Diophante G249
Soient neuf points du plan dont les distances entre deux quelconques d’entre eux sont me- sur´ees par des nombres entiers. Prouver que six d’entre elles au moins sont divisibles par 3.
G´en´eralisation avec n >3 points du plan : au moins un sixi`eme des distances toutes enti`eres entre deux points quelconques sont divisibles par 3.
Solution de Bruno Langlois.
Soit E une partie du plan, de cardinal n > 4, telle que les n2
= n(n−1)2 paires∗ de E ont une longueur enti`ere ; prouvons alors qu’il y a au moins 16 n2
= n(n−1)12 paires de E dont la longueur est divisible par 3.
• D´emontrons d’abord que pour toute partie P = {A,B,C,D} de E `a quatre ´el´ements, il existe une paire de P dont la longueur est divisible par 3.
Notons β=−→
AC,−→
AD
,γ =−→
AD,−→
AB
,δ =−→
AB,−→
AC
,x= AB,y = AC,z = AD, t= BC, u= CD et v = BD.
On a β+γ+δ ≡0 [2π] donc cosβ = cos(γ+δ), d’o`u cosγcosδ−cosβ = sinγsinδ
⇒ (cosγcosδ−cosβ)2 = (1−cos2γ)(1−cos2δ)
⇒ cos2β+ cos2γ+ cos2δ= 1 + 2 cosβcosγcosδ (?) En utilisant la relation d’Al-Kashi, on obtient :
cosβ = y2+z2yz2−u2 , cosγ = x2+z2xz2−v2 et cosδ= x2+y2xy2−t2 . Apr`es multiplication de chaque membre par 4(xyz)2, l’´egalit´e (?) donne alors :
x2 y2+z2−u22
+y2 x2+z2−v22
+z2 x2+y2−t22
= 4(xyz)2+ y2+z2−u2
x2+z2−v2
x2+y2−t2 (\) Si aucun des entiers, x, y, z, t, u et v n’´etait divisible par 3, chacun des entiers x2, y2, z2, t2, u2 et v2 serait congru `a 1 modulo 3. Le membre de gauche (resp. de droite) de l’´egalit´e (\) serait alors congru `a 0 (resp. 2) modulo 3, ce qui est impossible
•Notons maintenant cle nombre de paires deE de longueur divisible par 3. Comme chaque paire de E est incluse dans n−22
parties distinctes de E `a 4 ´el´ements, il y a au plus n−22 c parties distinctes deE `a 4 ´el´ements contenant une paire de longueur divisible par 3. Le point pr´ec´edent prouve alors que n−22
c> n4
et donc que c> n(n−1)12 = 16 n2 .
∗ J’appelle paire d’un ensemble de points du plan, une partie `a deux ´el´ements de cet ensemble ; la longueur de cette paire ´etant bien sˆur la longueur du segment joignant les deux points de la paire.
