Le fakir Cipaçalouvishni a des dons de voyance qu'il montre avec une très belle boule (sphérique) de cristal . Vous disposez d'un compas, d'une grande feuille de papier, d'une règle graduée et d'un crayon. Le fakir vous soumet trois énigmes :
1ère énigme : Prenez un écartement du compas inférieur au rayon estimé de la boule.
Tracez sur la feuille de papier un premier cercle correspondant à cet écartement puis un deuxième cercle sur la sphère avec le même écartement. Désignez la plus grande des deux surfaces : celle du cercle tracé sur la feuille de papier ou celle de la calotte délimitée par le cercle tracé sur la boule.
Si je désigne e l’écartement du compas, la surface du cercle tracé sur la feuille de papier est évidemment πe2.
Calculons maintenant la surface S de la calotte.
J’ai mis la pointe du compas en A, et ai tracé le cercle qui apparaît en pointillé. Ce cercle passe par le point B et a comme centre H dans le plan formé par ce cercle.
La boule a un rayon r et un centre O.
Projeté sur un plan, nous obtenons un triangle isocèle A, B, O d’angle α au sommet O et de hauteur OI (I étant de fait le milieu de [A, B]).
Dans le triangle rectangle (OHB), je peux déterminer la longueur BH = r.sinα, soit un périmètre du cercle = 2πr.sinα
L’aire de la calotte est la « somme » des cercles de périmètre 2πr.sinθ, avec θ variant de 0 jusqu’à α. Cela revient à intégrer 2πr.sinθ selon une variation r.dθ
2πr.sinθ . r.dθ = 2πr2 sinθdθ = 2πr2(-cosθ + k). En constatant que lorsque θ=0, la surface se réduit au seul point A, cette surface est donc =0. La constante k est donc = 1.
J’en déduis que la surface S de la calotte est 2πr2(1 – cosα).
J’exprime maintenant cette surface en fonction de e, écartement du compas.
Dans le triangle rectangle (AOI), nous avons e/2 = r.sin(α/2) sin(α/2) = e/(2r).
J’exprime S en fonction de sin(α/2) : S = 2πr2(1 – cosα) = 2πr2(1 – (1 – 2sin2(α/2)) = 2πr2.2sin2(α/2) = 4πr2.sin2(α/2) = 4πr2.[e/(2r)]2 = 4πr2.e2/(4r2) = πe2
Conclusion : la surface du cercle tracé sur la feuille de papier est égale à celle de la calotte délimitée par le cercle tracé sur la boule.
e
O A
B
r r
H
I
α
2ème énigme : Mesurez de la façon la plus précise possible le rayon de la boule
Ma méthode suppose que le compas soit assez grand.
Je place le compas autour de la boule de manière à « tangenter » le plus grand cercle de celle- ci :
Je reproduis sur la grande feuille de papier le triangle formé par le sommet S du compas et ses 2 extrémités (P pour la pointe, M pour la mine). Le plus grand cercle de la boule est donc inscrit dans le triangle (MSP). Je trace les bissectrices de ce triangle :
Le point d’intersection des 3 bissectrices correspond au centre du plus grand cercle de la boule (propriété des cercles inscrits). Je trace ensuite les perpendiculaires de chaque côté passant par O (en me servant des graduations de la règle). La distance de ce centre à n’importe quel côté correspond au rayon de ce plus grand cercle.
Le plus sûr est sans doute de mesurer les 3 rayons « r », de les additionner, et de diviser le résultat par 3, cela atténuera les erreurs dues au côté manuel de la mesure …
S
P M
O
r r
r S
P M
O S
P M
3ème énigme : Le fakir trace trois points sur la boule et affirme que le cercle passant par les trois points de contact ainsi que les trois grands cercles passant par chaque paire de points sont tous les quatre magiques. Construisez ces quatre cercles magiques.
Je pars du principe que le compas peut tracer n’importe quel cercle sur la boule (un compas assez grand, avec des branches pliables).
Pour tracer le cercle circonscrit à ces 3 points A, B et C, il faut tracer 2 des 3 « médiatrices » sur la boule, dont l’intersection donnera le centre de ce cercle circonscrit (et magique).
La technique habituelle de faire 1 arc de cercle de centre A et un autre arc de cercle de centre B tels que les 2 arcs de cercles aient 2 intersections s’applique ici :
Le bord de la feuille de papier nous servira de règle pour tracer les 3 « médiatrices ». Le centre du cercle circonscrit étant connu, je trace avec le compas le cercle ayant ce centre, et passant par A, B et C.
Pour tracer les grands cercles, le coin de la feuille servira d’équerre : la perpendiculaire à la médiatrice de [A ; B] passant par l’un des 2 points A ou B constitue l’un des grands cercles.
Le plus pragmatique est plutôt de faire en sorte de disposer la boule tel que la « droite » (AB) soit verticale par rapport au sol.
Il faut pour cela enrouler la feuille de papier pour en faire un cylindre de rayon <r, poser cette feuille sur le sol, « fixer » les points A et B sur le bord de ce cylindre, et faire tourner la boule pour qu’elle tienne dans le cylindre avec le sommet qui coïncide avec le bord du cylindre
A B
A B
Feuille de papier
