Fonctions analytiques
M23040 (6 ECTS, coef. 2)
Modalit´es d’´evaluation : contrˆole continu et examen terminal
Pr´e-requis : L1, L2 Math´ematiques, ainsi que le cours de «Topologie et Calcul Diff´erentiel» de S5
Parcours int´egrant obligatoirement cette UE :
Parcours pouvant int´egrer cette UE : Math´ematiques Fondamentales, Math´ematiques enseigenement et Math´ematiques appliqu´ees.
Programme des enseignements – fonctions holomorphes, conditions de Cauchy ;
– rappels sur les s´eries enti`eres, fonctions analytiques ; principe des z´eros isol´es ; fonc- tion exponentielle, fonction Logarithme ;
– int´egrale le long d’un chemin ; primitive locale d’une fonction holomorphe ; formule de Cauchy pour un cercle ; analycit´e d’une fonction holomorphe ;
– formule de la moyenne, principe du maximum, th´eor`eme de Liouville ; d´emonstration du th´eor`eme de d’Alembert-Gauss.
Th´eorie de Cauchy
– invariance de l’int´egrale d’une fonction holomorphe par homotopie de lacets (´eventuellement admis) ;
– indice d’un point par rapport `a un lacet ; formule de Cauchy ; – fonction m´eromorphe, pˆole ; th´eor`eme des r´esidus ; applications.
Objectifs :Maˆıtrise d’un sujet tr`es classique et important. Indispensable pour les concours de recrutement, tr`es utile en master de math´ematiques et dans d’autres domaines (m´ecanique, physique...).
