S´eance 8 de compl´ements d’Analyse Num´erique 1) ´Ecrire une fonction y=f(x) renvoyant dans y ∈Rla valeur −x.
2) On d´efinit une suite de r´eels par r´ecurrence avec la relation un+1−un
δt =f(un).
Ecrire une fonction´ u = eulern(n, δt, u0) renvoyant dans u la valeur du ni`eme terme de la suiteun avecu0 =u0.
3) Modifier la fonction pr´ec´edente en U =eulervect(n, δt, u0) qui renvoit dansU le vecteur (u0, . . . , un) o`uuk est encore leki`eme terme de la suite.
4) On s’attend `a ce que un soit une bonne approximation de x(n δt) o`u x(t) est la fonction solution de l’´equation diff´erentielle
dx
dt =f(x).
V´erifiez-le (par exemple en tra¸cant les courbes) pour f(x) = −x puis f(x) = x(1−x) avec δt=.1,δt=.01 et δt=.001.
5) Reprendre les questions pr´ec´edentes avec la m´ethode d’Euler implicite donn´ee
par un+1−un
δt =f(un+1).
On prendraf =−xouf =x(1−x) et l’on comparera avec la m´ethode pr´ec´edente.
6) On d´esire r´esoudre par la m´ethode d’Euler implicite l’´equation diff´erentielle dX
dt =A X,
o`u A est une matrice sur Rk et X(t) est un vecteur de Rk. Utiliser soit une m´ethode du pivot soit une m´ethode de Gauss-Seidel pour mettre en place l’al- gorithme. Puis comparer les deux possibilit´es pour une matrice A ayant 2 sur la diagonale et −1 sur la sous et la sur diagonale, en faisant varier la taille k et la pr´ecision δt.
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