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Examen national baccalaureat session normale 2014 2éme Bac PC-SVT
Exercice 1: (3pts)
On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct les pointsA
0;3;1
,
1;3;0
B ,C
0;5;0
et la sphère(S) d’équation : x2 y2 z2 4x 5 0 .1. a) montrer que :ABAC 2i j 2k et déduire que les points A, B et C ne sont pas alignes.
b) montrer que : est une équation cartésienne du plan
ABC
.2. a) montrer que le point
2;0;0
est le centre de la sphère
S et 3 est son rayon.3. a) montrer que le plan
ABC est tangent à la sphère
S .b) déterminer les coordonnées de H le point d’intersection du plan
ABC et la sphère
S .Exercice 2: (3pts)
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C l'équation:z2 z 2 2 0 2. On considère le nombre complexe 2 6
2 2
u i
a) Montrer que le module de u est 2 et arg
2u 3
b) En écrivant u sous une forme trigonométrique montrer que u est un nombre réel. 6 3. On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct
O e e et les ; ;1 2
deux points A, et B d’affixes respectifs a 4 4i 3 et b8 .
Soit z l’affixe du point M du plan et z l’affixe du point M' image de M par la rotation R de centre O et d’angle
3
. a) Ecrire z' en fonction de z.
b) Vérifier que B est l’image de A par la rotation R et déduire que le triangle OAB est équilatérale.
Exercice 3 :(3 pts)
Soit la suite
Un définie par :
0
1
13
1 7
n 2 n
U U U n IN
1. montrer par récurrence que : U <n 14 pour tout n dans IN . 2. soit la suite Vn 14Unpour tout n dansIN.
2x y 2z 5 0
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a) montrer que la suite
Vn est géométrique de raison12puis écrire Vn en fonction de n.
b) Déduire que : 14 1 2
n
Un pour tout n dans IN, puis calculer la limite de la suite
Un .c) Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle on a : U >n 13,99 Exercice 4 : (3pts)
Une urne contient 9 jetons numérotés :0,0,0,0,0,1,1,1,1 (indiscernables au toucher)
1. On tire de façon aléatoire simultanément deux jetons de l’urne.
On considère l’événement A
A « la somme des chiffres que ports les jetons tirés est égale à 1»
Montrer que :
5P A 9
2. On considère le jeu suivant : Saïd tire de façon aléatoire simultanément deux jetons de l’urne et il est gagnant si les deux jetons tires portent tous les deux le chiffre 1.
a) Montrer que la probabilité que Saïd gagne est égale à 1 6
b) Saïd a joué trois fois (en remettant à chaque fois les jetons dans l’urne), Quelle est la probabilité pour que Saïd gagne exactement deux fois ?
Problème : (8 pts)
I – Soit g la fonction définie sur
0;
par : g x
1 12 lnx x 1. Montrer que g x
23 1x x
pour tout x de
0;
en déduire que la fonction g est croissante sur
0;
.2. Vérifier que : g
1 0 puis déduire que : g x
0
x 0;
.II- On considère la fonction f définie sur
0;
par : f x
1 lnx
2 12 x et
Cf sa courbe dans un repère orthonormé
O i j; ;
(unité 1cm).1. montrer que :
0
lim
x f x
, Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2. a) Calculerlim
x f x
.
b) montrer que
1 ln
2lim 0
x
x
x
(on poserat x)
puis montrer que :
lim 0
x
f x
x .
c) déterminer la branche infinie de
Cf au voisinage de + ∞.13,99 Un
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3. a)montrer que :
2g x
f x
x pour tout x dans
0;
et déduire que f est décroissante sur
0;1 et croissante sur
1;
.b) dresser le tableau de variation de f sur
0;
et déduire que : pour tout x dans
0;
.4. construire courbe
Cf dans le repère
O i j; ;
(on accepte que
Cf (admet un seul point d’inflexion qu’on ne déterminera pas)5. on considère les intégrales I et J comme suit :
1e
1 ln x dx
et
1e
1 ln x dx
2 a) montrer que : H x: xlnx est une primitive de h x: 1 ln x sur l’intervalle
0;
; en déduire que: I e .b) en procédant par une intégration par partie montrer que : J 2e1.
c) calculer en 𝑐𝑚2 l’air de la partie du plan délimitée par la courbe
