Tranches et Tubes

Exposé introdutifnuméro

2 ^{1 / 2}

^{du Groupe deTravail Théoriede Lieetgéomé-}

triesympletique. Les notesdes autres exposés sont disponibles à l'adresseurl

suivante:http://math.univ-lyon1.fr/~ioha ra/gd t-L ie.ht ml

Tabledes matières

1. LethéorèmedelinéarisationdeBohner 1

2. Tranhes(ouslies) 2

3. Tubes 3

Référenes 4

1. Le théorèmedelinéarisation deBohner

Soit

M

^unevariétédiérentiablelisseetsoit

K

^ungroupetopologiqueompatagissant sur

M

^{par des}

C ^k

-diéomorphismes. Notons

Φ : K × M −→ M

^{l'ation; onérit souvent}

k · x := Φ(k, x)

^pour

k ∈ K

^et

x ∈ M

^.

Théorème 1.1 (Thm. delinéarisationdeBohner). Soit

x 0 ∈ M

^{unpointxe de l'ation}

(i.e.

k · x 0 = x 0

^quelquesoit

k ∈ K

^{).Alorsil existe}

unvoisinageouvert

K

^-invariant

U

^de

x 0

^dans

M

^;

unvoisinageouvert

V

^de

0

^dans

T x 0 M

^;

un diéomorphisme

K

-équivariant

χ : U → V

^{tel que}

T x 0 χ : T x 0 M → T x 0 M

^est

l'identité.

Notation 1.2. Posons,pourtout

k ∈ K

^,

Φ k : M → M ; x 7→ k · x

^.Quelquesoit

y ∈ T x 0 M

^on

note

k · y := (T x 0 Φ k )(y) ∈ T k·x 0 = T x 0 M

^{(autrementdit, onnote}

·

^{l'ation de}

K

^sur

T x 0 M

partransformationslinéaires).

DémonstrationduThéorème. Onommenepardémontrerlelemmesuivant,bienutile :

Lemme 1.3. Tout voisinage ouvert

U ^′

^de

x 0

^dans

M

^{ontient un voisinage ouvert}

K

^-

invariant

U

^de

x 0

^dans

M

^.

Démonstrationdulemme. Soit

U ^′

^{unvoisinageouvertde}

x 0

^dans

M

^.

Φ

^{étantuneappliation}

ontinueet

x 0

^{un point xede l'ation, quelque soit}

k ∈ K

^{il existe un voisinage ouvert}

W k

^de

k

^dans

K

^{et un voisinage ouvert}

U k

^de

x 0

^dans

M

^{tel que}

Φ(W k × U k ) ⊂ U ^′

^.

K

^{étant ompat il existe un} sous-ensemble ni

F ⊂ K

^{tel que}

k = ∪ k∈F W k

^{; et ainsi}

Φ(K× U ˜ ) ⊂ U ^′

^pour

U e := ∩ k∈F U k

^{(quiestouvertar}l'intersetionestnie).Paronséquent,

U := Φ(K× U e ) = ∪ k∈K (k· U e )

^{estunvoisinageouvert}

K

^-invariantde

x 0

^,ontenudans

U ^′

^.

Considéronsuneappliation

χ e

^delasse

C ^k

^{,d'un voisinageouvert}

U e

^de

x 0

^dans

M

^vers

T x 0 M

^{, telle que}

χ(x e 0 ) = 0

^and

T x 0 χ e = id

^{. D'aprèsle lemme préédent on peut supposer}

sanspertedegénéralitéque

U e

^est

K

-invariant.

On applique maintenant le proédé très utile de moyennisation à

χ e

^{pour le rendre}

équivariant.Plus préisément,ondénitpourtout

x ∈ U e χ(x) :=

Z

K

k ·

χ k e ⁻¹ · x

| {z }

=:χ k (x)

dk .

Remarque 1.4. Ii on intègre par rapport à la mesure de Haar. La mesure de Haar est

l'unique mesure de probabilité

µ

^(i.e.

µ(K) = 1

^{) dénie sur les Boréliens de}

K

^{qui est}

K

-invariante(i.e.pourtoutBorélien

B

^{et tout}

k ∈ K

^,

µ(k · B) = µ(B)

^).Exemples:

si

K

^{estungroupeni,alorslamesuredeHaarestsimplementlamesuredeomptage}

(normaliséepar

1

|K|

^);

si

K = S ¹ := R / Z

, alors lamesurede Haarest la mesurede longueur(i.e.la mesure induiteparlamesurestandardsur

R

).

Pardénition,quelsquesoient

k ∈ K

^et

x ∈ U e

^,

k· χ(k ⁻¹ ·x)

= χ(x)

^{.Autrementdit,}

χ

^est

K

-équivariant.Rappelonsque

χ k = T x 0 Φ k ◦ χ e ◦ Φ ⁻¹ _k

^;ainsi

T x 0 χ k = T x 0 Φ k ◦ T x 0 χ e ◦ T x 0 Φ ⁻¹ _k = id

^.Don

T x 0 χ = id

^(ar

χ = R

K χ k dk

^).

D'aprèsleThéorèmed'InversionLoaleon peut, quitteàrestreindre

U e

^{,supposer que}

χ

estundiéomorphisme. Onpeut égalementsupposer, quitteàrestreindredenouveau,que

l'ouvert est

K

-invariant.

Remarque 1.5. Considéronsunproduit salaire

(·, ·)

^{arbitrairesur}

T x 0 M

^.Alors

hu, vi :=

Z

K

(k · u, k · v)dk

dénitunproduitsalaire

K

^{-invariantsur}

T x 0 M

^{. Ainsi}

K ^′ := {T x 0 Φ k |k ∈ K}

^{est unsous-}

groupefermé(arompat)dugroupeorthogonaldel'espaevetorielEulidien

T x 0 M, h·, ·i

.

Si

B ⊂ V

^{estunebouleouverte,alors}

B

^est

K ^′

-invariante,don

K

-invariante,et

χ ⁻¹ (B)

^est

unouvert

K

^{-invariantontenant}

x 0

^{. Ainsi, dans leThéorème de}linéarisation deBohner, onpeutexigerque

V

^{soit unebouleouvertedans}

T x 0 M

^.

2. Tranhes (ou slies)

Soit

G

^{un groupe de Lie ompat agissant de manière}

C ^k

^{sur une variété lisse}

M

^{. On}

gardelesmêmesnotationsquedansleparagraphepréédent(ave

G

^{àlaplae de}

K

^).

Dénition2.1. Unetranhe

S

^en

x 0 ∈ M

^estune sous-variété

C ^k

^de

M

^ontenant

x 0

^et

telleque

(1) pour tout

x ∈ M

^,

T x M = α x (g) + T x S

^{, où}

α x = T e Φ(·, x) : g := T e G → T x M

^{, et}

T x 0 M = α x 0 (g) ⊕ T x 0 S

^;

(2)

S

^est

G x 0

^-invariant;

(3) si

x ∈ S

^et

g ∈ G

^{sonttels que}

g · x ∈ S

^,alors

g ∈ G x 0

^.

Lethéorème suivantdonne une onditionsusante pur l'existened'une tranheen un

pointdonné.

Théorème2.2(Thm.delatranhe). Sil'ationestpropreen

x 0

^{,alorsilexisteunetranhe}

en

x 0

^.

Onrappellequel'ation est ditepropreen

x 0

^{sipourtoutesuite}

(x n ) n≥1

^quionverge

vers

x 0

^dans

M

^ettoutesuite

(g n ) n≥1

^dans

G

^telleque

g n · x n → x 0

^{,ilexisteunesous-suite}

(g k(n) ) n≥1

^quionverge.

DémonstrationduThéorème. Commençons par remarquer que le stabilisateur

K := G x 0

de

x 0

^dans

G

^{est ompat (ar l'ation est propre).D'après le Théorème de} linéarisation de Bohner (voir ladisussion au paragraphepréédent), il existe un

C ^k

-diéomorphisme

χ : U → B ǫ K

-équivariant entre un voisinage ouvert

K

^-invariant

U

^de

x 0

^{et une boule}

ouverte

B ǫ

^entréeen

0

^dans

T x 0 M

^{, telque}

T x 0 χ = id

^et

χ(x 0 ) = 0

^.

Ensuite,quelsquesoient

k ∈ K

^et

g ∈ G

^,

(kgk ⁻¹ ) · x 0 = k · (g · x 0 )

^.Ainsiendiérentiant ettedernièreégalitép/rà

g

^,en

g = e

^{et dansladiretionde}

u ∈ g = T e G

^{,onobtientque}

α x 0 Ad k (u)

= k · α x 0 (u)

.

En partiulier

k · α x 0 (g)

⊂ α x 0 (g)

^{pour tout}

k ∈ K

^{. Ainsi, son omplément orthogonal}

α x 0 (g) ^⊥

^dans

T x 0 M

^{p/ràun produit salaire}

K

^{-invariant donnéest également stable par}

K

^{.Deettemanière}

S ǫ := χ ⁻¹

α x 0 (g) ^⊥ ∩ B ǫ

est

K

-invariant,et vériedon(2).

La seonde partie de (1) est également vériée : omme

T x 0 S ǫ = α ^⊥ _x 0

^{, on a bien que}

T x 0 M = α x 0 (g) ⊕ T x 0 S ǫ

^{.Deplus,l'ensemble}

{x ∈ S ǫ |T x M = α x (g) + T x S ǫ }

^{estouvertdans}

S ǫ

^{;detelle sorteque,quitteàhoisir}

ǫ > 0

^{susamentpetit, onpeutsupposerque(1)est}

vériée. Resteàdémontrer(3).

Notons

k := ker(α x 0 )

^{l'algèbredeLiedu}stabilisateur

K = G x 0

^de

x 0

^dans

G

^.

Lemme2.3. Soit

S

^unesous-variétéde

M

^ontenant

x 0

^ettelleque

T x 0 M = α x 0 (g)⊕T x 0 S

^,

etsoit

C

^unesous-variété de

G

^ontenant

e

^ettelleque

g = k ⊕ T e C

^{.Alorsil existe}

S 0

^{unvoisinage ouvertde}

x 0

^dans

S

^;

C 0

^{unvoisinage ouvertde}

e

^dans

C

^;

M 0

^{unvoisinage ouvertde}

x 0

^dans

M

^;

telsquel'ation

P hi

^{se restreinten un}diéomorphisme

C 0 × S 0 → M 0

^.

Démonstrationdulemme. Considéronsl'appliationtangente

T (e,x 0 )

Φ |C×S

: T e C × T x 0 S −→ T x 0 M ;

elleestdonnéepar

(u, v) 7−→ α x 0 (u) + v

^.

Cette appliation est injetive. En eet, si

α x 0 (u) + v = 0

^alors

α x 0 (u) = 0 = v

^(ar

T x 0 M = α x 0 (g) ⊕ T x 0 S

^{).Deplus,étantdonnéque}

u ∈ T e C

^etque

α x 0 (u) = 0

^,alors

u = 0

(ar

g = k ⊕ T e C

^).

Finalement,ladimensionde

T e C × T x 0 S

^{est égaleà}

dim T e C

+dim T x 0 S

=

dim(g)−dim(k) +

dim T x 0 M

−dim α x 0 (g)

= dim T x 0 M . T (e,x 0 )

Φ |C×S

estdonbijetiveetlelemme suitparlethéorèmed'inversionloale.

Supposons maintenantparl'absurdeque (3)n'estvériéepourauun

ǫ > 0

^.Alorspour

tout

n ≥ 1

^{, il existe}

x n ∈ S _{1 /n}

^et

g n ∈ G

^{tels que}

g n · x n ∈ S _{1 /n}

^et

g n ∈ / K

^{. En partiulier}

x n → x 0

^{, et alors par propreté on peut supposer (quitte à prendre une} sous-suite) que

(g n ) n≥1

^{onvergeversunélément}

g

^{(quiappartientà}

K

^{).Quitte àremplaer}

g n

^par

g n g ⁻¹

onpeutégalementsupposerque

g n → e

^(toujoursave

g n ∈ / K

^).

Considéronsmaintenantune sous-variété

C

^de

G

^ontenant

e

^{et telle que}

g = k ⊕ T e C

^.

D'aprèslethéorèmed'inversionloale, ilexiste

C 0

^,resp.

V

^et

W

^{,unvoisinageouvertde}

e

dans

C

^,resp.

K

^et

G

^,telsquelamultipliationdans

G

^{serestreigneenun}diéomorphisme

C 0 × V → W

^{. Pour}

n

^{assezgrandon peut ainsiérire}

g n = c n k n

^ave

c n ∈ C

^et

k n ∈ K

^.

Comme

g n ∈ / K

^{,enpartiulier}

c n 6= e

^.

Finalement, onad'une part

c n · x n ∈ S 1 /n

^{(parinvariane)et}

c n · (k n · x n ) = g n · x n ∈ S 1 /n

^(parhypothèse). Ainsi d'après le lemme préédent on a

c n = e

^pour

n

^{assez grand.}

CONTRADICTION.

Exemple 2.4. Prenons l'exemple de l'ation de

S ¹ := R / Z

par rotations sur

C = R ²

:

k · z := e ^2πik z

^{. Toutebouleouverteentréeen}

0

^{estunetranheen}

0

^{.Toutsegmentouvert}

d'un rayon est une tranhe en haun de ses points (en réalité, tout segment ouvert ne

ontenant pas l'origine et n'étant pas tangent à un erle entré en

0

^{est une tranhe en}

haundesespoints).

3. Tubes

Dénition3.1. Untubeautoursd'uneorbite

G · x 0

^{estunvoisinageouvert}

G

^-invariant

U

deetteorbitemuni d'undiéomorphisme

G × K A −→ U

^,où

A

^{estunevariétésurlaquelle}

K

^agit.

Théorème3.2(Thm.dutube). Sil'ationestpropreen

x 0

^{,alorsilexiste untubeautours}

de

G · x 0

^,ave

A

^unouvert

K

^-invariantde

T x 0 M/α x 0 (g)

^.

Démonstration. Onsaitqu'ilexisteunetranhe

S

^en

x 0

^.

Commençonsparmontrerquepourtout

g ∈ G

^ettout

x ∈ S

^,

T (g,x)

Φ |G×S

: T g G × T x S −→ T x M

est surjetive.D'une partnous savonsque 'est vraipour

g = e

^(ar

T x M = α x (g) + T x S

pour tout

x ∈ S

^{). D'autre part on en déduit que 'est vrai pour tout}

g

^en diérentiant l'égalité

Φ(gh, x) = g · Φ(h, x)

^en

(h, x) = (e, x)

^{,obtenantainsi}

T (g,x)

Φ |G×S

= T x Φ g

| {z }

biject.

◦ T (e,x)

Φ |G×S

.

Ainsi

U := G · S = Im Φ |G×S

estunvoisinageouvert

G

^-invariantde

G · x 0

^.

Ensuite,

Φ _|G×S : G × S → U

^{desendenunebijetion}diérentiable

ϕ : G × K S → U

^.

En eet, quels que soient

(g, x)

^et

(h, y)

^{deux ouples dans}

G × S

^telsque

g · x = h · y

^,

(h ⁻¹ g) · x = y

^etdon

k := h ⁻¹ g ∈ K

^(et réiproquement,(

(gk ⁻¹ ) · (k · x) = g · x

^).

Pourmontrerque

ϕ

^{est un}diéomorphisme, ilsut demontrerque

T [g,x] ϕ

^{est bijetive}

(ii

[g, x] ∈ G × K S

^{est la lasse d'un ouple}

(g, x) ∈ G × S

^{). D'une part, si on dénit}

π : G × S ։ G × K S ; (g, x) 7→ [g, x]

^,alors

T (g,x)

Φ |G×S

| {z }

surject.

= T [g,x] ϕ ◦ T (g,x) π ;

don

T [g,x] ϕ

^{estunesurjetion.D'autrepart,}

dim(G × K S)

^{est égaleà}

dim G/K

+ dim S

= dim α x 0 (g)

+ dim S

= dim M

;

don

T [g,x] ϕ

^estbijetive.

Pouronlure,onremarqueque

S

^{estdiéomorpheàunouvertde}

α x 0 (g) ^⊥ ∼ = T x 0 M/α x 0 (g)

^,

surlequell'ation de

K

^{est linéaire.}

Référenes

[1℄ J.J.DuistermatetJ.A.C.Kolk,Liegroups(Springer),hapître2.