Convolution, régularisation

Convolution et régularisation

Joël MERKER

Professeur des universités

Département de Mathématiques d’Orsay

Bâtiment 425, Faculté des Sciences, F-91405 Orsay Cedex www.math.u-psud.fr/∼merker/index.html

[email protected]

1. Rappels sur les espacesL^p(R^d)

Dans tout ce chapitre, nous travaillerons en dimension finie d > 1 sur R^d avec des fonctions f: R^d → C à valeurs complexes. Bien entendu, la mesure de référence est la mesure de Lebesgue :

dx=dx₁· · ·dx_d.

Inégalité de Minkowski : Pour tout exposant p ∈ [1,+∞[ et toute paire de fonctions mesurables f, g sur R^d telles que f(x)^p et g(x)^p soient intégrables, i.e. appartiennent à L¹(R^d), on a :

(1)

Z

R^d

f(x) +g(x)^pdx ¹_p

6 Z

R^d

f(x)^pdx ¹_p

+ Z

R^d

g(x)^pdx ¹_p

. Il en découle que la quantité :

||f||L^p :=

Z

R^d

f(x)^pdx ¹_p

constitue unenormesur l’espace : L^p:=

n

fonctions mesurables f: R^d−→C telles que Z

R^d |f(x)|^pdx <+∞o , ces fonctions mesurables étant considérées à un ensemble de mesure nulle près, comme l’exige la théorie de l’intégration. D’après un théorème dit « de Riesz », pour ces psatis- faisant1 6 p < +∞ où+∞ est exclu, l’espaceL^p est complet, à savoir toute suite de Cauchy dansL^p possède une certaine limite qui appartient encore àL^p. De plus, d’après un autre théorème également dit « de Fischer-Riesz », étant donné n’importe quelle suite de fonctions (f_k)_k>1 appartenant toutes à L^p(R^d) qui convergent en norme L^p vers une certaine fonctionf ∈L^p(R^d), à savoir :

0 = lim_k→+∞||f−f_k||L^p, il existe au moins une sous-suite f_kn

n>1telle que :

lim_n→+∞f_kn(x) = f(x) pour presque tout x∈R^d.

Lorsquep = +∞, l’espaceL^p devient l’espaceL^∞des fonctions mesurablesf: R^d →C dont le sup essentiel :

f

L^∞

def= supess|f|^def= inf n

M >0 tel que 0 =mesure {x∈R^d: |f(x)|> M}o ,

1

quantité dont on démontre qu’elle constitue alors une norme, est fini : f

L^∞ <+∞.

Définition 1.1. Deux nombres réelsp etp⁰ appartenant à l’intervalle ouvert]1,+∞[sont ditconjuguéssi l’on a :

1 p + 1

p⁰ = 1;

par extension, on dira que1et+∞sont conjugués eux aussi.

L’inégalité suivante dite « de Hölder » généralise la classique et basique inégalité de Cauchy-Schwarz :

(2)

Z

R^d

f(x)g(x)dx 6

Z

R^d |f(x)|²dx

¹₂ Z

R^d |g(x)|²dx ¹₂

, valable pour tout couple de fonctionsf etgdansL²(R^d).

Inégalité de Hölder.Pour toute paire d’exposants conjugués p,p⁰ avec1 < p,p⁰ < +∞ et toute paire de fonctions mesurablesf ∈ L^p(R^d)et g ∈ L^p0(R^d), le produitf(x)g(x) appartient àL¹(R^d), et sa norme L¹ est contrôlée par le produit simple et nu des normes L^petL^p0 def et deg:

||f g||L¹ 6||f||L^p||g||_L^p0,

à savoir en d’autres termes plus explicites mais complètement équivalents :

(3)

Z

R^d

f(x)g(x)dx 6

Z

R^d |f(x)|^pdx ¹

p Z

R^d |g(x)|^p0dx _p0¹

.

2. Translations dansL^p(R^d)

Définition 2.1. Soita∈ R^dun vecteur constant et soit f ∈L^p(R^d). On appelletranslatée def para, et on noteτ_af, la fonction définie pour toutx∈R^dpar :

τaf

(x) :=f(x−a).

Théorème 2.2. Si deux fonctions mesurables f et g vérifient f(x) = g(x)pour presque toutx∈R^d, et sia ∈R^dest un vecteur constant, alorsτaf(x) =τag(x)pour presque tout x ∈ R^d aussi. On peut donc définir, pour toutp ∈ [1,+∞], l’application quotientτ_a sur l’espaceL^p(R^d)par la formule ci-dessusτ_af(x) := f(x−a). De plus,τ_aest une isométrie linéaire deL^p(R^d)dans lui-même pour toutp∈[1,+∞]:

τ_af

L^p =||f||L^p.

Enfin, pour toutp∈[1,+∞[, à l’exclusion dep= +∞, et pour toute fonctionf ∈L^p(R^d), on a :

(4) 0 =lim_a→0τ_af−f

L^p. Démonstration. On a tout simplement :

x∈R^d: τ_af(x)6=τ_ag(x) =

x∈R^d: f(x−a)6=g(x−a)

=a+

x∈R^d: f(x)6=g(x) ,

donc grâce à l’invariance par translation de la mesure de Lebesgue, si le second ensemble est de mesure nulle, le premier l’est aussi. C’est pourquoi l’on peut définirτ_asurL^p(R^d).

Translations dansL^p(R^d)(d’après Mohammed El Amrani) 3

Ensuite, si 1 6 p < +∞, l’invariance par translation de la mesure de Lebesgue est encore utilisée pour vérifier la conservation de la norme L^p (poser y := x − a, d’où dy₁· · ·dy_d=dx₁· · ·dx_d) :

||τaf||L^p

p

= Z

R^d |f(x−a)|^pdx= Z

R^d |f(y)|^pdy= ||f||L^p

p

. Le casp= +∞se traite séparément en notant que :

∀u∈R,

x∈R^d: |τ_af(x)|> u =a+

x∈R^d: |f(x)|> u .

L’invariance de la mesure de Lebesgue par translation (à nouveau elle !) entraîne alors la conservation de la normeL^∞à traversτ_a:

f

L^∞

def= supess|f|=inf

M >0 tel que mesure {x∈R^d: |f(x)|> M}

= 0

= supess|τ_af|=||τ_af||L^∞.

Soit maintenantp∈[1,+∞[, à l’exclusion dep= +∞. Pour démontrer la continuité de la normeL^ppar rapport aux (petites) translations, à savoir pour établir (4) ci-dessus, nous commencerons par supposer que f ∈ C_c⁰(R^d) est continue à support compact, avant de vérifier qu’il suffit d’utiliser la densité deCc⁰(R^d)dansL^p(R^d)pour conclure. La densité : souvenons-nous en !

Si donc f est continue à support compact, elle est uniformément continue surR^d tout entier (prière de s’assurer rigoureusement que les connaissances acquises en L2 rendent cette affirmation évidente), donc pour toutε >0, il existeη=η(ε)>0tel que :

|a|6η=⇒

∀x∈R^d, f(x−a)−f(x)6ε

.

Par suite, dès que l’on suppose |a| 6 η, on peut estimer la puissance p-ème de la norme L^pde la différence entreτ_af etf comme suit, en restreignant « bêtement » l’intégration à l’ensemble où nif niτ_af ne s’annulent :

τ_af−f

L^p

p

= Z

R^d

f(x−a)−f(x)^pdx

= Z

(a+{f6=0})∪{f6=0}

f(x−a)−f(x)^pdx 6 mesure(a+{f 6= 0}) +mesure({f 6= 0})

ε^p 62mesure {f 6= 0}

| {z }

constante<+∞

ε^p.

Or la mesure (de Lebesgue) de la fermeture de l’ensemble desx∈R^den lesquelsf(x)6= 0 est évidemment finie, puisque cet ensemble est, disons, contenu dans une certaine boule ferméeB(0, R)de rayonR 1assez grand. Comme tout terme :

constante·ε^p

tend vers zéro lorsqueε→0, ceci montre, comme voulu et comme désiré, que : 0 =lim_a→0τ_af−f

L^p, pour toute fonctionf ∈C_c⁰(R^d).

Supposons maintenant en toute généralité quef ∈L^p(R^d). D’après le résultat de densité rappelé et admis ci-dessus, il existe une suite(f_n)_n>1de fonctionsf_n∈C_c⁰(R^d)telles que :

fn−f

L^p −→0 lorsque n→+∞.

Or on peut estimer la norme L^p de la différence entre τ_af et f en y insérant les quatre termes−τ_af_n+τ_af_n−f_n+f_nqui s’additionnent à0, et en appliquant ensuite l’inégalité triangulaire (Minkowski !) à trois membres, ce qui donne :

τ_af −f

L^p 6τ_af −τ_af_n

L^p+τ_af_n−f_n

L^p+||f_n−f||L^p

= 2||f_n−f||L^p+τ_af_n−f_n

L^p.

Si maintenant ε > 0est un nombre réel arbitrairement petit, il existe un entier N_ε tel que :

||f_Nε−f||L^p 6 ^ε₄.

Mais puisque cette fonctionf_Nε est continue à support compact, la première partie de la démonstration assure qu’il existe unη_ε suffisamment petit pour que :

|a|6η_ε =⇒τ_af_Nε −f_Nε

L^p 6 ^ε₂.

Enfin, si l’on pose n := N_ε dans le jeu d’inégalités triangulaires effectué à l’instant, on obtient qu’avec le mêmeη_ε:

|a|6η_ε=⇒τ_af−f

L^p 62₄^ε +^ε₂ =ε,

ce qui achève notre première démonstration basée sur un argument de densité — Dieu sait

qu’il y en aura d’autres !

Exercices Exercice 1. Montrer que la propriété :

0 = lim

a→0

τaf−f

L^p,

vraie pour16p<∞estfaussepourp=∞.Indication :En dimensiond= 1, surR, considérer la fonction indicatrice du segment fermé[α, β]pour deux nombres réels−∞< α < β <∞.

3. Produit de convolution dansL¹(R^d)

Définition 3.1. On dit que deux fonctionsf etg deR^dà valeurs dans Csontconvolables si, pour presque toutx∈R^d, la fonction :

t7−→f(x−t)g(t)

est intégrable,i.e.appartient à L¹(R^d). Lorsque c’est le cas, on définit alors leproduit de convolution(ou laconvolée) def et degpar :

(f∗g) (x)^def= Z

R^d

f(x−t)g(t)dt.

Le théorème de Fubini montre alors queg etf sont convolables dès lors quef estg le sont, avec en bonus lacommutativité(exercice impératif : vérifier cela !) :

f∗g =g∗f.

Produit de convolution dansL¹(R^d)(d’après Mohammed El Amrani) 5

Évidemment, sif est convolable avec deux fonctionsg₁ etg₂, alors pour toutes constantes λ₁, λ₂ ∈ C, la convolée de f avecλ₁g₁+λ₂g₂ existe et l’on a lalinéaritépar rapport au second facteur :

f ∗(λ₁g₁+λ₂g₂) =λ₁f∗g₁ +λ₂f∗g₂,

d’où il découle aussi, grâce à la commutativité, que le produit de convolution∗est en fait bilinéaire par rapport à chacun de ses facteurs gauche ou droite.

Cette définition du produit de convolution, qui est possible « si la fonctiont 7→ f(x− t)g(t)est intégrable », procède par abstraction d’une condition de définissabilité minimale.

Lorsque les fonctions appartiennent à des espaces fonctionnels raisonnablement réguliers, par exemple l’espace des fonctions continues à support compact ouC¹à support compact, on vérifie grâce à des changements de variables élémentaires (exercice impératif : vérifier cela !) que le produit de convolution est de plusassociatif:

f ∗(g∗h) = (f ∗g)∗h.

Toutefois, avec la définition minimale énoncée ci-dessus, quelques « pathologies » (à ou- blier rapidement . . . ) peuvent se produire, comme le montre un Exercice ci-dessous. En tout cas, lorsqu’on suppose que les fonctions appartiennent à L¹(R^d), tout se passe très bien comme le montre le premier théorème fondamental suivant.

Théorème 3.2. Soient deux fonctionsf ∈L¹(R^d)etg ∈L¹(R^d). Alors pour presque tout x∈R^d, la fonction :

R^d 3t7−→f(t)g(x−t)∈C

est intégrable,i.e.elle appartient àL¹(R^d), donc la convolution def et deg a un sens, et, de plus, cette convolée :

f ∗g(x) = Z

R^d

f(t)g(x−t)dt

appartient àL¹(R^d)avec un contrôle de sa normeL¹par le produit nu et simple des normes L¹def etL¹ deg:

||f ∗g||L¹ 6||f||L¹ · ||g||L¹.

Démonstration. Nous traiterons le casd= 1, les arguments pourdquelconque ne deman- dant qu’une adaptation mineure quant au formalisme des signes d’intégration.

Commençons par observer que l’intégrale double, étendue àR×Rtout entier, du produit des deux fonctions positives|f(x−t)|et|g(t)|est finie :

Z _+∞

−∞

Z _+∞

−∞ |f(x−t)| |g(t)|dt dx= Z _+∞

−∞

Z _+∞

−∞ |g(t)|dt|f(x−t)|dx

[posery:=x−t] =

Z _+∞

−∞ |g(t)|dt · Z _+∞

−∞ |f(y)|dy

=||g||L¹||f||L¹

<+∞,

majorée par le produit des normes L¹ de g et de f. Grâce au théorème de Fubini- Tonelli ceci entraîne que pour presque toute « tranche unidimensionnelle horizontale » {x= constante}, la restriction de la fonction de deux variables :

(t, x) 7−→ f(x−t)g(t)

à ladite tranche, à savoir l’application d’unevariable : t7−→f(x−t)g(t)

est (de valeur absolue) intégrable sur R par rapport à dt. Aussi l’intégrale qui définit la convolution entref etgexiste-t-elle bien pour presque toutx∈R.

Ensuite, l’inégalité triangulaire évidente entre intégrales :

|f∗g(x)|6 Z _+∞

−∞ |f(x−t)| |g(t)|dt, intégrée par rapport àdxsurR:

f∗g

L¹ = Z +∞

−∞ |f∗g(x)|dx 6

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞ |f(x−t)| |g(t)|dt dx

=||g||L¹||f||L¹,

permet d’obtenir, grâce à une répétition du calcul qui précède, l’inégalité annoncée sur les normesL¹. Ceci achève la simple et belle démonstration de notre tout premier résultat sur

l’opération de convolution.

Exercices

Exercice 1. Soient deux réels finis−∞< α < β <∞. On introduit les deux fonctions indicatrices : f :=1_[−α,α] et g:=1_[−β,β].

(a)Montrer quefetgsont convolables.

(b)Montrer que leur convolution possède l’expression explicite :

f∗g(x) =







2α lorsque 06|x|6β−α, β+α− |x| lorsque β−α6|x|6β+α, 0 lorsque β+α <|x|.

(c)Quelle est la régularité def et deg? Quelle est celle def ∗g? S’améliore-t-elle ? Exercice 2. Soient trois fonctions Lebesgue-intégrablesf, g, h∈L¹(R).

(a)Montrer que le produit de convolution est commutatif : f ∗g=g∗f.

(b)Montrer que le produit de convolution est associatif :

(f∗g)∗h=f∗(g∗h).

Exercice 3. SurR, on introduit les trois (combinaisons de) fonctions indicatrices : f :=1_[0,∞], g:=1_[−1,0]−1_[0,1], h:=1_R. (a)Montrer quefetgsont convolables et que :

f ∗g=







0 lorsque |x|>1, 1 +x lorsque −16x60,

1−x lorsque 06x61.

(b)Montrer quef∗gethsont convolables et que :

(f ∗g)∗h≡1.

Produit de convolution et support (d’après Mohammed El Amrani) 7

(c)Montrer quegethsont convolables, puis quefest convolable avecg∗het enfin que : f∗(g∗h)≡0.

(d)Interpréter intelligemment ce paradoxe. D’ailleurs, sifetgsont convolables, a-t-on toujoursf∗g=g∗f? (oui, mais pourquoi ?).

4. Produit de convolution et support

La notion de support joue un rôle important dans la théorie des opérateurs de convo- lution. Lorsqu’une fonction est continue, son supportest tout simplement l’adhérence de l’ouvert constitué des points en lesquels elle prend des valeurs non nulles :

si f ∈C⁰(R^d) : suppf =

x∈R^d: f(x)6= 0 .

L’idée sous-jacente, c’est qu’un point est dans le support d’une fonction si la fonction n’est pas nulle en ce point, où à la rigueur, s’il existe d’autres points arbitrairement proches en lesquels la fonction est non nulle, et cette idée est tout à fait adéquate lorsque la fonction est continue.

Cependant, on sait bien que la théorie des fonctions mesurables, des fonctions L¹ au sens de Lebesgue, des fonctions L^p, n’a un sens qu’à un ensemble de mesure nulle près, et la définition du support valable pour les fonctions continues ne peut alors plus avoir de sens cohérent. Par exemple, la fonction indicatrice de l’ensemble des nombres rationnels dansR, à savoir :

1_Q(x) =

1 si x∈Q, 0 si x∈R\Q,

a la propriété évidente que la fermeture de l’ensemble des points où elle ne s’annule pas remplitRtout entier :

x∈R^d: 1_Q(x)6= 0 =Q=R,

bien que cette fonction indicatrice soit nulle presque partout, puisque l’ensemble des nombres rationnels est de mesure nulle dansR. Il est clair qu’au sens de la mesure, cette fonction1_Q doit être considérée comme s’identifiant à la fonction identiquement nulle, et par conséquent, on ne peut pas définir la notion de support pour les fonctions mesurables ou intégrables en calquant la définition naturelle qui était valable pour les fonctionsC⁰, C¹,C²ouC^∞.

La solution à toutes ces errances dialectiques n’est pourtant pas difficile. Il suffit de rai- sonner par passage au complémentaire, comme le dévoile très précisément la Proposition- Définition suivante.

Proposition 4.1. (Définition du support des fonctions définies à un ensemble de mesure nulle près) SoitΩ un ouvert deR^d et soit f une fonction mesurable définie dansΩet à valeurs dansC. On considère la famille(ω_i)_i∈I de tous lesouvertsω_i ⊂ Ωtels que, pour chaquei∈I, on ait :

f(x) = 0 pour presque tout x∈ω_i, et on introduit leur réunion ensembliste complète :

ω := [

i∈I

ω_i,

qui est bien sûr un sous-ensembleouvertdeΩ. Alors (proposition) on a de même : f(x) = 0 pour presque tout x∈ω

et (définition) on définit lesupportdef :

supp(f) := Ω\ω

comme étant le complémentaire, dans l’ouvert ambient Ω, de ce plus gros ouvert ω sur lequelf s’annule identiquement (à un ensemble de mesure nulle près).

Démonstration. Par définition des ω_i, il existe, pour chaque i ∈ I, un ensemble négli- geableNi ⊂ω_i en dehors duquelf ne prend que des valeurs exactement nulles :

∀x∈ω_i\Ni, f(x) = 0.

Le « hic » ici, c’est que la famille desω_in’a aucune raison, en général, d’être dénombrable, et donc, qu’on ne peut pas conclure directement : la réunion desNiest de mesure nulle elle aussi (en appliquant l’énoncé bien connu que toute réunion dénombrable d’ensembles de mesure nulle est elle aussi de mesure nulle).

Heureusement, on va pouvoir se ramener au cas dénombrable par le procédé suivant, dit d’exhaustion, qui est classique en Analyse. Considérons à cet effet, pour tout n > 1, l’ensemble :

K_n:=

x∈ω: dist (x,R^d\ω)> _n¹ ∩B(0, n) constitué de tous les points du gros ouvertωqui sont :

• situés à une distance> _n¹ de l’extérieurR^d\ω, à savoir enceints à l’intérieur deωpar une bande de sécurité d’épaisseur _n¹;

• contenus dans une (grosse) boule fermée de rayonn, pour que tout soit compact.

Alors il est intuitivement suggestif que ces compactsK_nforment une famille dénombrable et que, lorsquense rapproche de+∞, lesK_n« remplissent » de plus en plusωtout entier.

En effet, le lecteur est invité à vérifier rigoureusement que : K_n ⊂K_n+1 et que : ω= [

n>1

K_n.

En particulier, on a pour toutn>1fixé : K_n ⊂ [

i∈I

ω_i.

Par compacité deK_n, on peut alors, pour toutn >1fixé, extraire deI un sous-ensemble finiIntel que :

Kn⊂ [

i∈Iⁿ

ωi.

Parce que toute réunion dénombrable d’ensemble finis est elle-même dénombrable, l’en- sembleJ :=∪n>1Inest dénombrable et l’on voit ainsi :

ω= [

n>1

K_n⊂ [

n>1

[

i∈In

ω_i = [

i∈J

ω_i

que l’ensembleω = ∪i∈Jω_i (puisque l’inclusion inverse ∪i∈J ω_i ⊂ ω est trivialement satisfaite) est réalisé comme réunion maintenant dénombrable d’ouverts ω_i. Comme par

Produit de convolution et support (d’après Mohammed El Amrani) 9

hypothèse f(x) = 0 pour tout x ∈ ω_i\Ni hors de l’ensemble de mesure nulle Ni, et comme la réuniondénombrable:

N := [

i∈J

Ni

des ensembles de mesure nulle Ni lorsque l’indice i parcourt J est encore de mesure nulle, nous en déduisons que :

f(x) = 0 pour tout x∈ω\N

en dehors de cet ensembleN . Ceci achève de démontrer quef = 0presque partout surω, et conclut enfin l’argument qui devait donner un sens complètement cohérent à la définition

généralisée du support.

Proposition 4.2. Soientf etgdeux fonctions convolables. Alors : supp(f∗g)⊂supp(f) + supp(g),

où la sommeA+Bde deux sous-ensemblesA, B ⊂R^dest définie par : A+B :=

a+b: a ∈A, b ∈B ,

et oùC désigne, comme à l’accoutumée, l’adhérence d’un sous-ensembleC ⊂R^d. Démonstration. Pour toutxen lequelf∗g est bien définie, si l’on introduit l’ensemble :

A(x) :=

t∈R^d: (x−t)∈supp(f) et t∈supp(g) ,

alors pourt 6∈A(x), le produitf(x−t)g(t) = 0s’annule, donc le domaine de l’intégrale de convolution se restreint spontanément àA(x):

f∗g(x) = Z

R^d

f(x−t)g(t)dt= Z

A(x)

f(x−t)g(t)dt.

Assertion.Lorsquex 6∈ supp(f) + supp(g)

, on a A(x) = ∅ — exercice mental laissé au lecteur —, doncf ∗g(x) = R

∅ = 0.

Si donc nous introduisons le sous-ensemble deR^d: E := suppf + suppg,

et si l’on désigne, comme à l’accoutumée son complémentaire par E^c := R^d\E, alors l’Assertion nous dit que :

f ∗g(x) = 0 pour tout x∈E^c, donc par conséquence directe, pour toutxdans l’intérieurdeE^c.

Exercice élémentaire de topologie générale.Pour tout sous-ensembleE ⊂R^d, on a : intérieur(E^c) = Ec

.

On déduit que :

f ∗g(x) = 0 pour tout x∈

supp(f) + supp(g) c

,

et par définition exacte du support, cette dernière relation exprime précisément que : supp(f∗g)⊂supp(f) + supp(g),

ce qui conclut.

Exercices

Exercice 1. Soientf = f(x)etg = g(x)deux fonctions continues surR, l’une au moins étant à support compact. Montrer, pour tout entierk∈N, la relation :

x^kf∗g= X

06j6k

k!

j! (k−j)! x^jf

∗ x^k−jg .

Exercice 2. Étant donné une fonctionf ∈C⁰(R)identiquement nulle sur les réels négatifs : f

]−∞,0]≡0, sa primitive nulle en0est donnée par l’intégraleRx

0 f(t)dt, puis ses primitives d’ordre supérieur sont données en intégrant de telles intégrales. Cet exercice fournit des formules alternatives pour obtenir ces primitives itérées en utilisant la convolution.

Rappelons que lafonctionΓd’Eulerest définie, pour tout réelα >0, par : Γ(α) :=

Z +∞ 0

t^α−1e^−tdt.

Elle satisfaitΓ(n) = (n−1)! pour tout entier n > 1 (exercice de révision). On pourra admettre que la fonctionBd’Euler, définie pour tousα, β∈R^∗+par une intégrale, s’exprime au moyen de la fonctionΓ:

B(α, β) :=^déf Z 1

0

t^α−1(1−t)^β−1dt

admis

= Γ(α) Γ(β) Γ(α+β).

On pourra aussi redémontrer cette relation, au moins lorsqueαetβ sont tous deux des entiers> 1. On introduit alors, pour toutα∈R^∗+, les fonctions :

Y_α:=



 1

Γ(α)x^α−1 lorsque x >0,

0 lorsque x60.

(a)Montrer que, pour tousα, β∈R^∗+, on a :

Y_α∗Y_β=Y_α+β.

(b)Soit donc une fonctionf continue surRidentiquement nulle sur]− ∞,0]. Pour tout entiern >1, on pose :

F_n:=Y_n∗f.

Montrer pour commencer queF1est la primitive defs’annulant en0, satisfaisant d’ailleurs aussiF₁⁰(0) = 0.

(c)Montrer que, pour tout entiern>1, on a :

F_n⁽ⁿ⁾(x) =f(x) avec 0 =Fn(0) =F_n⁰(0) =· · ·=F_n⁽ⁿ⁾(0).

5. Convolution dansL^p(R^d)

Théorème 5.1. Soient deux fonctions f ∈ L¹(R^d) et g ∈ L^p(R^d), avec 1 6 p < +∞. Alors pour presque toutx∈R^d, la fonction :

R^d 3t7−→f(t)g(x−t)∈C

est intégrable,i.e.elle appartient àL¹(R^d), donc la convolution def et deg a un sens, et, de plus, cette convoléef ∗g appartient àL^p(R^d)avec un contrôle de sa normeL^ppar le produit nu et simple des normesL¹def etL^pdeg :

||f ∗g||L^p 6||f||L¹ · ||g||L^p.

Convolution dansL^p(R^d)(d’après Mohammed El Amrani) 11

Démonstration. Nous traiterons seulement le casd= 1, car le casdquelconque ne présente qu’une légère différence quant au formalisme.

Observons d’abord que le cas p = 1 a déjà été vu dans le Théorème 3.2 ci-dessus.

Nous pouvons donc supposer quep > 1, d’où 1 < p < +∞ et aussi1 < p⁰ < +∞. Il va être nécessaire de restreindre pour commencer les considérations à un sous-ensemble compact deR, donc nous introduisons la fonction indicatrice 1_[a,b] d’un intervalle fermé [a, b] ⊂ R, avec a < b (si l’on travaillait dans R^d, on introduirait à la place un produit [a₁, b₁]× · · · ×[a_d, b_d]de tels intervalles fermés), laquelle vaut bien entendu :

1_[a,b](x) =

1 si x∈[a, b];

0 si x6∈[a, b].

En effet, grâce au théorème de Fubini-Tonelli et grâce à l’inégalité de Hölder, on peut mon- trer que l’intégrable double suivante, tronquée par rapport àx au moyen de cette fonction indicatrice :

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞ |f(y)| |g(x−y)|1[a,b](x)dy

dx= Z +∞

−∞ |f(y)|

Z +∞

−∞ |g(x−y)|1[a,b](x)dx

dy 6

Z +∞

−∞ |f(y)|

Z +∞

−∞ |g(x−y)|^pdx

¹_p Z b a

1^p0 _p0¹

dy

=||f||L¹||g||L^p b−a¹

p0

<+∞

est convergente,i.e.est de valeur finie. Il découle alors du théorème de Fubini appliqué à l’intégrale double initiale que, pour presque toutx∈[a, b], la fonction :

y7−→f(y)g(x−y)1_[a,b](x)

=f(y)g(x−y)

est d’intégale finie par rapport àysurR, et comme l’intervalle[a, b]choisi à l’instant était arbitraire, on en déduit immédiatement sans effort que la même conclusion est en fait vraie pour presque toutx∈ R, puisque toutxquelconque peut être inclus dans un tel intervalle [a, b]. De plus, cette même inégalité, bien entendu, montre aussi que l’application :

x7−→1_[a,b](x) Z _+∞

−∞ |f(y)| |g(x−y)|dy

est intégrable surR. En appliquant alors l’inégalité de Hölder au produit suivant de deux fonctions (soulignées chacune pour plus de clarté) :

y7−→ |f(y)|^1p|g(x−y)| |f(y)|^p01

=|f(y)| |g(x−y)|

on en déduit une inégalité auxiliaire à conserver en mémoire :

(5)

Z _+∞

−∞ |f(y)| |g(x−y)|dy6

Z +∞

−∞ |f(y)| |g(x−y)|^pdy ¹

p Z +∞

−∞ |f(y)|dy ¹

p 0

=

Z +∞

−∞ |f(y)| |g(x−y)|^pdy ¹

p

||f||L¹

_p0¹ .

Nous pouvons maintenant examiner la normeL^p du produit de convolutionf ∗g, que nous élèverons à la puissancep-ème, afin de déterminer si elle est finie :

||f ∗g||L^p

_p

= Z _+∞

−∞

Z _+∞

−∞ f(y)g(x−y)dy ^pdy dx 6

Z _+∞

−∞

Z _+∞

−∞ |f(y)| |g(x−y)|dy p

dy dx

[utiliser(5)] 6 Z _+∞

−∞

Z _+∞

−∞ |f(y)| |g(x−y)|^pdy dx ||f||L¹

_p0^p

[Fubini-Tonelli] = ||f||L¹

_p0^p Z _+∞

−∞

Z _+∞

−∞ |g(x−y)|^pdx

|f(y)|dy

[x−y:=x⁰] = ||f||L¹

_p0^p

||g||L^p

_p Z _+∞

−∞ |f(y)|dy

= ||f||L¹

_p0^p

||g||L^p

_p

||f||L¹ [p

p⁰ + 1 =p] = ||f||L¹

p

||g||L^p

p

,

et cette dernière inégalité, dont il ne reste plus qu’à prendre la racinep-ème, montre bien

quef ∗g appartient àL^p(R^d).

« Découvrons » maintenant dans ce cours la première manifestation d’une propriété par- ticulièrement « magique » que possède le produit de convolution : il rend le résultatf ∗g plus régulier que ne le sont séparément f et g, et c’est cette propriété de régularisation qui constitue le thème principal de ce chapitre. En effet, le théorème suivant montre que la convolution f ∗g(x) de deux fonctions f et g qui appartiennent à des espaces L^p et L^p0 d’exposants conjugués n’est pas seulement définie pour presque toutx ∈ R^d(comme nous le savions au niveau de la définition initiale du produit de convolution¹), mais mieux, que cette convolutionf ∗g(x)possède une valeur bien définie∈ Cpourtoutx ∈ R^d, et beaucoup mieux, que la fonctionx 7→ f ∗g(x)est continue, et même beaucoup mieux encore, qu’elle estuniformément continuesurR^dtout entier.

Théorème 5.2. Soit un exposantp∈[1,+∞]et soitp⁰ son exposant conjugué. Alors pour toute paire de fonctionsf ∈L^p(R^d)etg ∈L^p0(R^d), la convolée :

f ∗g(x) = Z

R^d

f(t)g(x−t)dt

est une fonctionpartout définieet bornée surR^d, avec le contrôle de sa norme L^∞par le produit nu et simple des normesL^pdef etL^p0 deg:

||f ∗g||L^∞ 6||f||L^p||g||_L^p0.

Qui plus est, cette convoléef ∗gest mêmeuniformément continuesurR^dtout entier.

Démonstration. La première assertion découle aisément de l’inégalité de Hölder et montre que la meilleure circonstance dans laquelle on peut convoler deux fonctions intégrables,

1. — il est bien normal en effet de s’accorder pour dire qu’une fonction telle quex7→R

R^d f(t)g(x− t)dtsoit défini presque partout, puisque la valeur de toute intégrale au sens de Lebesgue ne dépend elle-même que des valeurs presque partout des fonctions intégrées —

Convolution dansL^p(R^d)(d’après Mohammed El Amrani) 13

par exemple|f|et|g|, c’est lorsque les exposants sont conjugués l’un et l’autre :

|f| ∗ |g|(x) = Z

R^d |f(t)| |g(x−t)|dt 6

Z

R^d |f(t)|^p

¹_p Z

R^d |g(x−t)|^p0 _p0¹

,

donc pour tout x ∈ R^d, la valeur de f ∗ g(x) est bien définie par une intégrale qui est absolument convergente :

|f ∗g(x)|6|f| ∗ |g|(x)6||f||L^p||g||L^p0, ce qui fournit immédiatement l’inégalité annoncée :

||f ∗g||L^∞ 6||f||L^p||g||_L^p0.

Traitons maintenant la continuité uniforme de f ∗ g sur R^d. Comme souvent, un rai- sonnement par densité sera possible ensuite ; supposons donc d’abord quef ∈ Cc⁰(R^d)est continue à support compact, toujours avecg ∈ L^p0(R^d). Un théorème général qui sera vu dans la suite du cours montrera que la convolutionf∗g est essentiellement aussi régulière que l’est le plus régulier de ses deux facteursf et g, par exemple, sif estC¹ à support compact, alorsf ∗g est aussiC¹ (mais pas forcément à support compact, en fait) ; ici, on suppose donc pour commencer quef est continue à support compact, et si la philosophie générale est respectée, on doit s’attendre par conséquent à ce quef∗gsoit elle aussi conti- nue (pas forcément à support compact) ; ce qui est remarquable ensuite, c’est que la densité (supposée connue dans ce cours) deC_c⁰(R^d)dansL^p(R^d)permette de déduire quef∗gest aussi uniformément continue lorsqu’on suppose seulement quef ∈ L^p(R^d), comme nous allons le voir à la fin de la démonstration.

Soit donc f ∈ Cc⁰(R^d) et g ∈ L^p0(R^d). Notons K := supp(f), ensemble compact d’intérieur non vide (sinon f ≡ 0), et introduisons la fonction indicatrice1_K de K. La fonctionf étant continue sur ce compactK, elle y est en fait continue uniformément :

∀ε >0 ∃η=η(ε)

∀u, v ∈K: |u−v|6η =⇒ |f(u)−f(v)|6ε

.

De cette inégalité, on peut déduire une inégalité légèrement plus attrayante car préparée sous forme très pratique pour la suite.

Réexpression de l’uniforme continuité.Pour tousu, v ∈R^davec|u−v|6η(ε), on a :

|f(u)−f(v)|6ε 1_K(u) +1_K(v) .

Démonstration. Tout d’abord, lorsqueuetv appartiennent tous deux àK, on trouve2εà droite, ce qui fonctionne puisque2ε > ε.

Ensuite, lorsque l’un des deux argumentsuouvappartient à K, disonsv pour fixer les idées, tandis que l’autre,u, appartient àR^d\K, on trouve au moins un pointu⁰ ∈[u, v]qui appartient àK ∩(R^d\K), d’où f(u⁰) = 0et|u⁰ −v| 6 ηpuis|f(u)−f(v)| =|f(v)| =

|f(u⁰)− |f(v)|6ε.

Enfin, lorsque u et v appartiennent tous deux au complémentaire R^d\K, on trouve

|f(u)−f(v)|=|0−0|= 0à gauche et0à droite aussi.