La dynamique

La cinématique ne présente somme toute qu'une description mathématique des mouvements (étude des courbes des trajectoires au travers des dérivées que sont "vitesse" et "accélération") La véritable physique du problème commence sans doute ici, avec l'étude de la cause des mouvements que sont les forces.

A la base de la dynamique se trouvent les "lois de Newton": Elles sont au nombre de trois, elles sont fort simples et on peut presque dire que la totalité de la mécanique s'y retrouve! Ceci-dit, elles sont tellement riches que des milliers de pages peuvent être écrites rien qu'à en tirer les conséquences.

A. Les lois de Newton.

1. Enoncés.

a. 1ère loi: Principe d'inertie de Galilée.

(Enoncé)

La partie de l'énoncé qui concerne les corps au repos n'étonnera personne. On s'attachera plutôt à discuter la partie concernant le MRU, peut-être plus paradoxale si on s'en tient à notre intuition et à notre expérience quotidienne.

b. 2ème loi: Relation fondamentale entre force, masse et accélération.

Cette deuxième loi suppose un préalable: la notion très importante d'inertie des corps matériels et de sa mesure physique que constitue la grandeur fondamentale de masse (unité SI: 1kg).

Une fois cette notion introduite, on pourra énoncer la deuxième loi de Newton et écrire sa traduction mathématique:

En physique, c'est par (1.15) que s'introduit pour la première fois la notion de force (grandeur dérivée). C'est donc cette équation qui définit sa dimension physique et son unité SI.

c. 3ème loi: Principe de l'action et de la réaction.

(énoncé)

Paradoxe apparent résultant de cette troisième loi: Si la terre attire un modeste caillou, celui- ci attire la terre avec la même force! Mais (1.15) nous rassurera quant aux accélérations!

La dynamique

Enoncer les trois lois de Newton !!

Qu'est-ce que l'inertie des corps et sa mesure?

 

F = m a

( 1.15) Définir la dimension

et l'unité de la grandeur "force".

Traduire

mathématiquement la 3ème loi.

2.Force résultante.

Si plusieurs forces agissent sur un même objet, c'est la force résultante qui doit intervenir dans la seconde loi de Newton (1.15). La force résultante est la SOMME VECTORIELLE des forces individuelles. Par ailleurs, comme pour toutes les équations vectorielles, la façon pratique de l'utiliser dans des problèmes sera de la décomposer dans un repère (x,y,z).

Exemple: Le schéma ci-dessous présente trois forces agissant sur une masse de 3kg. Quelle sera l'accélération de cet objet (grandeur et orientation) ?

3kg 10N

6N

2N

45°

A retenir donc que pour être valable, la 2ème loi de Newton suppose qu'on ait tenu compte de toutes les forces en présence (à moins que certaines puissent être considérées comme négligeables).

B. Dynamique de la rotation.

1. L'équation de la rotation.

Nous obtiendrons l'équation de la rotation sur base de deux considérations:

 S'il est vrai que lorsqu'un objet se met à tourner, tous les points qui le constituent ne subissent pas la même accélération linéaire, par contre ils subissent la même accélération angulaire .

Une équation simple devrait donc faire appel à cette grandeur.

 Si malgré tout on veut prendre comme point de départ l'équation (1.15), une possibilité est de se limiter à une masse "ponctuelle" (ce qui veut dire d'extension faible) au bout d'un bras de levier de masse négligeable (fig.1.4)

Partant de là, nous obtiendrons:

    

F = F + F + F + .... = m a

F = F + F + F + .... = m a F = F + F + F + .... = m a

R 1 2 3

Rx 1x 2x 3x x

Ry 1y 2y 3y y





( 1.16 )

F

axe

fig. 1.4

R

m 

Démontrer 1.17.

 = I  ( 1.17 )

2. Le moment d'inertie d'une distribution de masse.

Dans (1.17) le moment d'inertie I est une grandeur physique qui mesure l'inertie de l'objet, ou la résistance que cet objet oppose à une modification de son état: I est à la rotation ce que la masse m est à la translation.

 Pour une masse m "ponctuelle", c'est-à dire dont la taille est petite comparée à sa distance R par rapport à l'axe, on a I=mR². On notera la façon dont I varie pour une même masse lorsqu'on l'éloigne ou qu'on la rapproche de l'axe. (Par exemple, I est multiplié par 4 quand R est multiplié par 2!)

 Pour un système mécanique fait d'un ensemble de masses ponctuelles, le moment d'inertie est la somme des moments d'inertie des différentes masses:

 Pour un objet étendu, I est parfois très difficile à évaluer: Il faut tenir compte des différents points de masse "dm" qui le constituent et dont les distances "r" à l'axe peuvent être très différentes. La définition exacte de I est une intégrale (voir 1.23). La table 1.1 donne quelques exemples pour des objets très symétriques.

3. Théorème de Steiner.

Si on connaît le moment d'inertie I d'un solide par rapport à un axe qui passe par son centre de gravité (la table ci-dessus en donne des exemples), le moment d'inertie I' par rapport à un axe parallèle au premier est donné par (1.20) où d est la distance entre les deux axes

Exemple: Partant de la table (1.1) et de (1.20), montrer que pour une tige mince de longueur L,le moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire à cette tige et passant par une extrémité vaut I'=

mL²/3 Que sont la dimension

et l'unité SI de I ?

I = m r + m r + m r + ...

1 1 2

2 2 2

3 3

2 ( 1.18 )

I = r² dm



Solide Paramètres I Axe considéré

"ponctuel" masse m mR² axe à une distance R

cylindre plein masse m, rayon R mR²/2 axe du cylindre cylindre creux masse m, rayon R mR² axe du cylindre sphère pleine masse m, rayon R (2/5)mR² un diamètre

tige mince masse m, longueur L (1/12)mL² axe  à la tige en son centre Table 1.1

I' = I + md² ( 1.20 )

C. Forces particulières: forme explicite.

Jusqu'à présent, nous n'avons parlé des forces que de façon générale, au travers du symbole

"F" peu explicite, sans nous préoccuper de leur origine physique ni des paramètres dont elles dépendent. Or, s'il est vrai que fondamentalement il n'existe que 3 ou 4 forces différentes, en pratique elles nous apparaissent sous une grande variété d'origines et de dépendances (forces élastiques, forces de contact, forces à distance, nucléaires, magnétiques, affinités chimiques, ...). Nous nous limiterons dans ce paragraphe à quelques unes d'entre elles.

1. Force de gravitation.

Deux objets de masses m et m' distants de r exercent toujours l'un sur l'autre (cfr. action et réaction!) une force attractive qui obéit à la loi dite

"de gravitation"

K est appelé "constante universelle de gravitation.

On discutera en particulier les points suivants:

 Le cas remarquable qui conduit à la formule pour l'accélération gravitationnelle g, sa valeur usuelle g=9,81m/s² et les paramètres susceptibles de modifier cette valeur.

 La notion familière de poids d'un objet, en fait directement identifiable à la force de gravitation mais qui d'habitude s'écrit plus simplement, pour un corps de masse m:

 L'unité dite "kilogramme-poids" ou "kilogramme-force" et qui se note 1kg': Il s'agit d'une unité pratique qui permet une correspondance directe entre masse et poids (une masse de 5kg- masse a au sol un poids de 5kg'). Ce n'est pas une unité SI!

2. Force électrique.

N.B.: En Kinésithérapie, la partie de la physique concernant électricité et magnétisme est un cours de deuxième année. Malgré tout, nous définirons ici très rapidement la force électrique, vu son caractère incontournable dans certaines matières (description de l'atome, cours de chimie,...).

La charge électrique est une propriété des particules élémentaires: Le proton a une charge élémentaire +1e = +1,6 10-19Cb (e est le symbole pour la charge élémentaire; le coulomb Cb est l'unité SI de charge); l'électron a une charge exactement opposée (-1e = -1,6 10-19Cb); le neutron n'a Les 3 forces

fondamentales:

-)gravitation.

-)force électro-faible.

-)interaction forte.

m

m' r

FG

F = K m m'

r (attractive) où K = 6, 67 10 N. m

kg

G 2

- 11 2

2 (1.21 )

Discuter la valeur de g (formule, validité, dépendances)

 

P = m g

( 1.22 )

Combien de N vaut 1kg' et pourquoi?

Cette force est répulsive si les deux charges sont de même signe, et attractive si les deux charges sont de signes contraires.

Exemple: L'atome le plus simple est bien sûr l'atome d'hydrogène, où l'électron gravite normalement à une distance de 5,3 10-10 m autour du proton. La force d'attraction entre ces deux objets vaut donc 8,19 10⁶ N

3. Force d'un ressort.

Un ressort possède toujours une position de repos pour laquelle il n'exerce aucune force.

Lorsqu'on écarte l'extrémité du ressort de sa position de repos, que ce soit en traction ou en compression, il apparaît une force proportionnelle au déplacement x imposé et de sens opposé au déplacement. La constante de proportionnalité k est dite

constante caractéristique du ressort; elle dépend de la nature du matériau et de la géométrie du ressort.

N.B.: La proportionnalité directe entre le déplacement d'une force x et la force F fait du ressort un instrument très simple de mesure des forces (dynamomètre).

4. Tension dans une corde.

Il n'y a pas à proprement parler de modèle pour la tension dans une corde, à condition de supposer négligeable la masse de cette corde.Elle découle plutôt de l'idée qu'on se fait de la transmission d'une force au long de la corde: On suppose la transmission intégrale en norme, et toujours tangentielle à la corde.

5. Forces de frottement.

On distingue les forces de frottement visqueux et les forces de frottement sec. Les premières sont liées au déplacement d'un solide au travers d'un fluide (liquide ou gaz) ou sur une couche fluide: Ce point important sera vu plus loin au chapitre "Dynamique des fluides". Le frottement sec quant à lui est dû au contact de deux solides et aux rugosités microscopiques qui hérissent leurs surfaces même lorsqu'elles ont une apparence lisse à notre échelle.

F = 1 4

Q Q'

r (attractive si QQ'< 0) (répulsive si QQ' > 0) où = 8,85 10 N.m

Cb

G

0 2

0

- 12 2

2





(1.23 )

 

F = - k x

( 1.24 ) Quel schéma pourrait

illustrer (1.24)?

T2

T2 - T1

T1 -

P

F

fig. 1.6

a. Frottement sec dynamique.

Lorsqu'un corps solide glisse sur une surface solide, il s'exerce sur lui une force de frottement dont la norme est proportionnelle à la force de réaction N de la surface de contact sur le corps en mouvement. La

constante de proportionnalité peut s'écrire indifféremment sous forme d'un coefficient de frottement dynamique f ou au travers d'un angle de frottement dynamique . L'équation (1.25) ne dit rien de la direction et du sens de la force, que chacun devra correctement évaluer.

Exemple: Dans la situation illustrée par le schéma ci-contre, exprimer l'accélération de l'objet en fonction de sa masse m, de la force de poussée F de l'inclinaison  de cette force de poussée et de l'angle de frottement .

b. Frottement sec statique.

Lorsque nous essayons de déplacer un objet lourd (meuble, ...) nous savons que dans un premier temps nous pouvons augmenter progressivement la poussée sans que l'objet se mette en mouvement: Cela signifie que la force de frottement augmente elle aussi de façon à constamment

équilibrer la force de poussée. Pour une valeur bien précise de la poussée, l'objet "cède" enfin et se met en mouvement: C'est cette valeur limite de la poussée qui est caractéristique des surfaces en contact. On lui attache des paramètres fs et s définis comme dans le cas dynamique mais appelés respectivement "

coefficient de frottement statique fs" et " angle de frottement statique s".

A noter que dès que l'objet est en mouvement, nous pouvons légèrement réduire la poussée pour entretenir le mouvement, ce qui signifie que fs > f ( ou s >  )

Exemple: Un objet de masse m est posé sur un plan incliné dont on peut augmenter progressivement l'angle d'inclinaison . Montrer que lorsque l'objet commence à bouger, on a exactement  = s

D. Forces fictives.

1. Principe de relativité de Galilée.

Le principe de relativité de Galilée pourrait s'énoncer comme suit: "Les lois de la physique sont valables dans tous les repères inertiels".

Que signifient:

- La force N?

- L'angle ?

Illustrer par un schéma! F = f N

ou F = (tg ) N

f

f 

( 1.25 ) Que sont la direction et

le sens de la force de frottement?

m a = ? F



F = f N ou F = (tg ) N

f s

f s ( 1.26 )

Qu'est-ce qu'un repère

"inertiel"?

2. Les forces fictives, ou inertielles.

Soit deux voyageurs A et B assis face à face dans un train au repos. Quand le train se met en mouvement (imaginons une accélération brutale!), les deux personnes expérimentent des situations qui semblent contredire la loi de Newton: Le voyageur A, assis dans le sens du train, "ressent" réellement une force de poussée au travers de son dossier mais reste immobile par rapport aux objets qui l'entourent; le voyageur B, assis à contre-sens, se voit brutalement accéléré vers l'arrière du train alors qu'il ne ressent aucune force (au contraire, pour rester immobile, il doit paradoxalement provoquer une force de réaction du plancher, ou de l'accoudoir, en s'y appuyant solidement.). Si pour ces deux voyageurs la loi de Newton semble mise en défaut, c'est parce que leur repère (le train en accélération) n'est pas inertiel. Pour un observateur C immobile sur le quai, et donc situé dans un repère inertiel, tout semble en ordre: A subit une poussée de la part du train et accélère effectivement comme le train; B ne subit pas de force et a tendance effectivement à rester immobile par rapport au quai (pas de force, donc pas d'accélération).

On parlera de forces fictives, ou inertielles, dès l'instant où A et B tenteront malgré tout d'expliquer leur situation grâce à la loi de Newton: A dira qu'il est "tiré vers l'arrière" par une force qui en réalité n'existe pas; cette force, dira-t-il encore, est "équilibrée" par la réaction du dossier, si bien qu'il ne bouge pas. B dira qu'il est "projeté" vers le fond du train par la même force fictive. Cette façon de voir les choses est acceptable à condition d'en comprendre le côté artificiel.

3. Force centrifuge.

La force centrifuge est l'exemple le plus connu de force fictive: Un observateur en mouvement circulaire, uniforme ou non, a l'impression de subir une poussée vers l'extérieur, ce qui traduit simplement la tendance de tout mobile à garder son état de M.R.U., en l'occurence à "filer par la tangente". Pour pouvoir utiliser l'équation de Newton, il introduira artificiellement une force dirigée radialement, orientée vers l'extérieur ("centrifuge") et de norme:

où x est la distance de l'objet (ou ici l'observateur)au centre du mouvement.

Malgré son côté artificiel, la notion de force centrifuge se révèle fort utile dans bien des problèmes pratiques (centrifugation, ...).

Quelle est la réalité physique de (1.27)?

F = m x = m v

cf 2 x2

 ( 1.27 )