2 ad =

Master Mécanique Matériaux Structures Procédés Examen cours OP5 – CFMR, Jeudi 21 janvier 2016

Durée 2h – Poly et transparents de cours autorisés

I- Une plaque en acier, de taille moyenne des grains d_g =20µm, comporte une entaille elliptique (a=3cm b, =1cm). Cette plaque est sollicitée en traction à une contrainte nominale

50MPa σ^∞ = .

a- Calculer le facteur de concentration de contrainte K le rayon à fond d’entaille _t ρ et la contrainte σ^max. Déterminer ensuite la contrainte moyenne dans trois grains adjacents à l’extrémité de l’entaille en linéarisant le relation :

1 max y 2

x a t

d

dx K

σ σ

= ρ

 

 = − + 

  

b- Le 3^e grain est fissuré (fissure fragile de taille 2a₁=d_g). En appelant σ_L la contrainte moyenne dans ce grain, montrer que la fissure se propagera dans le grain adjacent si :

2

'

g L

s g

d E γ γ σ

+ = π

où γ_s ^et γg sont les énergies spécifiques de création de surface et de franchissement d’un joint de grain et E'=E/(1−υ²).

3 moy

L grain

σ =σ

2a1 =d_g

2 1

I L

K σ a

= π dg

σ

x y

II- Les essais de fatigue d'un alliage d'aluminium de ténacité 50

KIC = MPa m, sollicité en traction répétée pour différents rapports de charge R , ont montré que la valeur seuil de l’amplitude de l’intensité des contraintes s’exprimait par :

0(1 )

seuil

K K R

∆ = ∆ − avec ∆K₀ =2,5MPa m seuil pour R=0

Ces essais ont par ailleurs mis en évidence l’existence de deux régimes de propagation : - l’un pour les fissures courtes (FC) décrit par la relation suivante :

11 2

6 10

FC

da K

dN

 −

= ⋅ ∆

 ^{pour a<1, 5mm (}a : longueur de fissure)

- l’autre pour les fissures longues (FL) décrit par :

12 4

4 10 _R

FL

da K

dN

 = ⋅ − ∆

 ^{pour a≥1, 5mm avec R} 1

K K

R

∆ = ∆

−

La vitesse da dN est exprimée en m/cycle et K/ ∆ en MPa m. L'amplitude du facteur d'intensité des contraintes ∆K est calculée par ∆K====∆σ πa ^.

1°- Calculer σ_max et la longueur critique a pour : _c a- R=0,1, ∆ =σ 50MPa et 60MPa

b- R=0, 5, ∆ =σ 30MPa et 40MPa

On présentera les résultats dans un tableau où l'on indiquera en dernière colonne la valeur de

seuil

∆K .

2°- Les éprouvettes testées contiennent des fissures de longueur initiale a₀ =0, 5mm. Déterminer le nombre de cycles à rupture pour chacun des spectres de chargement suivants :

a- 50 cycles à ∆ =σ 60MPa - R=0,1 et 100 cycles à ∆ =σ 40MPa - R=0,5 ; b- 50 cycles à ∆ =σ 50MPa - R=0,1 et 100 cycles à ∆ =σ 40MPa - R=0,5 ; c- 50 cycles à ∆ =σ 60MPa - R=0,1 et 100 cycles à ∆ =σ 30MPa - R=0,5.

3°- L'alliage étudié est utilisé dans la construction d'un avion. Les moyens de contrôle utilisés ne pouvant déceler des fissures de dimension inférieure à 0,5mm, calculer la longueur maximum atteinte si le contrôle est fait au bout d'un an ; pendant cette période, l'avion effectue 2 vols/jour et subit en moyenne au cours de chaque vol, 1000 spectres de charges, constitué chacun de :

- 1 cycle à ∆ =σ 50MPa - R=0,1, 1 cycle à ∆ =σ 60MPa - R=0,1 - 1 cycle à ∆ =σ 30MPa - R=0.5 et 1 cycle à ∆ =σ 40MPa - R=0,5

Corrigé I- Plaque entaillée chargée en traction.

a- _t 1 2a 7 K = + b = et

2

3, 33

b mm

ρ= a = et σ^max =K_tσ^∞ =350MPa Chute de contrainte à l’extrémité du premier grain :

max 1 max

y 2

g t

x a

d

dx d K

σ εσ σ

= ρ

 

 = − − + 

   ^Soit ε =^{1, 29%}.

Contrainte moyenne dans les 3 grains adjacents à l’extrémité de la fissure :

max

1 1 347, 7

2

moy

grain ε MPa

σ = −^ ^σ =

 

max 2

1 3 343, 2

2

moy

grain ε MPa

σ = −^ ^σ =

 

max 3

1 5 338, 7

2

moy

grain ε MPa

σ = −^ ^σ =

 

b- Pour que la fissure se propage dans le grain adjacent, il faut que l’énergie de Griffith G=2(γ γ_s+ _g)

2 2 2

1 2

4 2( )

' ' '

g L

I L

s g

K a d

G E E E

σ σ γ γ

π π

= = = = +

2

'

g L

s g

d E γ γ σ

⇒ + = π

II- Fissuration d’un alliage d’aluminium utilisé dans l’industrie aéronautique

IC 50

K = MPa m.

1- Calcul de σ_max ^et a c

a- R=0,1 et ∆ =σ 50MPa et ∆ =σ 60MPa 0, 9 2

1 _Ic

c

a K

π σ

 

=  ∆  , soit a_c(50MPa)=257,8mm a_c(60MPa) 179= mm

b- R=0, 5 et ∆ =σ 30MPa et ∆ =σ 40MPa

0, 5 2

1 _Ic

c

a K

π σ

 

=  ∆  , soit a_c(30MPa)=221mm (40a_c MPa)=124, 3mm

Rapport R ∆σ(MPa) a mm _c( ) ∆K_seuil(MPa m)

0,1 50 257,8

2,25

60 179,0

0,5 30 221,0

1,25

40 124,3

2- a₀ =0, 5mm, calcul de N _R

a- 50 cycles à ∆ =σ 60MPa - R=0,1 et 100 cycles à ∆ =σ 40MPa - R=0,5 ;

Il faut dans un premier temps calculer a_seuil, longueur de fissure au dessus de laquelle la fissure se propage.

1 _seuil 2 seuil

a K

π σ

∆

 

=  ∆  soit pour R=0,1 et ∆ =σ 60MPa a_seuil =0, 448mm et pour R=0, 5 et ∆ =σ 40MPa a_seuil =0, 311mm

La fissure de taille initiale a₀ =0, 5mm se propagera donc pour les deux chargements ci- dessus.

Régime fissures courtes

1 2

150

moy

FC

da da da

dN

+

 =



avec da₁= × ⋅50 6 10⁻¹¹(60 πa)² =C a₁ C₁ =3, 39 10⋅ ⁻⁵ et

11 2

2 100 6 10 (40 ) 2

da = × ⋅ ⁻ πa =C a C₂ =3, 02 10⋅ ⁻⁵

D’où ^{1 2}

150

moy

FC

da da

da Ca

dN

+

 = =

 ^avec

4, 27 10 7

C= ⋅ ⁻

Régime fissures longues

3 4

150

moy

FL

da da da

dN

+

 =



avec ₃ ¹² 60 ⁴ ₃ ²

50 4 10 ( )

da = × ⋅ ⁻ 0, 9 πa =C a C₃ =3, 90 10⋅ ⁻² et

12 4 2

2 4

100 4 10 (40 )

da = × ⋅ ⁻ 0, 5 πa =C a C₄ =1, 62 10⋅ ⁻¹

D’où ^{1 2} ' ² 150

moy

FL

da da

da C a

dN

+

 = =

 ^avec

' 1, 34 10 3

C = ⋅ ⁻

Calcul du nombre de cycles à rupture N (la rupture interviendra pour _R a_c=124, 3mm

0

1,5

2 3

1,5

0

1 1,5 1 1 1

' ln ' 1,5 10

mm ac

R a mm

c

da da

N Ca C a C a C ⁻ a

 

=

∫

∫

Soit N_R =2, 57 10⋅ ⁶+4, 92 10⋅ ⁵ =3, 06 10⋅ ⁶

Remarque : le nombre de cycles est plus élevé dans le régime des fissures courtes.

b- 50 cycles à ∆ =σ 50MPa - R=0,1 et 100 cycles à ∆ =σ 40MPa - R=0,5 ; Calcul de a_seuil, longueur de fissure au dessus de laquelle la fissure se propage.

1 _seuil 2 seuil

a K

π σ

∆

 

=  ∆  soit pour R=0,1 et ∆ =σ 50MPa a_seuil =0, 645mm et pour R=0, 5 et ∆ =σ 40MPa a_seuil =0, 311mm

La fissure de taille initiale a₀ =0, 5mm se propagera donc uniquement pour le 2^e chargement, et il faut attendre que sa longueur atteigne a_seuil =0, 645mm pour que le 1^er chargement soit aussi endommageant.

Régime fissures courtes Pour a₀ ≤ ≤a 0, 645mm

2

150

moy

FC

da da

dN

 =

 ^et

11 2

2 100 6 10 (40 ) 2

da = × ⋅ ⁻ πa =C a C2 =3, 02 10⋅ ⁻⁵ d’où

''

moy

FC

da C a

dN

 =

 ^avec

'' 2, 01 10 7

C = ⋅ ⁻

Pour 0, 645mm≤ ≤a 1, 5mm

1 2

150

moy

FC

da da da

dN

+

 =

 ^avec

11 2

1 50 6 10 (50 ) 1

da = × ⋅ ⁻ πa =C a C1=2, 36 10⋅ ⁻⁵ D’où

moy

FC

da Ca

dN

 =

 ^avec

3, 59 10 7

C= ⋅ ⁻

Régime fissures longues

3 4

150

moy

FL

da da da

dN

+

 =



avec ₃ ¹² 50 ⁴ ₃ ²

50 4 10 ( )

da = × ⋅ ⁻ 0, 9 πa =C a C3 =1,88 10⋅ ⁻² et

12 4 2

2 4

100 4 10 (40 )

da = × ⋅ ⁻ 0, 5 πa =C a C4 =1, 62 10⋅ ⁻¹

D’où ^{1 2} ' ²

150

moy

FL

da da

da C a

dN

+

 = =

 ^avec

' 1, 21 10 3

C = ⋅ ⁻

Calcul du nombre de cycles à rupture N (la rupture interviendra pour _R a_c=124, 3mm

0

0,645 1,5

2 3

0,645 1,5

0

1 0, 645 1 1, 5 1 1 1

ln ln

" ' " 0, 645 ' 1, 5 10

mm mm ac

R a mm mm

c

da da da

N C a Ca C a C a C C ⁻ a

 

=

∫

∫

∫

Soit N_R =1, 277 10⋅ ⁶+2, 35 10⋅ ⁶+5, 44 10⋅ ⁵ =4,17 10⋅ ⁶

c- 50 cycles à ∆ =σ 60MPa - R=0,1 et 100 cycles à ∆ =σ 30MPa - R=0,5 Calcul de a_seuil, longueur de fissure au dessus de laquelle la fissure se propage.

1 _seuil 2 seuil

a K

π σ

∆

 

=  ∆  soit pour R=0,1 et ∆ =σ 60MPa a_seuil =0, 448mm et pour R=0, 5 et ∆ =σ 30MPa a_seuil =0, 553mm

La fissure de taille initiale a₀ =0, 5mm se propagera donc uniquement pour le 1^er chargement, et il faut attendre que sa longueur atteigne a_seuil =0, 553mm pour que le 2^e chargement soit aussi endommageant.

Régime fissures courtes Pour a₀ ≤ ≤a 0, 553mm

1

150

moy

FC

da da

dN

 =

 ^et

11 2

1 50 6 10 (60 ) 1

da = × ⋅ ⁻ πa =C a C1 =3, 39 10⋅ ⁻⁵

D’où "

moy

FC

da C a

dN

 =

 ^avec

" 2, 26 10 7

C = ⋅ ⁻

Pour 0, 553mm≤ ≤a 1, 5mm

1 2

150

moy

FC

da da da

dN

+

 =

 ^avec

11 2

2 100 6 10 (30 ) 2

da = × ⋅ ⁻ πa =C a C2 =1, 70 10⋅ ⁻⁵ D’où

moy

FC

da Ca

dN

 =

 ^avec

3, 39 10 7

C= ⋅ ⁻

Régime fissures longues

3 4

150

moy

FL

da da da

dN

+

 =



avec ₃ ¹² 60 ⁴ ₃ ²

50 4 10 ( )

da = × ⋅ ⁻ 0, 9 πa =C a C3 =3, 90 10⋅ ⁻² et

12 4 2

2 4

100 4 10 (30 )

da = × ⋅ ⁻ 0, 5 πa =C a C4 =5,12 10⋅ ⁻²

D’où ^{1 2} ' ²

150

moy

FL

da da

da C a

dN

+

 = =

 ^avec

' 6, 01 10 4

C = ⋅ ⁻

Calcul du nombre de cycles à rupture N (la rupture interviendra pour _R a_c=179mm

0

0,553 1,5

2 3

0,553 1,5

0

1 0, 553 1 1, 5 1 1 1

ln ln

" ' " 0,553 ' 1,5 10

mm mm ac

R a mm mm

c

da da da

N C a Ca C a C a C C ⁻ a

 

=

∫

∫

∫

Soit N_R =4, 46 10⋅ ⁵+2, 94 10⋅ ⁶+1,10 10⋅ ⁶ =4, 49 10⋅ ⁶ 3- Application à la durée de vie d’un avion

Nombre de cycles au bout d’un an : N_1an = ×2 1000 365 4× × =2, 92 10⋅ ⁶cycles Spectre composé de 4 chargements :

- 1 cycle à ∆ =σ 50MPa - R=0,1 (1) ; 1 cycle à ∆ =σ 60MPa - R=0,1 (2) ; - 1 cycle à ∆ =σ 30MPa - R=0.5 (3) ; 1 cycle à ∆ =σ 40MPa - R=0,5 (4) ; Seuls les chargements (2) et (4) sont endommageants au début. Le chargement (3) le devient à

0, 553

seuil

a = mm et le chargement (1) à a_seuil =0, 645mm.

Pour a₀ ≤ ≤a 0, 553mm, ^{2 4} ₁ 4

moy

FC

da da

da C a

dN

+

 = =

 ^avec

7 1 2, 45 10 C = ⋅ ⁻

Pour 0, 553≤ ≤a 0, 645mm, ^{2 3 4} ₂

4

moy

FC

da da da

da C a

dN

+ +

 = =

 ^avec

7 2 2,87 10 C = ⋅ ⁻

Pour 0, 645≤ ≤a 1, 5mm, ^{1 2 3 4} ₃

4

moy

FC

da da da da

da C a

dN

+ + +

 = =

 ^avec

7 3 4, 05 10 C = ⋅ ⁻

Pour a>1, 5mm, ^{1 2 3 4} ₄ ² 4

moy

FL

da da da da

da C a

dN

+ + +

 = =

 ^avec

4 4 8, 21 10 C = ⋅ ⁻

Appelons :

1

1 0

1 0, 553

R ln

N =C a , ₂

2

1 0, 645 ln0, 553 NR

=C , ₃

3

1 1, 5 ln0, 645 NR

=C et _{4 3}

4

1 1 1

1, 5 10

R

c

N C ⁻ a

 

=  ⋅ − 

Avec N_R1=4,11 10⋅ ⁵, N_R2 =5, 36 10⋅ ⁵ (N_R1+N_R2 =9, 47 10⋅ ⁵<N_1an) ;

6 3 2, 08 10

NR = ⋅ (N_R1+N_R2+N_R3 =3, 03 10⋅ ⁶ >N_1an)

Au bout d’un an, la longueur de la fissure n’a donc pas atteint 1,5mm . La longueur a_1an atteinte est telle que :

1

1

1 0 2 3

1 0, 553 1 0, 645 1

ln ln ln

0, 553 0, 645

an

an

a N

C a +C +C = , soit a_1an =1, 43mm