12 - PROBABILITES - Sujet 1

St. Joseph/ICAM Toulouse CB12 - 2017-2018 -Correction

CB n

12 - PROBABILITES - Sujet 1

EXERCICE 1 Soitx∈R. On note, pour toutn∈N^∗ :

p_n= x

n(n+ 1)(n+ 2) 1. Déterminer les réelsa, b etctels que pour tout entier n∈N^∗ :

1

n(n+ 1)(n+ 2) = a n + b

n+ 1+ c n+ 2

1

n(n+ 1)(n+ 2) = 1

2n− 1

n+ 1+ 1 2(n+ 2)

2. Déterminer xpour que p_n définisse une probabilité sur (N^∗,P(N^∗)).

Il faut x >0 etX

n≥1

p_n convergente, avec

+∞

X

n=1

p_n= 1.

Pour n∈N^∗,X

n≥1

1

2(n+ 2)− 1 2(n+ 1)

− 1

2(n+ 1)− 1 2n

est une somme télescopique conver- gente de somme 1

4, donc X

n≥1

p_n converge et on a :

+∞

X

n=1

p_n= x 4.

Finalement, p_n définit une probabilité sur (N^∗,P(N^∗)) si, et seulement six= 4.

3. Une variable aléatoire X à valeurs dans N^∗ suivant la loi (p_n)n∈N^∗ admet-elle une espérance ? On a : np_n ∼

+∞

4

n², donc par comparaison à une série de Riemann convergente, la série X

n≥1

np_n est absolument convergente, et X admet donc une espérance finie.

4. On pose Y = (X−3)², oùX suit la loi (p_n)n∈N^∗. a. Déterminer la loi deY.

On a : X(Ω) =N^∗, donc Y(Ω) =

n², n∈N . Pour n= 0 :P(Y = 0) =P(X= 3) = 1

15.

Pour n∈N^∗, on a :P(Y =n²) =P((X−3)² =n²) =P(X−3 =n) +P(X−3 =−n).

Pour n= 1 :P(Y = 1) =P(X= 4) +P(X= 2) = 1 5. Pour n= 2 :P(Y = 4) =P(X= 5) +P(X= 1) = 24 35. Pour n≥3 :P(Y =n²) =P(X= 3 +n) = 4

(n+ 3)(n+ 4)(n+ 5). b. Y admet-elle une espérance ?

D’après le théorème de transfert, si Y admet un espérance alors X

(n−3)²P(X =n) converge, or (n−3)²P(X =n) ∼

+∞

4

n, donc par comparaison à une série positive divergente, la série diverge, et Y n’admet pas une espérance finie.

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EXERCICE 2

On lance (indéfiniment) une pièce déséquilibrée, Pile étant obtenu avec la probabilité 2 3.

On noteX (resp.Y) la variable aléatoire qui donne le rang d’apparition du premier Pile (resp. Face).

1. Déterminer la loi deX.

X suit une loi géométrique de paramètre 2 3.

2. Justifier (précisément) que la loi du couple (X, Y) est donnée par :

∀(i, j)∈(N^∗)², P(X=i, Y =j) =









 2^j−1

3^j si1 =i < j 2

3ⁱ si1 =j < i

0 sinon

Pour n∈N^∗, on note F_n: "Obtenir Face au n-ième lancer".

Soit(i, j)∈(N^∗)². On chercheP(X=i, Y =j).

Le premier jet donne soit Pile, soit Face, donc si nii nij ne vaut 1, la probabilité est nulle. De plus, on ne peut pas avoir Pile et Face au même lancer, donc sii=j la probabilité est nulle.

Si1 =i < j, on a :P(X=i, Y =j) =P(F1∩F2∩ · · · ∩Fj−1∩Fj) = 2

3 j−1

×1

3 = 2^j−1 3^j (d’après la formule des probabilités composées, avec des jets indépendants).

Si1 =j < i, on a :P(X=i, Y =j) =P(F₁∩F₂∩ · · · ∩Fi−1∩F_i) = 1

3 i−1

×2 3 = 2

3ⁱ (d’après la formule des probabilités composées, avec des jets indépendants).

3. Comment peut-on retrouver la loi de X?

Soiti∈N^∗.P(X =i) =

+∞

X

j=1

P(X=i, Y =j).

Sii= 1 :P(X = 1) =

+∞

X

j=2

2^j−1 3^j = 1

3

+∞

X

k=1

2 3

k

= 1 3 ×2

3 × 1 1−²₃ = 2

3. Sii6= 1 :P(X =i) =P(X =i, Y = 1) = 2

3ⁱ.

On retrouve bien une loi géométrique de paramètre 2 3. 4. Déterminer la covariance du couple (X, Y).

On a : cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y).

On rappelle que pour x∈]−1,1[,

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= ∂

∂x

+∞

X

n=0

xⁿ

!

= 1

(1−x)². E(XY) =

+∞

X

n=1

nP(XY =n) =

+∞

X

n=2

n(P(X= 1, Y =n) +P(X=n, Y = 1))

= 1 3

+∞

X

n=2

n 2

3

n−1! +2

3

+∞

X

n=2

n 1 3ⁿ⁻¹

!

= 1 3

1

(1−²₃)² −1

! + 2

3

1

(1−¹₃)² −1

!

= 21 6 . De plus,E(X) = 3

2 etE(Y) = 3, donc cov(X, Y) =−1.

5. Déterminer la loi de la variable aléatoireS =X+Y. On a S(Ω) = [[3,+∞[[. Pour n∈N, n≥3 :

P(S =n) =P(X= 1, Y =n−1) +P(Y = 1, X=n−1) = 2ⁿ⁻² 3ⁿ⁻¹ + 2

3ⁿ⁻¹.

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CB n

12 - PROBABILITES - Sujet 2

EXERCICE 1 Soitx∈R. On note, pour toutn∈N:

p_n= x

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) 1. Déterminer les réelsa, b etctels que pour tout entier n∈N:

1

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) = a

n+ 1+ b

n+ 2+ c n+ 3

1

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) = 1

2(n+ 1)− 1

n+ 2+ 1 2(n+ 3)

2. Déterminer xpour que p_n définisse une probabilité sur (N,P(N)).

Il faut x >0 etX

n≥0

p_n convergente, avec

+∞

X

n=0

p_n= 1.

Pour n ∈ N,X

n≥0

1

2(n+ 3)− 1 2(n+ 2)

−

1

2(n+ 2)− 1 2(n+ 1)

est une somme télescopique convergente de somme 1

4, donc X

n≥0

p_n converge et on a :

+∞

X

n=0

p_n= x 4.

Finalement, p_n définit une probabilité sur (N,P(N))si, et seulement si x= 4.

3. Une variable aléatoire X à valeurs dans Nsuivant la loi (p_n)n∈N admet-elle une espérance ? On a : np_n ∼

+∞

4

n², donc par comparaison à une série de Riemann convergente, la série X

n≥0

np_n est absolument convergente, et X admet donc une espérance finie.

4. On pose Y = (X−2)², oùX suit la loi (p_n)n∈N. a. Déterminer la loi deY.

On a : X(Ω) =N, donc Y(Ω) =

n², n∈N . Pour n= 0 :P(Y = 0) =P(X= 2) = 1

15.

Pour n∈N^∗, on a :P(Y =n²) =P((X−2)² =n²) =P(X−2 =n) +P(X−2 =−n).

Pour n= 1 :P(Y = 1) =P(X= 3) +P(X= 1) = 1 5. Pour n= 2 :P(Y = 4) =P(X= 4) +P(X= 0) = 24 35. Pour n≥3 :P(Y =n²) =P(X= 2 +n) = 4

(n+ 3)(n+ 4)(n+ 5). b. Y admet-elle une espérance ?

D’après le théorème de transfert, si Y admet un espérance alors X

(n−3)²P(X =n) converge, or (n−3)²P(X =n) ∼

+∞

4

n, donc par comparaison à une série positive divergente, la série diverge, et Y n’admet pas une espérance finie.

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EXERCICE 2

On lance (indéfiniment) une pièce déséquilibrée, Pile étant obtenu avec la probabilité 1 3.

On noteX (resp.Y) la variable aléatoire qui donne le rang d’apparition du premier Pile (resp. Face).

1. Déterminer la loi deX.

X suit une loi géométrique de paramètre 1 3.

2. Justifier (précisément) que la loi du couple (X, Y) est donnée par :

∀(i, j)∈(N^∗)², P(X=i, Y =j) =









 2

3^j si1 =i < j 2ⁱ⁻¹

3ⁱ si1 =j < i

0 sinon

Pour n∈N^∗, on note F_n: "Obtenir Face au n-ième lancer".

Soit(i, j)∈(N^∗)². On chercheP(X=i, Y =j).

Le premier jet donne soit Pile, soit Face, donc si nii nij ne vaut 1, la probabilité est nulle. De plus, on ne peut pas avoir Pile et Face au même lancer, donc sii=j la probabilité est nulle.

Si1 =i < j, on a :P(X=i, Y =j) =P(F1∩F2∩ · · · ∩Fj−1∩Fj) = 1

3 j−1

×2 3 = 2

3^j (d’après la formule des probabilités composées, avec des jets indépendants).

Si1 =j < i, on a :P(X=i, Y =j) =P(F₁∩F₂∩ · · · ∩Fi−1∩F_i) = 2

3 i−1

×1

3 = 2ⁱ⁻¹ 3ⁱ (d’après la formule des probabilités composées, avec des jets indépendants).

3. Comment peut-on retrouver la loi de X?

Soiti∈N^∗.P(X =i) =

+∞

X

j=1

P(X=i, Y =j).

Sii= 1 :P(X = 1) =

+∞

X

j=2

2 3^j = 2

3

+∞

X

k=1

1 3

k

= 2 3 ×1

3× 1 1−¹₃ = 1

3. Sii6= 1 :P(X =i) =P(X =i, Y = 1) = 2ⁱ⁻¹

3ⁱ . On retrouve bien une loi géométrique de paramètre 1

3. 4. Déterminer la covariance du couple (X, Y).

On a : cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y).

On rappelle que pour x∈]−1,1[,

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= ∂

∂x

+∞

X

n=0

xⁿ

!

= 1

(1−x)². E(XY) =

+∞

X

n=1

nP(XY =n) =

+∞

X

n=2

n(P(X= 1, Y =n) +P(X=n, Y = 1))

= 2 3

+∞

X

n=2

n 1

3

n−1! +1

3

+∞

X

n=2

n 2

3

n−1!

= 2 3

1

(1−¹₃)² −1

! +1

3

1

(1−²₃)² −1

!

= 21 6 . De plus,E(X) = 3 etE(Y) = 3

2, donc cov(X, Y) =−1.

5. Déterminer la loi de la variable aléatoireS =X+Y. On a S(Ω) = [[3,+∞[[. Pour n∈N, n≥3 :

P(S =n) =P(X= 1, Y =n−1) +P(Y = 1, X=n−1) = 2

3ⁿ⁻¹ +2ⁿ⁻² 3ⁿ⁻¹.

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