du 29 et 30/11/07 . . . 93

5. Involutions et d´ecompositions de Cartan . . . 93

5.1. Conjugaison par rapport `a une forme r´eelle . . . 93

5.2. Existence d’une d´ecomposition de Cartan . . . 95

5.3. Conjugaison des formes compactes et d´ecompositions de Cartan 97 5.4. Correspondance entre formes r´eelles et involutions deg . . . 98

5.5. R-alg`ebres de Lie absolument simples . . . 101

5.6. Aper¸cu de la classification . . . 103

Bibliographie . . . iii

Bibliographie

[Abe] E. Abe, Hopf algebras, Cambridge Univ. Press, 1977.

[Ad] J. F. Adams, Lectures on Lie groups, Univ. Chicago Press, 1969.

[Am] Y. Amice, Les nombres p-adiques, P.U.F., 1975.

[AM] M. Atiyah, I. G. Macdonald, Commutative algebra, Addison Wesley, 1969.

[Bl] A. Blanchard, Les corps non commutatifs, P.U.F., 1972.

[Bo] A. Borel, Linear algebraic groups, Second enlarged edition, Springer Verlag, 1991.

[BA1-3] N. Bourbaki, Alg`ebre, Chapitres 1 `a 3, 1981.

[BA8] N. Bourbaki, Alg`ebre, Chap. 8, 1958.

[BL1] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 1, 1971.

[BL4-6] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 4–6, 1968.

[BL7-8] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 7-8, 1975.

[BI7-8] N. Bourbaki, Int´egration, Chap. 7-8, 1963.

[BrM] J. Brian¸con, Ph. Maisonobe, ´El´ements d’alg`ebre commutative, niveau M1, Ellipses, 2004.

[BS] M. Brion, G. Schwarz, Th´eorie des invariants & G´eom´etrie des vari´et´es quotients, Hermann, 2000.

[BtD] Th. Br¨ocker, T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Springer 1985 (3rd printing, 2003).

[Ca] H. Cartan, Cours de calcul diff´erentiel, Hermann, nouvelle ´edition, refondue et corrig´ee, 1977.

[Ca2] H. Cartan, Th´eorie ´el´ementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann, 1961, nouveau tirage, 1978.

[Die] J. Dieudonn´e, Cours de g´eom´etrie alg´ebrique, tome 2, P.U.F., 1974.

[Di74] J. Dixmier, Alg`ebres enveloppantes, Gauthier-Villars, 1974 [Di81] J. Dixmier, Topologie g´en´erale, P.U.F., 1981.

[Do88] D. Z. Dokovi´c, An elementary proof of the structure theorem for connected solvable affine algebraic groups, Enseign. Math. (2) 34 (1988), 269-273.

[Dold] A. Dold, Lectures on algebraic topology, Springer Classics in Mathe- matics, 1995.

[DK] J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie groups, Springer, 2000.

[Eis] D. Eisenbud, Commutative algebra with a view towards algebraic geometry, Springer, 1995.

[Fa] J. Faraut, Analyse sur les groupes de Lie, Calvage & Mounet, 2005.

[Go] R. Godement, Introduction `a la th´eorie des groupes de Lie, Publ.

Math. Paris VII, 1982, et Springer, 2004.

[GH] M. J. Greenberg, J. R. Harper, Algebraic Topology, a first course, Addison-Wesley, 1981.

[Ha] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag, 1977.

[Hel] S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press 1978, ninth printing Amer. Math. Soc. 2001.

[Her] I. N. Herstein, Noncommutative rings, Carus Math. Monogr., 1968, nouveau tirage, 1994.

[Ho] G. P. Hochschild, The structure of Lie groups, Holden-Day, 1965, trad.

fran¸caise : La structure des groupes de Lie, Dunod, 1968.

[Ho81] G. P. Hochschild, Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, Springer-Verlag, 1981.

[Hu] J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer-Verlag, 1972, third printing, revised, 1980.

[Hu2] J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Springer-Verlag, 1975, cor- rected 2nd printing 1981.

[Iit] S. Iitaka, Algebraic geometry, Springer, 1982.

[Jac] N. Jacobson, Lie algebras, Wiley, 1962, Dover, 1979.

[Jac80] N. Jacobson, Basic Algebra II, Freeman & Co., 1980.

[KSS] H. Kraft, P. Slodowy, T. A. Springer (Ed.), Algebraische Transfor- mationsgruppen und Invariantentheorie - Algebraic Transformation Groupes and Invariant Theory, Birk¨auser, 1989.

[Ka] V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Birkh¨auser 1983, 3rd edi- tion, Cambridge Univ. Press, 1990.

[Ke] G. R. Kempf, Algebraic varieties, Cambridge Univ. Press, 1993.

[Kna] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkh¨auser, 1996, 2nd edition, 2002.

[Ku] E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geome- try, Birkh¨auser, 1985.

[Laf74] J.-P. Lafon, Les formalismes fondamentaux de l’alg`ebre commutative, Hermann, 1974.

[Laf77] J.-P. Lafon, Alg`ebre commutative (Langages g´eom´etrique et alg´e- brique), Hermann, 1977.

[Laf] J. Lafontaine, Introduction aux vari´et´es diff´erentielles, Presses Univ.

Grenoble, 1996.

[La] S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1965. Traduction fran¸caise de la 3`eme ´edition :Alg`ebre, Dunod, 2004.

[Le] D. Leborgne, Calcul diff´erentiel et g´eom´etrie, P.U.F., 1982.

[Lu99] Retour sur un th´eor`eme de Chevalley, Enseign. Math. (2) 45 (1999), 317-320.

[Ma] P. Malliavin, G´eom´etrie diff´erentielle intrins`eque, Hermann, 1972.

[Ma1] H. Matsumura, Commutative algebra (2nd edition), Benjamin, 1980.

[Ma2] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, 1986, paperback edition with corrections, 1989.

[MT] R. Mneimn´e, F. Testard, Introduction `a la th´eorie des groupes de lie classiques, Hermann, 1986, nouveau tirage 2005.

[Pe] D. Perrin, G´eom´etrie alg´ebrique - Une introduction, Inter ´Editions/- CNRS ´Editions, 1995.

[Po1] P. Polo, Alg`ebre et th´eorie de Galois, cours de M1 `a l’Universit´e Paris 6, www.math.jussieu.fr/epolo

[Po2] P. Polo, Introduction aux groupes et alg`ebres de Lie, cours de M2 2006/07 `a l’Universit´e Paris 6, www.math.jussieu.fr/epolo

[Pi] G. Pichon, Groupes de Lie : repr´esentations lin´eaires et applications, Hermann, 1973.

[Ro] A. Robert, Introduction to the representation theory of compact and locally compact groups, Cambridge Univ. Press, 1983.

[Ru73] W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

[Ru75] W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, Masson, 1975.

[Se] J.-P. Serre, Alg`ebres de Lie semi-simples complexes, Benjamin, 1965, Complex semisimple Lie algebras, Springer, 2001.

[Spi] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I, Publish or Perish, 1970, 3rd edition 2005.

[Spr] T. A. Springer, Linear algebraic groups, Birk¨auser, 1981, 2nd edition 1998.

[Sw] M. E. Sweedler, Hopf Algebras, Benjamin, 1969.

[Ti] J. Tits, Liesche Gruppen und Algebren, Springer-Verlag, 1983.

[Va] V. S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations, Prentice-Hall 1974, Springer 1984.

[Wa] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott & Foresman, 1971, Springer, 1983.

[Zi] R. Zimmer, Essential results of functional analysis, Univ. Chicago Press, 1990.