MAT 301, 2017-2018 Université Grenoble Alpes
Contrôle continu n
o1
le 25 octobre 2017, durée : 2 heures
seul document autorisé : une feuille A4 manuscrite de résumé de cours instruments électroniques non autorisés
Exercice 1 (Questions de cours)
Soit E un espace vectoriel de dimension n sur un corps K. Soit B= (e1, ..., en) une base deE.
1. Soitf une formen-linéaire sur E, c’est-à-dire une application multilinéaire f :En →K. Si (x1, . . . , xn) est une famille de vecteurs de E dont on note xj = Pni=1xijei l’écriture dans B, donner le développement de f(x1, . . . , xn) en les coordonnéesxij.
2. Montrer à l’aide de 1. que les seules formes n-linéaires alternées sur E sont les multiples du déterminant.
Exercice 2
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et F, G deux sous-espaces vectoriels non nuls de E qui sont en somme directe, et tels que F +G 6=E. On note (u1, . . . , ul) une base de F, (v1, . . . , vm) une base de G.
On admet qu’il existe une famille de vecteurs (w1, . . . , ws) dans E telle que la famille (u1, . . . , ul, v1. . . , vm, w1, . . . , ws) soit une base de E.
1. On suppose qu’il existe un sous-espace H de E qui est supplémentaire dans E à la fois deF et de G. Montrer quel =m.
2. Réciproquement, on suppose que l = m. Montrer que le sous-espace H de E engendré par la famille (u1+v1, . . . , um+vm, w1, . . . , ws) est un supplémentaire dans E à la fois de F et deG.
Exercice 3
Soit σ la permutation (14)◦(23) deS4.
1. Calculer la puissance σ5 deσ. Quelle est la signature deσ?
Dans la suite on considère E un espace vectoriel de dimension 4 et B= (e1, e2, e3, e4) une base de E. On note u l’endomorphisme de E défini par u(ei) = eσ(i), pour 1 ≤ i ≤ 4. On note f = id−u.
2. Donner la matrice de u et la matrice de f dans la baseB.
3. Donner une base du noyau de f et une base de l’image de f.
4. Montrer que 1
2f est une projection de E sur Imf parallèlement à Kerf. Exercice 4
Soient a, b et cdans C et M =
1 1 1 1 1 1 a b 1 a 1 c 1 b c 1
.
1. Calculer det(M).
2. Déterminer le rang de M en fonction de a, b etc.
Exercice 5
Soit u l’endomorphisme de C3 donné par ∀(x, y, z)∈C3, u(x, y, z) = (y, z, x).
MAT 301, 2017-2018 Université Grenoble Alpes
1. Donner la matriceM deu dans la base canonique de C3. 2. On pose ω= exp
2iπ 3
. On admettra qu’on a ω3 = 1 et 1 +ω+ω2 = 0.
Calculer
1 1 1
1 ω ω2 1 ω2 ω
. Montrer que B= ((1,1,1),(1, ω, ω2),(1, ω2, ω)) est une base de C3. 3. Donner la matrice de u dans la base B. En déduire une matrice inversible P telle que
P−1M P =
1 0 0
0 ω 0
0 0 ω2
(on ne demande pas de calculer P−1).
4. Justifier queP−1M2P = (P−1M P)2 et calculer cette matrice.
5. Soient a, b et c dans C et N =
a b c c a b b c a
. Expliciter det(N). Montrer que N = aI3+ bM +cM2, où I3 est la matrice identité. En déduire l’expression de P−1N P, et montrer que det(N) s’annule si et seulement si le vecteur (a, b, c) ∈ C3 est dans la réunion de 3 sous-espaces vectoriels deC3 que l’on précisera.
