Universités François Rabelais 2014-2015 L3 Mathématiques
Algèbre: Contrôle continu du 14/10/14
Durée 25 minutes
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Exercice 1: Question de cours :
1. Dé…nition d’un sous-groupeH deG.
2. Dé…nition du noyau et de l’image d’un morphime de groupesf :G!G0. 3. Enoncer le théorème de Lagrange.
4. SoitH un sous-groupe deG. Qu’appelle-t-on classe à droite deg2GdansH ? Que se passe-t-il sig2H.
Exercice 2: Pour chacun des ensembles E suivants, dire si il s’agit d’un groupe pour la loi indiquée (lorsque c’est le cas, on précisera son élément neutre et on indiquera si le groupe est abélien).
1. E=fz2Cj jzj= 1gmuni de la multiplication des nombres complexes.
2. E=fz2Cj jzj= 1gmuni de l’addition des nombres complexes.
3. E = fM = 0
@ a b c d
1
A 2 M2(Z) j det(M) = 1g. Attention, les matrices considérées sont à coe¢ cients dansZ.
Exercice 3: On rappelle que pour tout entiern 1, Cn =fz2Cjzn = 1g est le groupe des racines n-ièmes de1.
1. Expliciter le groupeC4et en donner tous les sous-groupes.
2. Quels sont les sous-groupes du groupeC5.
3. Montrer queC8possède un sous-groupe H isomorphe àC4et décrire C4=H:
1
