Titrisations des Risques d’Assurance

Titrisations des Risques d’Assurance

A.-L. Caillat, C. Dutang, T. Nguyen, Q. Tran, T. Thuy

25 avril 2008

Encadrant : St´ephane Loisel Rapport r´edig´e en L^ATEX

Introduction 7

1 Bilan des op´erations pass´ees 9

1.1 Titrisation des risques non vie . . . 9

1.1.1 Structure d’´emission . . . 9

1.1.2 Instruments . . . 11

1.1.3 Avantages et inconv´enients . . . 13

1.1.4 Exemples de titrisations . . . 16

1.2 Titrisation des risques vie . . . 19

1.2.1 Structure d’´emission . . . 19

1.2.2 Instruments . . . 20

1.2.3 Avantages et inconv´enients . . . 21

1.2.4 Exemples de titrisations . . . 23

2 Panorama des m´ethodes d’´evaluation 27 2.1 Mod`eles `a intensit´e . . . 27

2.1.1 Application aux “cat bond” . . . 27

2.1.2 Applications aux “mortality” ou “longevity bond” . . . 29

2.2 Mod`eles structurels . . . 30

2.2.1 Mod`ele en temps discret . . . 31 3

2.2.2 Mod`ele en temps continu . . . 31

2.3 Evaluation `a l’aide de transform´ees de probabilit´es . . . 32

2.3.1 Application aux cat bond . . . 33

2.3.2 Application au risque de mortalit´e . . . 34

2.3.3 Application au risque de long´evit´e . . . 35

2.3.4 La perturbation exponentielle . . . 36

2.4 Evaluation `a l’aide de fonctions d’utilit´e . . . 37

2.4.1 Fonctions de pr´ef´erence . . . 37

2.4.2 Mesures de risques . . . 37

3 Calibration d’un mod`ele `a mortalit´e stochastique 40 3.1 Pr´esentation de la titrisation Tartan . . . 40

3.2 Pr´esentation du mod`ele . . . 42

3.3 Calibration . . . 43

3.3.1 Calibration de la composante principale . . . 44

3.3.2 Calibration de la composante “catastrophe” . . . 44

3.4 R´esultat : comparaison avec les “spreads” observ´es . . . 45

Conclusion 47

Bibliographie 48

Webographie 52

Annexes 53

A Structure de titrisation d’un ABS 53

B Une liste (non exhaustive) de titrisations 54

C Les processus de Poisson doublement stochastiques 57

D Calibration du mod`ele affine 58

E Equations Diff´erentielles Ordinaires de Riccatti 60

Introduction

important things to look after than an investment portfolio.”

An anonymous cat-mortality investor¹.

La titrisation consiste `a transf´erer aux march´es financiers le risque de cr´edit de certains actifs d’une firme. Concr`etement, la firme ´emet des titres, directement n´egociables par les investisseurs, dont la performance d´epend d’un panier d’actifs illiquides (i.e. non n´egociables). La titrisation bancaire a vu le jour `a cause d’un d´eficit de fonds sur le march´e des hypoth`eques immobili`eres aux Etats-Unis. Les banques ont ´et´e contraintes de trouver des outils pour le financer. La titrisation

´

etait utilis´ee, `a cette ´epoque, pour faciliter le transfert de capital de l’investisseur `a l’emprunteur.

Le premier produit de titrisation sur hypoth`eque a ´et´e lanc´e en 1977 par “Bank of America”.

Depuis ce temps, les banques ont utilis´e ce proc´ed´e financier pour titriser leurs cr´eances ou leurs emprunts hypoth´ecaires. En anglais, on parle de “Asset Backed Securities” et dans certains cas de

“Mortgage Backed Securities”. Le march´e des MBS, cr´e´e dans les ann´ees 70, a atteint 1,5 trillion en 2002. Le march´e des ABS, plus jeune datant de 1987, a atteint 450 milliards en 2002. Mˆeme si le concept de titrisation des risques d’assurance date aussi des ann´ees 70 (cf. Gorvett (1999)), il a fallu attendre les ann´ees 90 pour voir apparaˆıtre les premi`eres titrisations de risque d’assurance (“insurance securitisation” en anglais).

En effet, apr`es le cyclone Andrew en 1992 puis le s´eisme Northridge en 1994, la r´eassurance traditionnelle ´etait incapable de satisfaire les besoins des assurances. Les gigantesques dommages caus´es par ces catastrophes ont d´epass´e fortement les calculs th´eoriques et les estimations des praticiens. Les compagnies d’assurance ont alors dˆu chercher d’autres moyens pour se couvrir contre des risques catastrophiques. Les obligations non vie sont un de ces moyens. Ainsi la premi`ere obligation catastrophe (cat bond) a ´et´e ´emise par Hannover Re en 1994. Dans le mˆeme temps (1995), le Chicago Board of Trade a propos´e des d´eriv´es sur un indice catastrophe². Ces derni`eres ann´ees les volumes de titres adoss´es `a un risque d’assurance (“Insurance Linked Securities” not´e ILS par la suite) n’ont cess´e d’augmenter pour atteindre un montant de 37 milliards en 2007³.

Non seulement les compagnies d’assurance non vie font appel `a la titrisation, mais aussi les compagnies d’assurance vie pour se prot´eger contre les risques de mortalit´e et de long´evit´e. D’une part, les titrisations aident les assureurs `a mieux g´erer leurs fonds propres en leur permettant de mon´etiser les actifs incorporels, de lib´erer du capital pour d’autres objectifs de la soci´et´e tels qu’une acquisition, un rachat d’actions ou un investissement dans un autre march´e. D’autre part, elles sont un outil pour att´enuer les pressions sur les exigences de capital r´eglementaires, en particulier sur le march´e am´ericain o`u ces exigences sont tr`es lourdes.

1citation tir´ee de Bauer & Kramer (2007).

2cf. Gorvett (1999) - section 5-A pour des exemples d’options et de swap. Doherty (1997) souligne que les d´eriv´es cat ne suppriment le risque de cr´edit.

3cumul vie et non-vie.

7

Notre approche a ´et´e d’´etudier de mani`ere g´en´erale deux ´el´ements essentiels d’une titrisation : sa structuration et son ´evaluation. Puis nous nous sommes concentr´es sur un risque d’assurance particulier : le risque mortalit´e. Ce rapport est divis´e en trois chapitres. Tout d’abord, nous faisons un bilan assez exhaustif des op´erations de titrisations (d’assurance) pass´ees, en mettant l’accent sur sa structuration. Dans un second temps, nous r´ealisons un panorama des m´ethodes d’´evaluations des produits issus des titrisations des risque d’assurance. Enfin, le troisi`eme et dernier chapitre pr´esente une application num´erique d’un mod`ele `a mortalit´e stochastique.

Bilan des op´ erations pass´ ees

Ce premier chapitre se concentre sur les op´erations de titrisations pass´ees. Il est divis´e en deux volets, le premier sur les risques non vie, et le second sur les risques vie. Les deux sections se pr´esentent sur le mˆeme mod`ele : une pr´esentation des structures d’´emission, les instruments de titrisations, les avantages/inconv´enients et des exemples de titrisations.

1.1 Titrisation des risques non vie

Ces activit´es sont essentiellement orient´ees vers le transfert de risques extrˆemes vers les march´es financiers. Elles sont une alternative aux activit´es de r´eassurance traditionnelle et sont donc class´ees parmi les nouvelles m´ethodes de gestion des risques dites “ART ” (Alternative Risk Transfer). Il ne s’agit pas de remplacer la r´eassurance mais bien d’augmenter les capacit´es du march´e `a l’aide de protections originales. On distingue deux natures de titrisation¹ : les titrisations des risques

`

a caract`ere catastrophique, qui sont les plus repr´esent´ees en assurance non-vie et les titrisations de risques non-catastrophiques que l’on retrouve dans quelques exemples particuliers comme la titrisation du portefeuille d’assurance automobile d’AXA².

1.1.1 Structure d’´emission

Le transfert du risque d’assurance aux march´es financiers est r´ealis´e par l’interm´ediaire d’une structure juridique ind´ependante (voir figure 1.1) : le SPV (Special Purpose Vehicle), souvent im- plant´e dans un paradis fiscal³. Le sponsor, en g´en´eral une compagnie d’assurance ou de r´eassurance, cr´ee ce SPV pour ´emettre les titres et lui verse une prime. Les fonds confi´es par les investisseurs au SPV lorsqu’ils ach`etent les titres seront vers´es au sponsor si un ´ev´enement de forte intensit´e survient. Cet ´ev´enement est d´efini par un seuil de d´eclenchement (“loss trigger”) pr´ed´efini. Ces structures sont tr`es semblables aux titrisations bancaires (cf. annexe A pour le montage g´en´eral d’un “asset backed security” quelconque).

1cf. ´etude Sigma - Helfenstein (2006).

2cf. communiqu´e de presse Axa lance la premi`ere titrisation d’un portefeuille d’assurance automobile(2005).

3“offshore” en anglais, typiquement les ˆıles Cayman, les Bermudes. . .

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Fig. 1.1 – Structure de titrisation

Selon les ´emissions, l’investisseur prend un risque diff´erent : le coupon et/ou le nominal peuvent ˆ

etre risqu´es. En cas de r´ealisation de l’´ev´enement d´efini (la catastrophe), les titres sont liquid´es pour payer les pertes de l’assureur et donc :

– si le principal est variable, l’investisseur perd une partie ou la totalit´e de son investissement initial,

– si le principal est prot´eg´e, l’investisseur peut perdre les int´erˆets sur ses titres mais il r´ecup´erera le principal `a la maturit´e.

En cas de non-r´ealisation de l’´ev´enement avant la maturit´e des titres, l’investisseur re¸coit le principal et les int´erˆets (souvent le LIBOR¹ plus un spread li´e `a la prime vers´ee par le sponsor).

Pour garantir `a l’investisseur le remboursement du principal, le SPV doit investir sur des actifs peu risqu´es. Il ne s’agit pas de jouer la performance mais de s´ecuriser les investissements. La prime provenant du sponsor et le principal des titres des investisseurs sont g´en´eralement plac´es par le SPV dans une soci´et´e d’investissements financiers. Le “swap counterparty” est une compagnie de services financiers qui investit les montants du SPV et garantit un taux d’int´erˆet autour du LIBOR par exemple. L’investisseur ne tient pas `a supporter un autre risque que le risque cat.

La difficult´e, lors de l’´emission d’ILS, r´eside dans la d´efinition de l’´ev´enement qui va d´eclencher le remboursement des pertes au sponsor. Une m´ethode consiste `a d´efinir explicitement un seuil de perte des assur´es ou de l’assureur `a partir duquel le SPV va reverser une indemnit´e au sponsor.

Ce mod`ele indemnitaire `a l’avantage de rembourser l’assureur en fonction du coˆut r´eel qu’il doit assumer. En revanche, la transparence dans la d´efinition de l’´ev´enement n’est pas totale pour l’investisseur et cela oblige le sponsor a donn´e des informations sur son portefeuille d’assurance aux march´es.

1London InterBank Offered Rate

Une autre m´ethode utilise des indices (e.g. m´et´eorologiques) pour d´eterminer le seuil de d´eclenchement du contrat. Les indices comme l’´echelle de Richter pour les tremblements de terre ou ceux cr´e´es par M´et´eo France et Euronext ont l’avantage d’ˆetre con¸cus ind´ependamment du sponsor et des inves- tisseurs. Il existe ´egalement des indices qui prennent en compte l’ensemble des pertes du secteur de l’assurance. Leur inconv´enient est de ne pas ˆetre directement li´es aux pertes de l’assureur. Celui-ci supporte donc un risque de base en cas de non-corr´elation des indemnit´es qu’il verse `a ses assur´es et des indemnit´es qu’il re¸coit de la titrisation du risque. Enfin les mod`eles param´etriques, combinent le plus souvent des indices et une mod´elisation de sc´enarios pour d´eterminer le loss trigger.

1.1.2 Instruments

L’´etude Sigma de Swiss Re¹ r´epertorie six cat´egories d’instruments de gestion des risques et des fonds propres des assureurs non-vie : la r´eassurance classique, les obligations catastrophe (cat bonds), les swaps catastrophe, les Industry Loss Warranties (ILW), le capital conditionnel (contin- gent capital) et les side-cars.

Cat-bonds

Les catastrophes naturelles des ann´ees 90 ont ´et´e le r´ev´elateur du manque de capacit´e de l’indus- trie traditionnelle d’assurance et de r´eassurance pour couvrir des sinistres d’une telle intensit´e. Le cyclone Andrew en Floride en 1992 a coˆut´e pr`es de 20 milliards de dollars aux assureurs et le trem- blement de terre de Northridge en Californie en 1993 a provoqu´e selon les estimations, entre 13 et 20 milliards de dollars de d´egˆats. Face `a ces montants consid´erables, les assureurs ont pris conscience de la n´ecessit´e de chercher d’autres types de protection pour faire face `a des ´ev´enements extrˆemes, amen´es `a se reproduire sans doute plus fr´equemment `a l’avenir. L’intensification des catastrophes naturelles est `a l’origine du d´eveloppement des titrisations sous la forme de Cat’Bonds.

Ann´ee Lieu Ev`enement Pertes Assur´ees Dommages ´economiques

1992 Floride, Ouragan Andrew 20 30

Golfe du Mexique

1994 Californie Tremblement de terre 15 50

(Northridge)

1995 Japon Tremblement de terre 5 100

(Kobe)

Total 40 180

2005 Floride Ouragan Katrina 40 100

Tab. 1.1 – Pertes (en milliards USD) des catastrophes naturelles²

Parall`element `a la multiplication des ph´enom`enes naturels catastrophiques, les assureurs constatent l’insuffisance de leur capital pour couvrir des risques dont le coˆut s’accroˆıt. Ils d´ecident de faire

1Helfenstein (2006).

2Sources : EQECAT (www.eqecat.com) et Insurance Information Institute (www.iii.org).

appel aux march´es financiers via la titrisation de leurs risques d’assurances tout comme le font leurs coll`egues banquiers pour financer leur risque de cr´edit.

Au-del`a de la n´ecessit´e historique, c’est l’engouement pour les produits de titrisation qui a conduit `a leur d´eveloppement. Les acteurs du march´e, aussi bien investisseurs dans les titres, qu’acheteurs de protection, ont trouv´e leur int´erˆet `a cr´eer un march´e dynamique. Les premi`eres

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emissions de cat bonds datent de 1996 et 1997. Les ´emissions concernaient alors principalement trois r´egions principales, les Etats-Unis, la Californie, le Japon, pour deux types de risques : les ouragans et les tremblements de terre.

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14 Transaction Statistics (1997–2006):Trigger Type

In addition to the continued reliance on the four established trigger mechanisms (i.e., Indemnity, Parametric, PCS-Index and Modeled-Loss), during 2006, new hybrid triggers were introduced (see Table 3). These hybrid triggers, which are essentially formed from the combination of two or more existing trigger types within a single transaction or tranche, fall into two main classes:

The first and more straightforward class, which was first used on the Successor Program, uses different trigger types for different perils within a single tranche. For example, a single tranche with exposure to both U.S. wind and Japanese earthquake perils could rely on a PCS-Index trigger to establish U.S. wind losses, and a Parametric trigger to establish Japanese earthquake losses.

The second class of hybrid trigger applies different trigger types, in a sequential fashion, when establishing losses from a covered event. This type of hybrid trigger was first used in the Calabash Ltd. transaction (sponsored by ACE Ltd.). In this transaction, once a covered event has occurred, its parameters (such as average sustained wind speed) are run through two escrowed notional portfolios, one representing the sponsor’s exposures, and the other representing the exposure of the industry. The resulting output of the sponsor is divided into the output for the industry to establish sponsor market share. This sponsor market share amount is then applied to the actual PCS losses associated with the covered event to establish losses to the bond. In essence, this hybrid trigger combines Modeled-Loss and PCS-Index trigger types, trying to reduce basis risk borne by the sponsor while still preserving a non-indemnity trigger mechanism.

Indemnity transactions continued to be difficult to place, as the investor universe, still focused on the possibility for non-modeled or inaccurately modeled losses to contribute to principal TABLE 2: RISK CAPITAL BY

SPECIFIC PERIL ($MM)

YEAR U.S. U.S. EUROPEAN JAPANESE JAPANESE OTHER

EARTHQUAKE HURRICANE WINDSTORM EARTHQUAKE TYPHOON

1997 112.0 395.0 0.0 90.0 0.0 36.0

1998 145.0 721.1 0.0 0.0 80.0 45.0

1999 327.8 507.8 167.0 217.0 17.0 10.0

2000 486.5 506.5 482.5 217.0 17.0 129.0

2001 696.9 551.9 431.9 150.0 0.0 120.0

2002 799.5 476.5 334.0 383.6 0.0 0.0

2003 803.8 416.1 474.1 691.2 277.5 100.0

2004 803.3 660.8 220.3 310.8 0.0 0.0

2005 1,269.0 994.0 830.1 138.0 0.0 405.0

2006 2,228.7 2,294.9 1,166.0 824.1 400.3 507.5

TOTAL $7,672.4 $7,524.6 $4,105.9 $3,021.6 $791.8 $1,352.5

- The total principal amount of bonds covering two or more perils (in which the total principal is exposed) has been included in all the peril categories they cover; therefore, the total figures do not reflect the actual volume of bonds issued.

- "Other" perils include Europe hail, Monaco earthquake, Puerto Rico hurricane, Taiwan earthquake, third-party casualty liability,Australian earthquake, Australian wind, Mexican earthquake, U.S. tornado and hail and bonds for which the peril was not disclosed.

Trigger Type

Fig. 1.2 – Montants des ´emissions de cat bond et bilan du march´e cat (millions USD)¹

Autres types de titrisation non vie

Industry Loss Warranties

Les Industry Loss Warranties (ILW) (au d´epart nomm´es Original Loss Warranties (OLW)) sont des protections dont le d´eclenchement s’effectue en fonction des pertes assur´ees en catastrophe pour l’ensemble d’un secteur. L’´evaluation de ces produits de transfert de risque est donc r´ealis´ee simplement `a partir des estimations des pertes attendues pour un secteur donn´e et non celles d’une seule entreprise. Il existe donc un risque de base (cf. Zeng (2000)) important lorsque les pertes du portefeuille titris´e sont plus importantes que les pertes de l’industrie au global. Ainsi le risque sera plus important pour un assureur qui titrise un portefeuille dont l’exposition ne correspond pas `a celle du march´e choisi. C’est pourquoi ceux qui ont recours `a ce type de couverture veillent `a ce que leur activit´e soit fortement corr´el´ee `a celle du secteur pris en compte.

Plusieurs param`etres structurent les ILW : le type de risque (tempˆete, tremblement de terre,...), le seuil de perte qui d´eclenche l’indemnisation, la zone g´eographique concern´ee. On obtient donc des titres sp´ecialis´es qui peuvent int´eresser des investisseurs soucieux de cibler leurs placements.

Le seuil de perte peut ˆetre identifi´e par ´ev´enement ou par pertes cumul´ees sur une ann´ee `a l’image des types de trait´es propos´es par les r´eassureurs (exc´edent de sinistre et exc´edent de perte). Un exemple d’ILW est la titrisation de Mont Forte Re r´ealis´e en 2006 pour couvrir contre les zones de

1Source : ´etude Guy Carpenter - McGhee et al. (2007).

pic extreme des tremblements de terre (8 sur l’´echelle de Richter) et des ouragans (cat´egorie 4). Le sponsor ´etait Flagstone Re pour un montant de 60 millions de dollars¹.

L’int´erˆet actuel pour les ILW r´eside dans la standardisation du processus d’´evaluation qui rend son coˆut moindre. L’´evaluation des pertes d’un secteur est r´ealis´ee une seule fois et aboutit g´en´eralement `a la cr´eation d’un indice qui peut ˆetre utilis´e pour plusieurs titrisations. Ainsi, ce type de titrisation s’av`ere plus ´econome, contrairement aux cat-bonds `a un mode de d´eclenchement indemnitaire, o`u une ´evaluation particuli`ere est n´ecessaire pour chaque type de portefeuille titris´e.

Les hedge funds et les r´etrocessionnaires sont particuli`erement friands de ce type de couvertures.

La simplification du processus de tarification des ILW les rend plus accessibles `a l’ensemble des investisseurs. De plus, la prise en compte des donn´ees de tout un secteur, donc d’un grand nombre d’acteurs peut r´eduire l’incertitude et les marges de risque. Ishaq (2005) constate que les ILW pr´esente un autre avantage pour les entreprises, puisqu’ils lissent les r´esultats contre les pertes catastrophiques d’un secteur.

Side-cars

Les side-cars sont des structures financi`eres ind´ependantes qui permettent aux r´eassureurs d’augmenter leurs capacit´es de souscription sans pour autant proc´eder `a une augmentation de capital. En effet lorsque le capital support du risque se trouve dans le side-car, le r´eassureur peut dynamiser ses fonds propres et augmenter leur rendement.

En pratique, la structuration de l’op´eration de titrisation est la suivante : des investisseurs souhaitant s’impliquer dans les affaires du c´edant r´eassurent en quote-part jusqu’`a une certaine limite un portefeuille entier c´ed´e au side-car. La sp´ecificit´e de ces couvertures mod`ere le risque de base mais laisse le c´edant responsable de ses pertes au del`a de la limite du quote-part.

Ces structures ont connu une croissance importante apr`es l’ouragan Katrina en 2005 pour accroˆıtre les capacit´es des r´eassureurs bermud´eens grˆace aux capitaux des investisseurs attir´es par les potentialit´es de croissance du secteur et la hausse des prix du march´e cons´ecutive `a la catastrophe, qui a touch´e pas moins de 7 ´etats.

1.1.3 Avantages et inconv´enients

Avantages pour les acheteurs de protections (assureurs et r´eassureurs)

Pour les acheteurs de protection, la titrisation est une innovation en terme de gestion du risque et du capital. Les c´edantes ou “sponsors” cherchent une couverture pour leurs risques grˆace au capital des investisseurs. Ils transf`erent au march´e financiers des risques tr`es rares mais de forte intensit´e, comme les catastrophes naturelles, et qui concernent des r´egions `a forte densit´e de richesses (Etats- Unis, Japon et Europe principalement). Les entreprises d’assurances peuvent transf´erer leurs risques de pointe susceptibles d’impacter leurs fonds propres au bilan. Le capital lib´er´e peut ainsi ˆetre affect´e

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a d’autres investissements.

1cf. McGhee et al. (2007)

Au-del`a des couvertures de r´eassurance traditionnelle, l’entreprise d’assurance peut avoir acc`es

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a de nouvelles capacit´es en utilisant la titrisation. En effet les capacit´es de l’industrie de l’assurance semblent souvent insuffisantes en regard des besoins en couverture de risque. Aux Etats-Unis, le capital du march´e de l’assurance dommage est estim´e `a 220 milliards USD alors que la capacit´e des march´es financiers atteint 19,000 milliards USD. Malgr´e la complexit´e d’une ´emission de titre, la standardisation du processus rend de plus en plus accessible ce mode de couverture.

Les agences de notation tiennent compte de la titrisation dans leur surveillance des fonds propres. Il n’y a pas de pas de risque de cr´edit car la couverture est enti`erement collat´eralis´ee.

C’est un v´eritable moyen pour r´eduire les exigences en capital.

Avantages pour les vendeurs de protection (investisseurs)

L’hypoth`ese formul´ee est que le risque port´e par les obligations catastrophes n’est g´en´eralement pas corr´el´e aux autres risques que prend l’investisseur sur les march´es en action¹. Il est ainsi possible pour l’investisseur de diversifier son portefeuille en utilisant des produits de titrisation de risques d’assurance.

La possibilit´e de sp´ecialiser son investissement peut rendre certains investisseurs particuli`erement int´eress´es par la titrisation. Si les profits d’une entreprise sont corr´el´es n´egativement avec les int´erˆets des assureurs, l’int´erˆet de l’entreprise est d’acqu´erir des titres couvrant le risque d’une mˆeme ca- tastrophe. Par exemple l’industrie du bˆatiment pourrait s’int´eresser aux cat-bonds : elle profite des gains de croissance en cas de survenance de catastrophe et finance les sinistres des assureurs via les cat’bonds, ou bien r´ecup`ere le rendement de ses ILS² pour compenser la morosit´e du march´e du batiment lorsqu’aucune catastrophe n’a eu lieu.

Cette corr´elation invers´ee entre risque catastrophique et risque de croissance d’un secteur d’acti- vit´e permet alors aux investisseurs de prot´eger leur activit´e et de lisser leurs b´en´efices sur plusieurs exercices. Un autre avantage pour l’investisseur est qu’il n’a pas de risque de contrepartie vis `a vis du sponsor. La soci´et´e ad-hoc cr´ee pour ´emettre les bonds est ind´ependante juridiquement et financi`erement du sponsor qui lui a transf´er´e les risques.

Enfin, les marges r´ealis´ees sur ce march´e des obligations catastrophe sont plus que correctes.

Mˆeme si les marges tendent `a diminuer du fait de l’arriv´ee de plus en plus d’acteurs sur ce march´e, les cat bond sont tr`es pris´es des fonds d´edi´es, des money manager et des hedge fund.

Inconv´enients

Pour les investisseurs, l’hypoth`ese de non corr´elation des risques d’assurances et des march´es financiers semble excessive en pratique. On peut se demander, en effet, si la survenance d’une catastrophe d’une intensit´e exceptionnelle, qui affecterait dramatiquement les assureurs, serait sans

1hypoth`ese de faible corr´elation a ´et´e confirm´ee par certains professionnels lors de la conf´erence PRMIA du 23 janvier 2008.

2insurance linked securities.

effet sur les march´es financiers¹.

Pour les c´edantes, il existe un risque de base (pr´esent´e par exemple dans Gorvett (1999)) important lorsqu’ils ach`etent de la protection via les obligations catastrophes. Les contrats de r´eassurance sont presque toujours bas´es sur les pertes effectives dues au sinistre. Le r´eassureur paie une indemnit´e correspondant `a la sinistralit´e du portefeuille de l’assureur. En revanche les obligations catastrophes ont g´en´eralement un seuil de d´eclenchement qui repose sur un indice ou un mod`ele param´etrique. Le payoff peut donc ˆetre diff´erent des pertes r´eelles de l’assureur.

Cette diff´erence entre la r´ealit´e de l’impact du sinistre sur l’assureur et son estimation au travers d’un indice correspond au risque de base. Plus la corr´elation est forte entre les pertes du secteur et celles effectives de l’assureur, plus le risque de base est bas (cf. figure 1.3 inspir´ee de l’´etude Sigma - Helfenstein (2006)).

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Fig. 1.3 – Types de d´eclencheurs

L’utilisation d’un seuil de d´eclenchement indemnitaire entraˆıne une diminution du risque de base pour l’assureur. En revanche, l’investisseur sera plus r´eticent `a s’engager dans la transaction pour des probl`emes d’asym´etrie de l’information : al´ea moral et anti-s´election. L’anti-s´election traduit la tendance du c´edant `a profiter de sa meilleure connaissance de son portefeuille pour en titriser les parties les plus risqu´ees et conserver les “bons risques”. L’investisseur est souvent limit´e dans son analyse du risque contenu dans le portefeuille titris´e. De plus, lorsque le c´edant a une gestion plus risqu´ee de son portefeuille parce qu’il sait que le risque a ´et´e transf´er´e aux investisseurs, il s’agit du ph´enom`ene d’al´ea moral. Dans ce cas les pertes futures risquent d’ˆetre exag´er´ees du fait des

1En fait, les catastrophes naturelles du type s´eisme, ouragan ont peu d’effet sur l’´economie au niveau mondial, donc une incidence sur les march´es financiers. Cependant pour des catastrophes de type mortalit´e comme une ´epid´emie de SRAS ou de grippe aviaire, on peut logiquement penser que cela va affecter les march´es financiers. En effet, ce genre de catastrophes obligent les gens `a rester chez eux, entrainant une forte chute sur l´economie. Ce type de risque est abord´e dans la seconde section.

agissements du c´edant ou de son “laisser-aller” dans la surveillance du portefeuille.

Ces risques sont bien connus du monde de l’assurance puisque l’assureur y est confront´e vis `a vis de ses assur´es. Canabarro et al. (2000) nous apprend que ces probl`emes peuvent ˆetre limit´es de plusieurs mani`eres dans le cadre de titrisations. Le risque d’anti-s´election est r´eduit lorsque le c´edant titrise l’ensemble d’un portefeuille et ´etablit des r`egles de s´election des risques transparentes ; ou qu’il conserve une part du risque donc des pertes.

C’est ce qu’a fait USAA (un assureur sp´ecialis´e pour les militaires am´ericains) pour la titrisation Residential Re 98 et 99¹ : l’ensemble de ses activit´es ont ´et´e prise en compte et USAA a conserv´e 10% du risque. La division en classes de risque, initi´ee par Mosaic Re en 1998, est ´egalement favorable `a une meilleure appr´eciation des riques encourus par les investisseurs. Le risque d’al´ea moral qui d´epend de la croissance et l’´evolution du portefeuille peut ˆetre r´eduit avec des p´eriodes contractuelles plus courtes, des seuils de d´eclenchement p´eriodiques ou des contrats index´es sur le ratio combin´e. Enfin, Canabarro et al. (2000) souligne le rˆole des agences de notation dans la transmission de l’information ainsi que celui des cabinets sp´ecialis´es dans le montage de telles transactions.

1.1.4 Exemples de titrisations

Exemple d’une titrisation non-catastrophique en assurance non-vie

L’´emission de titres par AXA France IARD en novembre 2005 avait pour but de couvrir le portefeuille fran¸cais d’assurance automobile pour les particuliers. Ce portefeuille couvrait en 2005, 2,9 millions de contrats pour 1,1 milliards d’euros de primes. A la diff´erence des catastrophes naturelles, les risques automobiles sont caract´eris´es par une fr´equence ´elev´ee et une faible volatilit´e.

Le d´eclenchement de l’indemnisation s’effectue lorsque le ratio de sinistralit´e a d´evi´e au-del`a d’un certain seuil d´efini chaque ann´ee par AXA en concertation avec les agences de notations.

La figure 1.4 d´etaille la structuration de la titrisation. Le portefeuille assurance automobile est couvert par un trait´e de r´eassurance proportionnelle aupr`es du r´eassureur Nexgen Re pour 4 ans dans la limite de 85% des primes.

Le r´eassureur constitue un d´epˆot de 200 millions d’euros et c`ede la cr´eance de restitution de ce d´epˆot `a un Fonds Commun de Cr´eance (le SPV) qui ´emet trois tranches d’obligations. Une quatri`eme tranche (voir tableau 1.2), dite “Equity” est souscrite pour 33,7 millions d’euros (1`ere ann´ee) par le groupe AXA pour les premi`eres d´eviations de sinistralit´e.

Tranches Equity C B A

Montant (millions EUR) 33,7 27 67,3 105,7

Rating (S&P /Fitch) non not´e BBB/BBB- A/A AAA/AAA Tab. 1.2 – Structure des tranches

Avec cette premi`ere titrisation d’un portefeuille d’assurance automobile, AXA fait figure de

1plus de d´etails page 8 de Charpentier (2002).

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Fig. 1.4 – Structuration et caract´eristiques des obligations¹

pr´ecurseur en la mati`ere. Une deuxi`eme op´eration a ´et´e lanc´ee en 2007 pour titriser un portefeuille europ´een (Allemagne, Belgique, Espagne, Italie) d’assurance automobile repr´esentant plus de 6 millions de contrats et 2,6 milliards d’euros de primes en 2006. Quatre tranches d’obligations ont

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et´e ´emises pour 450 millions d’euros.

Exemple d’un cat bond

Le cat bond ’pylon’ est int´eressant pour plusieurs raisons : il s’agit de la premi`ere ´emission de ce type d’obligations en euros, il est ´emis pour une entreprise europ´eenne, EDF², pour couvrir des risques concernant le transport et la distribution d’´electricit´e en France.

La transaction a ´et´e organis´ee en 2003 conjointement par CDC³ IXIS et Swiss Re qui ont transf´er´e le risque au fond commun de cr´eance Pylon Ltd. (cf. figure 1.5), structure juridiquement ind´ependante implant´ee aux Iles Cayman. Le SPV a ´emis pour 190 millions d’euros de cat en dans deux tranches de classe A et B sur les march´es financiers avec une maturit´e de 5 ans (entre le 16/12/2003 et le 14/12/2008).

La transaction a pour but de couvrir les dommages provoqu´es par les tempˆetes aux installations d’EDF. Apr`es les d´egˆats provoqu´es en 1999 par les tempˆetes Lothar et Martin en Europe, notam- ment sur les lignes ´electriques, EDF avait support´e d’´enormes coˆuts de r´eparation atteignant pr`es de 800 millions d’euros. C’est `a travers l’´emission de Cat bonds et le transfert de son risque aux march´es financiers que l’entreprise fran¸caise a choisi de se couvrir contre l’´eventualit´e de tempˆetes futures de mˆeme ampleur ou d’ampleur sup´erieure.

1lors de la tritrisation du portefeuille automobile d’AXA IARD France, cf.Axa lance la premi`ere titrisation d’un portefeuille d’assurance automobile(2005).

2Electricit´e De France.

3Caisses des D´epots et des Consignations.

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Fig.1.5 – Titrisation du risque tempˆete pour EDF

Le d´eclenchement de l’indemnisation est bas´e sur un indice de type param´etrique r´ealis´e par RMS (Risk Management Solutions), un groupe sp´ecialis´e dans ce type de transactions. Cet indice param´etrique ne correspond pas aux pertes r´eelles constat´ees par EDF. Il permet un d´eclenchement du paiement lorsque les vitesses de vent fournies par M´et´eo France d´epassent un seuil pr´ed´efini. L’in- dice est calcul´e en fonction des donn´ees de vitesse de vent fournies par 150 stations m´et´eorologiques r´eparties sur l’ensemble du territoire fran¸cais (cf. figure 1.6).

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Fig. 1.6 – Stations m´et´eo utilis´ees pour le calcul de l’indice¹.

Les mesures des pics de rafales de vent sont utilis´ees pour cr´eer un indice de vitesse de vent maximale qui est ensuite pond´er´e selon les r´egions g´eographiques (sur la base du d´epartement en

1Carte issue de la pr´esentation du cat bond `a “Weather Risk Management Association” : IXIS (2004).

France). IXIS (2004) donne la valeur de l’indice tempˆete suivante : V =

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o`uvi est l’indice de vitesse du vent maximale calcul´e pour une station etwila pond´eration affect´ee

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a cette station Cette pond´eration refl`ete l’importance plus ou moins grande de l’exposition au vent des installations d’EDF, donc du risque d’impact des dommages provoqu´es par une tempˆete

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eventuelle. Par exemple, le sud-ouest de la France a plus de poids dans l’indice calcul´e (cf. figure 1.6).

Les investisseurs ont le choix entre deux niveaux de risque lorsqu’ils investissent dans les cat bonds ’pylon’. La tranche B (cf. tableau 1.3) est la plus risqu´ee puisque la perte du capital investi intervient d`es le premier instant o`u le seuil de d´eclenchement pr´ed´efini est franchi. La perte sera alors plus ou moins importante selon la s´ev´erit´e de l’´ev´enement. Les investisseurs de la tranche A ne sont concern´es que lorsque un deuxi`eme ´ev´enement d´eclencheur, i.e. une autre tempˆete de grande intensit´e, survient avant la maturit´e des obligations et que le capital de la tranche B est

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epuis´e. Les caract´eristiques des tranches sont r´ecapitul´ees dans le tableau infra.

Tranches B A

Montant (millions EUR) 120 70

Rating (Moody’s/S&P) Ba2/BB+ A2/BBB+

Tab. 1.3 – Structure des tranches Enfin d’autres exemples de titrisations sont list´es en annexe B.

1.2 Titrisation des risques vie

Bien que plus r´ecente, la titrisation des risque vie est en pleine expansion. Les premi`eres titri- sations d’un risque vie ont d´ebut´e `a la fin des ann´ees 90. Elles ont pour but principal de permettre aux (r´e)assureurs vie de satisfaire les exigences de capital comme celles impos´ees par la norme am´ericaine XXX¹. La compagnie obtient de meilleurs rendements sur fonds propres qu’avec une augmentation de capital, tout en augmentant sa capacit´e de souscription. Les titrisations vie per- mettent ´egalement de mon´etiser (rendre liquide) des actifs incorporels et de transf´erer les risques catastrophe aux march´es financiers.

1.2.1 Structure d’´emission

La structure d’une titrisation du risque vie (cf. figure 1.7 tir´e de Cummins (2004)) est tr`es semblable `a celle du risque non vie. L’´el´ement central reste la structure ad-hoc (ou SPV), qui

1‘Le mod`ele de r`eglement Valuation of Life Insurance Policies, plus connu sous le nom de Guideline Triple X, ou XXX [...] impose le pr´efinancement des engagements futurs li´es aux produits d’assurance vie temporaire avec une prime garantie ou nivel´ee.’ Etude Sigma - Helfenstein (2006)

est ind´ependante juridiquement et financi`erement. La conclusion du contrat financier entre le (r´e)assureur et une structure ad hoc garantit le paiement d’argent dans le cas o`u le risque cou- vert a rempli les conditions de d´eclenchement. Les investisseurs “dette” ach`etent des obligations dont le nominal est garanti par un garant de tiers partie et dont les coupons sont la somme d’un taux LIBOR et d’un spread, en l’absence de l’´ev`enement d´eclencheur. Le taux LIBOR est garanti par le swap de contrepartie, tandis que le spread est financ´e par la prime fournie par l’assureur.

Dans ce mod`ele, la structure ad-hoc peut aussi ´emettre en compl´ement des actions pour disposer d’un fond plus important. Les fonds du SPV sont plac´es dans un compte collat´eris´e.

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Fig. 1.7 – Structure de titrisation

1.2.2 Instruments

Les op´erations de titrisations en assurance vie diff`erent de celles en assurance non vie par un point fondamental : elles sont g´en´eralement un instrument de financement. Outre la fonction de transf´erer des risques (de pointe par exemple dans le cas du risque de mortalit´e), la titrisation est consid´er´ee comme un outil de gestion de fonds propres qui permet aux (r´e)assureurs de mon´etiser des actifs incorporels.

Les op´erations de titrisations permettent de mon´etiser les frais d’acquisitions report´es et la valeur actualis´ee des b´en´efices futurs. Cependant, cette anticipation de flux futurs est tr`es control´ee d’un point de vue comptable et d’un point de vue solvabilit´e, la titrisation ne permet non plus d’annuler ces besoins en fonds propres.

En particulier sur le march´e am´ericain o`u les exigences du capital r´eglementaire est tr`es lourde, la titrisation sert `a att´enuer les pressions dues `a ces exigences. En Europe, avec la mise en oeuvre des dispositions Solvabilit´e II, de nombreuses entreprises font appel aux op´erations de titrisation pour all´eger les pressions concernant les r´eserves.

Elles sont donc consid´er´ees comme une source de financement. Elles aident l’assureur `a r´esoudre les difficult´es de tr´esorerie associ´ees `a la souscription de nouvelles affaires. De plus, elles permettent

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a la soci´et´e d’assurance de lib´erer du capital pour des nouvelles affaires vie aussi bien que pour d’autres objectifs tel qu’une acquisition, un rachat d’actions ou un investissement dans un autre march´e.

Les titrisations donnent de la flexibilit´e `a la structure des fonds propres, ce qui peut am´eliorer leur rendement. Cependant pour ˆetre efficaces, les op´erations doivent ˆetre volumineuses. Pour ti- trisation en assurance vie, on exige un volume d’au moins 200 millions USD¹.

Il existe deux grands types de titrisation pour financer les exigences de capital : – Titrisation de r´eserve

Actuellement, avec les nouvelles normes comptables, les exigences de fonds propres, de sol- vabilit´e des compagnies d’assurances sont de plus en plus strictes. Les petites compagnies ont des difficult´es `a s’adapter `a ces exigences. Cette situation explique le grand nombre de produits de titrisation de r´eserve sur le march´e et particuli`erement des produits Triple X/AXXX aux Etats-Unis. Pour aider les soci´et´es d’assurance `a adapter les exigences de ca- pital r´eglementaire selon les r`eglements XXX et AXXX, la structure ad-hoc va ´emettre des obligations de valeur ´egale aux r´eserves redondantes (diff´erence entre la r´eserve obligatoire et ce qui serait ´economiquement justifi´e). Les fonds des investisseurs sont conserv´es dans la structure ad-hoc et servent de garantie pour les obligations et les r´eserves redondantes.

– Titrisation de la valeur intrins`eque

Dans une titrisation de la valeur intrins`eque, l’´emission peut aboutir `a un rendement des fonds propres sup´erieur, car elle permet de b´en´eficier d’un ´ecart entre le taux pay´e aux investisseurs et le taux r´eel remport´e par le sous jacent. En outre, une titrisation de la valeur intrins`eque augmente g´en´eralement le capital de solvabilit´e disponible et lib`ere ainsi des ressources financi`eres pour d’autres investissements. Beaucoup de produits de ce types ont ´et´e lanc´es dans les ann´ees 2000-2003. Aujourd’hui, sur le march´e on connait les produits Queensgate lanc´e en 2004 et ALPS en 2005.

1.2.3 Avantages et inconv´enients

Les avantages et inconv´enients des op´eration de titrisation de risques d’assurance sont explicit´es dans la partie non-vie. Certains aspects particuliers des titrisations en vie sont d´etaill´es dans cette partie.

1cf. graphique 3 de l’´etude Sigma - Helfenstein (2006).

Avantages pour les acheteurs de protection (assureurs et r´eassureurs)

Le (r´e)assureur vie peut utiliser la structure titrisation pour optimiser son capital ou am´eliorer sa maˆıtrise des risques.

Le rendement des fonds propres est am´elior´e grˆace `a la mon´etisation des actifs incorporels et au financement des exigences de capital r´eglementaire qu’offrent les op´erations de titrisation de la valeur intrins`eque et de titrisation de r´eserve. Le (r´e)assureur peut aussi se prot´eger contre le risque de mortalit´e extrˆeme grˆace aux op´erations de titrisation des risques catastrophiques. Par exemple, l’exposition aux pand´emies peut ˆetre couverte.

La titrisation a ´egalement des avantages par rapport `a d’autres outils de gestion des r´eserves requises par le r`eglements XXX. Le coˆut de la prime ajout´e `a celui n´ecessaire `a la mise en place de la structure de titrisation reste inf´erieur `a celui d’une lettre de cr´edit ou d’un contrat de r´eassurance traditionnelle. De plus, la capacit´e de couverture peut atteindre des montants bien sup´erieurs pour des dur´ees plus longues.

Avantages pour les vendeurs de protection (investisseurs)

Les avantages sont semblables `a ceux d’une titrisation non-vie. L’investisseur peut acheter des titres assurantiels pour sp´ecialiser son investissement. Si il consid`ere que les risques des actifs titris´es sont non corr´el´es aux actifs traditionnels des march´es financiers, cela peut aussi lui permettre de diversifier son portefeuille. Enfin, la soci´et´e ad-hoc et son compte collat´eral permet de limiter le risque de d´efaut de l’´emetteur.

Les risques pour les acheteurs de protection (assureurs et r´eassureurs)

Le risque r`eglementaire est important pour les titrisations de r´eserves qui r´epondent aux r´eglements XXX et AXXX puisqu’un changement dans la l´egislation fiscale aurait un impact certain sur la structure de l’op´eration. Le risque de r´eputation est ´egalement pr´esent : de mauvaises performances des titres seraient sans doute probl´ematiques pour les ´emissions futures comme l’explique l’´etude Sigma - Helfenstein (2006). Les coˆuts de structure pour les titrisations de la mortalit´e extrˆeme sont tr`es ´elev´es, de l’ordre de 1 `a 2 millions d’euros pour les coˆuts fixes d’apr`es Alferieff & Le Goff (2007). Le d´elai de mise en place avant le lancement de l’op´eration est de 6 mois minimum.

Les risques pour les vendeurs de protection (investisseurs)

La r`eglementation concernant ces titrisations n’est pas encore stabilis´ee du fait de leur relative nouveaut´e. C’est donc un risque pour les investisseurs de voir ´evoluer les structures de transactions.

Certaines ´emissions sont `a taux variable, donc les investisseurs conservent un risque de taux. On peut ´egalement s’interroger sur la l´egitimit´e de l’hypoth`ese de non corr´elation des risques titris´es et des march´es financiers.

1.2.4 Exemples de titrisations

En assurance vie, les produits de titrisation sont divis´es en deux types principaux : les produits ayant pour but de financer les exigences de capital et ceux pour transf´erer les risques. Les deux titrisations explicit´ees ci-dessous sont utilis´ees pour transf´erer le risque de mortalit´e.

Vita Capital I, II et III

En 2003, Swiss Re a lanc´e le premier produit de titrisation de la mortalit´e extrˆeme sur le march´e avec le capital total de 400 millions dollars. Ce produit est ´emis sur une tranche unique. Le taux de mortalit´e est calcul´e `a partir de taux de mortalit´e des Etats Unis, Angleterre, France, Italie et Suisse. Toutes les obligations sont `a notation A+ ou A3. L’objectif vis´e ´etait de payer Swiss Re dans l’´eventualit´e o`u un indice pr´ed´efini de mortalit´e de la population d´epasserait 130% son niveau de 2002.

Nom Vita I Vita II Vita III

Ann´ee 2004 2005 2006

Capital (Mill. EUR) 400 362 705

Pond´eration des taux 70% Etats-Unis 62,5% Etats-Unis 62,5% Etats-Unis de mortalit´e 15% Angleterre 17,5% Angleterre 17,5% Angleterre 7,5% France 7,5% Allemagne 7,5% Allemagne

5% Italie 7,5% Japon 7,5% Japon

2,5% Suisse 5% Canada 5% Canada

Maturit´e 3 ans 5 ans 5 ans

D´eclenchement 150% / 130% 120%/115%/105% 125% /120%

Tab.1.4 – Emission Vita de Swiss Re

Avec le mˆeme objectif que Vita I, le produit Vita II a ´et´e lanc´e en avril 2005 pour un capital total de 362 millions dollars sur 3 tranches : B, C et D. Les tranches sont d´eclench´es si le taux de mortalit´e d´epasse le seuil de d´eclenchement pendant deux ann´ees cons´ecutives. A noter que les pays servent de base pour le calcul de l’indice ont chang´e.

Vita III est lanc´e pour couvrir les risques de mortalit´e avec un capital total de 705 millions de dollars, divis´e en deux tranches A et B. La premi`ere tranche intervient au seuil de 125% alors que la deuxi`eme tranche intervient au seuil de 120% de la mortalit´e attendue pour une quelconque p´eriode de deux ann´ees cons´ecutive sur 5 ans. Le taux de mortalit´e est calcul´e `a partir des taux des Etats Unis, Angleterre, Allemagne, Japon et Canada. Les obligations ´emises sont garanties par des sont garanties par un fond de garantie. Les rendements des investissements sont garantis encore une fois par la technique de collat´eralisation.

La structure de la titrisation Vita III est donn´ee en figure 1.8.

Fig.1.8 – La structure de la titrisation Vita III¹

Osiris Capital

Axa a lanc´e ce produit en Novembre 2006, avec un capital total de 345 millions d’euros. Ce produit est divis´e sur 3 tranches B, C et D. Le taux de mortalit´e est calcul´e en utilisant le niveau de mortalit´e constat´e en France 60%, au Japon 25% et aux Etats Unis 15%. Avec ce produit, Axa a titris´e une partie du portefeuille d´ec`es. C’est le premier assureur direct `a r´ealiser une op´eration de titrisation sur un portefeuille de risque mortalit´e.

Les d´etails de l’´emission sont les suivants :

Tranches Caract´eristiques Taille Spread Notation D´eclenchement (S&P/Moody’s) (%indice mortalit´e)

A Obligations garantis 100 Mill EUR +20bps AAA/Aaa 119%/124%

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a taux variables

B Obligations garantis 50 Mill EUR +120bps A-/A3 114%/119%

C `a taux variables 150 Mill EUR +185bps BBB/Baa2 110%/114%

D et `a risque sur nominal 100 Mill EUR +500bps BB+/Ba1 106%/110%

Tab. 1.5 – Emission d’Axa

Le risque est transf´er´e apr`es avoir ´et´e r´eparti en 4 tranches progressives. Le seuil de d´eclenchement d´epend de l’indice de mortalit´e calcul´e avec les pond´erations par pays sur la moyenne de de deux ann´ees cons´ecutives. La tranche D intervient au seuil de 106% de l’indice de mortalit´e attendue tandis que la tranche A intervient au seuil de 119%.

Les seuils de d´eclenchement et d’´epuisement sont d´etaill´es dans le tableau 1.5 des caract´eristiques de l’´emission. L’op´eration est r´ealis´ee pour une p´eriode de couverture de 4 ans du 1er janvier 2006

1source Aigrain (2007).

au 31 d´ecembre 2009. Pour chaque tranche, le capital de l’investisseur ´evolue de mani`ere propor- tionnelle entre le seuil de d´eclenchement et le seuil d’´epuisement.

Depuis son lancement, ce produit a connu un tr`es bon accueil de la part des investisseurs. La demande de ce produit a ´et´e 5 fois sup´erieure `a l’offre. En terme de r´epartition g´eographique, la classe B est plac´ee en Europe alors que les classes C et D sont plac´ees aux Etats Unis. Les investisseurs sur les classes B et C sont plutˆot les institutionnels tandis que dans la classe D, on voit le rˆole pr´epond´erant des “hedge funds”.

La structure de la titrisation Osiris est donn´ee en figure 1.9.

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Fig. 1.9 – La structure de la titrisation Osiris¹

AXA a ´etudi´e l’impact de la survenance de sc´enarios catastrophes par rapport aux seuils de d´eclenchements de chacune des tranche d’´emission, `a partir d’´evenements catstrophiques histo- riques. Le tableau 1.6 reprend quelques r´esultats de M´enioux (2008).

Par exemple, pour un titre de la tranche B ´emis en 1917 seulement 90% du niveau de s´ev´erit´e de la grippe espagnole de 1918 auraient ´et´e n´ecessaires pour atteindre le seuil de d´eclenchement et donc engendrer une perte pour l’investisseur. En revanche, pour un titre de la mˆeme tranche ´emis en 1994, l’investisseur aurait subi une perte si le tremblement de terre de Kob´e en 1995 avait ´et´e 116 fois plus s´ev`ere².

Pour ce produit, il reste encore de certaines limites, c’est un coˆut de structure tr`es ´elev´e (coˆut fixe minimum de 1 `a 2 millions d’euros), un d´elai de mise en place n´ecessaire avant le lancement (6

1source Alferieff & Le Goff (2007).

2pour plus de pr´ecisions sur les hypoth`eses de ces sc´enarios, se reporter `a M´enioux (2008).

S´ev´erit´e occasionant le d´eclenchement par classe

Ev´enement historique A B C D

Pand´emie - Grippe espagnole (1918) 1,22× 0,9× 0,64× 0,39×

SIDA (1995) 64× 47× 33× 20×

Tremblement de terre - Kob´e (1995) 157× 116× 83× 50×

Tab. 1.6 – Impact des ´ev´enements historiques

mois minimum) et une taille critique indispensable (de 200 `a 300 millions d’euros minimum). Enfin d’autres exemples de titrisations sont list´es en annexe B.

Panorama des m´ ethodes d’´ evaluation

Ce chapitre est consacr´e aux m´ethodes d’´evaluation des produits de titrisation. Plutˆot que de lister les m´ethodes d’´evaluation par type de produit, nous pr´esentons les 4 m´ethodes d’´evaluation applicables aux diff´erents produits de titrisation. De mani`ere analogue `a l’´evaluation du risque de cr´edit, on peut valoriser les produits de titrisation avec un mod`ele `a intensit´e ou un mod`ele structurel. Cependant, il existe deux autres approches pour l’´evaluation : une approche `a l’aide de transform´ees de probabilit´e et une approche `a l’aide de fonctions d’utilit´e.

2.1 Mod` eles ` a intensit´ e

Les mod`eles `a intensit´e sont une classe de mod`eles o`u le d´efaut (i.e. le d´eclenchement du produit de titrisation correspond `a un d´efaut pour l’investisseur) est du `a un ph´enom`ene endog`ene (`a l’assu- rance). Dans un premier temps, nous traitons le cat bond. Puis nous ´etudions le mortality/longevity bond.

2.1.1 Application aux “cat bond”

L’article fondateur de ce mod`ele est Baryshnikov et al. (2001), o`u l’on pr´esente un processus de Poisson doublement stochastique (parfois appel´e processus de Cox dans la litt´erature). Des applications num´eriques de ce mod`ele se trouvent dans Kukla & Burnecki (2003) (application aux risques m´et´eorologiques am´ericains¹), Cabrera & Hardle (2007) (application aux s´eismes mexicains) et Burnecki et al. (2004).

L’approche de Baryshnikov et al. (2001) consiste tout d’abord `a valoriser un “treshold bond”

ou obligation `a seuil de d´eclenchement. Puis les auteurs expriment le “cat bond” en fonction du

“treshold bond”. Dans un espace probabilis´e (Ω,A,P) muni d’une filtration F_t, on caract´erise un

“treshold bond” de maturit´e T par

– un processus de Poisson doublement stochastique (N_t)_td’intensit´e (stochastique) (λ_t)_trepr´e- sentant le processus d’arriv´ee des catastrophes. Une fa¸con de caract´eriser ce processus de

1utilisation de l’indice PCS : Property Claim Service.

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Poisson doublement stochastique est de le d´efinir par sa fonction caract´eristique (cf. annexe C). Le processus d’intensit´e λ est suppos´e positif et F_t-adapt´e. On peut d´efinir le temps d’arrˆetτ comme l’instant du premier saut τ = inf(t >0, N_t= 1) ;

– un processus de taux d’int´erˆet (r_t)_t d´efinissant le prix d’un z´ero coupon unitaire de maturit´e ten s < t pare^−Rstr(u)du;

– un processus de flux (Ct)t mesurable pay´e enτ (l’instant de “catastrophe”).

Ensuite, pour valoriser ce produit, les auteurs font l’hypoth`ese d’existence d’un march´e (secon- daire) pour les “cat bond” dans lequel il y a absence d’opportunit´e d’arbitrage (AOA). Sous cette hypoth`ese, le prix d’un “treshold bond” est donn´e par

Vt=E Z T

t

e^−R(t,u)Cuλudu

F_t

, (2.1)

o`u le processus d’actualisation R est d´efini par R(t, u) =R_u

t r(s)ds. Malgr´e l’AOA et l’hypoth`ese d’existence d’un march´e pour ce produit, les auteurs utilisent la probabilit´e historique. Ils expliquent le choix de la probabilit´e historique par le fait que le processus (Nt)t repr´esentant les instants de catastrophe est ind´ependant des march´es financiers et quantifiable de mani`ere scientifique.

Pour mod´eliser les catastrophes naturelles, diff´erentes approches scientifiques sont possibles.

Un extrˆeme est de mod´eliser enti`erement la catastrophe naturelle ´etudi´ee, mais c’est en g´en´eral impossible tellement les catastrophes naturelles sont complexes. A l’autre extrˆeme, une approche statistique purement historique pourrait ˆetre utilis´e. Par exemple, l’indice PCS remonte jusqu’en 1954, ainsi on dispose potentiellement d’une large base de donn´ees. Cependant (le probl`eme d’in- flation mise `a part), la situation des assur´es a tellement chang´e tant au niveau des contrats qu’au niveau de la qualit´e de la construction assur´ee et de l’urbanisation des zones `a risque, qu’une ap- proche purement statistique semble peu efficace. Tous les approches interm´ediaires sont list´ees dans le tableau 4 de Canabarro et al. (2000).

Ensuite, Baryshnikov et al. (2001) applique cette approche au “cat bond” en explicitant le processus (N_t)_t d’un “treshold bond”¹. Le processus (N_t)_t est d´efini par

– N_t= 11_{Lt≥D} o`uDest le seuil (d´eterministe) de d´eclenchement du “cat bond” etL_tla perte aggr´eg´ee au tempst;

– L_tla perte agr´eg´ee d´efinie comme un processus de Poisson compos´e (i.e.L_t= PMt

i=1X_i

11_{Mt>0}

o`u les sinistres Xi sont iid de fonction de r´epartition F et Mt un processus de Poisson ind´ependant des sinistres d’intensit´e m_t).

Typiquement ce processus de pertes cumul´ees peut ˆetre calibr´e sur l’un indice am´ericain PCS (Property Claim Service).

Baryshnikov et al. (2001) montre que l’intensit´e λdu processusN_t est donn´ee par λt=mtF(D−Lt)11_{Lt<D},

o`u F d´esigne la fonction de survie. Ainsi, l’´equation 2.1 devient V_t=E

Z T t

e^−R(t,u)C_um_uF(D−L_u)11_{Lu<D}du

F_t

. (2.2)

1En fait, les deux autres processus caract´eristiques d’un “treshold bond” (i.e. (rt)t et (Ct)) sont “sp´ecifiques” `a chaque “cat bond”.

Pour obtenir les “cat bond” avec et sans coupons, il faut adapter 2.2 au flux que l’on souhaite. Les applications num´eriques r´ealis´ees dans Kukla & Burnecki (2003), Burnecki et al. (2004) et Cabrera

& Hardle (2007) montrent que le prix du cat bond avec ou sans coupon augmente avec le seuilD.

Cependant la maturit´e T diminue ou augmente le prix suivant s’il y a ou non des coupons.

Un exemple de processus d’intensit´e a ´et´e pr´esent´e dans Jang & Dassios (2003). Ils choisissent comme processus (λt)tun bruit inhomog`ene (“shot noise” en anglais) d´efini de la mani`ere suivante

λt=λ0e^−δt+

Mt

X

i=1

Yie^{−δ(t−ti)}, (2.3) o`u (Mt)t est un processus de Poisson (homog`ene) d’intensit´eρ. C’est un processus qui saute (avec des temps d’inter occurence de loi exponentielle) puis d´ecroit de mani`ere exponentielle. Contrai- rement `a Burnecki et al. (2004), Jang & Dassios (2003) ´evalue le cat-bond sous la probabilit´e risque neutre. Comme cette derni`ere n’est pas utile (`a cause de l’incompl´etude du march´e), ils en choisissent une `a l’aide de la transform´ee d’Esscher pour arriver `a une ´equation aux d´eriv´ees partielles. Lorsque les montants des sinistres (X_i) sont de loi gamma et les processus d’impact (Y_i dans l’´equation (2.3)) sont de loi exponentielle, Ils fournissent une formule ferm´ee pour l’´equation (2.2).

Enfin Albrecher et al. (2004) pr´esente une ´evaluation avec des m´ethodes quasi Monte Carlo du mod`ele `a intensit´e. L`a encore, on choisit la probabilit´e historique pour calculer (2.2). Certes les m´ethodes de quasi Monte Carlo sont largement meilleurs en convergence qu’une m´ethode de Monte Carlo na¨ıve, mais le choix de la probabilit´e historique reste peu justifiable.

2.1.2 Applications aux “mortality” ou “longevity bond”

Cairns et al. (2006a) analyse l’´evaluation des titres li´es au risque de mortalit´e (et long´evit´e) dont l’exemple le plus connu sont les mortality bond. Cependant, Cairns et al. (2006a) traite de plein d’autres titres comme les longevity bond, les survivor swaps,. . . Apr`es avoir soulign´e que la mortalit´e n’est pas d´eterministe, il ´enonce quelles caract´eristiques un mod`ele `a mortalit´e stochastique doit avoir :

– le mod`ele impose une force de mortalit´e positive, – le mod`ele doit ˆetre coh´erent avec les donn´ees,

– les dynamiques long terme doivent ˆetre biologiquement raisonables,

– les anticipations de mortalit´e future doivent ˆetre de la forme d’une divertion par rapport `a une “moyenne” ou tendance.

Le lien entre la force de mortalit´e µet la fonction de survie S est le suivant : S(u, x) =e⁻

Ru

0 µ(t,x+t)dt,

o`u la force de mortalit´eµpeut s’interpr´eter comme la probabilit´e de d´ec´eder sur un court intervalle de temps etS d´esigne la probabilit´e de survie jusqu’au temps u pour individu d’agex en 0.

Dans notre mod`ele, ces quantit´es sont donc al´eatoires, ainsi la probabilit´e de survie observ´ee n’est que la r´ealisation de la variableS. On poseP(0, u, x) =E_P[S(u, x)]. Au tempstla probabilit´e de survie jusqu’en ud’un individu d’ˆage xen 0 sachant qu’il est vivant en test donn´ee par

P(t, u, x) =E_P

S(u, x) S(t, x)

F_t

.