Développements limités théoriques
Exercice 1. DL de(chx)1/x 1) Montrer que 1
xln(chx) admet en +∞un développement limité généralisé à tout ordre.
2) En déduire le développement limité de (chx)1/xen +∞à un ordrenquelconque.
Exercice 2. Théorème de division
Soitf :R→Rune fonction de classeCn. On poseg(x) =
f(x)−f(0)
x six6= 0 f0(0) six= 0.
1) On suppose quef(x) =o(xn).
a) Démontrer que : ∀ p≤n, f(p)(x) =o(xn−p), et : ∀ p < n, g(p)(x) =o(xn−p−1).
b) En déduire queg est de classeCn−1 en 0.
2) Démontrer le même résultat dans le cas général.
3) Soientf, g :R→Rdeux fonctions C∞ telles que f(0) =g(0) = 0 et g0(0)6= 0. Montrer que f /gse prolonge en une fonctionC∞au voisinage de 0.
Exercice 3. DL def−1
Soit P ∈R[X] de valuation 1. Démontrer que pour tout entier n∈N, il existe deux polynômes Qn et Rn uniques tels que :
X =Qn◦P+Rn
degQn ≤n <v(Rn).
Application : Soit f : R→Rbijective telle que f(x) =a1x+a2x2+. . .+anxn+o(xn), avec a1 6= 0.
Démontrer quef−1admet un développement limité en 0 à l’ordren, et donner les deux premiers termes.
Exercice 4. DL de(1−ex)n
Développer de deux manières (1−ex)n en 0 à l’ordren+ 2.
En déduirePn
k=0(−1)kCnkkppour p= 0,1, . . . , n+ 2.
Exercice 5. Approximation def00
Soitf :R→Rdeux fois dérivable. Chercher lim
h→0
f(x−h)−2f(x) +f(x+h)
h2 .
Exercice 6. Dérivation d’un DL d’ordre 2
Soitf :R→Rconvexe dérivable telle que f(a+h) =f(a) +hf0(a) +o(h2).
Démontrer quef est deux fois dérivable enaetf00(a) = 0 (comparerf0(a+h) aux taux d’accroissement def entreaeta+h, et entrea+het a+ 2h).
Étudier le cas oùf(a+h) =f(a) +hf0(a) +Lh2
2 +o(h2).
Exercice 7. f(x+y)f(x−y)≤f2(x)
Soitf :R→Rde classeC2telle que : ∀x, y ∈R, f(x+y)f(x−y)≤f2(x).
Montrer que : ∀t∈R, f(t)f00(t)≤f02(t).
dlth.tex – mercredi 6 juin 2018
solutions
Exercice 1.
2) e
1−ln 2 x + ln
22
2!x2−. . .+ (−1)nlnn2 n!xn
+o(x−n).
Exercice 3.
f−1(y) = y
a1 −a2y2
a31 +o(y2).
Exercice 4.
(1−ex)n=Pn
k=0(−1)kCnkekx=Pn+2 p=0
Pn
k=0(−1)kCnkkpxp
p! +o(xn+2), (1−ex)n= (−x)n
1 +nx
2 +n(3n+ 1)
24 x2+o(x2)
.
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