UPMC 1M001 Analyse et alg` ebre pour les sciences 2013-2014
Feuille 8 : R
2, R
3, produit scalaire et produit vectoriel
Exercice 1. Montrer que le vecteur ~u = (−4,−3,2) de R3 peut s’exprimer comme combinaison lin´eaire des trois vecteurs−→e1= (1,1,0),−→e2 = (0,1,1)et−→e3= (1,0,1).
Exercice 2. Les vecteurs suivants deR2 ou deR3 sont-ils lin´eairement ind´ependants ? 1. ~u= (−1,2) et~v= (3,−5),
2. ~u= (2,−1) et~v= (−3/2,3/4), 3. ~u= (3,−1,1)et~v= (6,−2,−2),
4. ~u= (1,2,3),~v= (−1,1,1)et w~ = (0,1,−1), 5. ~u= (1,2,3),~v= (−1,1,1)et w~ = (0,3,4).
Exercice 3. Soit P un plan muni d’un rep`ere R(O,~i,~j). Les points et les vecteurs sont exprim´es par leur coordonn´ees dansR.
1. Donner un vecteur directeur et une repr´esentation cart´esienne des droites (AB)suivantes : (a) A= (2,3)etB = (−1,4), (b) A= (−7,−2)et B= (−2,−5).
2. Donner une repr´esentation cart´esienne des droites passant parA et dirig´ees par~usuivantes : (a) A= (0,1)et~u= (1,2), (b) A= (−1,1)et ~u= (1,0).
3. Donner un point et un vecteur directeur des droites suivantes : (a) D: 3x+ 5y=−1, (b) D:x−y+ 5 = 0.
Exercice 4. Dans l’espace muni du rep`ere (O,~i,~j, ~k), on consid`ere le pointA= (1,2,3). ´Ecrire l’´equation du plan :
1. passant par Aet orthogonal au vecteur~v= 4~i+ 5~j+ 6~k, 2. passant par Aet parall`ele au plan3x−2y+ 4z−5 = 0, 3. passant par A,B= (3,−2,1)etC= (5,0,−4).
Exercice 5. Soit P un plan muni d’un rep`ere R(O,~i,~j). Les points et les vecteurs sont exprim´es par leur coordonn´ees dans R. Les trois points A,B etC de P sont-ils align´es ? Si oui donner une ´equation cart´esienne de la droite qui les contient.
1. A= (−3,3),B = (5,2) etC= (2,1), 2. A= (1,1),B = (−2,2)et C= (2,1).
Exercice 6. Dans le plan, on consid`ere le pointA= (5,3)et la droiteD d’´equationx−y+ 1 = 0. D´eterminer : 1. l’´equation de la droite parall`ele `aD passant par A,
2. l’´equation de la droite perpendiculaire `aD passant parA.
Exercice 7. Dans l’espace muni du rep`ere(O,~i,~j, ~k), on donne les trois pointsA= (0,1,2),B = (−1,0,1)et C= (1,1,0). D´eterminer :
1. l’´equation param´etrique de la droiteD passant parAet dirig´ee par le vecteur−−→ BC, 2. l’intersection de la droiteD avec le plan d’´equationz= 0,
3. l’´equation cart´esienne de la droite D,
4. l’´equation du plan contenant la droitD et passant parO.
Exercice 8. 1. Montrer que deux droites parall`eles sont disjointes ou confondues.
2. Montrer que deux droites non parall`eles se coupent en un point unique.
Exercice 9. Soient~u= (2,−1)et~v= (1−2)deux vecteurs deR2. 1. Calculer~u·~v, k~uketk~vk.
2. D´eterminer les deux vecteurs othogonaux `a~uet de mˆeme norme que~u.
Exercice 10. Rappel : l’applicationx→ kxk=√
x·xd´efinit une norme surR2ou surR3(norme euclidienne).
1. Rappeler l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.
2. Montrer que pour deux vecteursxety deR2ou deR3, on akx+yk ≤ kxk+kyk(in´egalit´e triangulaire).
3. Montrer que pour deux vecteursxet y deR2 ou deR3 :
x·y= 1
2(kx+yk2− kxk2− kyk2) =1
4(kx+yk2− kx−yk2).
Exercice 11. Montrer que pour tous vecteursu,v etwdeR3, u∧(v∧w) = (u·w)v−(u·v)w.
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