Feuille d’exercices n

L1 Analyse 2

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. Le but de l’exercice est de donner une preuve du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. On fixe donc une fonction f : [a, b] → R continue telle que f(a) <

0 < f(b), et on veut montrer qu’il existe un x ∈ [a, b] tel que f(x) = 0. Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant que∀x∈[a, b] : f(x)6= 0.

(1) En utilisant la d´efinition de la continuit´e, montrer que pour tout x ∈ [a, b], on peut trouver un intervalle ouvert V_x centr´e en x tel que f est de signe constant sur V_x∩[a, b]. (On pourra prendre ε tel que 0< ε <|f(x)|.)

(2) En d´eduire qu’il existe une subdivision (s₀, . . . , s_N) de [a, b] telle que, pour chaquek ∈ {0, . . . , N −1}, la fonction f est de signe constant sur [sk, sk+1].

(3) En d´eduire une contradiction, et conclure.

Exercice 2. On rappelle qu’une fonctionf :I →R d´efinie sur un intervalle I deR est dite born´ee sur I s’il existe une constante C telle que ∀t∈I : |f(t)| ≤C. Le but de l’exercice est de donner une preuve du fait que toute fonction continue sur un intervalleferm´e born´e [a, b] est born´ee sur [a, b].

(1) Soit f : [a, b] → R continue. En utilisant la d´efinition de la continuit´e avec ε= 6, montrer que pour tout x∈[a, b], on peut trouver un intervalle ouvert V_x centr´e en x tel que f est born´ee surV_x∩[a, b].

(2) En d´eduire qu’il existe une subdivision (s₀, . . . , s_N) de [a, b] telle que, pour chaquek ∈ {0, . . . , N −1}, la fonction f est born´ee sur [s_k, s_k+1].

(3) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 3. On dit qu’une fonction f : I → R d´efinie sur un intervalle I ⊆ R est uniform´ement continue sur I si, pour tout ε >0, on peut trouver δ >0 tel que (∗) ∀u, v ∈I v´erifiant |v−u|< δ, on a |f(v)−f(v)|< ε.

(1) Montrer que toute fonction uniform´ement continue est continue.

(2) Montrer que si t ∈ R⁺ et δ > 0, alors (t+δ)²−t² ≥ 2tδ; et en d´eduire que f(t) := t² n’est pas uniform´ement continue sur R⁺.

(3) Le but de cette question est de montrer que siI = [a, b] est un intervalleferm´e born´e, alors toute fonction continue sur [a, b] est uniform´ement continue. On fixe donc une fonction continue f : [a, b] →R, et ε > 0, et on cherche δ >0 v´erifiant (∗).

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(a) Montrer que pour tout x∈[a, b], on peut trouver un intervalle ouvert Vx

contenant x tel que

∀u, v ∈V_x : |f(v)−f(u)|< ε.

(b) Conclure en utilisant le Lemme de Lebesgue.

Exercice 4. Soit ϕ une fonction en escalier sur [a, b]. Montrer que si ϕe: [a, b]→R v´erifie ϕ(t) =e ϕ(t) pour tout t∈[a, b] sauf un nombre fini, alorsϕeest en escalier.

Exercice 5. Montrer qu’une fonction ϕ: [a, b]→R est en escalier si et seulement si elle est de la forme ϕ=PM

j=1β_j1_Ij, o`u les I_j sont des intervalles et β₁, . . . , β_M ∈R. (Ne pas oublier que les singletons sont des intervalles.)

Exercice 6. Siϕetψ sont des fonctions sur [a, b], on noteϕ∨ψ etϕ∧ψ les fonctions d´efinies parϕ∨ψ(t) = max ϕ(t), ψ(t)

etϕ∧ψ(t) = min ϕ(t), ψ(t)

. Montrer que si ϕetψ sont en escalier, alors ϕ∨ψ et ϕ∧ψ sont en escalier.

Exercice 7. Soit f : ]0,1]→R d´efinie par f(0) = 0 et f(x) = sin(1/x) pour x >0.

La fonctionf est-elle r´egl´ee?

Exercice 8. Montrer que sif etg sont des fonctions r´egl´ees sur un intervalle [a, b], alors f g,f +g et |f|sont r´egl´ees.

Exercice 9. Soitf : [a, b]→Rune fonction r´egl´ee. Le but de l’exercice est de mon- trer que l’ensemble des points de discontinuit´e de f estd´enombrable (´eventuellement fini).

(1) Justifier l’existence d’une suite (ϕ_n) de fonctions en escalier telle que

∀n∀t ∈[a, b] : |ϕn(t)−f(t)| ≤2⁻ⁿ.

(2) On note G l’ensemble des points t ∈ [a, b] qui sont des points de continuit´e de toutes les fonctions ϕ_n. En observant qu’une fonction en escalier n’a qu’un nombre fini de points de discontinuit´e, montrer que D= [a, b]\G est d´enombrable.

(3) Dans cette question, on veut montrer que tout point de G est un point de continuit´e de f. On fixe donc t₀ ∈ G etε > 0, et on cherche `a montrer qu’il existeδ >0 tel que|f(x)−f(t₀)|< εpour toutx∈[a, b] v´erifiant|x−t₀|< δ.

(a) Justifier l’existence d’un entierntel que∀t∈[a, b] : |ϕ_n(t)−f(t)| ≤ε/3.

(b) Montrer que ∀x∈[a, b] : |f(x)−f(t₀)| ≤2ε/3 +|ϕ_n(x)−ϕ_n(t₀)|.

(c) Conclure.

(4) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

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Exercice 10. Donner un exemple de fonction f qui ne soit pas r´egl´ee mais poss`ede un seul point de discontinuit´e.

Exercice 11. L’Exercice 9 montre en particulier que sif : [a, b]→Rest une fonction croissante, alors l’ensemble des points de discontinuit´e de f est d´enombrable. Dans le pr´esent exercice, on veut donner une autre preuve de ce r´esultat. On fixe donc une fonction croissante f : [a, b]→R.

(1) Montrer qu’un point x ∈]a, b[ est un point de discontinuit´e de f si et seule- ment si il existe un entierk ∈N^∗ tel que f(x⁺)−f(x⁻)≥1/k.

(2) Pourε >0, on pose D_ε ={x∈]a, b[ ; f(x⁺)−f(x⁻)≥ε}.

(a) Montrer que si x₁ <· · ·< x_N sont des points de D_ε, alors

f(b)−f(a)≥

N

X

i=1

f(x⁺_i )−f(x⁻_i )

≥N ε.

(b) En d´eduire queD_ε est un ensemble fini.

Exercice 12. Donner un exemple de fonction croissante sur [0,1] qui poss`ede une infinit´e de points de discontinuit´e.

Exercice 13. Soit f : I → R une fonction d´erivable telle que f⁰ soit born´ee sur I.

Montrer que f est uniform´ement continue.

Exercice 14. Soitα >1. Montrer `a l’aide du th´eor`eme des accroissements finis que si t ∈ R⁺ et δ > 0, alors (t+δ)^α ≥ α δt^α−1; et en d´eduire que f(t) := t^α n’est pas uniform´ement continue sur R⁺.

Exercice 15. Montrer que √ y−√

x≤√

y−x pour tousx, y ∈R⁺ tels que x≤y, et en d´eduire que f(x) = √

x est uniform´ement continue sur R⁺.

Exercice 16. Soit I un intervalle born´e de R (pas n´ecessairement ferm´e). Montrer que toute fonction uniform´ement continue sur I est born´ee.

Exercice 17. Montrer que f(t) = 1/t n’est pas uniform´ement continue sur ]0,1].

Exercice 18. Soit f : [0,∞[→R une fonction continue. On suppose que f admet une limite finie l en +∞.

(1) Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver A_ε > 0 tel que ∀s > A_ε :

|f(s)−f(A)|< ε.

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(2) Montrer que f est uniform´ement continue.

Exercice 19. Soit f : R⁺ → R une fonction uniform´ement continue. Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe deux constantes A et B telles que

∀x∈R⁺ : f(x)≤A+Bx.

(1) Soit δ > 0. Montrer que pour tout x ∈R⁺, on peut trouver un entier n_x et un point u_x ∈[0, δ] tel quex=u_x+n_xδ. En d´eduire, en utilisant le fait que f est born´ee sur [0, δ], qu’il existe une constante A_δ telle que

|f(x)| ≤A_δ+n_x×maxn

f(u_x+ (i+ 1)δ)−f(u_x+iδ)

; 0≤i < n_xo .

(2) D´emontrer le r´esultat souhait´e en utilisant la d´efinition de l’uniforme conti- nuit´e avec ε= 6.

Exercice 20. D´eduire de l’exercice 19 que si α > 1, alors f(x) = x^α n’est pas uniform´ement continue sur R⁺.