Seconde solution de la question 461

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J. DE V IRIEU

Seconde solution de la question 461

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 18 (1859), p. 273-277

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SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 461

( voir page 242);

PAR M. J. DE VIRIEU, Rpftent à Sanmur,

I. La sommation de la série proposée peut se déduire du théorème suivant qui fait connaître une infinité de sé- ries convergentes et leurs sommes.

Soient xo une quantité entière nulle, positive ou né- gative ; x une variable entière ; ux une fonction de cette va- riable qui, lorsque celte dernière croît de x0 inclusive- ment à l'infini positif, reste toujours déterminée ainsi que

Ann.dcMaihrmat.,1 XVIII (Juillet i85y.) 18

ùt$x el tend vers une limite unique finie ou nulle. U représentant cette limite, on a

Ce théorème est une conséquence immédiate de l'équa- tion connue

« *0+ I - M = « x0 4 - à uX o H - A «X u + l - h . . . - h A «I o + i.

III. Soientƒ7, ^ des nombres entiers absolus non nuls;

ƒ, g des quantités entières distinctes telles, que

Si

"* = (* - h / ) (.r H- ƒ + ! ) . . . ( * + ƒ 4- /> - i).' on a

' * x-\-f+p *' Si

ou a

Si

on a

Si

4-/4- l) . .

( 275 ) on a

g)...(x + g+p — x

Si

", = '«S j on a

U = o, A. , = _ l o gV j B + / x + g+p/

III. Substituant ces valeurs et ces limites successive- ment dans l'équation A, on obtient

(* - h ƒ )(* - h ƒ + ! ) . . . ( *

— 0

1 1 r(x,4-g)(*. + gH-i)-.(.r.

—ƒ)

. ( + g) ( 4 g -4- 1).. . (x -t- g 4- y — 1 ) (* H-/) (*

18.

V x + g' (x

[* 4 - / ) (* -f- q -t- />) 4- V(* •+• g) {*

— I

Fr

/(^

-?)('

^g

)'"(^

= l«g

On aura la série proposée en posant

dans la première des formules ci-dessus.

IV. Soient m, n, b, c des quantités non nulles telles,, que

c m zzz « • » * . _ '

et a une quantité non nulle telle, que la fonction bax -f- c ne soit jamais nulle quand on fait croître x de x0 à 4- oo r

Posons

ma?-\- n

Si

« = 4 - i ,

ur n'est pas une fonction de x\ si la limite n'est pas unique.

o > a * < l , 13 = 1-, si Substituant dans À

I «*•

-He)""V