Master 2 Ingénierie Mathématique

Master 2 Ingénierie Mathématique

Modélisation temporelle et spatiale des dépendances

Travaux Dirigés

Ex 1. Soit X ∈ R^d un vecteur aléatoire gaussien d'espérance m et de covariance Γ semi-dénie positive.

1) Rappeler la dénition d'un vecteur aléatoire gaussien.

2) Montrer que le vecteur m+ Γ^1/2Z, où Z ∈ R^d est un vecteur aléatoire dont les composantes sont toutes indépendantes et de loiN(0,1), est de même espérance et de même covariance queX. 3) On rappelle que la fonction caractéristique deX est donnée, pour toutu∈R^d, par

φ_X(u) = exp

ihu, mi −1 2hu,Γui

.

En déduire queX =^L m+ Γ^1/2Z et que le couple(µ,Γ) est susant pour caractériser entièrement un vecteur gaussien.

4) On suppose qued= 2et queX = (Z, εZ)oùZ ∼ N(0,1) et ε∼ R(1/2). Montrer queX n'est pas un vecteur gaussien.

Ex 2. Soit(εt)_t∈Z une suite de variables aléatoires i.i.d. de loiN(0,1), et(ξt)_t∈Z la suite dénie par ξt= ε_t²−1

√2 .

On dénit la suite(Xt)_t∈Zpar

Xt=

εt sitest pair, ξ_t−1 sitest impair.

1) Vérier que(Xt)n'est pas une suite de v.a.r. indépendantes.

2) Montrer que(Xt)forme malgré tout un bruit blanc faible standard, c'est-à-dire que pour toutt∈Z, E[Xt] = 0,V(Xt) = 1 et, dès ques6=t,Cov(Xt, Xs) = 0.

Ex 3. SoientR etU deux variables aléatoires indépendantes de loiE(1/2) etU([0,2π]), respective- ment. Montrer que le vecteur X = (X1, X2) avecX1 = √

Rcos(U)et X2 =√

Rsin(U) est un vecteur gaussien.

Ex 4. Soit(ε_t)un bruit blanc de varianceσ²>0. On considère les processus dénis, pourt≥1, par S_t=

t

X

k=1

ε_k et P_t=

t

Y

k=1

ε_k.

Étudier la stationnarité de(St)et de(Pt)selon la valeur deσ². En cas de stationnarité, calculer l'auto- covarianceγ et l'autocorrélationρdu processus.

1

Ex 5. Soient(X_t)et(Y_t)deux processus stationnaires et mutuellement décorrélés, d'autocovariances respectivesγ_X et γ_Y.

1) Montrer que le processus(Xt+Yt)est stationnaire et exprimer son autocovarianceγX+Y en fonction deγX et deγY.

2) Proposer un contre-exemple montrant que, si l'on enlève l'hypothèse de non-corrélation entre(Xt)et (Yt), alors(Xt+Yt)n'est pas nécessairement stationnaire.

Ex 6. Soit(εt)un bruit blanc gaussien de varianceσ²>0. On considère les processus dénis, pour t∈Z,β0∈R,β1∈R^∗ et θ∈[−π, π], par

Xt=ε0cos(θt), Yt=ε1cos(θt) +ε2sin(θt), Zt=εtcos(θt) +εt−1sin(θt),

St=εtI{test pair}+ (1−εt)I{test impair}, Ut= (−1)^tε0, Vt=β0+β1t+εt et Wt=ε²_t−2ε_t−1. Étudier la stationnarité et, le cas échéant, calculer l'autocovarianceγet l'autocorrélationρdes processus.

Ex 7. On considère le processus(X_t)déni, pour toutt∈Z, par X_t=

A+ε_t sit est pair, B+εt sit est impair,

oùA∼ N(µ_A, τ_A²),B∼ N(µ_B, τ_B²),Cov(A, B) =δet(ε_t)est un bruit blanc de varianceσ², indépendant deAet deB.

1) Étudier la stationnarité de(Xt)selon les valeurs des paramètresµA,µB,τ_A²,τ_B² etδ.

2) Calculer l'autocovarianceγ_X et l'autocorrélationρ_X de(X_t)sous les hypothèses de stationnarité.

Ex 8. On s'intéresse à la relation entre stationnarité et stationnarité stricte.

1) En considérant le processus (Z_t)déni, pourt∈Z, parZ_t= (−1)^tZ oùZ∈L²(Ω,A,P)est une va- riable aléatoire asymétrique, montrer qu'une série chronologique stationnaire n'est pas nécessairement strictement stationnaire.

2) Montrer que, si(Xt)est un processus gaussien stationnaire sur Z, alors il est également strictement stationnaire.

Ex 9. À l'aide de l'algorithme de Durbin-Levinson, calculer les 4 premières valeurs de l'autocorré- lation partielleα(0), . . . , α(3)d'un processus stationnaire en fonction de son autocorrélationρet de son autocovarianceγ.

Ex 10. Soit(Xt)un processus stationnaire surZde moyenneµet d'autocovarianceγ, dont on extrait le vecteur(X1, . . . , Xn). On dénit la moyenne empirique du processus par

X¯n= 1 n

n

X

k=1

Xk.

1) Montrer queX¯_n est un estimateur non biaisé de µ.

2) Montrer que l'on a la convergenceX¯_n−→^L2 µsous la conditionγ(n)→0. En déduire que, à cette condi- tion, la moyenne empirique est un estimateur consistant de la moyenne d'un processus stationnaire.

3) Si l'on suppose de plus queγ∈`¹(Z), c'est-à-dire que l'on aP

h∈Z|γ(h)|<∞, montrer que

n→∞lim nV( ¯X_n) = X

h∈Z

γ(h).

4) Proposer un estimateur naturel de l'autocovariance γ, de l'autocorrélation ρet de l'autocorrélation partielleαd'un processus stationnaire.

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Ex 11. Soit le polynôme de degréndéni, pour toutz∈C, par P(z) = 1−p₁z−p₂z²−. . .−p_nzⁿ. Montrer par l'absurde que la conditionPn

i=1|p_i|<1est susante pour queP soit causal.

Ex 12. Soient(ε_t)_t∈Zun bruit blanc de varianceσ²et (η_t)_t∈Z un bruit blanc de varianceδ²σ², pour 0<|δ|<1. On considère les processus MA(1) surZengendrés par les relations

X_t=ε_t−δ ε_t−1 et Y_t=η_t−1 δη_t−1. 1) Montrer que(X_t)et(Y_t)ont la même fonction d'autocovariance.

2) Montrer que(ε_t)est le bruit blanc d'innovation de(X_t)mais que(η_t)n'est pas celui de(Y_t). 3) Montrer que le processus déni, pourt∈Z, par

eη_t= (I−δB)⁻¹(I−δ⁻¹B)η_t

est un bruit blanc identiable au second ordre à(εt), et qu'il s'agit de l'innovation de(Yt).

Ex 13. Soit le processus déni, pour toutt∈Z, par X_t=a X_t−1+ε_t où(ε_t)est un bruit blanc de varianceσ².

1) Montrer que la condition|a| 6= 1 implique la stationnarité de (X_t). Quelle condition supplémentaire implique la causalité de(X_t)?

2) Supposons maintenant que le processus est déni pour toutt∈N. Montrer que le processus n'est plus nécessairement stationnaire.

3) Montrer qu'un tel processus est asymptotiquement stationnaire dès queX₀∈L²(Ω,A,P)et|a|<1. 4) Quelles conditions faut-il ajouter pour que le processus déni surNsoit stationnaire ?

Ex 14. On considère le processus déni, pour toutt∈Z, par Xt=θ Xt−1+θ²Xt−2+εt

où(ε_t)est un bruit blanc de varianceσ² etθ6= 0.

1) Donner une condition surθpour que le processus admette une écriture causale de (εt), puis montrer que les coecients(p_k)associés à cette écriture satisfont la relation de récurrence donnée parp₀= 1, p₁=θet, pourk≥2,

p_k =θ p_k−1+θ²p_k−2. 2) On pose

C₁=θ(1 +√ 5)

2 et C₂= θ(1−√ 5)

2 .

Montrer que la solution de la récurrence est donnée, pourk∈N, par pk= 1

θ√

5 C₁^k+1−C₂^k+1 . 3) En déduire que la variance d'un tel processus est donnée par

γ(0) = σ²(1−θ²) (1 +θ²)(1−3θ²+θ⁴). 4) Montrer de plus que

γ(1) = θ γ(0)

1−θ² et γ(2) =θ²(2−θ²)γ(0) 1−θ² .

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Ex 15. On considère un processus AR(p) de paramètre θ = (θ₁, . . . , θ_p), lui-même engendré par un processus AR(1) de paramètreα. En résumé, pour toutt∈Z, on a

Xt = θ1X_t−1+. . .+θpX_t−p +εt

εt = α ε_t−1 +Vt

où(Vt)est un bruit blanc de varianceσ².

1) Identier l'opérateurR(B)tel queR(B)Xt=Vt, pour toutt∈Z.

2) Montrer queRest de degré au plusp+ 1. Soit alors, pour toutz∈C,

R(z) =r0+r1z+. . .+rp+1z^p+1.

Identierr0, . . . , rp+1 en fonction deθ1, . . . , θpet de α. Quelle est la dynamique de(Xt)?

3) Proposer une condition susante surθ= (θ1, . . . , θp)et surαpour que le processus(Xt)soit station- naire.

4) On suppose quep= 1,|θ1|<1,|α|<1etθ1> α. Identier la relation de récurrence sur les coecients (pk)permettant d'obtenir une écriture causale de(Xt)sous la forme

Xt=

∞

X

k=0

pkVt−k.

5) Résoudre le système et en déduire la varianceγ(0)d'un tel processus.

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