A446 Jusqu’à la puissance 7 [**** à la main et avec ordinateur]
Solution
Ce problème , variante du problème A445 Les quatre familles, peut être considéré aussi comme une variante du problème de Prouhet-Tarry-Escott (PTE) qui s’énonce de la manière suivante :
Etant donné un entier k quelconque > 0, trouver deux ensembles d’entiers {a , 1 a ,….,2 ap} et {b ,1 b ,….,2 bp} tels que les entiers de chaque ensemble ont la même somme, la même somme de leurs carrés, la même somme de leurs cubes,..., jusqu’à la même somme de leurs
puissances kièmes.
En d’autres termes, on doit chercher les solutions entières du système d’équations :
i
a +1 a +……+i2 a = ip b +1i b +……+i2 b pour i = 1,2,….,k ip
Les solutions de ce système sont notées sous la forme [a , 1 a ,….,2 ap] = [b ,1 b ,….,2 bp] pour i
= 1,2,…,k. Si le premier terme d’une des séquences est nul, b par exemple, les deux 1 séquences ont respectivement p et q = p-1 termes.
A partir des théorèmes de PTE énoncés dans le document A446-Equal Sums of Like Powers http://www.diophante.fr/images/stories/a446-equal_sums_of_like_powers.pdf et en
raisonnant pas à pas à partir des séquences optimales pour k = 2,3,… , on obtient:
[1,2,6] = [4,5] pour k = 2,
puis [1,2,9,10] = [4,7,11] pour k = 3,
puis [1,2,10,14,18] = [4,8,16,17] pour k = 4, …..
puis pour k = 7, deux séquences de 10 et 9 termes chacune soit au total 19 termes qui sont tous inférieurs ou égaux à n = 42.
{a , 1 a ,….,2 ap} = (1,2,9,14,15,27,28,33,40,41) avec p = 10 {b ,1 b ,….,2 bq} = (5,6,13,19,23,29,36,37,42) avec q = 9 Tableau de calcul des puissances et de leurs sommes :
