Corrigé de l’interrogation écrite n◦11
Exercice 1
1. L’univers des deux premières expériences est {pile;f ace} et l’univers de la troisième est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}donc Ω = {pile;f ace} × {pile;f ace} × {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
2. Par le principe multiplicatif, Card(Ω) = 2×2×6 = 24.
3. La probabilité sur Ω est le produit des probabilités sur chaque univers. Or, ces probabilités sont les équiprobabilités sur chacun des univers donc la probabilité d’obtenir le triplet (pair;pair; 6) est 12 × 12 ×16 = 241.
4. Il y a deux issues qui réalise l’évènement voulu : (pile;pile; 1) et (f ace;f ace; 1) donc la probabilité cherchée est 2× 12 ×12 ×16 = 121.
Exercice 2
1. On peut représenter l’expérience par l’arbre suivant.
A
N
1 5
B
4 1 5
2
A
1 N
3 1 B
6
R
1 2
1 2
2. Les évènements A et A forment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales,
P(B) = P(A)PA(B) + P(A)PA(B) = 1 2 × 1
6+ 1 2× 4
5 = 29 60. 3. On cherche PB(A). Or,
PB(A) = P(A∩B)
P(B) = P(A)PA(B)
P(B) =
1 2 × 16
29 60
= 1 12× 60
29 = 5 29. 4. a. La variable Gprend les valeurs 5−3 = 3, 1−2 =−1 et 0−2 =−2.
On a déjà vu que P(G=−2) = P(B) = 2960.
De même, P(G= 3) = 12 × 12 = 14 et P(G=−1) = 12 × 13 + 12 ×15 = 154. Ainsi, la loi de G est donnée par le tableau suivant.
xi −2 −1 3
P(G=xi) 2960 154 14
b. On en déduit que E(G) = (−2)× 2960 + (−1)×154 + 3× 14 =−2960.
Ainsi, en participant à ce jeu, un joueur perd en moyenne 2960 euros soit environ 48 centimes d’euros.
