DATE : Mardi 19/11/2019 Tpro GA2, M SERRE
DÉMARCHE D'INVESTIGATION : LA POLLUTION A L'OZONE
C
ompétences et capacités évaluées :
S'APPROPRIER : comprendre l'énoncé (1)
ANALYSER : proposer un moyen de résoudre une problématique (2)
L'ozone est un polluant qui provient directement de la circulation automobile. Il résulte d'une réaction qui utilise le dioxyde d'azote (NO2). NO2 + O2 NO + O3 en présence d'UV
Des études ont montré qu'au cours d'une journée, entre 9h et 21h, la concentration en ozone au centre d'une ville est donnée par la relation C(t) = -0,7t² + 21t – 86
où t est le temps en heure et C(t) la concentration en µg/m3 à l'instant t.
Problématique : A quelle heure de la journée la pollution atteint-elle son maximum et quelle est sa concentration maximum ?
PARTIE 1.
1) Comment varie la concentration en ozone au cours d'une journée ? Selon quel(s) paramètre(s) ?
La formule dit que c’est une parabole en U inversé donc la concentration augmente, atteint un maximum et redescend.
2) Proposer un moyen de résoudre cette problématique qui utilise vos connaissances actuelles (calcul, calculatrice graphique, etc).
On rentre la formule à la calculatrice dans f(x), on trace la fonction, on va au maximum sur le graphique (avec les flèches) et on trouve le x et le y. Problème : les valeurs trouvées sont imprécises.
Appel n°1 : si vous n'avez pas d'idée , passer à la feuille 2 directement.
PARTIE 2.
On considère la fonction f(x) définie sur l'intervalle [9 ; 21] par f(x) = -0,7x² + 21x – 86
1) On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer f '(x) à l'aide du formulaire en page 3.
f ‘(x) = -0,7*2x + 21 = -1,4x + 21
2) Étudier le signe de f '(x) sur l'intervalle [9 ; 21], c'est à dire chercher à savoir quand f '(x) est positif ou f '(x) est négatif. SI VOUS N'AVEZ PAS D’IDÉE, VOIR LA QUESTION 4
-1,4x + 21 > 0 <=> -1,4x > -21 <=> x < -21/-1,4 = 21/1,4 = 15 donc f ‘(x) > 0 pour x < 15 f ‘(x) < 0 pour x > 15
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3) Compléter le tableau de variation de la fonction f (c'est à dire rajouter des nombres intéressants, des + ou des – et une ou des flèches) à l'aide de la page 3.
x 9 15 21 Signe de f '(x) + 0 -
Variation de f
71,5
46,3 46,3
4) Tracer la courbe représentative de la fonction f à la calculatrice et comparer avec votre tableau de variations (cela correspond-il ou pas ?).
5) Répondre à la problématique : A quelle heure de la journée la pollution atteint-elle son maximum et quelle est sa concentration maximum ?
La pollution atteint son maximum à 15h. La concentration maximum est alors de 71,5 µg/m3
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FORMULAIRE
FONCTIONS USUELLES ET LEURS DÉRIVÉES
SIGNE DE LA DERIVEE ET SENS DE VARIATION DE LA FONCTION
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