Contrôle continu n

Université Lyon 1 Licence STS Portail Math-Info 1^ère année UE Analyse I : les réels et les fonctions Année 2013-2014

Contrôle continu n

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1. (5 p.) Enoncer la proposition sur les dérivées des fonctions composées de la forme g ◦f. On écrira les hypothèses sur f etg et la formule de (g◦f)⁰.

Réponse. 3 p. On suppose f :I →J, g :J →R dérivables, avec I,J intervalles.

2 p. Alorsg◦f :I →R est dérivable, et(g◦f)⁰(x) = g⁰(f(x))f⁰(x), ∀x∈I.

2. (5 p.) Utiliser la formule ci-dessus pour calculer la dérivée de x7→p

sin²x+ 1.

Réponse. 2 p. On applique la formule avec f : R →]0,∞[, f(x) = sin²x+ 1, g :]0,∞[→ R, g(x) = √

x.

3 p. On trouve (avec l’abus de notation « usuel ») psin²x+ 10

= (sin²x+ 1)⁰ 2p

sin²x+ 1

= 2 sinxcosx 2p

sin²x+ 1

= sinxcosx psin²x+ 1

.

3. (7 p.) Etudier la monotonie et la convexité/concavité de la fonction x7→lnx−x, x > 0. Que représente x= 1 pour cette fonction ?

Réponse. Soit f(x) = lnx−x,x >0.

1 p. On a f⁰(x) = 1

x−1 et2 p. f⁰⁰(x) =− 1 x². 1 p. Commef⁰⁰<0, f est (strictement) concave.

2 p. Le tableau de variation def est x

f⁰(x)

f(x)

0 1 ∞

+ 0 −

−∞

−1

−1

−∞

−∞

Justification du signe de f⁰(x) : f⁰ est strictement décroissante (car f⁰⁰ <0) et f⁰(x) = 0 ⇐⇒

x= 1. D’oùf⁰(x)>0 = f⁰(1) six <1, resp.f⁰(x)<0 si x >1.

Justification des limites en 0+ et∞ : on a

x→0+lim f(x) = lim

x→0+lnx=−∞, lim

x→∞f(x) = lim

x→∞(lnx−x) = −∞, la dernière limite s’obtenant par croisances comparées.

1 p. Le tableau de variation montre que x= 1 est un point de maximum (global) de f.

4. (3 p.) Montrer que la fonction x7→ |x|n’est pas dérivable en x= 0.

Réponse. 1 p. On a |x| =

(x, six≥0

−x, six <0, d’où 1 p. |x|⁰ =

(1, si x >0

−1, si x <0. 1 p. Comme

x→0+lim |x|⁰ = 16= lim

x→0−|x|⁰ =−1, |x| n’est pas dérivable (d’après un critère du cours).

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