Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex
I Compl´ ements sur la Transform´ ee de Laplace
1) Rappels sur la transform´ ee de Laplace
a) D´efinition : F(p) =! +∞ 0
e−ptf(t)dt avec : p∈R ou p∈C b) Rappel des propri´et´es et formules
Exercices :
"−→L
tsin(t)U(t) `a pour transform´e 2p (p2+ 1)2
! t 0
sin(t)dt `a pour transform´e 1 p(p2+ 1) tsin(t)e−tU(t) `a pour transform´e 2p+ 2
(p2+ 2p+ 2)2
L−1
"−→
3
(p+ 4)3 `a pour original 3
2t2e−3tU(t) 1
p2+ 6p+ 10 `a pour original sin(t)e−3tU(t) 1
p2+ 4p+ 11 `a pour original 1
√7sin(√7t)e−2tU(t)
2) Int´ egration des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires
On obtient une solution particuli`ere qui d´epend des conditions aux limites en posant : X(p) =L[x(t)]
a) x##(t)−x#(t)−6x(t) = 2U(t) avec : x(0) = 1 et x#(0) = 0
X= 8
15(p−3) + 4
5(p+ 2)− 1
3p donc : x(t) ="8e3t
15 +4e−2t 5 −1
3
# U(t) b) x##(t)−3x(t)#+ 2x(t) =e−tU(t) avec : x(0) = 1 et x#(0) = 0
X= 3
2(p−1)− 2
3(p−2) + 1
6(p+ 1) donc : x(t) ="3et 2 −2e2t
3 +e−t 6
# U(t) c) x##(t)−2x#(t) +x(t) =tetU(t) avec : x(0) = 1 et x#(0) = 0
X= 1
(p−1)4 − 1
(p−1)2 + 1
(p−1) donc : x(t) ="t3
6 −t+ 1#
et U(t) d) x##(t) + 2x#(t) + 5x(t) = 5e−tU(t) avec : x(0) = 1 et x#(0) = 1 X= 1
4
" 5
p+ 1 − p−7 p2+ 2p+ 5
#
donc : x(t) =5−cos(2t) + 4 sin(2t)
4 e−tU(t)
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♠ 2 LATEX 2ε
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3) Les Syst` emes d’´ equations diff´ erentielles lin´ eaires
Par la mˆeme m´ethode, on peut r´esoudre des syst`emes d’´equations diff´erentielles en posant : X(p) =L[x(t)] ; Y(p) =L[y(t)] ; Z(p) =L[z(t)] . . .
Exemple :
2dx(t)
dt = 6x(t)−3y(t) + 2et dy(t)
dt = 4x(t)−2y(t)−e2t
avec
x(0) = 0
y(0) = 0
2p X(p) = 6X(p)−3Y(p) + 2 p−1 p Y(p) = 4X(p)−2Y(p)− 1
p−2
2(p−3)X(p) + 3Y(p) = 2 p−1 4X(p) − (p+ 2)Y(p) = 1
p−2
Ainsi
X(p) = 2p2+ 3p−11
2p(p−1)2(p+ 2) = 114
p + 3
(p−1)2 −
7 2
p−1+ 34 p−2 Y(p) = −p2+ 8p−11
p(p−1)2(p+ 2) = 112
p + 4
(p−1)2 − 6
p−1+ 12 p−2
La solution est donc
x(t) = 3t et−7 2 et+3
4e2t+11 4 y(t) = 4t et−6et+1
2 e2t+11 2
♣♦♥
♠ 3 LATEX 2ε
