Champs affines.

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Submitted on 11 Jan 2013

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Bertrand Toen

To cite this version:

Bertrand Toen. Champs aﬀines.. Selecta Mathematica (New Series), Springer Verlag, 2006, 12 (1),

pp.39-134. �10.1007/s00029-006-0019-z�. �hal-00772982�

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Bertrand To¨

en

Abstract. The purpose of this work is to introduce a notion of affine stacks, which is a homotopy version of the notion of affine schemes, and to give several applications in the context of algebraic topology and algebraic geometry.

As a first application we show how affine stacks can be used in order to give a new point of view (and new proofs) on rational and p-adic homotopy theory. This gives a first solution to A. Grothendieck’s schematization problem described in [18].

We also use affine stacks in order to introduce a notion of schematic homotopy types. We show that schematic homotopy types give a second so-lution to the schematization problem, which also allows us to go beyound rational and p-adic homotopy theory for spaces with arbitrary fundamental groups. The notion of schematic homotopy types is also used in order to con-struct various homotopy types of algebraic varieties corresponding to various cohomology theories (Betti, de Rham, l-adic, . . . ), extending the well known constructions of the various fundamental groups.

Finally, as algebraic stacks are obtained by gluing affine schemes we define geometric stacks as a certain gluing of affine stacks. Example of ∞-geometric stacks in the context of algebraic topology (moduli spaces of dga structures up to quasi-isomorphisms) and Hodge theory (non-abelian periods) are given.

Mathematics Subject Classification (2000). 14F25.

Keywords. Stacks, schematic homotopy type, rational and p-adic homotopy theory.

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Table des mati`eres

0. Introduction 3

1. Rappels sur les champs 15

1.1. Rappel des d´efinitions 15

1.2. Limites homotopiques et d´ecomposition de Postnikov 18 1.3. Cohomologie des pr´efaisceaux simpliciaux 23

1.4. H∞-Champs 28

1.5. Sch´emas en groupes affines 31

2. Champs affines 35

2.1. Rappel sur les alg`ebres co-simpliciales 36

2.2. Champs affines 41

2.3. Affination des types d’homotopie 48

2.4. Champs affines sur un corps 51

2.5. Comparaison avec l’homotopie rationnelle et p-adique 61

2.6. Critique des champs affines 65

3. ∞-Gerbes affines et types d’homotopie sch´ematiques 65

3.1. D´efinitions 66

3.2. Exemples d’∞-gerbes affines et de types d’homotopie sch´ematiques 70 3.3. Sch´ematisation des types d’homotopie 74

3.4. Exemples et contre-exemples 79

3.5. Types d’homotopie des variétés algébriques 82 3.5.1. Type d’homotopie schématiques et théorie de Hodge 82 3.5.2. Type d’homotopie (iso-)cristallin 85

3.5.3. Type d’homotopie l-adique 87

4. Champs ∞-g´eom´etriques 89

4.1. D´efinition 89

4.2. Application 92

4.2.1. Le champ des structures multiplicatives 92

4.2.2. P´eriodes non-ab´eliennes 96

Appendix A. Le probl`eme de la sch´ematisation 100

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0. Introduction

Le but principal de ce travail est de pr´esenter une notion de champ1 _affine,

généralisation de nature homotopique de la notion de schéma affine, et d’en donner plusieurs applications que nous allons commencer par résumer.

• Dans un premier temps on montrera comment la notion de champs affines peut-être utilisée afin de réinterpréter géométriquement, et d’éclairer, les théories de l’homotopie rationnelle et p-adique (par exemple au sens de [41, 3, 4, 56, 34, 16, 37]). Ceci passe par l’existence d’un foncteur d’affination, associant à tout type d’homotopie un champ affine vérifiant une propriété universelle. Nous proposerons cette construction comme une première solu-tion au problème de la schématisation de A. Grothendieck de [18] (voir aussi l’appendice A).

• Les champs affines seront utilisés pour définir une notion de type d’homotopie schématique que nous proposons comme modèles pour construire des types d’homotopie de variétés algébriques. Nous démontrerons l’existence d’un fonc-teur de schématisation, associant à un type d’homotopie (au sens usuel) un type d’homotopie schématique vérifiant une propriété universelle. Cette con-struction donne une seconde solution au problème de la schématisation, et permet de plus d’aller au-delà des théories de l’homotopie rationnelle et p-adique pour des espaces à groupes fondamentaux arbitraires.

• On construit, pour les théories cohomologiques usuelles de la géométrie alg´ e-brique (Betti, de Rham, Hodge, l-adique et cristalline) des théories homo-topiques associées dont les valeurs sont des types d’homotopie schématiques. On espère que ces théories d’homotopie capturent des informations arithm´ e-tiques et/ou géométriques intéressantes. Dans le cas des variétés complexes projectives et de la théorie de Betti, on explique comment le type d’homotopie associé possède une décomposition de Hodge généralisant les structures de Hodge sur la coholomogie, le groupe fondamental et sur le type d’homotopie rationnel. De même, dans le cas de la cohomologie cristalline le type d’ho-motopie associé possède une structure de F -isocristal (due a M. Olsson, voir [40]), et pour le cas de la cohomologie l-adique une action continue du groupe de Galois du corps de base. On propose aussi une construction d’une variante non-abélienne des applications d’Abel Jacobi.

• Tout comme un schéma (ou plus généralement un champ algébrique) est obtenu par recollement de schémas affines, on peut recoller des champs affines pour obtenir une notion de champs ∞-géométriques. Cette notion, qui est une généralisation de la notion de champs algébriques, permet de résoudre de nouveaux problèmes de modules qui ne peuvent être raisonnablement résolus à l’aide de la notion usuelle de champs algébriques. On construit par exemple le champ ∞-géométrique qui classifie les structures d’algèbre

1_{Dans ce texte l’expression champ signiefira toujours champ en ∞-groupoides. Un mod`}_{ele pour}

la th´eorie des champs (que nous utiliserons) est celui des pr´efaisceaux simpliciaux de A. Joyal et R. Jardine (voir [30, 28]).

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différentielle graduée à quasi-isomorphismes près. On construit aussi le champ ∞-géométrique classifiant les filtrations sur une algèbre différentielle graduée commutative, que l’on utilise pour définir une application des périodes non-abéliennes qui contrôle la variation de la filtration de Hodge sur le type d’homotopie rationnel d’une famille de variétés complexes lisses et projec-tives.

Certains des points précédents seront traités en détails, mais d’autres feront l’objet d’articles à parts entières et ne seront que survolés dans ce travail.

Décrivons à présent le contenu mathématique de cet article.

Champs

Un modèle adéquat pour une théorie des champs en ∞-groupoides est la théorie des préfaisceaux simpliciaux (voir [30, 28, 29, 2, 13]). Ainsi, le mot champ signifiera pour nous un objet de la catégorie homotopique des préfaisceaux simpli-ciaux. Pour un anneau k, nous considérerons la catégorie des schémas affines sur Spec k, munie de la topologie fidèlement plate et quasi-compacte. La catégorie ho-motopique des préfaisceaux simpliciaux sur ce site sera notre catégorie des champs sur Spec k.

D’après les travaux fondamentaux [30, 28] la théorie homotopique des champs admet une structure de modèles. Une conséquence importante, et non triviale, de l’existence de cette structure de modèles est l’existence de constructions standards tel que les limites et colimites homotopiques. De fa¸con plus précise la catégorie de modèles des préfaisceaux simpliciaux est un topos de modèles, au sens de [60]. Ceci implique en particulier des propriétés d’exactitudes additionelles de la théorie des champs, comme par exemple l’existence de Hom internes. Il est bon de garder à l’esprit que la théorie des champs fonctionne de fa¸con tout à fait similaire à celle des faisceaux. Une présentation de quelques constructions et propriétés standards de la théorie des champs fait l’objet du chapitre §1.

Champs affines

La notion de champs affines sur un anneau k est une version dérivée de la notion de schémas affines, et généralise celle-ci dans un cadre homotopique. Pour définir cette notion nous utiliserons une structure de catégorie de modèles sur la catégorie des k-algèbres co-simpliciales. Pour A une telle algèbre co-simpliciale, nous considérerons le schéma affine simplicial Spec A, ainsi que le préfaisceau sim-plicial sur le site des k-schémas affines qu’il représente. Nous définissons ainsi un foncteur

Spec : (k − Alg∆)op−→ SP r(k),

de la catégorie des k-algèbres co-simpliciales, vers la catégorie des préfaisceaux simpliciaux sur le site des k-schémas affines pour la topologie fidèlement plate et

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quasi-compacte. Notre premi`ere observation, qui est au centre du pr´esent travail est la proposition suivante.

Proposition 0.0.1. (Voir Prop. 2.2.2 et Cor. 2.2.3) Le foncteur Spec est un foncteur de Quillen à droite. De plus, le foncteur dérivé

RSpec : Ho(k − Alg∆)op−→ Ho(SP r(k)) est pleinement fid`ele.

Avant d’aller plus loin dans la d´efinition des champs affines il me semble important de faire deux remarques.

• Lorsque la catégorie des schémas affines sur k est munie de la topologie triv-iale, la proposition précédente est plus ou moins une trivialité. En contre partie, lorsque l’on travaille avec la topologie fidèlement plate, la preuve du fait que Spec est un foncteur de Quillen à droite utilise un résultat récent de D. Dugger, S. Hollander et D. Isaksen qui caractérise les préfaisceaux sim-pliciaux fibrants (voir [13]). Il est important de noter ici que l’utilisation de la topologie fidèlement plate est cruciale pour les résultats qui vont suivre, qui sont de toute évidence faux pour la topologie triviale. Par exemple, une des propriétés fondamentales de cette topologie que nous utiliserons est le fait que la sous-catégorie pleine de la catégorie des faisceaux en groupes, formée des faisceaux représentables par des schémas en groupes affines, est stable par conoyaux et limites projectives (du moins lorsque k est un corps). Cette propriété sera très importante pour les théorèmes fondamentaux 0.0.2 et 0.0.4.

• La proposition 0.0.1 implique donc que la théorie homotopique des k-algèbres co-simpliciales se plongent dans celle des champs sur Spec k pour la topologie fid`_{element plate. Le foncteur RSpec permet ainsi de géométriser les objets} algébriques que sont les k-algèbres co-simpliciales. De plus, lorsque k est de caractéristique nulle, les théories homotopiques des k-algèbres co-simpliciales et des k-algèbres différentielles graduées commutatives et en degrés positifs sont équivalentes (voir [21]). Ainsi, nous obtenons aussi un plongement de la catégorie homtopique des k-algèbres différentielles graduées commutatives (et en degrés positifs) dans la catégorie des champs sur Spec k.

Nous définissons la catégorie des champs affines sur k commme la sous-cat´_{egorie pleine des champs sur Spec k image essentielle du foncteur RSpec. Ainsi,} en caractéristique nulle, la catégorie des champs affines sur k est anti-équivalente `

a la catégorie homotopique des k-algèbres différentielles graduées commutatives et en degrés positifs. Il se trouve que la catégorie des champs affines ainsi définie possède plusieurs descriptions équivalentes. Nous commencerons par montrer que les champs affines sont les objets locaux pour la théorie cohomologique représentée par Ga, et de taille raisonnable (voir Thm. 2.2.9). On diposera ainsi d’une

in-terprétation de nature cohomologique de la notion de champs affines. Nous mon-trerons aussi que la catégorie des champs affines est aussi la plus petite sous-catégorie pleine de la catégorie des champs sur Spec k contenant les champs de la

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forme K(Ga, n) et qui est stable par limites homotopiques (voir la remarque qui

suit le théorème 2.2.9). Ceci montre en particulier que la notion de champs affines est intrinsèque à la théorie des champs sur Spec k. Enfin, lorsque k est un corps, la notion de champs affines se simplifie quelque peu, et nous donnerons alors la caractérisation suivante des champs affines, pointés et connexes.

Théorème 0.0.2. (Voir Thm. 2.4.1 et Thm. 2.4.5) Les champs affines, pointés et connexes sur un corps k sont exactement les préfaisceaux simpliciaux pointés et connexes F , tels que pour tout i > 0 le faisceau πi(F, ∗) soit représentable par un

sch´ema en groupes affine et unipotent.

En corollaire de ce théorème on obtient qu’il existe un équivalence entre la théorie homotopique des k-algèbres co-simpliciales (ou encore k-algèbres diff´ eren-tielles graduées si k est de caractéristique nulle) augmentées et connexes et celle des champs pointés vérifiant les conditions du théorème 0.0.2. Cette inteprétation géométrique des k-algèbres co-simpliciales est à ma connaissance un résultat nou-veau, tout particulièrement dans le cas où k est de caractéristique positive. C’est aussi un théorème non-trivial car il permet par exemple de retrouver (et ce de fa¸con purement formelle) les théorèmes fondamentaux de l’homotopie rationnelle et p-adique (voir Thm. 2.5.1 et Cor. 2.5.3).

Affination des types d’homotopie

Les champs affines forment une catégorie de champs qui donne une solution problème de la schématisation de A. Grothendieck tel que je l’ai personnellement compris (voir l’appendice A). Dans ce cadre il s’interprétera de la fa¸con suivante. Si k est un anneau, on peut considérer le foncteur dérivé des sections globales RΓ, de la catégorie des champs affines sur k vers la catégorie homotopique des ensembles simpliciaux. Notre premier résultat d’existence est le suivant, et est une conséquence immédiate de la proposition 0.0.1.

Corollaire 0.0.3. (voir Cor. 2.3.3) Le foncteur RΓ restreint aux champs affines poss`ede un adjoint `a gauche X 7→ (X ⊗ k)uni_{. De plus, si k}X _{est la k-alg`}_ebre

co-simpliciale de cohomologie de X `a valeurs dans k on a (X ⊗ k)uni' RSpec (kX_).

Le champ affine (X ⊗ k)uni _{est appel´}_{e une affination de X sur k.}

Il est important de remarquer que le fait que les champs K(Ga, n) soient

des champs affines implique qu’il existe une propri´et´e de conservation de la co-homologie H∗(X, k) ' H∗((X ⊗ k)uni

, Ga) (qui est une des propriétés chères à

A. Grothendieck dans [18]). Ainsi, comme les champs affines sont des objets lo-caux pour la th´eorie cohomologique repr´esent´_{es par G}a, le morphisme d’adjonction

X −→ (X ⊗ k)uni peut aussi s’interpréter comme un morphisme de localisation (dans le sens que A.K. Bousfield a donné à ce terme dans [3]).

En utilisant le théorème 0.0.2, il est possible de décrire le champ (X ⊗ k)uni, du moins lorsque X est nilpotent de type fini et k est un corps. Dans ce cas, nous

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montrerons que (X ⊗Q)uni_{est un mod`}_{ele pour le type d’homotopie rationnel de X,}

et (X ⊗ Fp)uniun mod`ele pour son type d’homotopie p-adique (voir Thm. 2.5.1 et

Cor. 2.5.3). Ces résultats sont des conséquences formelle de la propriété universelle satisfaite par (X ⊗ k)uni _{et du th´}_eor`_{eme 0.0.2. La notion de champ affine permet}

ainsi de construire des modèles géométrico-algébriques aux types d’homotopie. Enfin, signalons que lorsque X est un ensemble simplicial fini, le foncteur X 7→ (X ⊗ k)uni_{est compatible aux changements d’anneaux. De ce fait, le champ}

affine (X ⊗ Z)uni_{permet d’unifier les types d’homotopie rationnel et p-adique de}

X. Nous donnerons une description conjecturale de ce champ lorsque X est 1-connexe et de type fini au paragraphe §2.3 (voir Conj. 2.3.6).

∞-Gerbes affines et types d’homotopie sch´ematiques

De par leur définition, les types d’homotopie représentés par des champs affines ont une forte tendence à être nilpotents. Ceci est un fait très bien connu en théorie de l’homotopie rationnelle ou p-adique, où les groupes fondamentaux que l’on obtient à partir des modèles algébriques sont les complétions de Mal’cev (rel-ativement au corps de base) des groupes fondamentaux usuels. De même, pour un espace X qui est non-nilpotent, le champ (X ⊗k)uni_{ne verra pas la partie r´}_eductive

du type d’homotopie de X (e.g. le sch´ema en groupes π1((X ⊗ k)uni, x) est un

schéma en groupes affine pro-unipotent). On est donc naturellement amenés à in-troduire une notion plus générale que celle de champs affines qui soit moins restric-tive au niveau des groupes fondamentaux. C’est pour cette notion plus générale que nous réserverons l’expression types d’homotopie schématiques.

Tout d’abord nous introduirons une notion d’∞-gerbe affine qui généralise la notion de gerbe affine utilisée dans le formalisme Tannakien (voir [43, 10]), et de fa¸con à ce que les ∞-gerbes affines soient aux gerbes affines ce que les champs affines sont aux schémas affines. En clair, nous définirons une ∞-gerbe affine (pointée) sur un corps k comme étant un champ pointé et connexe F sur Spec k, dont le champ des lacets Ω∗F est un champ affine sur k (voir Def. 3.1.2). Les types

d’homotopie schématiques pointés sur k seront alors les ∞-gerbes affines pointées possédant une certaine propriété de localité cohomologique (voir Def. 3.1.2). Nous conjecturons cependant que cette propriété est toujours satisfaite, et que toute ∞-gerbe affine pointée est donc un type d’homotopie schématique (voir 3.2.10). Quoiqu’il en soit, la catégorie des types d’homotopie schématiques pointés ainsi définie est une sous-catégorie pleine de la catégorie homotopique des préfaisceaux simpliciaux pointés sur le site des schémas affines sur le corps k. Les ∞-gerbes affines et les types d’homotopie schématiques sur un anneau de base plus général ne seront pas définis dans ce travail.

Le premier résultat que nous démontrerons est le critère de reconnaissance suivant, qui permet de donner de nombreux exemples intéressants de types d’ho-motopie schématiques pointés.

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Théorème 0.0.4. (Voir Thm. 3.2.4 et Thm. 3.2.9) Les types d’homotopie sch´ ema-tiques sont exactement les préfaisceaux simpliciaux pointés et connexes tels que pour tout i > 0, le faisceau πi(F, ∗) soit représentable par un schéma en groupes

affine, qui est de plus unipotent pour i > 1.

De plus, si F est une ∞-gerbe affine pointée, alors pour tout i > 1 le faisceau πi(F, ∗) est représentable par un schéma en groupes affine et unipotent. Le faisceau

π1(F, ∗) est un sous-faisceau d’un faisceau repr´esentable par un sch´ema en groupes

affine.

Le théorème précédent répond presque à la conjecture 3.2.10. Pour donner une preuve complète à cette conjecture il resterait à montrer que pour toute ∞-gerbe affine pointée F , le faisceau π1(F, ∗) soit représentable par un schéma affine.

On peut en réalité montrer que le faisceau π1(F, ∗) possède un espace de modules

grossier affineπ^1(F, ∗), et que le morphisme naturel π1(F, ∗) −→π^1(F, ∗) est un

monomorphisme.

Les types d’homotopie schématiques forment une catégorie de champs don-nant une solution du problème de la schématisation (au sens de l’appendice A). De fa¸con plus précise, pour un corps k, on peut considérer le foncteur dérivé des sec-tions globales RΓ, de la catégorie des types d’homotopie schématiques pointés sur k vers la catégorie homotopique des ensembles simpliciaux pointés. Notre second théorème d’existence est le suivant.

Théor`_{eme 0.0.5. (voir Thm. 3.3.4) Le foncteur RΓ restreint à la catégorie des types} d’homotopie schématiques pointés possède un adjoint à gauche X 7→ (X ⊗ k)sch_.

Le champ (X ⊗ k)sch _{sera appel´}_{e une sch´}_{ematisation de X sur k.}

On déduit immédiatement de la propriété universelle des schématisations que le schéma en groupes affine π1((X ⊗k)sch, x) est le complété affine du groupe discret

π1(X, x). Il s’agit donc du groupe fondamental alg´ebrique de l’espace X (d´ecrit

par exemple dans [9] et [43, VI §1]). On entrevoit ici la diff´erence fondamentale entre les foncteurs d’affination et de sch´ematisation. Il existe en effet toujours un morphisme naturel (X ⊗ k)sch −→ (X ⊗ k)uni_{, qui au niveau des groupes}

fondamentaux induit la projection de π1((X ⊗ k)sch, x) sur son quotient unipotent

maximal. Ce morphisme au niveau des champs peut aussi ˆetre raisonnablement pens´e comme un quotient unipotent maximal.

Tout comme pour le cas des affinations, le morphisme d’adjonction X −→ (X ⊗ k)sch _poss`_{ede une certaine propri´}_et´_{e de pr´}_{eservation de la cohomologie.}

Plus pr´ecis`ement, le groupe π1(X, x) et le faisceau en groupes π1((X ⊗ k)sch, x)

possèdent les mêmes représentations linéaires. De plus, pour V une telle repr´ e-sentation linéaire on a H∗(X, V ) ' H∗((X ⊗ k)sch_{, V ⊗ G}a). Ces deux conditions

peuvent aussi se combiner en une notion de P -´equivalence (voir Def. 3.1.1), ce qui permet d’affirmer que le morphisme X −→ (X ⊗ k)schest aussi un morphisme de localisation au sens de A.K. Bousfield.

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Enfin, tout comme pour le cas du foncteur d’affination, le foncteur X 7→ (X ⊗ k)sch _{permet de modeler une certaine partie de la th´}_{eorie de l’homotopie}

(une partie que l’on pourra appeler schématique). Cependant, même pour des types d’homotopie de type fini X, il n’est pas raisonnable de penser pouvoir décrire explicitement le champ (X ⊗ k)sch. Ainsi, ce que modéle exactement les types d’homotopie schématiques reste un peu mystérieux. Quoiqu’il en soit, des exemples simples montrent que le champ (X ⊗ k)sch est généralement beaucoup plus gros que le champ (X ⊗ k)uni _{(voir § 3.4). Enfin, lorsque X est simplement}

connexe on a (X ⊗ k)sch _{' (X ⊗ k)}uni_{. L’objet (X ⊗ k)}sch _{nous semble donc}

un substitut bien adapté à la théorie de l’homotopie rationnelle et p-adique pour les types d’homotopie non-simplement connexes. A titre d’exemple d’application, la construction X 7→ (X ⊗ C)sch _{sera utilis´}_{ee dans un travail ult´}_{erieur pour}

´

etudier les types d’homotopie des variétés complexes lisses et projectives à groupes fondamentaux arbitraires. L’étude par la théorie de Hodge de ce nouvel invari-ant d’homotopie permettra alors d’obtenir de nouvelles restrictions sur les types d’homotopie des variétés projectives, qui semblent hors d’atteinte par une approche utilisant la théorie de l’homotopie rationnelle (voir [31] ainsi que §3.5.1).

Signalons aussi que les algèbres co-simpliciales sont des modèles algébriques pour les champs affines. De même, il existe une notion de H∞-algèbres de Hopf

qui permet de donner des modèles algébriques des types d’homotopie schématiques (voir Def. 3.1.4). L’étude de ces modèles algébriques ne sera pas le but de ce travail, mais nous espérons pouvoir revenir sur le sujet par la suite (voir [32]). A titre indicatif, on peut résumer le double apport de cet article par le diagramme symbolique suivant.

{Champs affines} // {Types d’homotopie sch´ematiques}

{Alg`ebres co-simpliciales} //

OO

{H∞− alg`ebres de Hopf}

OO

Dans ce diagramme, les flèches verticales sont les procédés de géométrisation in-duit par le foncteur RSpec (i.e. le passage de l’algèbre à la géométrie), et les fléches horizontales symbolisent le passage aux objets en groupes.

Types d’homotopie des variétés algébriques

La théorie générale des types d’homotopie schématiques et du foncteur de schématisation possède plusieurs applications dans le cadre de la géométrie alg´ e-brique. Une première application est l’étude des types d’homotopie des variétés algébriques complexes (voir §3.5.1). En effet, pour une variété complexe lisse et projective X et x ∈ X(C), on peut considérer son espace topologique sous-jacent des points complexes (muni de la topologie analytique) Xtop, ainsi que sa schématisation (Xtop⊗ C)sch_{. Dans le travail [31] on construit une d´}_ecomposition

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Hodge connues sur la cohomologie, les groupes d’homotopie et le groupe fonda-mental. L’existence de cette structure additionelle sur le champ (Xtop_{⊗ C)}sch

possède d’intéressantes conséquences sur le type d’homotopie de la variété X et impose de sérieuses restrictions. On peut ainsi construire des nouveaux exemples de types d’homotopie qui ne sont pas réalisables par des variétés projectives, et dont l’obstruction se trouve dans des invariants d’homotopie supérieurs (précisemment l’action du groupe fondamental sur les groupes d’homotopie).

De fa¸con plus générale pour une variété algébrique X sur un corps de base k on peut utiliser la notion de types d’homotopie schématiques afin de construire des types d’homotopie associés aux théories cohomologiques usuelles (Betti, de Rham, l-adique, crystalline, . . . , voir §3.5.2, 3.5.3). Toutes ces constructions montrent que la notion de type d’homotopie schématique est adéquate pour l’étude homotopique des variétés algébriques, tout comme il était déjà bien connu que le bon cadre pour une théorie des groupes fondamentaux de variétés algébriques est en réalité celui des schémas en groupes affines et non celui des groupes discrets (voir par exemple [9, 43]). Cependant, ces constructions ne seront pas décrites en détail et nous nous contenterons de donner les propriétés fondamentales (et parfois caractéristiques) de ces types d’homotopie.

Champs ∞-g´eom´etriques

Une autre application de la théorie des champs affines est la notion de champ ∞-géométrique (voir §4). Par définition un champ algébrique (par exemple au sens d’Artin) est obtenu en recollant des schémas affines à l’aide de l’action d’un groupoide lisse. En rempla¸cant formellement la notion de schéma affine par celle plus générale de champ affine on donne une définition de champ ∞-géométrique. Il se trouve que les types d’homotopie schématiques fournissent les premiers ex-emples de champs ∞-géométriques. Un deuxième exemple fondamental est le champ des structures multiplicatives sur un complex parfait V , généralisant le champ des structures d’algèbres sur un espace vectoriel donné au cas des algèbres différentielles graduées (voir §4.2.1). On peut aussi donner des exemples plus so-phistiqués de champs ∞-géométriques, comme le champ des filtrations sur une algèbre différentielle graduée commutative, qui pourra être utilisé pour constru-ire un domaine des périodes non-abéliennes ainsi qu’une application de périodes correspondantes qui controlera la variation de la filtration de Hodge sur le type d’homotopie rationnel d’une famille de variétés lisses et projectives (voir §4.2.2).

Relations avec d’autres travaux

La notion de champs affine me semble nouvelle. Il en existe cependant des avatars ou versions voisines dans les articles [53, §6] et [20]. En caractéristique nulle et pour le cas des types d’homotopie 1-connexes et de type fini le théorème 0.0.2 apparait dans [53, §6].

Il y a aussi les quelques six cents pages de [18], dont il est extr`emement difficile de faire une comparaison avec le point de vue adopt´e ici. Par exemple, la

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notion de champs affines me semble assez proche de celle de complexes of unipotent bundles discutés dans [18, p. 446]. Cependant, l’objet que A. Grothendieck appelle schématisation d’un espace X semble plus proche de notre affination (X ⊗ k)uni que de notre schématisation (X ⊗ k)sch. A vrai dire la question de l’existence du champ (X ⊗ k)sch, bien que fortement inspirée des considérations sur la théorie de l’homotopie que l’on trouve dans les lettres de A. Grothendieck à L. Breen, ne semble pas avoir été considérée dans [18]. Cependant, la motivation principale de ce travail est née d’un désir de comprendre certains passages de [18], et de ce fait ce manuscrit a eu une influence déterminante sur les définitions et les énoncés qui apparaissent dans cet article. Ce travail s’insère donc naturellement dans le vaste programme proposé par C. Simpson et intitulé la poursuite de la poursuite des champs (ou encore comme l’a suggéré D. Husemöller lors d’une conversation sur le sujet la 2-poursuite des champs).

Il existe aussi d’autres approches au problème de la schématisation des types d’homotopie tel qu’il est abordé dans [18]. La première, qui est exposée dans [6], donne une construction de la sphère schématique stable en caractéristique posi-tive. Il n’est pas tout à fait clair que cette construction soit comparable à celle de cet article, même si cette sphère schématique stable ressemble de très près à ce que l’on pourrait appeler dans notre langage un spectre affine (version stable des champs affines). Une seconde approche a été introduite dans [51]. Ici aussi la comparaison avec notre construction n’est pas immédiate, bien que la théorie des champs présentables et très présentables soit intimement liée à celle des types d’homotopie schématiques (voir Thm. 3.2.4). Enfin, dans [58] nous avons construit un foncteur de schématisation à l’aide d’une notion de catégorie simpliciale Tan-nakienne, qui est conjecturé être isomorphe à celui défini dans ce travail (voir aussi [59]). Signalons au passage que les constructions et résultats du présent travail ont ´

etés pour la plupart devinés à l’aide de ce formalisme Tannakien.

Comme nous l’avons fait remarquer le foncteur de schématisation que nous construisons peut être considéré comme un substitut des théories de l’homotopie rationnelle et p-adique pour des espaces non-nilpotents. Il existe aussi une autre approche qui consiste à utiliser une version équivariante de l’homotopie rationnelle et p-adique, et à appliquer celle-ci aux revêtements universels (voir [7, 17]). Il me semble un problème intéressant de savoir comment ces deux points de vue sont reliés.

Enfin, la notion de champs ∞-géométriques présenté dans le paragraphe §4 a été inspirée par [53]. Elle est aussi tout à fait analogue a la notion de D-champs géométriques de [62] (voir aussi [61]). Pour tout dire la théorie des champs affines de cet article a fortement inspiré le développement de la géométrie algébrique ho-motopique de [60, 61].

Remerciements

Je voudrais tout d’abord remercier C. Simpson, qui par l’interm´ediaire d’ar-ticles, de discussions et de correspondances a beaucoup influenc´e ce travail. Je

(13)

remercie aussi particulièrement H. Baues, qui m’a suggéré d’utiliser une version dérivée du foncteur de complétion affine des groupes discrets afin de construire le foncteur de schématisation. Le lecteur remarquera que ceci est une étape fonda-mentale dans la preuve du théorème 3.3.4.

Pour de nombreuses discussions, remarques et correspondances sur le sujet je remercie aussi les personnes suivantes: L. Breen, A. Hirschowitz, L. Katzarkov, M. Olsson, T. Pantev, J. Sauloy, M. Spitzweck, D. Stanley, J. Tapia et G. Vezzosi. La majeure partie de ce travail a été effectuée à l’institut Max Planck de Bonn durant l’année 1999 − 2000, que je tiens à remercier pour son hospitalité et ses conditions de travail exceptionnelles.

(14)

Notations et conventions: Pour un univers U nous appellerons U-ensemble (resp. U-ensemble simplicial, resp. U-groupe, resp. . . . ) un ensemble (resp. un en-semble simplicial, resp. un groupe, resp. . . . ) qui est un él´_{ement de U. La catégorie} des U-ensembles (resp. U-ensembles simpliciaux, resp. U-groupes, resp . . . ) sera alors not´_{ee U − Ens (resp. U − SEns, resp. U − Gp, resp. . . . ). Nous ferons une} ex-ception avec l’expression U-catégorie, que nous réservons à la notion usuelle (voir [48, IDef.1.2]), désignant une catégorie C telle que étant donné deux objets X et Y , l’ensemble des morphismes de X vers Y dans C soit un U-ensemble. Pour désigner une catégorie appartenant `_{a U nous parlerons de catégorie U-petite.}

Nous parlerons de U-limites et U-colimites (resp. V-limites et V-colimites) pour désigner des limites et colimites dont les catégories d’indices appartiennent à U (resp. à V). De même, nous parlerons de U-limites et U-colimites homotopiques (resp. V-limites et V-colimites homotopiques) à valeurs dans une catégorie de modèles (voir [22, §20]).

Pour la suite nous fixerons U un univers contenant l’ensenbles des nombres naturels, et V un univers avec U ∈ V. Comme il en est l’usage, nous noterons ∆ la catégorie simpliciale standard. C’est la cat´_{egorie U-petite dont les objets} sont les nombres naturels [n], et dont les morphismes de [m] vers [n] sont les applications croissantes de {0, . . . , m} vers {0, . . . , n}. Pour tout V-catégorie C, nous noterons SC la V-catégorie des objets simpliciaux dans C (i.e. la V-catégorie des foncteurs de ∆o vers C), et pour F ∈ SC nous noterons Fn := F ([n]). Nous

identifierons systématiquement C à la sous-catégorie pleine de C∆o _form´_{ee des}

foncteurs constants F : ∆o_{−→ C.}

Si C est une cat´_{egorie V-petite, et X un objet de C, nous noterons h}X le

V-préfaisceau simplicial sur C qu’il représente. C’est donc le foncteur défini par hX(Y ) := Hom(Y, X), où l’ensemble Hom(Y, X) est vu comme un ensemble

sim-plicial constant. De mˆeme, si X est un objet simplicial de C, nous noterons hX

le V-préfaisceau simplicial dont le préfaisceau des simplexes de dimension n est défini par la formule (hX)n(Y ) := Hom(Y, Xn).

Nous utiliserons les définitions de catégories de modèles fermées énoncées dans [26]. Elles seront toujours V-petites. On supposera implicitement lorsqu’elles seront engendrées par cofibrations (voir [26, §2.1]) que les ensembles générateurs des cofibrations et cofibrations triviales seront des V-ensembles (de même, les or-dinaux apparaissant dans les colimites transfinies seront des él´_{ements de V).} Rap-pelons que la cat´_{egorie V − SEns est une catégorie de modèles fermée, mono¨ıdale} symétrique pour le produit direct, et engendrée par cofibrations pour la conven-tion ci-dessus (voir [26, §3]). Les Hom internes de V − SEns seront notés Hom, et ces Hom dériv´_{es RHom (voir [26, §4]). Une catégorie de modèles fermée} sim-pliciale sera alors une cat´_{egorie (V-petite) de modèles fermée, qui est un module} sur V − SEns (au sens de [26, 4.2.28]). Enfin, si M est une catégorie de modèles fermée Ho(M ) désignera sa catéorie homotopique. C’est une cat´_{egorie V-petite}

(15)

qui est naturellement équivalente `_{a une U-catégorie. Les ensembles de morphismes} dans Ho(M ) seront notés [−, −]M.

Enfin, pour une catégorie de modèles fermée M nous noterons M∗la catégorie

de modèles de ses objets pointés. Lorsque de plus M est une catégorie de modèles simpliciale, il en est de même de M∗. Ses Hom simpliciaux seront alors notés

(16)

1. Rappels sur les champs

Dans ce premier chapitre nous avons rassemblé un certains nombres de définitions et de résultats standards de la théorie des préfaisceaux simpliciaux sur un site de Grothendieck. Les idées essentielles de la théorie ont été développées par A. Joyal dans une lettre à A. Grothendieck (voir [30]), où l’existence d’une structure de catégorie de modèles sur la catégorie des faisceaux simpliciaux est démontrée. Nous utiliserons cependant une structure un peu différente, où la classe des cofibrations est strictement plus petite que celle des monomorphismes, et où les objets fibrants sont faciles à caractériser (voir 1.1.2). Basée sur des idées remontant à D. Quillen, A.K. Bousfield et D.M. Kan, cette structure à été considérée pour la première fois dans [23, 5], et a été reprise en détail dans [2]. Pour ce qui est des preuves et des détails techniques nous renvoyons le lecteur à [28, 23, 15, 23, 2]. Signalons aussi le travail en cours [13], où il est probable que le point de vue de la localisation de Bousfield décrit dans [23, 6] soit repris en détail.

Nous commencerons par rappeler la définition de la structure de catégorie de modèles fermée sur la catégorie des préfaisceaux simpliciaux, ainsi que ces prin-cipales propriétés. L’existence de cette structure de catégorie de modèles nous sera utile tout au long de ce travail. Dans les paragraphes suivants nous rap-pellerons comment elle permet de définir la cohomologie d’un préfaisceau simplicial `

a valeurs dans un système local. Nous donnerons aussi une brève démonstration d’un théorème de comparaison avec la cohomologie définie par foncteurs dérivés, ainsi qu’un critère pour s’assurer qu’un préfaisceau simplicial possède une d´ ecom-position de Postnikov convenable. Nous terminerons ce chapitre par un aper¸cu de la théorie du déla¸cage dans le cadre des préfaisceaux simpliciaux, et un bref rappel sur les schémas en groupes affines sur un corps.

Pour tout ce chapitre C désignera une cat´_{egorie V-petite, et SP r(C) la} catégorie des pr´_{efaisceaux en V-ensembles simpliciaux sur C. La catégorie SP r(C)} est donc une V-catégorie. Nous supposerons que C possède des produits fibrés, et qu’elle est munie d’une topologie de Grothendieck (au sens de [47, IV ]). Pour fixer les idées, notons que par la suite C sera la cat´_{egorie des U-schémas affines sur} Spec k, pour k un anneau commutatif, et la topologie sera engendrée par les mor-phismes fidèlement plats et quasi-compacts (i.e. la topologie f pqc de [47, IV.6.3]).

1.1. Rappel des d´efinitions

On commence par munir la catégorie SP r(C) d’une structure de catégorie de modèles que nous appellerons le structure forte (dans la littérature on trouve aussi l’expression de structure projective niveau par niveau), et qui a étée introduite pour la première fois dans [5]. Il s’agit du cas où l’on considère la topologie discrète, et donc où l’on voit C comme une simple catégorie d’indices. On appellera alors fibration forte (resp. équivalence forte) tout morphisme de SP r(C), f : F −→ F0, tel que pour tout objet X ∈ C le morphisme fX : F (X) −→ F (X0) soit une

(17)

fibration (resp. une ´_{equivalence) dans V − SEns. Pour ces définitions, C étant} V-petite, la catégorie SP r(C) est une catégorie de modèles fermée simpliciale (voir [15, Ex.II.6.9]). Les Hom simpliciaux de cette dernière seront notés Hom. En clair, ceci signifie que pour X ∈ V − SEns et F, F0 ∈ SP r(C) on peut définir fonctoriellement dans SP r(C) des objets X ⊗ F , Hom(F, F0) et (F0)X satisfaisant `

a la formule d’adjonction

Hom(X, Hom(F, F0)) ' Hom(X ⊗ F, F0) ' Hom(F, (F0)X).

Ces Hom simpliciaux étant compatibles avec la structure de catégorie de modèles on peut définir des Hom simpliciaux dérivés (voir [26, §4.3])

RfHom(F, F0) := Hom(QF, RF0) ∈ Ho(V − SEns),

o`u QF −→ F est un remplacement cofibrant, et F0 −→ RF0 _{un remplacement}

fibrant. Noter l’indice f dans la notation Rf, qui fait référence à la structure

forte. Ces objets sont bien définis et fonctoriels comme objets de la catégorie homotopique Ho(V − SEns). De plus, la formule d’adjonction précédente induit une formule d’adjonction dérivée

RfHom(X, RfHom(F, F0)) ' RfHom(X ⊗ F, F0) ' RfHom(F, (RF0)X),

o`u F0 −→ RF0 _{est un remplacement fibrant.}

Pour X ∈ C, on dispose du foncteur d’´evaluation en X jX: SP r(C) −→ V − SEns

F 7→ F (X).

Ce foncteur possède un adjoint à gauche noté j_X∗, et l’adjonction (j_X∗, jX) est

une adjonction de Quillen. En particulier, pour tout X ∈ C, j_X∗(∗) est un objet cofibrant de SP r(C). Or, il est clair que j_X∗(∗) est isomorphe `a hX. Ainsi, pour

tout objet du site X ∈ C, le pr´efaisceau simplicial qu’il repr´esente hXest un objet

cofibrant. Dans le cas o`u X = e est un objet final, nous noterons comme il en est l’usage

Γ := je: SP r(C) −→ V − SEns F 7→ F (e),

le foncteur des sections globales. Son adjoint `a gauche j_e∗est le foncteur qui associe `

a X ∈ V − SEns le préfaisceau constant X. Remarquer que lorsque C ne possède pas d’objet final les préfaisceaux constants ne sont généralement pas cofibrants. De plus, le foncteur des sections globales Γ(−) := Hom(∗, −) n’est alors plus de Quillen à droite en général.

Revenons au cas où C est munie d’une topologie de Grothendieck. A un objet F ∈ SP r(C) on associe ses préfaisceaux d’homotopie de la fa¸con suivante. Pour tout X ∈ C, et tout 0-simplexe s ∈ F (X)0, on définit le m-ème préfaisceau

(18)

d’homotopie de F point´e en s par πpr

m(F, s) : (C/X)o −→ V − Gp

(u : Y → X) 7→ πm(F (Y ), u∗(s)).

C’est un pr´_{efaisceau en V-groupes sur C/X qui est abélien lorsque m > 1. Le} préfaisceau des composantes connexes de F est défini par

π₀pr(F ) : Co _−→

V − Ens X 7→ π0(F (X)).

On définit alors les faisceaux d’homotopie de F comme étant les faisceaux associés aux préfaisceaux d’homotopie. Ils seront notés

πm(F, s) := a(πprm(F, s)) π0(F ) := a(πpr0 (F )).

D´efinition 1.1.1. Soit f : F −→ F0 un morphisme de pr´efaisceaux simpliciaux sur le site C.

• Le morphisme f est une ´equivalence si les deux conditions suivantes sont satisfaites.

– Le morphisme induit π0(f ) : π0(F ) −→ π0(F0) est un isomorphisme de

faisceaux sur C.

– Pour tout objet X ∈ C, tout m > 0 et tout 0-simplexe s ∈ F (X)0, les

morphismes induits

πm(f, s) : πm(F, s) −→ πm(F0, f (s))

sont des isomorphismes de faisceaux sur C/X.

• Le morphisme f est une cofibration si c’est une cofibration forte.

Comme il est expliqué dans [23, Thm. 5.1], ces définitions munissent la catégorie SP r(C) d’une structure de catégorie de modèles simpliciale. Remarquons au passage que toute équivalence forte est une équivalence, que toute fibration est une fibration forte, et que tout fibration triviale est une équivalence forte. De même, toute équivalence entre objets fibrants dans SP r(C) est une équivalence forte.

Les Hom simpliciaux dérivés relativement à cette nouvelle structure seront not´_{es RHom. De même, lorsque C possèdera un objet final e, le foncteur dérivé} `

a droite des sections globales sera not´_{e RΓ. On dispose aussi des isomorphismes} d’adjonctions analogues à ceux décrits précédemment

RHom(X × F, F0) ' RHom(X, RHom(F, F0)) ' RHom(F, (RF0)X). Il existe une relation entre les deux structures de catégorie de modèles sur SP r(C) connue sous le nom de localisation de Bousfield à gauche (voir [22]). Nous n’insisterons pas trop sur cette notion et nous nous contenterons de retenir que le fait que SP r(C) soit une localisation de Bousfield à gauche de SP r(C) munie de la structure forte implique l’existence d’une jolie caractérisation des objets fibrants dans SP r(C). Le lecteur remarquera qu’il s’agit d’un analogue de nature homotopique de la définition d’un faisceau.

(19)

Lemme 1.1.2. Un objet F ∈ SP r(C) est fibrant si et seulement si les deux asser-tions suivantes sont satisfaites.

1. Pour tout objet X ∈ C, F (X) est fibrant dans V−SEns (i.e. F est fortement fibrant).

2. Pour tout objet X ∈ C, et tout hyper-recouvrement U∗ de X dans C, le

morphisme naturel

F (X) −→ Holim[m]∈∆F (Um)

est une ´_{equivalence dans V − SEns.}

Preuve: Voir [13]. 2

Un corollaire important de ce dernier lemme est qu’un pr´efaisceau simplicial de la forme K(M, n), o`u M est un faisceau flasque sur C, est toujours fibrant.

Remarquer que s’il l’on considère des préfaisceaux en groupo¨ıdes plutôt que des préfaisceaux simpliciaux, alors la seconde condition du lemme précédent est exactement équivalente à la condition usuelle d’être un champ (voir [29] pour plus de détails sur les relations entre préfaisceaux simpliciaux et champs en groupo¨ıdes). La définition suivante est alors naturelle. Notons qu’il s’agit aussi du point de vue adopté dans [23] pour développer la théorie des n-champs de Segal.

D´efinition 1.1.3. Un champ sur C est un objet de la cat´egorie SP r(C) satisfaisant `

a la condition (2) du lemme 1.1.2. Par extension, tout objet F de la cat´egorie homotopique Ho(SP r(C)) sera appel´e un champ.

Avec ce langage, le champ associé à un préfaisceau simplicial F est simple-ment un de ses modèles fibrants.

1.2. Limites homotopiques et d´ecomposition de Postnikov

Soit I une cat´_{egorie V-petite, et SP r(C)}I la catégorie des foncteurs de I vers SP r(C). On peut munir SP r(C)I d’une structure de catégorie de modèles en-gendrée par cofibrations où les équivalences (resp. les cofibrations) sont définies niveau par niveau (i.e. F −→ F0 est une équivalence si et seulement si pour tout i ∈ I, F (i) −→ F0(i) est une équivalence dans SP r(C)). Noter que cette structure n’est pas celle que nous avons utilisée pour définir SP r(C), mais est une struc-ture de type injective analogue à celle définie dans [28, Thm. 2.3]. La catégorie de modèles ainsi obtenue est une catégorie de modèles fermée simpliciale, et ces Hom simpliciaux seront notés Hom_I. En particulier, on dispose du foncteur des sections globales

Γ(I, −) : SP r(C)I _−→

V − SEns F 7→ Hom_I(∗, F )

dont l’adjoint `a gauche est le foncteur qui associe `_{a X ∈ V − SEns le foncteur} constant de valeurs X, X : I −→ SP r(C). L’adjonction (−, Γ(I, −)) est alors une

(20)

adjonction de Quillen, et le foncteur dérivé à droite de Γ(I, −) sera alors noté HolimI := RΓ(I, −) : Ho(SP r(C)I) −→ Ho(SP r(C)).

C’est le foncteur de limite homotopique le long de I. Il est naturellement isomorphe au foncteur HolimI construit de fa¸con standard `a partir de la structure simpliciale

sur SP r(C) (voir [22, §19]).

Il est important de remarquer que la d´efinition de HolimI d´epend de la

topologie de C, et en général, la comparaison entre les limites homotopiques pour différentes topologies n’est pas aisée. On dispose cependant du critère général suivant. Il permettra par la suite d’avoir dans certains cas des décompositions de Postnikov raisonnables, que l’on sait ne pas exister en général.

Lemme 1.2.1. Soit F : I −→ SP r(C) un I-diagramme de pr´efaisceaux simplici-aux, tel que pour tout i ∈ I, Fi soit un champ. Alors, si on note HolimtrivI F ∈

Ho(SP r(C)) la limite homotopique de F lorsque C est muni de la topologie triv-iale, le morphisme naturel

HolimtrivI F −→ HolimIF

est un isomorphisme dans Ho(SP r(C)).

Preuve: C’est immédiat, car toute résolution fibrante F −→ F0 est telle que les morphismes induits Fi −→ Fi0 soient des équivalences fortes pour tout i ∈ I.

Ainsi, F −→ F0est aussi une r´esolution fibrante lorsque C est muni de la topologie

triviale. 2

Nous allons maintenant étudier deux cas particulier du foncteur précédent. Il s’agit du cas où I possède trois objets 0, 1 et 2 et deux uniques morphismes non triviaux 1 → 0, 2 → 0, et du cas où I est la catégorie associée à l’ensemble totalement ordonné des entiers naturels.

Commen¸cons par examiner le premier cas, et notons 0, 1 et 2 les objets de I, et a : 1 → 0, b : 2 → 0 ses morphismes non triviaux. Un objet de SP r(C)I _est

alors la donn´ee d’un diagramme de pr´efaisceaux simpliciaux F1

a _{// F}

0 F2. b

oo

Pour tout objet F ∈ Ho(SP r(C)I_{) nous utiliserons la notation}

F1×hF0F2:= HolimIF,

que nous appellerons le produit fibr´e homotopique de F1 et F2 au-dessus de F0.

Un cas particuli`erement important est celui o`u F2= ∗. L’objet F1×hF0∗ est alors

la fibre homotopique du morphisme a : F1−→ F0au point b : ∗ −→ F0.

Il est facile de v´erifier que les objets fibrants dans SP r(C)I sont exactement les diagrammes tels que Fi soit un champ pour tout i, et tels que les morphismes

a et b soient des fibrations. En particulier, si F ∈ SP r(C)I est fibrant, pour tout i et tout X ∈ C, Fi(X) est un ensemble simplicial fibrant, et les morphismes

(21)

aX : F1(X) → F0(X), bX : F2(X) → F0(X) sont des fibrations d’ensembles

simpliciaux.

Supposons maintenant que F ∈ SP r(C)I_{soit fibrant et muni d’un morphisme}

s : ∗ −→ F , qui induit donc des morphismes si : ∗ −→ Fi, et s : ∗ −→ F1×hF0F2.

Alors, en utilisant les suites exactes longues d’homotopie associées aux produits fibrés homotopiques d’ensembles simpliciaux, on obtient une suite exacte longue de préfaisceaux en groupes sur C

π_m+1pr (F0, s0) ∂ _{// π}_pr m(F1×hF0F2, s) a×b _{// π}_pr m(F1, s1) × πprm(F2, s2) a−b _// πpr_m(F0, s0) ∂ // πpr m−1(F1×hF0F2, s) a×b _{// . . .} . . . // πpr 1 (F1×hF0F2, s) a×b _{// π}pr 1 (F1, s1) × π pr 1 (F2, s2) a−b _// πpr₁ (F0, s0) ∂ // πpr 0 (F1×hF0F2) a×b _{// π}_pr 0 (F1) × π0pr(F2) a−b _{// π}_pr 0 (F0).

Par convention, une suite de morphismes d’ensembles M u // N a−b // P est exacte lorsque l’image de u est exactement l’équaliseur des morphismes a et b. De même, dire qu’une suite de morphismes d’ensembles pointés M u // N v // P est exacte signifie que l’image de u est égale à la fibre de v au point distingué.

En utilisant l’exactitude du foncteur de faisceautisation, on en d´eduit une suite exacte longue sur les faisceaux d’homotopie

πm+1(F0, s0) ∂ // π m(F1×hF0F2, s) a×b _{// π} m(F1, s1) × πm(F2, s2) a−b _// πm(F0, s0) ∂ _{// π} m−1(F1×hF0F2, s) a×b _{// . . .} . . . // π₁_(F₁_×h F0F2, s) a×b _{// π} 1(F1, s1) × π1(F2, s2) a−b _// π1(F0, s0) ∂ _{// π} 0(F1×hF0F2) a×b _{// π} 0(F1) × π0(F2) a−b _{// π} 0(F0).

L’existence de cette suite exacte longue et un analogue du lemme des cinqs impliquent en particulier que l’objet F1×hF0F2ne d´epend pas de la topologie de C.

En d’autres termes, si F ∈ SP r(C)I _{est un objet, et si on note F} 1×

hf

F0F2le produit

fibr´e homotopique lorsque C est muni de la topologie triviale, alors le morphisme naturel dans Ho(SP r(C)), F1×hf_F₀ F2 −→ F1×hF0 F2 est un isomorphisme. Une

conséquence remarquable de ce fait est que la catégorie de modèles SP r(C) est propre à droite (i.e. les changements de bases le long de fibrations préservent les ´

equivalences). Pour plus de r´ef´erences sur ce point le lecteur pourra consulter [23, §3].

Supposons maintenant que I soit la catégorie définie par l’ensemble ordonné des entiers naturels. Ses objets sont donc les entiers n ∈ N, et il existe un unique

(22)

morphisme non trivial de n vers m si et seulement si n > m. La catégorie I peut donc se représenter schématiquement par

. . . m −→ m − 1 −→ . . . 1 −→ 0,

et un objet de SP r(C)Iest donc la donn´ee pour tout entier n d’un pr´efaisceau sim-plicial Fn∈ SP r(C), et de morphismes fn : Fn−→ Fn−1. La limite homotopique

de F ∈ SP r(C)I sera alors not´ee HolimnFn.

Comme le foncteur de faisceautisation ne commute pas avec les limites in-finies, on ne disposera pas en g´en´eral d’une suite exacte de Milnor reliant les faisceaux d’homotopie de HolimnFn avec ceux de F . Ceci entraine aussi qu’il

n’existe pas de décomposition de Postnikov en général. Nous allons cependant utiliser le lemme 1.2.1 et la suite exacte de Milnor de [15, Prop. V I.2.15] pour donner un critère de convergence des décompositions de Postnikov. Pour cela nous supposerons connu le cas absolu (tel qu’il est décrit dans [15, §V I] par exemple). Soit ∗ −→ F un préfaisceau simplicial pointé tel que π0(F ) ' ∗. Quitte

`

a se restreindre au sous-préfaisceau simplicial de F des simplexes au-dessus du point ∗ (ce qui changera F en un préfaisceau simplicial équivalent), on pourra même supposer que F est 0-réduit, et donc que π₀pr(F ) ' ∗. De plus, quitte `

a prendre un remplacement fibrant pour la structure forte on pourra supposer que F (X) est un ensemble simplicial fibrant pour tout objet X ∈ C. Rappelons que le pr´efaisceau en groupes πpr₁ (F, ∗) op`ere naturellement sur πpr

n (F, ∗), et de

mˆeme le faisceau en groupes π1(F, ∗) op`ere sur πn(F, ∗). Nous utiliserons alors les

pr´efaisceaux simpliciaux K(πpr₁ (F, ∗), πpr

n (F, ∗), n + 1) d´efinis dans le paragraphe

suivant. Ce sont des pr´efaisceaux simpliciaux point´es, connexes et fibrants pour la structure forte, et avec

π_ipr(K(π₁pr(F, ∗), πpr_n (F, ∗), n + 1), ∗) ' ∗ pour i 6= 1, n + 1 π₁pr(K(πpr₁ (F, ∗), πprn (F, ∗), n + 1), ∗) ' π

pr 1 (F, ∗)

π_n+1pr (K(πpr₁ (F, ∗), πpr_n (F, ∗), n + 1), ∗) ' π_npr(F, ∗), et dont l’action du π₁prsur le πpr

n est celle donnée précédemment.

Consid´erons la tour de Postnikov de F , {τ≤nF }n, d´efinie objet par objet de

C comme dans [15, V I.3]. Il s’agit d’un diagramme . . . // τ_≤nF pn // τ≤n−1F

pn−1// . . . τ

≤0F = ∗ ,

o`u la fibre homotopique du morphisme pn est ´equivalente pour la structure forte

au pr´efaisceau simplicial K(πpr

n (F, ∗), n). On peut donc trouver pour n > 1, un

diagramme homotopiquement cart´esien pour la structure forte

τ≤nF // τ≤n−1F K(πpr₁ (F, ∗), 1) // K(π₁pr(F, ∗), πpr n (F, ∗), n + 1),

(23)

qui est un diagramme classifiant pour la fibration τ≤nF −→ τ≤n−1F . Mais comme

les produits fibrés homotopiques sont indépendants à équivalence près de la topolo-gie sur C, on trouve aussi des diagrammes homotopiquement cartésiens

τ≤nF //

τ≤n−1F

K(π1(F, ∗), 1) // K(π1(F, ∗), πn(F, ∗), n + 1).

La proposition suivante est due à R. Thomason dans le cas stable, et à J.F. Jardine dans le cas général (voir [28, Lem. 3.4]).

Proposition 1.2.2. Soit ∗ −→ F un pr´efaisceau simplicial point´e avec π0(F ) ' ∗,

et En un mod`ele fibrant pour K(πn(F, ∗), n + 1). Supposons qu’il existe un entier

N , tel que pour tout entier i ≥ 0 et tout n > i + N on ait π_ipr(En, ∗) ' 0.

Alors le morphisme naturel

F −→ Holimnτ≤nF

est un ´equivalence.

Preuve: Consid´erons le diagramme commutatif

F f // p !!C C C C C C C C Holimn>0τ≤nF q wwppppppppp pp τ≤1F

Comme Holimn>0τ≤nF est naturellement ´equivalent `a Holimnτ≤nF , il suffit de

montrer que le morphisme f est une équivalence. De plus, une utilisation de la suite exacte longue en homotopie montre qu’il suffit de démontrer que le morphisme induit sur les fibres homotopiques des morphismes p et q est une équivalence. Ceci implique que l’on peut remplacer F par la fibre homotopique de p, et donc se ramener au cas où F est simplement connexe (i.e. π1(F, ∗) ' π0(F ) ' ∗).

On peut clairement supposer que F est un champ, ce que nous ferons. De plus, quitte `a remplacer le diagramme {τ≤nFn}n par un diagramme qui lui est

´

equivalent, on peut aussi supposer que chaque τ≤nF est un champ, et que chacun

des diagrammes τ≤nF // τ≤n−1F • // En,

(24)

est homotopiquement cartésien pour la structure forte. D’après [15, Prop. V I.2.15], il existe pour tout i ≥ 0 d’une suite exacte courte de préfaisceaux

Lim1 nπ

pr

i+1(τ≤nF ) // π pr

i (Holimtrivn τ≤nF ) // Limnπipr(τ≤nF ) // 0 ,

o`u Holimtriv _d´_{esigne la limite homotopique pour la topologie triviale (et o`}_u

nous ne mentionons pas le point de base). Cependant, l’hypothèse faite sur les préfaisceaux d’homotopie de Enentraine que le système projectif {π

pr

i (τ≤nF, ∗)}n

est stationnaire. La suite exacte précédente se réduit donc un isomorphisme de préfaisceaux

πpr_i (Holimtriv_n τ≤nF, ∗) ' πpri (τ≤nF, ∗),

pour n > i + N . En passant aux faisceaux d’homotopie on en d´eduit que le mor-phisme naturel Holimtriv

n τ≤nF −→ τ≤nF induit des isomorphismes de faisceaux

πi(Holimtrivn τ≤nF ) ' πi(τ≤nF, ∗),

pour n > i + N . Or, comme on a πi(F, ∗) ' πi(τ≤nF, ∗) d`es que i ≤ n, ceci

im-plique clairement que le morphisme F −→ Holimtriv_n τ≤nF est une ´equivalence.

Le lemme 1.2.1 implique alors qu’il en est de mˆeme du morphisme naturel F −→

Holimnτ≤nF . 2

Remarque: Remarquer que la condition π_ipr(En) = 0 pour n > i + N est

´

equivalent `a la condition que Hn+1−i(X, πn(F, ∗)) = 0, pour tout n > i + N et

tout objet du site X ∈ C.

En corollaire de la d´emonstration on trouve le r´esultat suivant. Corollaire 1.2.3. Soit

F // . . . // Fn // Fn−1 // . . . // . . . // F1 // F0= ∗

une tour de champs pointés et connexes, telle que pour tout n > 0, la fibre homo-topique de Fn −→ Fn−1 soit équivalente à un préfaisceau simplicial de la forme

K(πn, n). Supposons de plus qu’il existe un entier N > 0 tel que pour tout objet

X ∈ C et tout n > 0 on ait Hn+i−1_{(X, π}

n) = 0 d`es que n > i + N . Alors, on a

π0(HolimnFn) = ∗ πi(HolimnFn, ∗) ' πipour i > 0.

1.3. Cohomologie des pr´efaisceaux simpliciaux

Nous considèrerons essentiellement le cas particulier des préfaisceaux simpliciaux pointés s : ∗ −→ F tels que le morphisme induit sur le faisceau des composantes connexes ∗ −→ π0(F ) soit un isomorphisme. Un tel F sera appelé un préfaisceau

simplicial point´e et connexe.

Définition 1.3.1. Un système local M sur un préfaisceau simplicial pointé et con-nexe F , est la donnée d’un faisceau en groupes abéliens M , et d’une action de π1(F, s) sur M . Un morphisme entre deux tels systèmes locaux M et M0, est la

donn´ee d’un morphisme de faisceaux de groupes M −→ M0 qui commute avec les actions de π1(F, s).

(25)

La catégorie abélienne des systèmes locaux sur F ainsi définie sera notée SysLoc(F ).

Rappelons que pour un V-groupe G on peut construire son classifiant K(G, 1), qui est un V-ensemble simplicial défini de la fa¸con suivante. On commence par définir E(G, 1), qui est l’ensemble simplicial nerf du morphisme naturel G −→ ∗. Ainsi, E(G, 1)m := Gm+1, et les faces et dégénérescences sont données par les

projections et les diagonales. Le groupe G opère sur E(G, 1) en opèrant sur lui-même à gauche. On définit alors K(G, 1) := E(G, 1)/G. Cette construction s’étend naturellement au cas o`_{u G est un V-ensemble simplicial muni d’une loi de groupe.} En effet, on forme alors l’ensemble bisimplicial K(G, 1)p,q := K(Gp, 1)q, et on

d´efinit K(G, 1) comme son ensemble simplicial diagonal. Ainsi, on a K(G, 1)n =

K(Gn, 1)n. On peut aussi commencer par former l’ensemble bisimplicial nerf du

morphisme G −→ ∗, et appeler sa diagonale E(G, 1). Le groupe G opère alors sur E(G, 1) et on a K(G, 1) = E(G, 1)/G. Rappelons aussi que l’ensemble simplicial K(G, 1) est naturellement pointé (par l’image de l’identité de E(G, 1)), et qu’il existe des isomorphismes naturels πm(K(G, 1), ∗) ' πm−1(G, e).

Lorsque G est un groupe abélien simplicial l’ensemble simplicial K(G, 1) hérite d’une loi de groupe abélien induite par celle de G. On peut alors itérer la construction précédente et poser

E(G, m) := E(K(G, m − 1), 1) K(G, m) := K(K(G, m − 1), 1). La fonctorialité des constructions précédentes permet de définir pour tout pr´ e-faisceau en groupes simpliciaux G sur C, des préfaisceaux simpliciaux E(G, 1) et K(G, 1). De plus, lorsque G est abélien on dispose aussi des préfaisceaux simplici-aux E(G, m) et K(G, m). Le groupe simplicial K(G, m − 1) opère sur E(G, m) et on a K(G, m) = E(G, m)/K(G, m − 1). Nous définirons par convention K(G, 0) comme étant le faisceau de groupes simpliciaux G.

Soit G un préfaisceau en groupes opèrant sur un préfaisceau en groupes abéliens M à travers un morphisme de préfaisceaux ρ : G −→ Aut_C(M ). Alors le groupe G opère encore de fa¸con naturelle sur les préfaisceaux en groupes abéliens simpliciaux K(M, m − 1), pour m > 0. On peut donc former le produit semi-direct de G par K(M, m − 1), qui est un préfaisceau en groupes simpliciaux noté G ×ρK(M, m − 1). On notera par la suite K(G, M, m) := K(G ×ρK(M, m − 1), 1).

On dispose de plus d’une suite exacte de pr´efaisceaux en groupes simpliciaux K(M, m − 1) −→ G ×ρK(M, m) −→ G.

En en prenant l’image par le foncteur K(−, 1) on en d´eduit deux nouveaux mor-phismes

K(M, m) // K(G, M, m) p // K(G, 1).

Pour m = 0, on définit par convention K(G, M, 0) comme étant le préfaisceau en groupes G ×ρM , produit semi-direct de G par M . La suite exacte longue en

(26)

`

a la fibre homotopique du morphisme p, et ceci pour tout m ≥ 0. Le préfaisceau simplicial K(G, M, m) est donc caractérisé à équivalence forte près par le fait que

πpr_i (K(G, M, m), ∗) = ∗ pour i 6= 1, m π₁pr(K(G, M, m), ∗) ' G πmpr(K(G, M, m), ∗) ' M,

et par l’action de G sur M .

Soit maintenant F un pr´efaisceau simplicial connexe, et ρ : G = π1(F, s) −→

Aut_C(M ) un syst`eme local. On dispose d’un morphisme d’ensembles simpliciaux p∗_{: RHom(F, K(G, M, m)) −→ RHom(F, K(G, 1)).}

De plus, il existe un morphisme naturel dans Ho(SP r(C)), F −→ τ≤1F ' K(G, 1),

qui d´_{efinit donc un point ∗ ∈ RHom(F, K(G, 1)). Nous d´efinissons alors l’ensemble} simplicial RHomρ(F, K(M, m)) comme ´etant la fibre homotopique du morphisme

p∗ au point ∗. Remarquer que si ρ est le morphisme trivial alors l’ensemble sim-plicial RHomρ(F, K(M, m)) est naturellement ´equivalent `a RHom(F, K(M, m)).

Définition 1.3.2. Le m-ème groupe de cohomologie du préfaisceau simplicial pointé et connexe F , à coefficients dans le système local ρ : π1(F, s) −→ AutC(M ) est

d´efini par

Hm(F, M ) := π0(RHomρ(F, K(M, m))).

Plus généralement, si F ∈ SP r(C) est un préfaisceau simplicial (non pointé) et M un faisceau de groupes abéliens sur C, nous noterons

Hm(F, M ) := π0RHom(F, K(M, m)).

Lorsque F = hX, pour X un objet du site C, ces groupes seront not´es Hm(X, M ),

et Hm_{(C, M ) si X est l’objet final de C.}

En utilisant les suites exactes longues en homotopie associées à des fibrations, il est facile de vérifier les deux faits suivants.

• Le groupe H0_{(F, M ) s’identifie naturellement au sous-groupe de Γ(M )}

in-variant par l’action de Γ(π1(F, s)).

• Pour toute suite exacte 0 // M // M0 // M00 // 0 de syst`emes

locaux, il existe une suite exacte longue fonctorielle

0 // H0_{(F, M )} // H0_{(F, M}0₎ // H0_{(F, M}00₎ // H1_{(F, M )} // . . .

Hm(F, M ) // Hm(F, M0) // Hm(F, M00) // Hm+1_{(F, M )} // . . .

Lorsque (F, s) = (K(G, 1), ∗), pour G un préfaisceau en groupes sur C, les foncteurs Hm(F, M ) sont en réalité des foncteurs dérivés. Comme nous ne con-naissons pas de références générales sur le sujet nous donnerons une esquisse de preuve du théorème suivant. Il s’agit de toute évidence d’un résultat faisant partie du folklore de la théorie.

(27)

Théorème 1.3.3. Soit G un préfaisceau en groupes sur C et (F, s) = (K(G, 1), ∗). Alors, pour tout entier m, le foncteur

Hm_{(F, −) :} _{SysLoc(F )} _−→

V − Ab (ρ : G → M ) 7→ Hm_{(F, M )}

est isomorphe au m-ème foncteur dérivé du foncteur H0(F, −).

Esquisse de preuve: Commen¸cons par traiter le cas o`u G = {1} est trivial. Il faut alors montrer que pour tout faisceau de groupes ab´eliens M sur C, Hm_{(C, M )}

est isomorphe à la cohomologie de C, calculée par foncteur dérivé, à coefficients dans M (que nous noterons H_derm (C, −)). Pour cela, notons C−(C, Ab) la catégorie des complexes de pr´_{efaisceaux en V-groupes abéliens sur C qui sont concentrés en} degrés négatifs ou nuls (avec une différentielle de degré +1). Pour chaque objet E de cette catégorie, on dispose de ses préfaisceaux de cohomologie Hn_pr(E), dont les faisceaux associés seront notés Hn(E). Un quasi-isomorphisme est par définition un morphisme de C−(C, Ab), f : E −→ E0, tel que pour tout m, le morphisme induit Hm_{(f ) : H}m

(E) −→ Hm(E0) soit un isomorphisme de faisceaux. On notera alors D−(C, Ab) la catégorie obtenue à partir de C−(C, Ab) en inversant formellement les quasi-isomorphismes. Il est alors bien connu que les foncteurs de cohomologie par foncteurs dérivés se calculent par la formule suivante

H_derm _{(C, M ) ' [Z, M [m]]}D−_(C,Ab),

o`_{u Z est le préfaisceau constant de fibre Z, et M [m] est le complexe concentré en} degré −m et de valeurs M .

Introduisons SAb(C), la catégorie des pr´_{efaisceaux en V-groupes abéliens} simpliciaux sur C. D’après [15, Cor. III.2.3] il existe une équivalence de catégories Γ : C−(C, Ab) −→ SAb(C) (où Γ est défini terme à terme au-dessus de C). De plus, en rempla¸cant les ensembles simpliciaux par des groupes abéliens simpliciaux dans les paragraphes précédents, on munit SAb(C) d’une structure de catégorie de modèles où les équivalences et les fibrations sont detectées dans SP r(C) (i.e. en oubliant la structure de groupes). A l’aide de [15, Cor. III.2.7] on voit que le foncteur Γ est compatible avec la formation des faisceaux de cohomologie et d’homotopie, et qu’il définit une bijection de l’ensemble des quasi-isomorphismes de C−(C, Ab) vers l’ensemble des équivalences de SAb(C). Il induit donc une ´

equivalence sur les catégories homotopiques associées Γ : D−(C, Ab) ' Ho(SAb(C)). Ainsi, pour tout préfaisceau en groupes abéliens M on a

[Z, M [m]]D−_(C,Ab)' [Γ(Z), Γ(M[m])]_Ho(SAb(C)).

Cependant Γ(Z) est équivalent dans SAb(C) au préfaisceau constant de fibre Z, et Γ(M [m]) est équivalent à K(M, m). On a donc

(28)

Pour achever la d´emonstration dans ce premier cas, on fait appel `a l’adjonction de Quillen

− ⊗ Z : SP r(C) −→ SAb(C) j : SAb(C) −→ SP r(C),

o`_{u − ⊗ Z est le foncteur d’ab´elianisation, et j est le foncteur d’oublie de la} struc-ture de groupes. Cette adjonction descend en une adjonction sur les cat´egories homotopiques, et donne

H_derm _{(C, M ) ' [Z, K(M, m)]}Ho(SAb(C))' [∗, j(K(M, m))]Ho(SP r(C))

' π0RHom(∗, K(M, m)) ' Hm(C, M ).

Revenons au cas général où F = K(G, 1), pour G un préfaisceau en groupes. Rappelons que l’on peut définir un site G-équivariant C/BG. Ses objets sont ceux de C, et ils seront notés symboliquement X −→ BG pour X ∈ C. La donnée d’un morphisme dans C/BG X !!C C C C C C C C u // Y }}{{{{{{ {{ BG

est la donnée d’un couple (f, x), où f : X → Y est un morphisme de C, et x ∈ G(X). Les morphismes se composent naturellement par la formule (g, y) ◦ (f, x) = (g ◦ f, f∗(y).x), pour X f // Y g // Z et x ∈ G(X), y ∈ G(Y ). La topologie sur C/BG est définie en décrétant que les familles couvrantes dans C/BG sont celles qui sont couvrantes dans C. Il est clair que C/BG possède des produits fibrés, mais il ne possède pas de produits finis en général (et encore moins d’objet final). De plus, la donnée d’un préfaisceau (resp. d’un faisceau) sur C/BG est naturellement équivalente à celle d’un préfaisceau (resp. d’un faisceau) sur C muni d’une action de G. Il existe donc une équivalence de catégorie SP r(C/BG) ' G − SP r(C), où G − SP r(C) est la catégorie des objets de SP r(C) munis d’une action de G. Ceci montre aussi que la catégorie abélienne SysLoc(K(G, 1)) est ´

equivalente à la catégorie des faisceaux en groupes abéliens sur C/BG, et donc possède suffisemment d’injectifs.

Rappelons aussi que pour tout objet F ∈ SP r(C), on peut considérer la catégorie des objets sur F , SP r(C)/F , qui est naturellement munie d’une structure de catégorie de modèles fermée simpliciale. De plus, pour tout morphisme f : F −→ F0 on dispose d’une adjonction de Quillen

f! : SP r(C)/F −→ SP r(C)/F0

(G → F ) 7→ (G → F → F0) f∗: SP r(C)/F0 −→ SP r(C)/F

(G → F0) 7→ (F ×GF0 → F ),

où f! est l’adjoint à gauche. Comme SP r(C) est une catégorie de modèles propre

`

a droite, l’adjonction précédente est en réalité une équivalence de Quillen dès que f est une équivalence.