année scolaire 2021 / 2022
Sommaire
Sommaire ... 3
leçons ... 7
Les tables d’addition ... 8
Les tables ... 9
de multiplication ... 9
Les entiers ... 10
v Qu’est-ce qu’un nombre ? Qu’est-ce qu’un chiffre ? ... 10
v Qu’est-ce que le système de numération décimale ? ... 10
v L’écriture littérale ... 10
v décomposer les nombres entiers ... 11
v Comparer les nombres entiers ... 11
v Encadrer et arrondir les nombres entiers ... 11
Les vidéos sur les entiers ... 12
Lire les fractions ... 13
v Le vocabulaire ... 13
v Placer une fraction sur une droite graduée ... 13
Comparer les fractions ... 14
v Évaluer l’ordre de grandeur des fractions ... 14
v Comparer des fractions entre elles ... 14
Les fractions équivalentes ... 15
v Deux fractions différentes peuvent être égales. ... 15
v Simplifier des fractions ... 15
Décomposer les fractions ... 15
v Décomposer une fraction ... 15
v Additionner une fraction et un entier ... 15
Les vidéos sur les fractions ... 16
Les fractions décimales ... 17
v Lire les fractions décimales ... 17
v Décomposer les fractions décimales ... 17
Les nombres décimaux ... 18
v Écrire un nombre décimal ... 18
v Lire un nombre décimal. ... 18
v Le tableau de numération ... 18
v Gérer les zéros ... 18
v Comparer les décimaux ... 19
v La valeur approchée ... 19
Les vidéos sur les nombres décimaux ... 20
Les vidéos sur les opérations sur les entiers ... 21
L’addition ... 22
Choisir de faire une addition ... 23
La soustraction ... 24
Choisir de faire une soustraction ... 25
Les propriétés de la multiplication ... 26
La multiplication ... 27
Les multiples ... 28
La division ... 29
Les vidéos sur les opérations sur les décimaux ... 31
Division de nombres décimaux ... 32
v La division par 10, 100 , 1 000 ... 32
v La division de deux nombres entiers lorsque le reste est différent de 0 : ... 32
v La division d’un nombre décimal par un nombre entier : ... 33
Additions de nombres décimaux ... 34
Soustractions de nombres décimaux ... 35
Multiplications de nombres décimaux ... 36
v la multiplication posée ... 36
v Cas particuliers ... 36
La calculatrice ... 37
Les tableaux ... 38
Les graphiques ... 39
v Le diagramme ... 39
v la courbe ... 39
v Le graphique « camembert » ... 39
La proportionnalité ... 40
v Quelques méthodes pour résoudre un problème de proportionnalité : ... 41
Les pourcentages ... 42
v Exemples de situations ... 42
Les échelles ... 43
Les vitesses ... 43
Les vidéos sur la proportionnalité ... 44
leçons
Nombres
Les tables d’addition CM2
NC0 1
1 + 1 = 2 + 1 = 3 + 1 =
1 + 2 = 2 + 2 = 3 + 2 =
1 + 3 = 2 + 3 = 3 + 3 =
1 + 4 = 2 + 4 = 3 + 4 =
1 + 5 = 2 + 5 = 3 + 5 =
1 + 6 = 2 + 6 = 3 + 6 =
1 + 7 = 2 + 7 = 3 + 7 =
1 + 8 = 2 + 8 = 3 + 8 =
1 + 9 = 2 + 9 = 3 + 9 =
4 + 1 = 5 + 1 = 6 + 1 =
4 + 2 = 5 + 2 = 6 + 2 =
4 + 3 = 5 + 3 = 6 + 3 =
4 + 4 = 5 + 4 = 6 + 4 =
4 + 5 = 5 + 5 = 6 + 5 =
4 + 6 = 5 + 6 = 6 + 6 =
4 + 7 = 5 + 7 = 6 + 7 =
4 + 8 = 5 + 8 = 6 + 8 =
4 + 9 = 5 + 9 = 6 + 9 =
7 + 1 = 8 + 1 = 9 + 1 =
7 + 2 = 8 + 2 = 9 + 2 =
7 + 3 = 8 + 3 = 9 + 3 =
7 + 4 = 8 + 4 = 9 + 4 =
7 + 5 = 8 + 5 = 9 + 5 =
7 + 6 = 8 + 6 = 9 + 6 =
7 + 7 = 8 + 7 = 9 + 7 =
7 + 8 = 8 + 8 = 9 + 8 =
7 + 9 = 8 + 9 = 9 + 9 =
Nombres Les tables de multiplication
CM2
NC0 2
1 × 1 = 1 2 × 1 = 2 3 × 1 = 3 4 × 1 = 4 5 × 1 = 5 6 × 1 = 6 7 × 1 = 7 8 × 1 = 8 9 × 1 = 9
1 × 2 = 2 2 × 2 = 4 3 × 2 = 6 4 × 2 = 8 5 × 2 = 10 6 × 2 = 12 7 × 2 = 14 8 × 2 = 16 9 × 2 = 18
1 × 3 = 3 2 × 3 = 6 3 × 3 = 9 4 × 3 = 12 5 × 3 = 15 6 × 3 = 18 7 × 3 = 21 8 × 3 = 24 9 × 3 = 27 1 × 4 = 4
2 × 4 = 8 3 × 4 = 12 4 × 4 = 16 5 × 4 = 20 6 × 4 = 24 7 × 4 = 28 8 × 4 = 32 9 × 4 = 36
1 × 5 = 5 2 × 5 = 10 3 × 5 = 15 4 × 5 = 20 5 × 5 = 25 6 × 5 = 30 7 × 5 = 35 8 × 5 = 40 9 × 5 = 45
1 × 6 = 6 2 × 6 = 12 3 × 6 = 18 4 × 6 = 24 5 × 6 = 30 6 × 6 = 36 7 × 6 = 42 8 × 6 = 48 9 × 6 = 54 1 × 7 = 7
2 × 7 = 14 3 × 7 = 21 4 × 7 = 28 5 × 7 = 35 6 × 7 = 42 7 × 7 = 49 8 × 7 = 56 9 × 7 = 63
1 × 8 = 8 2 × 8 = 16 3 × 8 = 24 4 × 8 = 32 5 × 8 = 40 6 × 8 = 48 7 × 8 = 56 8 × 8 = 64 9 × 8 = 72
1 × 9 = 9
2 × 9 = 18
3 × 9 = 27
4 × 9 = 36
5 × 9 = 45
6 × 9 = 54
7 × 9 = 63
8 × 9 = 72
9 × 9 = 81
Nombres
Les entiers CM2
NC1 1
v Qu’est-ce qu’un nombre ? Qu’est-ce qu’un chiffre ?
Un mot s’écrit avec des lettres alors qu’un nombre s’écrit avec des chiffres.
Nous écrivons les nombres dans le système de numération décimale, avec dix symboles que l’on appelle des chiffres. Ces chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
v Qu’est-ce que le système de numération décimale ?
C’est un système basé sur des groupements par ensemble de dix.
Dix unités sont égales à une dizaine, dix dizaines sont égales à une centaine…
Milliards Millions Mille Unités simples
centaines dizaines unités centaines dizaines unités centaines dizaines unités centaines dizaines unités
c d u c d u c d u c d u
Pour faciliter la lecture d’un nombre, on l’écrit en laissant un espace entre chaque classe. On l’écrit donc en groupant les chiffres par 3 en partant de la droite.
exemple :
On n’écrit pas 57841295 mais 57 841 295
v L’écriture littérale
Il faut peu (27) de mots pour écrire les nombres en lettres
® mots utiles : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent, mille, millions, milliards, et
- En général, tous ces mots sont invariables (sauf un, vingt, cent, million et milliard)
Exemples : les uns et les autres, gagner des mille et des cents.
- Vingt et cent prennent un « s » quand ils sont multipliés par un autre nombre et qu’ils terminent l’adjectif numéral.
Exemples : quatre-vingts, six-cents mais quatre-vingt-trois, six-cent-trente.
v décomposer les nombres entiers
Il y a 2 façons de décomposer un nombre : - en n’utilisant que des additions
- en utilisant l’addition et la multiplication Exemple :
5 247 189 = 5 000 000 + 200 000 + 40 000 + 7 000 + 100 + 80 + 9 5 247 189 = 5 × 1 000 000 + 2 × 100 000 + 4 × 10 000 + 7 × 1000 + 1 × 100 + 8 × 10 + 9
v Comparer les nombres entiers
1er cas : les deux nombres n’ont pas le même nombre de chiffres.
Le plus petit des deux est celui qui a le moins de chiffres.
exemple : 15 965 et 2547
15 965 a cinq chiffres, 2547 en a quatre. C’est donc 15 965 le plus grand et on écrit 15 965 > 2547 (15 945 est supérieur à 2547)
2ème cas : les deux nombres ont le même nombre de chiffres.
Le plus petit des deux est celui qui a le premier plus petit chiffre à partir de la gauche.
exemple : 12 654 201 et 12 654 234
Les 6 premiers chiffres sont égaux puis les septièmes chiffres sont différents, 0 est plus petit que 3 alors 12 654 201 < 12 654 234.
v Encadrer et arrondir les nombres entiers
Pour encadrer un nombre, on cherche le nombre immédiatement inférieur et le nombre immédiatement supérieur terminés par un ou plusieurs zéros.
exemple : Pour encadrer à la centaine de mille près le nombre 51 412 782 231, on va prendre les nombres avec 5 zéros à la fin qui se trouvent juste avant et juste après.
51 412 700 000 < 51 412 782 231 < 51 412 800 000
Dans certaines situations, il est utile d’arrondir un nombre pour connaître son ordre de grandeur.
On peut arrondir à la dizaine, à la centaine, au millier… supérieur ou inférieur.
Pour évaluer l’ordre de grandeur, on choisira le nombre le plus proche.
exemple : 8 512 698 arrondi au millier 8 512 000 est l’arrondi au millier inférieur
8 513 000 est l’arrondi au millier supérieur, c’est aussi le millier le plus proche.
Nombres
Les vidéos sur les entiers CM2
NC1
le système décimal comparer les entiers
les droites graduées (1) les droites graduées (2)
Nombres
Lire les fractions CM2
NC2 1
v Le vocabulaire
Une fraction est un nombre.
1. Des fractions bien connues :
!
" ® un demi !# ® un tiers !$ ® un quart
2. Définition :
5 8
Le numérateur indique le nombre total de parties utilisées.
Le dénominateur indique en combien de parties on divise l’objet, le prix, la quantité…
Exemple :
9 se lit neuf onzièmes 11
v Placer une fraction sur une droite graduée
Le dénominateur correspond au nombre de graduations entre 0 et 1 (ou entre 2 et 3, ou 3 et 4), donc le nombre de graduations qui partage l’unité en parts égales.
Le numérateur indique le nombre de graduations depuis zéro.
La fraction !!$ se place sur la graduation épaisse.
4
numérateur
dénominateur Barre de fraction
Nombres
Comparer les fractions CM2
NC2 2
v Évaluer l’ordre de grandeur des fractions
Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, alors la fraction est inférieure à 1.
Exemple :
!"
#$$
< 1
car 75 < 100Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1.
Exemple :
%
"
> 1
car 9 > 5Si le numérateur et le dénominateur sont égaux, la fraction est égale à 1.
Exemple : %%= 1
v Comparer des fractions entre elles
Si les fractions ont le même dénominateur alors, on compare le numérateur.
Les fractions se rangent alors dans le même ordre que leurs numérateurs.
Exemple :
&
"
<
%" car 3 < 9Si les fractions ont le même numérateur alors, on compare le dénominateur.
Les fractions se rangent alors dans l’ordre inverse de celui de leurs dénominateurs.
Exemple : '
#$
<
'! car 7 < 10Si le numérateur et le dénominateur sont différents, il faut alors mettre les fractions sous le même dénominateur.
Exemple :
!
'
<
&( car &(=
#(' et !'<
#(' car 7 < 12Nombres
Les fractions équivalentes CM2
NC2 3
v Deux fractions différentes peuvent être égales.
Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre, alors on obtient une fraction égale.
Exemple :
2 = 2 × 3 = 6 ; 15 = 15 ÷ 5 = 3
3 3 × 3 9 20 20 ÷ 5 4
v Simplifier des fractions
Si le numérateur et le dénominateur sont divisibles par un même nombre, alors on peut simplifier la fraction en divisant le numérateur et le
dénominateur par ce nombre, et les deux fractions sont égales.
Exemple :
12 = 6 × 2 = 6 = 3 × 2 = 3
64 32 × 2 32 16 × 2 16
Nombres
Décomposer les fractions CM2
NC2 4
v Décomposer une fraction
Une fraction peut s’écrire sous la forme de la somme d’une fraction et d’un entier. On appelle cela décomposer une fraction.
Exemple :
7 = 3 + 3 + 1 = 3 + 3 + 1 =1+1+ 1 = 2+ 1
3 3 3 3 3 3 3
v Additionner une fraction et un entier
Pour additionner une fraction et un entier, il faut d’abord transformer l’entier sous forme d’une fraction de même dénominateur.
Exemple :
3 + 2 = 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11
4 4 4 4 4 4
Nombres
Les vidéos sur les fractions CM2
NC1 5
représenter une fraction fraction et droite graduée (3 vidéos)
Comparer les fractions entre elles comparer les fractions à l’unité
écrire des fractions équivalentes décomposer une fraction
simplifier une fraction encadrer une fraction
Nombres
Les fractions décimales CM2
NC3 1
v Lire les fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, c’est à dire 10, 100, 1000, etc.…
exemple :
3
est une fraction décimale. 3 est le numérateur100
100 est le dénominateurv Décomposer les fractions décimales
Toutes les fractions décimales peuvent se décomposer en somme d’une partie entière (c’est à dire un nombre entier) et de fractions décimales
exemple :
&"
!' est une fraction décimale. On peut donc la transformer :
"(
#$
=
"$#$+
#$(= 5 +
#$(5 est la partie entière et (
#$
est la partie décimale.
Nombres
Les nombres décimaux CM2
NC3 2
v Écrire un nombre décimal
Un nombre décimal s’écrit de deux façons :
1. sous forme d’une fraction ou d’une somme de fractions 2. sous forme d’un nombre à virgule
exemple :
1527 est un nombre décimal que l’on peut aussi écrire 15,27 100
v Lire un nombre décimal.
On précise la partie entière et la partie décimale. Le nombre de chiffres après la virgule donne le nom de l’unité utilisée pour lire la partie décimale :
- 1 chiffre après la virgule on lit en dixièmes.
- 2 chiffres après la virgule on lit en centièmes.
- 3 chiffres après la virgule on lit en millièmes.
- et ainsi de suite … exemple :
15,628 peut se lire :
• quinze unités et six cent vingt-huit millièmes
• quinze virgule six cent vingt- huit
• une dizaine, cinq unités, six dixièmes, deux centièmes et huit millièmes
v Le tableau de numération
partie décimale partie entière
10 000 1 000 100 10 1
,
10 100 1 000 10000 1 1 1 1 dizainesde mille milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes dix millièmes
v Gérer les zéros
On n’écrit pas les zéros qui sont à gauche de la partie entière, ni ceux qui sont à droite de la partie décimale.
v Comparer les décimaux
Pour comparer les décimaux :
1) on commence par comparer la partie entière.
exemples : ● 26,24 < 37,03 car 26 < 37
● 25,41 > 11,87 car 25 > 11
2) Si les parties entières sont égales, il faut comparer les chiffres des dixièmes
exemples : ● 26,46 <26,805 car 4 < 8
● 34,82 > 34,102 car 8 > 1
3) Si les chiffres des dixièmes sont égaux, il faut comparer les chiffres des centièmes
exemples : ● 26,321 < 26,3407 car 2 < 4
● 247,65 >247,6048 car 5 > 0
4) Si les chiffres des centièmes sont égaux, il faut comparer les chiffres des millièmes, et ainsi de suite jusqu’à ce que deux chiffres de même rang soient comparables.
v La valeur approchée
Pour donner une valeur approchée :
1) à l’unité près, on regarde le chiffre des dixièmes, s’il est inférieur à 5, on donne la partie entière ; s’il est supérieur ou égal à 5, on donne le nombre suivant la partie entière.
exemples : la valeur approchée à l’unité de
● 6,27 est 6
● 6,83 est 7
2) au dixième près, on regarde le chiffre des centièmes, s’il est inférieur à 5, on donne le nombre coupé au chiffre des dixièmes ; s’il est supérieur ou égal à 5, ajoute 1 au chiffre des dixièmes et on donne le nombre tronqué à ce chiffre.
exemples : la valeur approchée au dixième de
● 8,51 est 8,5
● 8,59 est 8,6
Nombres Les vidéos sur les nombres décimaux
CM2
NC3 3
les fractions
décimales décomposer écriture à virgule
vocabulaire les zéros comparer les décimaux
les valeurs approchées
Calculs Les vidéos sur les opérations sur les entiers
CM2
les propriétés de
l’addition La soustraction à
retenues vérifier une soustraction
les propriétés de la multiplication
la multiplication
posée la division euclidienne
Nombres
L’addition CM2
NC4 1
Avant tout, pour espérer effectuer une addition, il faut connaître par cœur ses tables.
1ère étape : On cherche l’ordre de grandeur du résultat
Cela permettra de vérifier qu’on ne s’est pas complètement trompé.
exemple : 1 771 + 902 + 5 104
1 771 ≈ 1 800 ; 902 ≈ 900 ; 5 104 ≈ 5 100
donc 1 771 + 902 + 5 104 ≈ 1 800 + 900 + 5 100 soit 1 771 + 902 + 5 104 ≈ 7 800
2ème étape : On pose l’addition
Pour cela il faut bien faire attention d’aligner correctement les chiffres. Les unités au-dessus des unités, les dizaines au-dessus des dizaines et ainsi de suite.
exemple : 1 771 + 902 + 5 104
m c d u sans tracer le tableau :
1 7 7 1 1 7 7 1
9 0 2 9 0 2
+ 5 1 0 4 + 5 1 0 4
3ème étape : On effectue le calcul
On commence toujours à droite, c’est à dire par les unités.
exemple : 1 771 + 902 + 5 104
1 1 7 7 1 9 0 2 + 5 1 0 4
7 7 7 7
On a donc trouvé : 1 771 + 902 + 5 104 = 7 777.
4ème étape : On vérifie le résultat.
On le compare avec l’ordre de grandeur qu’on avait trouvé.
exemple : 1 771 + 902 + 5 104 = 7 777.
on avait trouvé que le résultat devait être proche de 7 800 et c’est le cas.
Nombres
Choisir de faire une addition CM2
NC4 2
On utilise l’addition lorsqu’on doit :
® réunir plusieurs collections d’objets
exemple : Paul a 5 billes. Marc en a 12. Ils les réunissent dans un sac. Combien y a-t-il de billes ?
5 + 12 = 17. Il y a 17 billes
® réunir plusieurs mesures
exemple : J’ai cueilli 25 kg de raisin, ma sœur a coupé 19 kg de raisin. Quel est le poids de notre récolte ?
25 + 19 = 44. Nous avons récolté 44 kg de raisin.
® ajouter des objets à une collection d’objets
exemple : Il y a 16 passagers dans un bus, à l’arrêt Rempart du Nord, 5 personnes montent. Combien y a-t-il de passagers dans le bus à présent ? 16 + 5 = 21. Il y a 21 personnes dans le bus.
® pour avancer dans la file numérique.
exemple : Le coureur n°12 est au kilomètre 300, il lui reste 3 km jusqu’à l’arrivée. Quelle est la distance de la course ?
300 + 3 = 303. La course mesure 303 km.
Lorsqu’on fait une addition, on calcule une somme.
Nombres
La soustraction CM2
NC5 1
Avant tout, pour espérer effectuer une soustraction, il faut connaître par cœur ses tables d’addition.
1ère étape : On cherche l’ordre de grandeur du résultat
Cela permettra de vérifier qu’on ne s’est pas complètement trompé.
exemple : 9 528 – 184
9 528 ≈ 9 500 ; 184 ≈ 200 ;
donc 9 528 – 184 ≈ 9 500 – 200 soit 9 528 – 184 ≈ 9 300 2ème étape : On pose la soustraction
Pour cela il faut bien faire attention d’aligner correctement les chiffres. Les unités au-dessus des unités, les dizaines au-dessus des dizaines et ainsi de suite.
exemple : 9 528 – 184
m c d u sans tracer le tableau :
9 5 2 8 9 5 2 8
- 1 8 4 - 1 8 4
3ème étape : On effectue le calcul
On commence toujours à droite, c’est à dire par les unités.
exemple : 9 528 – 184 9 5 12 8 - 1 8 4
1
9 3 4 4
On a donc trouvé : 9 528 – 184 = 9 344.
Attention, on n’a absolument pas le droit d’inverser les deux chiffres par ce que ça nous arrange. On n’a pas le droit de faire : 8 – 2. On doit utiliser les retenues.
4ème étape : On vérifie le résultat.
On le compare avec l’ordre de grandeur qu’on avait trouvé.
exemple : 9 528 – 184 = 9 344.
Laisser un espace pour les éventuelles
retenues
Nombres
Choisir de faire une soustraction CM2
NC5 2
On utilise la soustraction lorsqu’il faut :
• chercher ce qu’il reste quand on retire des objets d’une collection.
exemple : Pierre avait 15 bonbons, il en donne 6 à Marie. Combien lui en reste- t-il ?
15 – 6 = 9. Il lui reste 9 bonbons.
• chercher ce qu’on a enlevé.
exemple : Medhi avait 25 € en entrant dans la boulangerie. En sortant, il lui reste 19 €, combien a-t-il dépensé ?
25 – 19 = 6. Il a dépensé 6 €
• chercher ce qui manque pour compléter une collection.
exemple : Mélina a 16 « points cadeaux », il lui en faut 20 pour pouvoir avoir un mug. Combien doit-elle encore en collectionner ?
20 – 16 = 4. Il lui faut encore 4 « points cadeaux »
• chercher le complément de quelque chose.
exemple : J’ai 70 timbres, 23 sont étrangers. Combien ai-je de timbres français ?
70 – 23 = 47. J’ai 47 timbres français.
• calculer un écart.
exemple : Max est né en 1997. Il est entré à l’école en 2001. A quel âge est-il devenu élève ?
2001 – 1997 = 4. Il avait 4 ans lors de son entrée à l’école.
• reculer dans la file numérique.
exemple : Un jeu de l’oie est composé de 64 cases. La case prison se trouve 6 cases avant l’arrivée. Quel est le numéro de la case « prison » ?
64 – 6 = 58. La prison porte le n° 58.
Lorsqu’on effectue une soustraction, on calcule une différence.
Calcul Les propriétés de la multiplication
CM2
NC6 1
a) Lorsqu’on multiplie un nombre entier par 10, il suffit d’écrire un zéro à droite du nombre. Lorsqu’on multiplie un nombre entier par 100, il suffit d’écrire deux zéros à droite du nombre. Et ainsi de suite…
exemple : 8× 10 = 80 235 ×100 = 23 500
b) Si on multiplie un nombre par 0, on obtient 0.
exemple : 63 × 0 = 0
c) Le produit de deux nombres est le même quelque soit l’ordre dans lequel sont écrits les deux nombres.
exemple : 71 × 38 = 38 × 71
d) On peut associer les termes d’un produit comme on veut.
exemple : 8× 4 × 5 = (8× 4) × 5 =8× (4 × 5) = 32 × 5 =8×20
= 160
e) La multiplication « distribue » un nombre à chaque terme d’une addition ou d’une soustraction
exemple : 3 × (8 + 7) = 3×8 + 3×7 72× 38 = (70 + 2) × (30 + 8)
= 70 × 30 + 70 × 8 + 2 × 30 + 2× 8
= 2100 + 560 + 60 + 16
= 2736
Calcul
La multiplication CM2
NC6 2
Avant tout, pour espérer effectuer une multiplication, il faut connaître par cœur ses tables de multiplication.
1ère étape : On cherche l’ordre de grandeur du résultat
Cela permettra de vérifier qu’on ne s’est pas complètement trompé.
exemple : 6 923 × 29 6 923 ≈ 7 000 et 29 ≈ 30 donc 6 923 × 29 ≈ 7 000 × 30 soit 6 923 × 29 ≈ 210 000
2ème étape : On pose la multiplication exemple : 6 923 × 29
6 9 2 3
× 2 9
3ème étape : On effectue le calcul exemple : 6 923 × 29
1
8 2 2
6 9 2 3
× 2 9
1 1
6 2 3 0 7 1 3 8 4 6 • 2 0 0 7 6 7
On a donc trouvé : 6 923 × 29 = 200 767 4ème étape : On vérifie le résultat.
On le compare avec l’ordre de grandeur qu’on avait trouvé.
exemple : 6 923 × 29 = 200 767
on avait trouvé que le résultat devait être proche de 210 000 et c’est le cas.
Calcul Les multiples CM2
Exemple : 30 = 5 × 6
On peut dire que 30 est un multiple de 5 (en effet, 30 est dans la table de multiplication de 5). 5 est donc un diviseur de 30.
30 est divisible par 5.
Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
Si un nombre n’a que deux diviseurs 1 et lui-même, on dit que c’est un nombre premier. (exemple : 17)
Comment reconnaître les multiples de : 2 Ce sont tous les nombres pairs
3
La somme des chiffres d’un multiple de 3 est un multiple de 3. ( 3, 6, 9 …)
exemples : 12 est un multiple de 3 car 1+2=3 15 est un multiple de 3 car 1+5=6
183 est un multiple de 3 car 1+8+3=12 et 1+2=3 5 Ils se terminent par 0 et 5.
10 Ils se terminent par 0 9
La somme des chiffres d’un multiple de neuf est égale à 9.
exemple : 27 est un multiple de 9 car 2+7=9 297 est un multiple de 9 car 2+9+7=18 et 1+8=9
les multiples et diviseurs
Calcul
La division CM2
NC7 1
1ère étape : On cherche l’ordre de grandeur du quotient.
Il y a 2 méthodes :
1. en arrondissant le diviseur et le dividende.
exemple : 8 247 ÷ 41 c’est à peu près 8000 ÷ 40 c’est à dire à peu près 200.
2. en cherchant le nombre de chiffres du quotient exemple : 8 347 ÷ 41
4 100 < 8 347 < 41 000
41 ´ 100 < 8 347 < 41 × 1000
le quotient est donc compris entre 100 et 1000, il a donc 3 chiffres.
2ème étape (facultative) : On peut bâtir un répertoire multiplicatif du diviseur au brouillon. Cela permet de ne pas refaire plusieurs fois le même calcul.
exemple : 8 347 ÷ 41
41 ´ Résultat
1 41
2 82
3 123
4 164
5 205
6 246
7 287
8 328
9 369
3ème étape : On pose la division en colonne et on l’effectue
dividende diviseur
quotient
reste
exemple :
8 3 4 7 41 Le quotient à 3 chiffres, je prévois donc 3 points à compléter au quotient. (voir 1ère étape)
On commence par le chiffre à gauche du dividende.
8 est plus petit que 41 alors, on prend les deux premiers chiffres.
Dans 83, combien de fois 41 ?
Je consulte mon répertoire : 2 ´ 41 = 82, donc j’écris 2 pour le premier chiffre du quotient et je soustrais 82 à 83, il reste 1.
Je descends le 4.
Dans 14, combien de fois 41 ? 0, je n’oublie pas de le noter dans le quotient.
Je descends le 7.
Dans 147, combien de fois 41 ? Je consulte mon répertoire : 3 ´ 41 = 123. J’écris donc 3 pour le troisième chiffre du quotient et je soustrais 123 à 147. Il reste 24.
-
8 2 ¯ . . 2 0 3 .
0 1 4 - 0 0 1 4 7 - 1 2 3 0 2 4
Donc dans 8 347, il y a 203 fois 41 et il reste 24 soit : 8 347 = (203´ 41) + 24.
4ème étape : Je vérifie mon résultat
a) le reste est-il inférieur au diviseur ?
Si ce n’est pas le cas, alors la division n’est pas finie ! exemple : 8347÷ 41, 24 est plus petit que 41
b) le quotient a-t-il le nombre de chiffres prévu ? Est-il proche de l’estimation ?
Il faut tout particulièrement se méfier des cas où l’un des chiffres est 0.
exemple : 8347 ÷ 41, 203 a bien 3 chiffres. Il est proche de 200.
c) On fait ce qu’on appelle la preuve.
C’est à dire qu’on multiplie le diviseur par le quotient et on ajoute le reste. La division est bonne si le résultat est égal au dividende.
exemple : 8347 ÷ 41
2 0 3 8 3 2 3 41 ´ 203 = 8323
8 323 + 24 = 8 347 = dividende La division est juste.
´ 4 1 + 2 4 2 0 3 8 3 4 7 8 1 2 0
Calcul Les vidéos sur les opérations sur les décimaux
CM2
L’addition des
décimaux La soustraction à
retenues multiplier par une puissance de 10
la multiplication
des décimaux la division exacte
Calcul
Division de nombres décimaux CM2
NC7 2
v La division par 10, 100 , 1 000
Il suffit de déplacer la virgule d’1, 2 ou 3 rangs vers la gauche du nombre et supprimer éventuellement les zéros inutiles.
Exemples :
20 ÷ 10 = 2 250 ÷ 100 = 2,5 25 ÷ 1 000 = 0,025
4,3 ÷ 10 = 0,43 347,5 ÷ 100 = 3,475 840,5 ÷ 1 000 = 0,840 5
v La division de deux nombres entiers lorsque le reste est différent de 0 :
Lorsque le reste est différent de zéro, on peut continuer la division en utilisant les nombres décimaux. Il faut abaisser un zéro à la suite du reste et placer une virgule derrière le dernier chiffre du quotient entier, qui devient donc un nombre décimal.
On peut alors abaisser autant de 0 que l’on veut… jusqu’à obtenir un reste égal à zéro. Mais attention, certaines divisions sont « infinies » !
Exemples :
25 ÷ 2 = 25,0… ÷ 2 = ? 25 ÷ 3 = 25,000… ÷ 3 = ?
2 5, 0 2 2 5, 0 0 3
- 2 0 5 - 4 1 0 - 1 0 0 0
12,5 - 2 4
0 1 0 - 9 1 0 - 9 1…
8,33…
25 : 2 = 12 ,5 25 : 3 = 8,33…
v La division d’un nombre décimal par un nombre entier : Il suffit de placer une virgule au quotient lorsque l’on arrive au niveau de la virgule du dividende. On peut bien sûr ajouter des zéros à la droite de la partie décimale du dividende.
Exemples :
2,5 ÷ 2 = 2,50… ÷ 2 = ? 8,6 ÷ 3 = 2,500… ÷ 3 = ?
2, 5 0 2 8, 6 0 0 3
- 2 0 5 - 4 1 0 - 1 0 0 0
1,25 - 6
2 6 - 2 4 2 0 - 1 8 2…
2,86…
2,5 : 2 = 1,25 8,6 : 3 = 2,86…
Calcul
Additions de nombres décimaux CM2
NC8 1
Pour effectuer une addition avec des nombres décimaux, on utilise les mêmes règles qu’avec les nombres entiers.
Pour le calcul en colonnes, il faut juste aligner les nombres correctement en plaçant les chiffres de même nature (centaine, dizaine, dixième, centième…) les uns sous les autres ; et ne pas oublier d’ajouter une virgule au résultat en l’alignant également. Dans la pratique, il suffit d’aligner les virgules.
centaine dizaine unité dixième centième millième
1 2 4 , 2 5
+ 6 9 , 7
1 9 3 , 9 5
Si besoin, il peut être utile d’ajouter des zéros, voire de transformer un nombre entier en nombre décimal.
Exemples :
415,8 + 25,4 = 541,2 17,25 + 64,6 = 48 + 37,94 =
_____________ _____________ ____________
Enfin il est souvent utile d’évaluer l’ordre de grandeur du résultat afin de vérifier son résultat.
Exemple :
Je cherche la somme de 426,8 et 39,478 : 426,8 ® arrondi à la dizaine 430
39,478 ® arrondi à la dizaine 40
L’ordre de grandeur du résultat est donc 470
______________
Cela évite bien souvent les erreurs d’alignement !…
Calcul Soustractions de nombres décimaux
CM2
NC8 2
Pour effectuer une soustraction avec des nombres décimaux, on utilise les mêmes règles qu’avec les nombres entiers.
Pour le calcul en colonnes, il faut juste aligner les nombres correctement en plaçant les chiffres de même nature (centaine, dizaine, dixième, centième…) les uns sous les autres ; et ne pas oublier d’ajouter une virgule au résultat en l’alignant également.
centaine dizaine unité dixième centième millième
1 7 9 , 7 5 5
- 4 5 , 7
1 3 4 , 0 5 5
Si besoin, il peut être utile d’ajouter des zéros, voire de transformer un nombre entier en nombre décimal.
Exemples :
952,8 – 18,4 = 84,85 - 5,3 = 59 - 38,25 =
____________ ____________
Enfin il est souvent utile d’évaluer l’ordre de grandeur du résultat afin de vérifier son résultat.
Exemple :
Je cherche la différence entre 258,51 et 4,75 : 258,51 ® arrondi à la dizaine 260
4,75 c’est arrondi à peu près 5
L’ordre de grandeur du résultat est donc 255
________________
Cela évite bien souvent les erreurs d’alignement !…
Calcul Multiplications de nombres décimaux
CM2 NC9
v la multiplication posée
Pour effectuer une multiplication avec des nombres décimaux, on utilise les mêmes règles qu’avec les nombres entiers.
Pour le calcul en colonnes, on effectue le produit sans tenir compte de la virgule. On place ensuite la virgule de façon à ce que le résultat ait le même nombre de décimales que les termes du produit.
Exemples :
- Multiplication d’un décimal par un entier :
- Multiplication de deux décimaux :
8 5, 6 4
x 2 7 0, 2 5 5
x 8, 6
v Cas particuliers
• Multiplication d’un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000…
Pour multiplier un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000… , on déplace la
virgule d’1, 2, 3… rangs vers la droite. On peut ajouter des zéros si nécessaire.
Exemples :
35,641 × 10 = 35,641 × 100 = 35,641 × 1 000 =
35,6 × 10 = 35,6 × 100 = 35,6 × 1 000 =
• Multiplication d’un nombre entier ou décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001…
Pour multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 1 000… , on déplace la virgule d’1, 2, 3… rangs vers la gauche.
Exemples :
345 × 0,1 = 345 × 0,01 = 345 × 0,001 =
234,5 × 0,1 = 234,5 × 0,01 = 234,5 × 0,001 =
Calcul
La calculatrice CM2
NC10 1
exemple:
Je veux calculer ( 5 × 7 ) + (58 - 9 ) - ( 25 × 3 ) Je tape :
La touche ‘M+’ ajoute le résultat du calcul qu’on vient de faire à la mémoire.
La touche ‘M-‘ soustrait le résultat du calcul qu’on vient de faire à la mémoire.
La touche MRC affiche ce qui a été calculé dans la mémoire.
ON UTILISE CES TOUCHES POUR LES CALCULS AVEC LES PARENTHÈSES.
J’ajoute 5×7 soit 35
dans la mémoire.
J’affiche ce qu’il y a dans la
mémoire soit 9.
Touches de mémoire
Touche de retour
en arrière Touches d’opération
J’ajoute 58 - 9 soit 49 dans la mémoire.
Il y a donc
maintenant 35+49 soit 84 dans la mémoire.
Je soustrais 25 × 3 soit 75
dans la mémoire. Il y a donc maintenant 84 -75 soit 9 dans la mémoire.
Problèmes
Les tableaux CM2
NC11 1
Un tableau est une façon de présenter un énoncé ; il permet une lecture rapide de données.
Pour présenter clairement des informations, on construit un tableau. Pour faciliter sa lecture, on lui donne un titre, puis on donne aussi un titre aux lignes et aux colonnes. Ensuite, on remplit les cases avec les données.
Exemple :
Titre : Répartition des élèves de l’école
classe CP CE1 CE2 CM1 CM2 TOTAL
filles 10 15 10 4 9 48
garçons 11 9 3 9 15 47
Un tableau peut être une simple présentation…
Titre : Planning d’utilisation de la salle d’informatique
récréation lundi mardi jeudi vendredi Matin CP CE1 CM2 CE2 A-midi CM1 CE2 CE1 CP
… ou permettre la résolution d’un problème.
Titre : Commande de fournitures scolaires
Type de carton Quantité Prix
unitaire Prix total
cahiers 25 1,50 € 37,50 €
classeurs 50 3 € 150,00 €
protège-cahiers 25 0,75 € 18,75 €
intercalaires 50 1,70 € 85,00 €
TOTAL 291,25 €
Pour lire une information dans un tableau, il faut croiser une ligne et une colonne.
Exemple :
Type de carton Quantité Prix unitaire Prix total
cahiers 25 1,50 € 37,50 €
classeurs 50 3 € 150,00 €
protège-cahiers 25 0,75 € 18,75 €
intercalaires 50 1,70 € 85,00 €
TOTAL 291,25 €
Problèmes
Les graphiques CM2
NC11 2
On construit un graphique à partir de données qui ont d’abord été classées dans un tableau.
Un graphique permet de présenter des données de façon claire et visuelle.
Il les rend plus faciles à exploiter, car il permet de comparer et de visualiser l’évolution de ces données.
v Le diagramme
Le diagramme peut rendre les informations plus claires
Titre : répartition des anniversaires de la classe dans l’année
v la courbe
Titre : Répartition des anniversaires selon le sexe dans l’année
v
Le graphique « camembert »
nombre d'anniversaires
mois
garçons filles
Nombre d'anniversaire
mois
filles garçons
filles 56%
garçons 44%
Les axes ont des noms
Le titre reprend les informations
du graphique
ou du diagramme Les Axes sont gradués
régulièrement.
Pour le diagramme, la légende est parfois nécessaire.
Problèmes
La proportionnalité CM2
NC12 1
Deux suites de nombres sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant ou en divisant les nombres d’une suite par un même nombre, et que l’on obtient les nombres de la seconde suite.
Exemple 1 :
- Pour éviter de calculer à chaque fois le montant à encaisser, un postier a dressé le tableau suivant : (le prix d’un timbre est de 0,50 €, soit 0,5 €)
Nombre de timbres 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 0,5
Prix correspondant en € 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 - Pour obtenir les nombres de la deuxième ligne du tableau (les prix des timbres), il a multiplié les nombres de la première ligne par 0,50.
- On dit que la suite des nombres de la première ligne est proportionnelle à la suite des nombres de la deuxième ligne. 0,5 est le coefficient de
proportionnalité qui permet de passer de la première ligne à la seconde.
- Si la situation est proportionnelle et que l’on trace un graphique associant les données, tous les points sont alignés, et la droite obtenue passe par le point (0 ; 0) :
Exemple 2 :
- La maman de Jean a rempli son tableau de croissance :
Âge de Jean en ans 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Taille en cm 62 72 81 100 114 120 124 127 135 142
- On ne peut pas trouver un nombre qui permet de passer d’une ligne à l’autre.
Ce n’est pas une situation de proportionnalité.
- Si on trace un graphique associant les données, les points ne sont pas alignés et il ne passe pas par le point (0 ; 0).
v Quelques méthodes pour résoudre un problème de proportionnalité :
1) On peut chercher le coefficient de proportionnalité pour remplir le tableau :
Exemple : Pour faire des confitures, on utilise 40 g de sucre pour 60 g de fruits.
- Complète alors le tableau suivant :
Quantité de sucre (g) 40 120 …
´ ……
Quantité de fruits (g) 60 …… 150
2) On peut appliquer la « règle de trois » :
On passe par la recherche de la valeur d’une unité.
Exemple : Pour parcourir 300 km, un automobiliste a consommé 24 l d’essence.
Combien de litres d’essence a-t-il utilisé pour parcourir 200 km ?
1. On chercher le nombre de litres utilisés pour parcourir 1 km avec une division (24 ÷ 300 = 0,08)
2. On cherche ensuite le nombre de litres utilisés pour parcourir 200 km avec une multiplication (0,08 × 200 = 16)
3. Le résultat est donc 16 l
3) On utilise un produit en croix :
En traçant une croix, on multiplie les deux nombres reliés entre eux puis on divise par le nombre relié au nombre recherché.
Exemple : Une source donne 12 l d’eau en 4 minutes. Quel temps faut-il pour obtenir 30 litres ?
1 2 l ® 4 m i n 3 0 l ® ? m i n
Le nombre de minutes est donc égal à (30´ 4) ÷ 12 soit 120÷ 12 soit 10 minutes.
4) Il y a bien d’autres méthodes, mais il faut toujours vérifier la vraisemblance des résultats.
Problèmes
Les pourcentages CM2
NC12 3
Calculer le pourcentage d'une valeur c'est prendre une partie de cette valeur
exemple :
Dans le collège d’Avize qui compte 650 élèves, 20% sont du Mesnil sur Oger.
Pour trouver le nombre d'élèves étant du Mesnil sur Oger on calcule : (650 ´ 20) : 100 = 130
Il y a donc 130 élèves du Mesnil sur Oger dans ce collège Remarque :
On peut dire que 80% des élèves ne sont pas du Mesnil sur Oger (100% - 20%)
v Exemples de situations
Situation 1
Ce fromage contient 0% de matières grasses : il ne contient pas du tout de matières grasses.
Situation 2
100% des élèves ont réussi leur examen : tous les élèves ont réussi leur examen
Situation 3
Dans un magasin des affiches indiquent "-20% sur tous les vêtements"
Si je veux connaître le prix à payer pour une veste affichée à 250 €, je ferai le calcul suivant :
1) je calcule le montant de la réduction (-20%) : (250 ´ 20) : 100 = 50 € la réduction est de 50 €
2) je retire cette réduction du prix du départ : 250 - 50 = 200 la veste est vendue 200 €
Situation 4
Un ouvrier gagnant 1200 € vient de recevoir une augmentation de 3%.
Si je veux connaître son nouveau salaire je ferai le calcul suivant : 1) je calcule le montant de l'augmentation (3%):
(1200 ´ 3) : 100 = 36
Cet ouvrier reçoit donc 36€ en plus sur son salaire.
Problèmes
Les échelles CM2
NC12 4
Lorsqu’un plan est à l’échelle 1/ 2000 (on trouve aussi la notation 1 : 2000) cela signifie que 1 cm sur le plan représente 2000 cm (20 m) en réalité.
Exemple :
Sur un plan au 1/25 000, la distance à parcourir en vélo est de 3 cm.
Cela veut dire que la distance à parcourir dans la réalité est de : 3 × 25 000 = 75 000 cm.
Il faut ensuite convertir en m en divisant par 100 (car 1 m = 100 cm), la distance à parcourir est donc de 750 m.
Problèmes
Les vitesses CM2
NC12 5
Pour calculer une vitesse, on calcule la distance parcourue en 1h (60 min) en roulant toujours à la même allure.
Exemple :
Problème 1 : Combien de temps me faudra-t-il pour parcourir 72 km sachant que je roule à 80km/h ?
Je roule à 80 km/h, cela veut dire que je fais 80 km en 60 min (en 3600 s) Il me faut donc 3600 ÷ 80 = 45 s pour faire 1 km.
Il me faudra donc 72 × 45 = 3 240 s (soit 54 minutes) pour parcourir les 72 km.
Problème 2 : Le vainqueur de l’étape du tour de France a bouclé les 168 km de la course en 4h48min. A quelle vitesse a-t-il roulé ?
Il a parcouru les 168 km en 288 min et nous cherchons quelle distance il parcourt en 60 min.
C’est un problème de proportionnalité. (que l’on peut résoudre avec la méthode la plus simple -voir la leçon-)
Ici, je choisis la méthode du produit en croix : 168 km ® 288 min
… km ® 60 min
Il me faudra donc calculer (60 × 168) ÷ 288 = 35. Il roulait donc à 35 km/h.
