A574 les diviseurs de nn.
Pour k = 1,2,3,...on détermine la suite S des entiers positifs dont le terme général u(k) est égal au plus petit entier n tel que nn admet au moins 10k diviseurs entiers positifs.
Q1 Trouver le plus petit indice k1 tel qu'on trouve pour la première fois dans S deux termes consécutifs identiques, à savoir u(k1) =u(k1 +1)
Q2 Trouver le plus petit indice k2 tel qu'on trouve pour la première fois dans S trois termes consécutifs identiques, à savoir u(k2) = u(k2+1) = u(k2+2)
Q1) Soit f la fonction qui à tout nombre entier naturel n associe le nombre des diviseurs de nn . Soit g la fonction qui à tout nombre entier naturel n associe la caractéristique de log10 f(n).
Si on écrit n sous forme de produit de facteurs premiers : n = ax bycz , on a f(n) = (x.n+1)(y.n+1)(z.n+1)
Si x=y=z=1, si n = a.b.c, f(n) = (n+1)3 .
Les plus petits nombres composés de 2, 3, 4, 5 facteurs premiers distincts sont : 2*3, 2*3*5, 2*3*5*7, 2*3*5*7*11 pour lesquels on trouve :
f(6) = 49, f(30) = 29 791, f(210) = 1 982 119 441, f(2310) ≈ 6,59 E 16.
Donc u(4) < 30 , u(9) < 210, et u(16) < 2310 Pour n entier inférieur à 6, f(n)<10, donc u(1) = 6.
La suite S ne contient aucun nombre premier car si n est premier, f(n–1) >f(n).
Les nombres composés de l'intervalle [8, 28] font intervenir exactement 2 facteurs premiers.
Pour commencer, le tableau qui suit montre que u(2) = 10 et u(3) = 24. On déduit aussi u(4) = 30.
n 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 28
f(n) 25 19 121 325 225 256 65 703 861 484 529 1258 51 729 85 1653
g(n) 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 1 3
Les nombres inférieurs à 210 sont composés d'au plus 3 facteurs premiers. En ne retenant que ceux dont la décomposition contient 3 facteurs dont l'un au moins est affecté d'un exposant supérieur à 1, on obtient :
n 60 84 90 120 126 132 140 150 156 168 180 198 204
g(n) 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7
Donc u(5) = 60, u(6) = 84, u(7) = 168, et u(8) = u(9) = 210. Conclusion k1 = 8 . Q2) On a trouvé 2*3*5*7*11 = 2310, f(2310) ≈ 6,59 E 16 et u(16) < 2310
2310 est le plus petit nombre composé de cinq facteurs premiers.
Si u(16) était strictement inférieur à 2310, u(16) serait composé d'au plus quatre facteurs premiers.
Parmi les nombres inférieurs ou égaux à 2309, composés de quatre facteurs premiers affectés d'exposants maximaux, les nombres n susceptibles de maximiser log10 ( f(n) ) sont :
22.32.5.11= 1980, 23.3.5.17 = 2040, 22.3.52.7 = 2100, 2.32.7;17 = 2142 23.3.7.13 = 2184, 22.3.5.37 = 2220, 22.3.11.17=2244, 23.3.5.19 = 2280 Les résultats sont les suivants
n 1980 2040 2100 2142 2184 2220 2244 2280
log10 f(n) 13,78 13,72 13,39 13,36 13,38 13,37 13,37 13,39
n <2030 → log10 f(n) < 14 → g(n) < 13 , et g(2310) = 16.
Donc u(14) = u(15) = u(16) = 2310. Conclusion k2 = 14 .
