A440 - Incursions de Diophante et d’Hippolyte dans la chambre du pharaon
Solution
Soit ABCD le tétraèdre régulier de côté s avec les coordonnées suivantes des sommets A,B,C et D dans un repère Oxyz orthonormé:
Soit M de coordonnées x, y et z telles que :
avec a, b, c, d tous entiers tels que s a + b, s a + c, s a + d, etc…car M est supposé être strictement à l’intérieur du tétraèdre.
Par élimination des variables x, y, z de ces quatre équations, on obtient l’identité recherchée : (E) 4(s4a4b4c4d4)(s2a2b2c2d2)2
On pose . L’expression (E)
devient :4(S2A2B2C2D2)(SABCD)2
Cette formule est l’extension dans l’espace 3D de l’identité obtenue dans un triangle équilatéral de côté s avec un point M intérieur à ce triangle et MA=a, MB=b et MC=c étant les distances du point M aux trois sommets A,B,C du triangle :
On étudie successivement trois cas : 1) a = b = c = d
Alors (E) pas de solution possible
2) a = b = c, d a
Alors (E) . On obtient une équation du second degré
D=f(A,S) avec la solution
La recherche de solutions entières en a, b, c, d et s se fait aisément sur ordinateur. Aucune solution n’existe pour s5000.
3) a = b, c = d avec c a
Alors (E) . . On obtient à nouveau une équation du
second degré C=f(A,S) avec la solution
Cette fois-ci encore, la recherche de solutions entières en a,b,c, d et s est facilitée par l’usage d’un ordinateur. Aucune solution n’existe pour s5000.
4) a b c , c = d Alors (E) entraîne:
Cette fois-ci, il y a des solutions entières en a, b, c, d et s.
Si on admet que s < 100, il y a une seule solution définie par :
s=59, a = 56, b = 45, c
= d = 31.
5) a b c d Alors (E) entraîne:
Il y a plusieurs solutions distinctes qui entrent dans les limites de s < 100 :
s = 31, a = 25 , b = 24, c = 21 et d = 11 s = 62, a = 50, b = 48, c = 42 et d = 22 s = 69, a = 56, b = 55, c = 41 et d = 29 s = 93, a = 75, b = 72, c = 63 et d = 33
On constate qu’il existe deux pyramides dans lesquelles la plus grande distance a du centre de la chambre du pharaon à l’un des sommets de la pyramide est égale à 56. Ceci explique pourquoi Hippolyte n’est pas en mesure de répondre à Diophante. A partir du moment où Diophante précise que les distances a, b, c et d sont toutes distinctes , il y a une seule réponse qui est :
