Perspective : points de vues et limites de la perspective 1) Les règles de la perspective selon Alberti

Perspective : points de vues et limites de la perspective 1) Les règles de la perspective selon Alberti

Introduction sur la perspective et ses règles de construction avec l'exemple ci-après donné dans le Traité de Stéréotomie comprenant les applications de la géométrie descriptive à la théorie des ombres, la perspective linéaire, la gnomonique, la coupe des pierres et la charpente, par C.-F.-A. Leroy, 1877, Paris, Gauthier-Villars. (ancien professeur à l'Ecole Polytechnique, successeur de Monge, Hachette puis Duhays de 1817 à 1848)

"Le problème qui aurait pour but de retrouver la forme et la position d'un objet original dont la perspective est donnée sur un tableau plan, serait une question toujours indéterminée, absolument parlant, quand même on connaîtrait la situation du point de vue pour lequel ce tableau a été construit."

En effet, les dimensions de l'objet ne peuvent être déterminées. On peut le diminuer ou l'agrandir et modifier la perspective sur le tableau de manière à ce que le dessin ne change pas. Ce n'est qu'en comparant avec des longueurs connues et situées dans un même plan de front que l'on pourrait juger de certaines dimensions.

Reprenons les règles de constructions de la perspective énoncées pour la première fois explicitement par Léon Battista Alberti (1404-1472) pour retrouver sur les exemples ci-après le point de fuite principal, points de distance et donc point de vue du tableau :

Le damier et le vocabulaire de base

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Exemple 1 : Etant donnée la perspective d'un pilastre carré (pilier parallélépipédique), trouver les éléments demandés, c'est-à-dire le points de fuite principal et les points de distance pour retrouver le point de vue.

Les droites supports des côtés sont parallèles et vont se rejoindre sur la ligne d'horizon, tout comme le regard, puisque perpendiculaire au plan frontal. On a trouvé le point de fuite principal. Le premier point de distance s'obtient à l'intersection d'une diagonale et de cette ligne d'horizon mais aussi entre deux diagonales parallèles.

Si la figure précédente avait un plan de construction dans le plan frontal, il n'en est pas toujours ainsi.

Exercice suivant pour retrouver les propriétés

puis exemple 2 pour retrouver le point de vue et enfin, les stagiaires pratiques sur l'exercice pour trouver

le point de vue.

Exercice :

Cet exercice provient d'un exercice de la spécialité du baccalauréat L 2007 où il est demandé de reproduire en annexe une figure en perspective centrale connaissant une représentation en perspective parallèle.

Le dessin ci-contre représente une maison en perspective parallèle.

ABCDEFGH est un pavé droit dont les faces ABCD et EFGH sont horizontales et constituent respectivement le sol et le plafond de la maison. L’arête [AE] est donc verticale.

Les deux faces ABCD et EFGH sont des carrés.

EFGHNL est un prisme droit ; la base EFN de ce prisme droit est un triangle isocèle en N dont la hauteur [NM] est telle que NM = AE.

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De même, en supposant que le pilastre ne soit pas vu de face.

Soit O le point de vue recherché.

(AG) // (FB) qui se rencontrent au point de fuite F.

(AB) // (GF) qui se rencontrent au point de fuite F'.

(OF) est parallèle aux premières et (OF') aux secondes droites. Comme ABFG est un carré (AG)  (AB) donc (OF)  (OF') donc O est sur le cercle de diamètre [FF'].

Comme (AF) est la bissectrice (diagonale du carré) de , cette droite coupe (FF') en F" . La bissectrice de lui sera parallèle donc passera par F" .

Soit I le point du cercle situé sur la perpendiculaire à (FF') passant par le centre du cercle et non situé du côté de O. L'angle au centre étant 90°, celui en O () sera de 45°, la bissectrice recherchée !

O est donc le point du cercle situé sur (IF" ). On trouvera ensuite le point de fuit principal et éventuellement les points de distance associés.

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Exemple 2

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Une anamorphose est une image que l'on a déformée, en manipulant ses proportions et ses angles.

On en distingue de deux sortes, suivant le procédé pour "rectifier" l'image.

1) Anamorphoses obliques (ou directes).

"On donne le nom de perspective curieuse à un dessin exécuté pour un point de vue tel que tous les rayons visuels forment avec le tableau des angles très aigus (beaucoup en dessous de 45°), ce qui suppose que le point principal est situé au- dehors du cadre; et voici la raison de cette dénomination. Lorsqu'on présentera un pareil tableau à un observateur, il ira tout naturellement se placer en face, et, dans cette position, il cherchera en vain un point de vue satisfaisant; …"

dans le Traité de Stéréotomie comprenant les applications de la géométrie descriptive à la théorie des ombres, la perspective linéaire, la gnomonique, la coupe des pierres et la charpente, par C.-F.-A. Leroy, 1877, Paris, Gauthier-Villars.

Et même s'il le trouve par tâtonnement, la mise en situation lui fera mal apprécier les distances. Il lui faudra un appareil (lunette, cloison percée d'un petit trou) pour isoler la vue des autres objets environnants pour enlever les comparaisons.

La plus connue : Les Ambassadeurs

Les premières images qualifiées, depuis le 17e siècle, du terme d'anamorphoses apparaissent au cours des

années 1530 dans le milieu artistique nurembourgeois (peintures et gravures) ; elles sont alors du seul

type de l’anamorphose plane et ce pendant un siècle. À partir de 1630, de nouveaux types sont imaginés

par des géomètres férus de perspective et d’optique, faisant intervenir des phénomènes de réflexion et de

réfraction ; les auteurs les plus marquants sur ces questions sont alors I. L. Sr de Vaulezard (Perspective

cylindrique et conique, 1630), J. F. Niceron (La perspective curieuse, 1638 ; Thaumaturgus opticus, 1646)

et J. Dubreuil (La perspective pratique, 1642-1649). Après une floraison importante au 17e siècle, le

genre perd de son intérêt aux 18e et 19e siècles avant de retrouver un regain de faveur au 20e siècle,

notamment auprès des surréalistes.

La plus célèbre des anamorphoses est située dans la partie inférieure du tableau de Hans Holbein que l'on nomme Les Ambassadeurs. La forme oblique bizarre et blanchâtre que l'on voit au sol, entre les deux personnages, apparaît comme un crâne soit quand on la regarde à partir d'un point de vue à droite, au ras du mur, soit quand on l'aperçoit à travers un verre cylindrique : c'est ce que pourrait voir un bon vivant qui lèverait sa flûte de champagne en l'honneur des personnages (comme le remarque Edgar R. Samuel dans son article Death in the glass, a view of Holbein's Ambassadors dans The Burlington Magazine, octobre 1963.

Ce tableau, peint en 1533, représente Jean de Dinteville (à gauche, envoyé par François Ier en mission auprès de Henry VIII) et Georges de Selve, Evêque de Lavaur. Il est une des premières vanités : lorsque ce sont des portraits, on y voit le personnage entouré d'objets qui rappellent ses intérêts ou ses joies (sciences, musique, poésie, …) pendant qu'un symbole de mort invite à une réflexion métaphysique sur la durée de vie et l'usage que l'homme en fait.

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La plus ancienne est de Léonard de Vinci

On connaît de Léonard de Vinci, cette anamorphose d’un visage d’enfant et d’un œil (1485, Codex Atlanticus).

À regarder depuis la droite du dessin, en regard frisant.

Inversement, les anamorphoses permettent de rendre plus facilement identifiable une image dans les cas

particuliers où elles ne sont pas tracées sur une surface plane (voûte d'une église)

Diverses propositions d'anamorphoses. Etude des modifications apportées par la distance et les surfaces courbes, par Grégoire Huret (1606-1670) dans Optique de portraicture et pinture en deux parties. La première est la perspective pratique accomplie pour représenter les somptueuses architectures des plus superbes bâtiments en perspective par deux manières (théorie et pratique). La deuxième partie contient la perspective spéculative (…), 1670.

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L'anamorphose est à l'image ce que le cryptage est à l'écrit : une façon de brouiller le message visuel.

Comme pour le texte codé, retrouver l'image cachée peut procurer un plaisir intellectuel intense auquel s'ajoute un plaisir esthétique.

Erhard Schön, Vexierbild : "Aus, du alter Tor" , 1635.

Sur cette gravure de Erhard Schön, élève de Dürer, le côté voyeur de l'effet de trou de serrure rehausse le piquant de la représentation cachée. Il fait habilement usage de l'ordre dans lequel sont regardées la partie apparente de l'image et la partie secrète. L'anamorphose est le dénouement de la scène du couple mal assorti. L'image déformée montre la suite de l'histoire que l'image normale laissait présager.

l'anamorphose "rectifiée" à l'aide d'un logiciel de traitement d'images.

Le vieillard détroussé n'a plus qu'à déguerpir…

L'anamorphose plane directe

On réalise l'image perspective d'un quadrillage. Il suffit ensuite d'utiliser le quadrillage pour repérer des points de l'image à anamorphoser, puis de les reporter sur le quadrillage image.

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Construction mécanique

Le dessinateur utilise une variante rigide du voile d’Alberti, appelée portillon de Dürer ( ou fenêtre de Dürer ). Il dessine sur du papier dont le quadrillage correspond à celui du portillon. Un bâton à vis indique la hauteur de ses yeux, qui doit rester fixe.

On retrouve chez Jean-François Nicéron (Thaumaturgus Opticus, Rome, 1646, pl. 24) cette construction géométrique d'une anamorphose qui doit être "rectifiée" quand on la regarde depuis la mire RP et à partir de P.

Jean-François Nicéron, dispositif de la construction de l'anamorphose de la Trinité des Monts à Rome

(1642).

Il ne reste de lui qu'une gravure mais son confrère (frère minimes) Emmanuel Maignan a peint une énorme fresque anamorphotique dans le couvent de Sainte Trinité des Monts à Rome.

Ce procédé nécessite l'emploi d'un appareillage lourd et permanent sur le lieu de construction. Il demande la collaboration permanente de deux personnes au moins. D'autre part, les risques d'erreurs sont importants à cause des approximations inévitables (repérage d'un point, visée, tension du fil)

Aujourd'hui, avec une impression sur du verre ou une feuille transparente et une visée laser ou par un point lumineux rendrait ce dispositif plus fiable.

Un autre inconvénient de cette construction. Chez Nicéron et Maignan, le panneau fictif, dans sa position de repérage d'un point, est dans un plan perpendiculaire au plan du mur. Cette position interdit que le point de vue se projette orthogonalement au centre de ce panneau ; ainsi l'observateur futur de l'anamorphose ne pourrat-il pas obtenir l'illusion de voir un carré en position frontale. Pour créer cette sensation, il est nécessaire de positionner le panneau fictif à l'oblique par rapport au mur.

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Construction géométrique et avec l'aide de logiciels de géométrie dynamique

Il s'agit ici la méthode de construction, décrite par Didier Bessot, de l’anamorphose plane entièrement graphique.

La figure ci-dessus donne l’illustration de cette méthode. Le quadrillage ci-dessous représente le panneau fictif quadrillé.

Ce panneau et sa grille sont projetés à partir d’un point O situé à l’altitude de la médiane (AB) du carré.

La partie inférieure de la figure montrer le dispositif de projection dans le plan horizontal passant par le point de vue O. Le premier problème à résoudre est celui du positionnement du panneau fictif par rapport au mur. Le côté [IJ] de ce panneau touchant le mur, il faut déterminer l’angle que panneau et mur doivent faire entre eux afin que le rayon principal de vision (OH) soit perpendiculaire au panneau.

Dans la construction d’une anamorphose plane, réalisée à partir d’une image normale, la dimension qui s’impose le plus souvent est la longueur disponible sur le mur ou plus généralement sur le support de la réalisation ; sur la partie inférieure, il s’agit de la longueur [AB’]. En pratique, la connaissance de cette longueur est plus importante que celle de la largeur de l’image originelle, AB.

On considère comme donnée la longueur de l’anamorphose et la position du point de vue. Dans le plan

horizontal passant par O, on place donc O, A et B’. On trace les segments [OA], [OB’], qui sont les rayons

extrêmes de la pyramide visuelle dans ce plan. Il convient alors de mesurer, même grossièrement l’angle ,

afin de s’assurer qu’il est dans les limites du champ visuel. On construit ensuite la bissectrice de l’angle

qui constitue le rayon visuel principal ; enfin la perpendiculaire à cette bissectrice passant par A coupe

AB’ en B, le segment [AB] étant la médiane horizontale du panneau fictif. Puis on subdivise [AB] en

autant de segments que la grille construite sur le panneau fictif en comporte, obtenant ainsi, dans le cas de

la figure représentant le quadrillage, les points C et D. En traçant (OC) et (OD), on obtient les projections C’ et D’ de ces points sur le plan de l’anamorphose. Les points successifs A’, C’, H’, D’ et B’ permettent le positionnement des verticales du réseau anamorphosé, images des verticales de la grille d’origine. On peut alors commencer le tracé du réseau anamorphosé que montre la partie inférieure de la figure, construite sur le plan de projection, le mur.

On trace d’abord l’horizontale (AB’) qui contient aussi le point S, projeté orthogonal de O sur ce plan.

Puis en partant de la partie supérieure, on trace les verticales passant par A, C’, H’, D’ et B’. La subdivision de sens horizontal de l’anamorphose est obtenue. Il reste à construire la subdivision dans le sens vertical. On projette pour cela le point O, dans le plan horizontal qui le contient sur le mur, parallèlement au plan du panneau fictif, ou, ce qui revient au même, parallèlement à (AB). Le point F obtenu est rappelé sur la figure représentant le quadrillage. En ce point F, concourent les obliques images des horizontales de la grille d’origine. Pour les déterminer, on place sur la verticale passant par A, les points I, J, R et N qui divisent le côté du panneau fictif en contact avec le mur (en utilisant le rapport d’agrandissement réduction si nécessaire). Les droites (FI), (FR), (FN) et (FJ), coupant les verticales précédemment tracées, complètent le réseau anamorphosé, image de la grille initiale. (Il convient cependant de justifier que toutes les obliques du réseau concourent en F, et non, par exemple, en S).

La figure suivante présente la construction classique de l’image perspective d’un quadrillage situé dans un plan horizontal, FP étant le point de fuite principal, D le point de distance.

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La figure suivante montre que l’image du même quadrillage, vu du même point, mais le plan du quadrillage étant relevé autour de la ligne (MN) d’un angle ; F est le nouveau point de fuite, D

le nouveau point de distance, tous deux associés au nouveau plan du quadrillage. D’autre part, FD

est égal à FD (cf annexe pour une démonstration).

La dernière phase consiste à répéter la même construction en utilisant une distance courte, comme cela est

fait dans la figure ci-dessous.

Annexe, démonstration du résultat évoqué ci-dessus :

Sur l'image ci-dessous, FP est le point de fuite principal de l'image sur un plan horizontal d'un quadrillage situé sur un plan vertical. On y trouve également l’image du même quadrillage, vu du même point, mais le plan du quadrillage étant relevé autour de la ligne (MN) d’un angle ; F est le nouveau point de fuite, D

le nouveau point de distance, tous deux associés au nouveau plan du quadrillage.

On a FD

égal à FD.

Le plan vertical contenant le quadrillage est le plan P et celui formant un angle  avec P est le plan Q. Le point à partir duquel on effectue les images perspective sur les deux plans de ce quadrillage est le point O.

Les éléments sont ceux de la figure ci-après.

Le triangle OF'FP est un triangle rectangle en FP dont les côté adjacents au point O sont de longueurs d et d'. Comme les triangles F'FPD

et F'OFP sont isométriques (deux longueurs égales OFP = FPD

et F'FP commune autour d'un même angle - droit), l'angle en D

dans le triangle F'FPD

est aussi égal à  et la longueur F'D

= d' = OF'.

De plus, par la règle des points de distance, OF' = F'D

' = F'D

. Ces dernières égalités permettent d'obtenir le résultat énoncé.

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L'anamorphose étudiée analytiquement

Un plan (P) est muni d'un repère orthonormal direct (A;,). Le plan (Q) est sécant à (P) sur la droite (A;).

On construit sur (Q) le repère orthonormal direct (A;,). L'espace est ainsi muni d'un repère (A;,,).

O est un point de l'espace ne se trouvant ni sur (P), ni sur (Q) et S sa projection sur le plan (Q) parallèlement au plan (P). Ainsi (SO) // (A;).

H I

O J

S A

i

j k^

P

Q

. M' M

M1

Soit M une point du plan (P) et M

sa projection orthogonale sur la droite (A;). M', lorsque ce point existe, est le point de (Q) situé sur (OM).

On cherche à déterminer les coordonnées de M', lorsque ce point existe, en fonction des coordonnées de M.

1) ABC est un triangle quelconque, B'(AB) et C'(AC) tels que (B'C')//(BC).

Déterminer en fonction de B'C' et BC.

2) On pose M(x,y,z) et M'(X,Y,Z) dans le repère (A;,,).

a) Quels sont les points M de l'espace qui ne permettent pas de construire un point M' ? Que peut-on dire sur z et Y ?

b) Déterminer les coordonnées de M

en fonction de celles de M.

En utilisant la colinéarité des vecteurs et et le a), exprimer X, Y et Z en fonction de x, y et z.

c) Présenter alors la perspective anamorphose comme la présentation d'une application p du plan dans le plan sous sa forme analytique, c'est-à-dire par les coordonnées du point image en fonction des coordonnées du point initial.

Quels sont les points M qui n'ont pas d'image par cette application ? Retrouver l'un des résultats du 2) a).

d) Déterminer l'application réciproque de p en exprimant les coordonnées x, y et z de M en fonction de celles de M' : X, Y et Z.

3) On considère désormais pour la suite de ce devoir AS = 10 et OS = 6.

a) Présenter dans ce cas l'application p et sa réciproque comme dans les 2) b) et 2) c).

b) Donner la forme d'une équation de droite dans le plan.

Déterminer l'image par p d'une droite. Est-ce une droite ?

c) Construire dans un repère orthonormé les initiales de votre prénom et de votre nom en choisissant des points à coordonnées entières reliés par des segments. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, construire son image perspective par p.

NON, pas cette partie !

4) Un premier exemple ; il s'agit de déterminer l'image par p d'un quadrillage de (P) tel que celui

représenté ci-dessous.

Pour cela :

• Donner les équations des droites représentées ci- contre (vous choisirez un repère approprié).

• Déterminer les images de ces droites par p.

• La transformation p conserve-t-elle le parallélisme ?

• Montrer sur les droites du quadrillage que els images de droiets parallèles sont, soit des droites parallèles, soit des droites concourrantes.

• Utiliser les intersections précédentes pour donner une équation de la ligne de fuite.

5) Un autre exemple : Soit la figure en forme de "L" construite à partir des deux segments [AB] et [AC]

tels que A(1,1), B(2,1) et C(1,3).

Utiliser un logiciel de géométrie dynamique (type Geoplan, Geogebra, Cabri, …) pour construire l'image de cette figure par p.

Retrouver le résultat obtenu graphiquement par la détermination des points images.

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Correction du devoir 1)

Déterminons, sur la configuration ci-contre où (BC) // (B'C'), le quotient : = = 1 - = 1 - = = 1 - =

On a donc =

2) a) Il vient naturellement Y = z = 0.

Pour que l'intersection existe, il ne faut pas que (OM) soit parallèle au plan (P) donc que y soit égal à OS.

b) A un point M(x;y;0) de l'espace, on associe un point M'(X;0;Z) de l'espace tel que les points O, M et M' soient alignés. La colinéarité des vecteurs et et l'égalité donnée par le rapport ci-dessus, permet d'écrire :

= k avec k =

Les coordonnées vérifient donc soit

c) A un point M(x;y) d'un plan P, on associe un point M'(X;Z) du plan P tel que X = et Z = . Soit p cette application du plan. Les points vérifiant y = OS n'admettent pas d'image. On retrouve ici la droite parallèle à l'axe des abscisses dans le plan (P) vérifiant y = OS.

3) a) Dans le plan P muni du repère (A,,), considérons la droite (d) d'équation ax + by + c = 0 et un point M(x,y) de cette droite.

Le point M' image de M par p a pour coordonnées X = et Z = dans le plan P et pour des valeurs de y distinctes de SO.

On a réciproquement : y(AS + Z) = SO.Z d'où y = et

SO.x = X(SO - y) = X = X = SO puis

x =

c) Un exemple :

Déterminons l'image de la figure formant un "L" constituée par deux segments [AB] et [AC] tels que A(1;1), B(2;1) et C(1;3).

Les images respectives ont pour coordonnées A'; B' et C' 3) a) Dans le cas où AS = 10 et OS = 6, on trouve

et

b) Un droite a pour équation dans le plan x = c ou y = ax + b sous les formes réduites ou bien ax + by + c

= 0 sous forme cartésienne dans le plan (P).

Les images sont donc de la forme, en remplaçant x et ypar les expressions du 3) a) : Pour les premières équations : (Z  -10)

= c ou = a + b soit encore

cZ + 10c = 10X ou 6Z = a10X + 10b + 10Z A

B

B'

C

C'

qui sont encore des équations de droites Pour la forme cartésienne : a + b + c = 0 devient

10aX + 6bZ + 10c + 10Z = 0 qui est une équation de droite.

4) Pour les droites d'équations x = k (sur le quadrillage : x = -2, x = -1, x = 0, x = 1 et x = 2) Les droites images ont pour équations = k soit ...

Pour les droites d'équations y = k (sur le quadrillage : y = 0, y = 1, y = 2, y = 3 et y = 4) Les droites images ont pour équations = k soit ...

Pour les droites d'équations y = x + k (sur le quadrillage : y = x - 1, y = x, y = x + 1 et y = x + 2) Les droites images ont pour équations = + k soit ...

Les images des droites d'équations y = k, dans (A,,), sont des droites d'équations Z = c

donc parallèles entre-elles.

Les images des droites d'équations x = k sont des droites qui passent par le point de coordonnées (0;-6).

Les images des droites d'équations y = x + k sont des droites qui passent par le point de coordonnées (-10;-6).

Et la ligne de fuite a pour équation y = -6.

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Nous avons vu l'intérêt de la construction point par point pour permettre de représenter une anamorphose et ainsi permettre une vision "reconstituée" pour un point de vue bien précis (sur une voûte, dans un couloir, …)

ou quand l'observateur n'est pas amené à regarder l'image de face (dessin de vélo signalant une piste cyclable, publicité sur un terrain de rugby).

A TROUVER POUR LE RUGBY

Il ne s'agit pas véritablement d'une perspective centrale mais d'une projection sur le sol étirée dans une direction (x' = x et y' = avec  représentant l'angle entre le sol et le plan sur lequel est tracée la figure en vraie grandeur ou vraie proportion.

Article dans l'encyclopédie Wikipédia : Julian Beever est un artiste britannique vivant en Belgique. Il est surtout connu pour ses trompe-l'oeil au pastel réalisés sur des trottoirs en France, Angleterre, Écosse, Belgique, Pays-Bas, États-Unis, Canada et Australie. Ces œuvres, lorsqu'on les regarde sous un angle précis, donnent l'illusion d'être en trois dimensions et de sortir du sol. Elles sont peintes au moyen d'une technique de projection appelée anamorphisme et paraissent défier les lois de la perspective

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2) Anamorphoses Catoptriques (par réflexion dans un miroir)

L'image devient identifiable quand on regarde son reflet dans un miroir.

En Chine, à la fin du XVI

Conique, Cylindrique, Sphérique, …

Objet publicitaire Anamorphose d’après « La descente de croix » de Rubens,

de Domenico Piola (1627 – 1703), Musée des Beaux Arts de Rouen

TA PARTIE AVEC LA TRANSITION AVEC TON LOGICIEL la page précédente peut être évitée

Entrée par les transformations du plan - symétrie par rapport au cercle

- grille d'anamorphose - devoir maison

Ouverture sur la dernière partie suivant le placement de l'œil

Le champ visuel

Aux XV

et XVI

siècles, les traités de perspectives vont se multiplier. Comme dans la peinture, ces ouvrages concernant la mise en perspectif de l'espace présentent un système de repérage comme le carrelage au sol ou au plafond. Trois directions se trouvent favorisées : frontale, perpendiculaire au tableau ou à 45°.

Rares sont les tentatives de mise en perspective "oblique", c'est-à-dire pour lesquelles l'objet à représenter n'a pas pour directions principales les trois directions plus haut. Jean Pèlerin dit le Viator (1435-1524) est un des seuls à en présenter dans son traité De Artificiali Perspectiva en 1505.

Viator Explique :

"La diversité des regards des choses objets est toujours à considérer : mêmement des édifices. Car on les voit de front ou par l'angle, c'est-à-dire par devant ou par le coin."

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D'autre part, les théoriciens de la perspective en perçoivent très vite les limites, limites qui conduiront les

peintres à renoncer à son application stricte dans leurs œuvres. Dans son tableau Les Noces de Cana en

1562, Véronèse utilise plusieurs points de fuite centraux, associés chacun à une partie du tableau ; une

construction bâtie à partir d'un seul point de fuite principal aurait produit des distances importantes dans

les parties latérales en raison des grandes distances.

La contradiction entre la construction perspective et l'impression visuelle est mise en évidence, à propos des déformations latérales, par Piero della Francesca et étudiée ensuite par Léonard de Vinci. Si l'on considère une colonnade placée frontalement, les largeurs des images perspectives des colonnes augmentent en fonction de leur éloignement par rapport au point de vue alors que l'angle sous lequel elles sont vues diminue.

A B C D E F

  

AB < CD < EF et  >  > .

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Piero della Francesca fut le premier a avoir rédigé un traité spécifiquement consacré à la perspective avec De prospectiva Pingendi rédigé entre 1460 et 1480. Dans la suite des propositions formulées dans ce traité, on y trouve celle-ci (proposition XXX du premier livre) :

… pour détruire l'erreur de certains, qui ne sont pas très experts dans cette science, et qui disent que, maintes fois, lorsqu'ils partagent leur plan dégradé en brasses, il arrive qu'un segment d'une brasse raccourci soit plus grand qu'un autre qui n'est pas encore dégradé ; cela vient du fait qu'ils n'ont pas compris la distance qu'il faut mettre en l'œil et le support où l'on place les choses, ni de quelle ouverture peut être l'angle des rayons visuels ; si bien qu'ils doutent que la perspective soit une véritable science, jugeant de manière fausse par ignorance.

C'est pourquoi il faut faire une démonstration de la distance convenable et de l'amplitude de l'angle visuel dans l'œil, afin que s'annihilent leurs doutes.

Piero della Francesca relève plus loin dans son traité la contradiction entre l'évaluation métrique et l'évaluation angulaire, déjà présente mais contraire à la proposition 5 de L'Optique d'Euclide :

Des grandeurs égales inégalement distantes paraissent inégales, et celle qui est située plus près de l'œil apparaît toujours plus grande.

Pour éviter cet inconvénient, Léonard de Vinci recommande de faire la construction perspective en utilisant une distance tableau-point de vue assez grande, de l'ordre de deux à trois fois la plus grande dimension du tableau. En effet, l'utilisation d'une courte distance nécessiterait, pour obtenir une restitution correcte de l'espace à partir d'un tel tableau, que l'œil du spectateur soit placé très précisément à la place qu'occupait celui du peintre lors de la réalisation ; ceci ne pourrait être obtenu qu'en plaçant devant le tableau un œilleton de visée.

Le texte du folio 62 r du Codex Arundel de Léonard de Vinci accompagné de la figure suivante présente

b a

d c e

f

h g

le jeu dialectique entre perspective naturelle (liée à la position de l'œil de l'observateur) et perspective accidentelle (celle de la représentation figurée sur un support) dans les termes suivants :

De la perspective naturelle combinée avec la perspective accidentelle.

Cette démonstration sépare la perspective naturelle de l'accidentelle; mais avant

d'aller, plus loin, on définira ce qu'est la [perspective] naturelle et ce qu'est

l'accidentelle. La perspective naturelle dit ceci: parmi les choses d'égale

grandeur, la plus éloignée paraît plus petite, et réciproquement la plus proche

paraît plus grande ; et la diminution est proportionnelle à la distance. Mais la

perspective accidentelle donne une inégale grandeur aux choses peintes à différentes distances, réservant pour le voisinage de l'œil celle qui est plus petite que les autres, et situant la plus grande à une distance telle qu'elle paraîtra plus petite que toutes les autres, et ceci à cause du mur où est figurée la chose montrée, et dont toutes les parties dans sa longueur sont inégalement distantes de l'œil; et cette diminution du mur est naturelle mais la perspective figurée sur lui est accidentelle, car elle ne s'accorde nulle part avec la diminution réelle dudit mur; d'où il résulte que, si l'œil qui regarde cette perspective se déplace un peu, chaque chose figurée apparaît monstrueuse, ce qui ne se produit pas dans la perspective naturelle définie plus haut, etc. Donc nous dirons que le quadrilatère abcd dessiné ci-dessus est un carré en raccourci vu d'un œil situé au milieu de sa largeur et de front. Mais la perspective accidentelle se trouve combinée avec la naturelle dans le quadrilatère dit elmain à savoir efgh, lequel apparaît à l'œil comme vu semblable à abcd, l'œil restant fixé en son premier lieu sous cd, et ainsi ce qui est montré fait un bon effet, parce que la perspective naturelle du mur fait que ce mur cachera le défaut d'une telle monstruosité.

Inversement, "pour faire une escriture contre une muraille haute dont les lettres paroistront de pareille grandeur, les hautes comme les basses", Salomon de Caus (1567-1626) dans son ouvrage La perspective avec la raison des ombres et des miroirs en 1612 présente ce dessin.

TROUVER DES PHOTOS DE LA CATHEDRALE AVEC STATUE A L'INTERIEUR AVEC UNE GROSSE TETE ET PLACEE EN EXTERIEUR AVEC UNE VUE "RECONSTITUEE"

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Travail possible

Au début du XVIIe siècle, un genre nouveau prend un essor considérable dans la peinture hollandaise, celui de l'architecture.

Né à Haarlem, Saenredam représente des bâtiments réels et reconnaissables situés dans sa ville natale ou qu'il a repérés au cours de ses voyages.

Dans ce tableau de Pieter Saenredam du XVII

siècle, continuer la figure vers la gauche sachant que la colonne de gauche est représentée dans sa moitié.

Sources et bibliographie

Les cahiers de la perspective, points de vue, n°1, 2, 6, 7, IREM de Basse Normandie

Points de distance et champ visuel

(HH' ) est la ligne d'horizon pour le spectateur sur le tableau. Dans le plan horizontal formé par l'œil du spectateur et cette ligne d'horizon, l'angle optique est d'environ 37°, c'est l'angle maximal qu'un individu peut isoler sans difficulté.

1) a) En considérant que le spectateur porte son regard perpendiculairement au tableau, au centre de celui- ci, déterminer à quelle distance il doit se placer vous visualiser l'ensemble du sujet décrit par le tableau (ou la vue derrière le cadre du tableau).

b) Sachant que dans le plan vertical, l'angle optique pour un être humain est d'environ 28°, établir, de même, la distance à laquelle le spectateur doit se placer devant le tableau.

2) On suppose dans la suite que l'on se place à environ 1,5l où l est la largeur du tableau.

On note P le point défini par l'observateur, S le point de fuite principal et D

et D

les deux points de distance.

Montrer que si on respecte la règle des points de distance énoncée par Alberti, le triangle D

PD

est rectangle en P et isocèle et les points D

et D

ne sont pas utilisable sur la tableau car en dehors de celui- ci.

3) Comment remédier à cette situation de façon à ce que le peintre d'un tableau puisse néanmoins utiliser des points de distance ?

Il s'agit de construire l'image perspective de la figure formée par une suite de rectangles dont le premier côté [M

N

] prend la largeur du tableau et les rectangles sont placés les uns derrière les autres.

a) Construire la vue sur le tableau de 2 de ces rectangles M

N

N

M

et M

N

N

M

en utilisant les points de distance, sachant que l'utilisateur est placé de façon à ce que son angle optique sur le tableau soit de 37°.

b) On construit le point L

sur [MN] tel que L

N

= M

N

.

Construire l'image perspective de L

N

N

L

, rectangle formé sur [M

N

] et [M

N

].

Tracer (L

N

). Cette droite coupe (D

D

). Que remarquez vous ? Le démontrer.

En déduire comment le peintre peut construire l'image perspective de M

N

N

M

sans utiliser les points de distance. Reprendre totalement la construction demandée dans le 3) a) sans utiliser les points de distance.

4) Donner l'algorithme de construction, sans utiliser les points de distance : - d'un rectangle

- de n rectangles comme sur la figure décrite ci-dessus.

Correction du devoir

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1) a) Pour voir l'ensemble d'un sujet, plein cadre, les yeux fixes, le spectateur doit se tenir à environ 1,5 fois la largeur du modèle. En effet, sur l'image ci-dessous, = 37° et supposons que le spectateur se place de façon à ce que la triangle APB soit isocèle en P.

Alors l'angle = = 18,5°. Si on note l = AB la largeur de la scène et d = PS la distance du spectateur au sujet, tan(18,5) = d'où d =  1,5l

A S B

P

b) De même, dans le plan vertical dont l'angle optique pour un humain est environ 28°, pour voir l'ensemble du sujet de hauteur h, plein cadre, le spectateur doit se placer à environ 2h.

2) Par la règle des points de distance, SD

= SD

= SP donc le triangle D

PD

admet le point S comme centre du cercle circonscrit. [D

D

] est un diamètre de ce cercle et le triangle est rectangle en P.

SD

= SP = 1,5l > SA = AB = et les points de distance sont en dehors du tableau.

A S B

P

D

D

37°

3) a)

A S B

P

D 1 D ₂

37°

M

M

M

N

N

N

b) En reprenant les données de la figure ci-dessus, tan(18,5) = et tan(45) = , le quotient de ces deux égalités permet d'obtenir : =  .

Ainsi, si on réduit la figure au 1/3 de la longueur de celle-ci, le point de distance sera placé au bord du tableau et donc utilisable sur celui-ci.

En effet, puisque l'on peut appliquer le théorème de Thales dans les triangles L

N

N

et SBN

mais aussi dans les deux triangles M

N

N

et SD

N

, on a les deux égalités :

= et = on a donc nécessairement = or nous avons vu que SB  SD

donc il doit en être de même entre les longueurs L

N

et M

N

.

36

A S B

P

D 1 D ₂

37°

M

M

M

L

L

L

N

N

N

Comment utiliser les points de distances "réduits" A et B ?

Il faut tout d'abord construire L

tel que L

N

= M

N

. On obtient N

à l'intersection de (L

B) (point de distance pour L

) et (SN

) (point de fuite principal pour N

).

Le point N

permet ensuite de construire le point M

.

On recommence la même démarche avec le point L

tel que L

N

= M

N

pour construire M

et N

.

De même, on montre que pour un tableau en hauteur, pour voir en plein cadre un objet ou une scène verticale d'un angle visuel de 28°, on réduit la distance verticale de l'image perspective sur le tableau au . 4) Tracer [MN] sur le tableau tel que ce segment soit parallèle à la longueur du tableau, non situé sur la ligne des points de fuite, de longueur celle du tableau. On note [AB] la partie de la ligne de fuite située sur le tableau, de milieu S.

Prendre L sur [MN] tel que LN = MN.

N est l'intersection entre (SN) et (LB).

M est le point situé sur (SM) et sur la parallèle à (MN)

Pour n rectangles

Tracer [M

N

] sur le tableau tel que ce segment soit parallèle à la longueur du tableau, non situé sur la ligne des points de fuite, de longueur celle du tableau. On note [ AB] la partie de la ligne de fuite située sur le tableau, de milieu S.

Pour k variant entre 1 et n faire

Prendre L

sur [M

N

] tel que L

N

= M

N

. N

est l'intersection entre (SN

) et (L

B).

M

est le point situé sur (SM

) et sur la parallèle à (M

N

)

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