4ème – Chapitre 03 Nombres en écriture fractionnaire
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NOMBRES EN ECRITURE FRACTIONNAIRE
1) Définition d'un quotient – égalité de deux quotients
Définition
a et b désignent deux nombres relatifs avec b≠0. On appelle quotient de a par b le nombre qui, multiplié par b donne a. On note ce nombre a
b. On a donc la relation fondamentale : a
b a b× = . a est appelé numérateur, b est appelé dénominateur.
Exemple
Le quotient de 2 par 7 se note 2
7 et on a 2
7 2
7× = .
Propriété 1
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre :
a, b et k étant des nombres relatifs avec b≠0 et k ≠0, on a : a k a b k b
× =
× .
Cette propriété est utile pour simplifier des fractions, par exemple :
4 3 4 15
3 15 60
45 =
×
= × .
La propriété 1 est également utile pour réduire des fractions au même dénominateur, par exemple : réduire au même dénominateur
5 7 et
2
3. Choisissons comme dénominateur commun 10 :
10 14 2 5
2 7 5
7 =
×
= × et
10 15 5 2
5 3 2
3 =
×
= × .
2) Addition et soustraction de quotients
Règle 1
Pour additionner deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne les numérateurs. Pour soustraire des fractions ayant le même dénominateur, on soustrait les numérateurs.
a, b et c étant des nombres relatifs avec c≠0, on a
c b a c b c
a+ = + et
c b a c b c
a− = − .
Exemples
7 1 7
) 4 ( 3 7
4 7
3 −
− =
= + +−
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5 4 5
6 2 5 6 5
2− = − = − .
Règle 2
Pour additionner ou soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence par réduire ces fractions au même dénominateur puis on applique la règle 1.
Exemple
12 17 12
8 12
9 4 3
4 2 3 4
3 3 3 2 4
3 = + =
× + ×
×
= ×
+ .
3) Multiplication de quotients
Règle 3
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. a, b, c et d étant des nombres relatifs avec b≠0 et d ≠0, on a
d b
c a d c b a
×
= ×
× .
Exemples
35 12 5 7
3 4 5 3 7
4 =
×
= ×
×
36 6 4
9 ) 3 ( ) 2 ( 4
3 9
2 =
×
−
×
= −
×−
− on peut bien sûr simplifier le résultat :
6 1 6 6
1 6 36
6 =
×
= ×
4) Inverse et division de fractions
Définition
On dit que deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit vaut 1.
Exemple 5 et
5
1 sont inverses l'un de l'autre car 1 5 5×1= .
Propriété 2
a et b étant des nombres relatifs avec a≠0 et b≠0, b a et
a
b sont inverses l'un de l'autre.
preuve
=1
=
× ab ab a b b
a .
a
b est donc l'inverse de b a.
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Règle 4
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
a, b, c et d étant des nombres relatifs avec b≠0, c≠0, et d ≠0, on a
c d b a d c b
a: = × .
Exemples
3 4 13
2 4 : 3 13
2
×−
− =
(règle 4)
) 3 ( 13
4 2
−
×
= × (règle 3)
39 8
=−
5) Quotient égaux et produits en croix
Propriété 3
a, b, c et d étant des nombres relatifs avec b≠0 et d ≠0, si d c b
a= alors a×d =b×c.
preuve d c b a =
d d b c b
d b
a× × = × ×
(on multiplie de chaque côté par b×d) c
b d
a× = × (on simplifie les fractions obtenues).
Application
Déterminer le nombre x tel que 10
3 4 = x .
La propriété ci-dessus donne 4×10=3×x, c'est-à-dire 3x=40 donc 3
=40 x .
