Université Grenoble I Mathématiques
Licence L361A Année 2011-2012
Lundi 2 avril 2012 14H15-15H15
Contrôle continu n
◦2
Durée : 1 H
Avertissement : La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note finale. Je rappelle qu’en Mathématique touteaffirmationdoit êtrejustifiée, soit en faisant appel au cours, soit par équivalence avec un énoncé plus simple, clairement vrai. Et tout cela avec une extrême rigueur !
Exercice 1. Soitλ∈Retfλ :R2→Rdéfini par fλ(x, y) =x3+y3−3λxy.
1. Montrer que(0,0)et(λ, λ) sont les seuls points critiques defλ. 2. Montrer que(0,0)n’est pas un extremum local de fλ.
3. Montrer que si λ >0 alors(λ, λ) est un minimum local de fλ.
Indication: on montrera que, pour(x, y) proche de (0,0), on afλ(λ+x, λ+y) >−λ3 par un calcul à l’ordre2en(x, y).
Exercice 2. Soitf(x, y) =xsin(xy)−(2x2+ 1)y.
1) Soit a, x ∈ R. Prouver que l’équation f(x, y) = a a une unique solution y que l’on notey=ϕ(x, a).
2) Prouver que ϕest de classeC∞ surR2.
3) Calculer la différentielle de ϕen (0, a) (aquelconque).
Exercice 3. Soitg:R3 →R2 défini parg(x, y, z) = (x2−ey, y2−xez).
1) Montrer que V = {(x, y, z) ∈ R3; g(x, y, z) = 0} est une sous-variété de R3 de dimension1et de classeC∞.
2) Donner les équations de l’espace tangent àV au point(x, y, z).
