6 Adaptation de maillage

6

L’homme raisonnable s’adapte au monde ; l’homme déraisonnable s’obstine à essayer d’adapter le monde à lui-même.

Tout progrès dépend donc de l’homme déraisonnable.

(G. B. Shaw)

Résumé. Ayant mis en évidence au chapitre précédent la nécessité, à faibles nombres d’onde, de procéder à une adaptation de maillage de manière à satisfaire à une erreur prescrite, nous sommes confrontés au choix de la méthode et des outils.

On distingue essentiellement trois méthodes d’adaptation de maillage : la r-adaptation (relocalisation des noeuds), la p-adaptation (augmentation du degré des fonctions de forme) et la h-adaptation (modification de la taille élémentaire). Dans ce chapitre, nous nous restreignons à cette dernière méthode.

Disposant de l’erreur estimée, il convient maintenant d’établir un lien avec les tailles élémentaires du maillage qui permet de satisfaire à une erreur prescrite. Nous démontrons dans ce chapitre que ce maillage optimal équidistribue l’erreur absolue élémentaire. Donc, moyennant l’hypothèse de convergence asymptotique, nous définissons un indice de raffinement ξ_τ par le rapport de la taille initiale à la taille optimale. Si cet indice est supérieur à un, il y a lieu de raffiner, et inversement.

Ensuite, il faut bien convenir que les logiciels commerciaux disposant de générateurs automatiques de maillages ne permettent pas encore aisément de prescrire une taille élémentaire en une distribution de points (par exemple, le centre de gravité des éléments du maillage initial). Nous avons alors développé les méthodes de m-raffinement permettant, pour des maillages mixtes d’éléments plans à côtés rectilignes, de procéder au raffinement du maillage initial.

Ce chapitre se termine par l’analyse adaptative du compartiment passager d’un véhicule automobile.

6.1 Méthodes d’adaptation de maillage

Les analyses éléments finis à erreur contrôlée requièrent essentiellement quatre outils : un code éléments finis (ici, SYSNOISE), une estimation de la distribution de l’erreur (voir chapitre 5), la connaissance du comportement asymptotique de la solution éléments finis et des méthodes d’adaptation de maillage. Ce chapitre développe les deux derniers points.

L’introduction (paragraphe 1.4) a rappelé que l’on distingue dans la littérature les méthodes de r- adaptation, p-adaptation et de h-adaptation ainsi que les combinaisons de celles-ci, principalement la hp- adaptation.

1) la r-adaptation opère uniquement par relocalisation des noeuds et, employée seule, ne permet pratiquement jamais d’obtenir le résultat escompté. Elle n’est intéressante que couplée à une h-adaptation car elle permet un lissage du maillage sur un critère de précision et non de géométrie des éléments. Nous ne l’aborderons plus dans le cadre de ce travail,

2) la p-adaptation consiste à enrichir le degré des fonctions d’interpolation.

L’estimation d’erreur a priori (3.77) montre la supériorité de cette méthode par rapport à la h-adaptation. Toutefois, ne disposant pas d’un logiciel d’éléments finis de degré supérieur à 2, nos tests se borneront à comparer les éléments linéaires (p=1) et quadratiques (p=2),

3) la h-adaptation travaille par modification de la taille des éléments. Cette modification peut se faire avec régénération complète du maillage ou par raffinement du maillage initial. Les logiciels de CAO disposent en général de générateur automatique de maillage autorisant les raffinements locaux [SDR96, DAS97], malheureusement nous n’en connaissons aucun qui autorise l’introduction d’un critère de raffinement

“utilisateur” par exemple sous la forme d’une carte de taille élémentaire prescrite.

Nous avons donc développé nos propres outils de raffinement de maillage 2D (mais les techniques s’étendent à 3D) permettant l’automatisation complète du cycle adaptatif décrit en figure 1.4.

De même, on peut envisager plusieurs façons de spécifier l’erreur à atteindre : erreur absolue élémentaire, erreur relative élémentaire, ... [ZHO91]. Nous nous limiterons ici à envisager, sans perte de généralité, le cas où l’erreur relative globale en semi-norme H¹ est prescrite et la notons η_.

6.2 Comportement asymptotique des solutions éléments finis

Nous avons rappelé au chapitre 3 les relations caractérisant l’erreur relative globale en semi-norme H¹. On a (3.77)

η ≤ C1 Θ + C2 κ Θ² (6.1) où

Θ = κ^h p

p

(6.2) Si l’on s’intéresse au comportement asymptotique (h ∅ 0), il vient, également pour l’erreur absolue,

p -p^h _1,Ω≤ C (p,κ) h^p (6.3) qui montre que l’erreur globale absolue en semi-norme H¹ est dominée asymptotiquement par l’erreur d’approximation. Les critères d’adaptation de maillages sont établis ci-dessous en supposant que la solution éléments finis a atteint son comportement asymptotique c’est-à-dire en l’absence de pollution.

L’adaptativité que nous illustrons ne peut donc pas contrôler la pollution car nos estimateurs d’erreur ne sont pas fiables dans ce cas (paragraphe 5.5) et parce que nos prédictions de maillage optimal n’en tiennent pas compte.

La relation (6.3) définit le taux de convergence asymptotique global. Au niveau élémentaire, en l’absence de pollution due à une singularité géométrique ou physique (annexe 9.3), le taux de convergence est toujours plus élevé. En effet, supposons que l'ordre de convergence de l'erreur absolue élémentaire soit π

p - p^h _{1, τ} ≤ γ hπ

(6.4) L’erreur globale converge alors comme

p - p^h _1, ² _Ω = p - p^h _1, ² _τ τ ∈ Th

≤ γ(τ) hπ(τ) ² τ ∈ Th

≤ #T^h γ² h²π

(6.5) où

γ² = max

τ γ²(τ)

et h = max τ h(τ)

(6.6) Pour aller plus loin, il faut exprimer le nombre d'éléments #T^h en fonction de la taille des éléments mais ceci dépend de la dimension de l'espace de travail.

Cas unidimensionnel

Pour les grilles unidimensionnelles, le nombre d’éléments est proportionnel au rapport (L/h) où L est la longueur totale. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en déduit le taux de convergence de p - p^h _{1, τ}

2p = 2π - 1 ⇒ π = p + 1

2 (6.7)

Cas bidimensionnel

Pour les grilles bidimensionnelles, le nombre d’éléments est proportionnel au rapport (S/h²) où S est la surface totale. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en déduit le taux de convergence de p - p^h _{1, τ}

2p = 2π - 2 ⇒ π = p + 1 _(6.8)

Cas tridimensionnel

Pour les grilles tridimensionnelles, le nombre d’éléments est proportionnel au rapport (V/h³) où V est le volume total. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en déduit le taux de convergence de p - p^h _{1, τ}

2p = 2π - 3 ⇒ π = p + 3

2 (6.9)

6.3 h-adaptation

6.3.1 Définition du maillage optimal

Le maillage optimal est celui qui réalise la précision prescrite par l’utilisateur à moindre coût. Le coût d’une analyse éléments finis est une fonction polynomiale du nombre de degrés de liberté, c’est donc ce dernier ou, ce qui revient au même, le nombre de noeuds, qu’il faut minimiser. Malheureusement, les normes d’erreur sont définies par des intégrales, il n’est donc pas possible d’exploiter cette définition et il est alors couramment admis que le maillage optimal est celui qui réalise l’erreur prescrite pour un nombre minimal d’éléments [LI95/1, LI95/2, PEL93].

Il est possible de démontrer par cette définition que le maillage optimal est celui qui équidistribue l’erreur absolue élémentaire (paragraphe 6.3.2, démonstration restreinte aux solutions régulières), ce qui n’est pas évident a priori. Une généralisation de cette démonstration se trouve dans [PEL93] et montre que c’est le produit ^{p p - ph 1, Ω'} qui doit être équidistribué dans le cas de maillages à p variable, y compris en présence de singularités.

Notons enfin que ce paragraphe établit les relations nécessaires à la h-adaptation pour les erreurs exactes.

Non disponibles en pratique, elles seront remplacées par les erreurs estimées.

6.3.2. Lien entre maillage optimal et distribution d’erreur

On considère le maillage initial T^h et le maillage adapté T’^h. L’erreur relative globale en semi-norme H¹ du maillage adapté vaut par définition (3.26)

η' = p - p^h _{1, Ω'}

p _{1, Ω'} (6.10)

Le maillage adapté doit satisfaire à

η' ≤ η (6.11)

Par définition, le maillage adapté optimal sera donc solution du problème Minimiser #T'^h( p - p^h _1,τ' )

avec la condition p - p^h _1,² _τ' τ' ∈ T'^h

- η² p _1,² _Ω' = 0

(6.12) Pour résoudre ce problème, il faut exprimer les grandeurs du maillage adapté, notées avec l’indice ', en fonction de celles du maillage initial. Pour les déterminer, nous supposons que les maillages et les raffinements sont réguliers. Bien sûr, ceci introduit une approximation généralement admise lorsque nous exploiterons ces résultats dans le cas de maillages irréguliers, ce que confirment nos tests numériques.

Cas bidimensionnel

Pour un élément parent τ raffiné uniformément, le nombre d’éléments enfants dans le cas bidimensionnel est égal au rapport (figure 6.1)

#τ' = h(τ) h(τ' )

2

(6.13) figure 6.1. Nombre d’éléments enfants d’un raffinement uniforme

Le nombre total d’éléments du maillage adapté est alors égal à

#T'^h = h(τ) h(τ' )

2 τ∈ Th

(6.14) l’indice de sommation tenant compte du fait que τ' τ. En exploitant l’ordre de convergence asymptotique pour l’erreur élémentaire (6.4) et le résultat (6.8), on peut donc écrire, respectivement pour les maillages initial et adapté,

p - p^h _{1, τ} = C h^p+1(τ) (6.15)

p - p^h _{1, τ'} = C' h^p+1(τ' ) (6.16) Dans le cadre de cette démonstration, nous supposons la raffinement uniforme au sein de chaque élément.

Les erreur absolues p - p^{h 1, τ} et p - p^{h 1, τ'} prennent place sur la même droite de convergence en zone asymptotique (en diagramme log-log) et les constantes sont donc égales

C = C' (6.17)

En combinant (6.15) et (6.16), il vient avec (6.17),

h(τ' ) = p - p^h _1,² _τ' p - p^h _1,² _τ

1p+1 h(τ)

(6.18) La condition du problème (6.12) peut alors être exprimée en fonction des données du maillage initial. En effet,

p - p^h _1,² _τ' τ' ∈ T'^h

- η² p _1,Ω' = 0

(6.19) peut être réécrite par un raisonnement analogue à celui qui a donné (6.14), toujours en supposant un raffinement uniforme,

p - p^h _1,² _τ' h(τ) h(τ' )

2 τ ∈ T^h

- η² p _1,Ω' = 0

(6.20) soit, en tenant compte de (6.18)

p - p^h _1,² _τ' p - p^h _1,² _τ p - p^h _1,² _τ'

2p+1

τ ∈ T^h

- η² p _1,Ω' = 0

(6.21) Le problème (6.12) peut être formulé comme un problème de minimum libre en introduisant une fonctionnelle F et la condition par paramètre de Lagrange λ

F( p - p^h _1,² _τ' , λ )= p - p^h _1,² _τ p - p^h _1,² _τ'

2p+1

τ∈ T^h

+ λ p - p^h _1,² _τ' p - p^h _1,² _τ p - p^h _1,² _τ'

2p+1

τ∈ T^h

- η² p _1,² _Ω'

(6.22)

Le problème d'extrémum s'exprime alors par les deux conditions

∂F ( p - p^h _1,² _τ' , λ )

∂ p - p^h _1,² _τ'

= 0

(6.23)

∂F ( p - p^h _1,² _τ' , λ )

∂λ ^{= 0} (6.24)

Condition (6.23)

La première condition donne pour le premier terme de (6.22), l'indice de sommation disparaissant lorsque l’on dérive par rapport à l’erreur au sein de l’élément τ,

- 2p+1 p - p^h _1,² _τ 2

p+1 p - p^h _1,² _τ' - 2

p+1 - 1

(6.25) ou encore, sous une forme qui permettra les simplifications ci-dessous,

- 2p+1 p - p^h _1,² _τ 2

p+1 p - p^h _1,² _τ' p-1 p+1 - 2

(6.26) Le deuxième terme de (6.22) donne

λ ^2p

p+1 p - p^h _1,² _τ 2

p+1 p - p^h _1,² _τ' 2p p+1 - 1

(6.27) ou encore,

λ ^2p

p+1 p - p^h _1,² _τ 2

p+1 p - p^h _1,² _τ' p-1 p+1

(6.28) La première condition (6.23) devient alors, après simplifications,

- p - p^h _1,² _τ' ^{- 2} + λ p= 0 (6.29) ou encore,

p - p^h _1,² _τ' = 1

λ p (6.30)

montrant que pour réaliser le maillage optimal défini par le problème (6.12), l’erreur absolue élémentaire doit être équidistribuée. Les relations (6.10) et (6.11) impliquent alors

p - p^h _{1, τ'} = ^η p_{1, Ω'}

#T'h (6.31)

La plupart des algorithmes proposés [ZIE87, ZHO91, TRI92] proposent de remplacer dans l'équation (6.31) dans un souci de simplicité #T'^h par #T^h , c’est-à-dire de ne pas prédire le nombre d’éléments du maillage optimal. Cette simplification n’est pas nécessaire comme le montre la présente démonstration. En effet, en combinant les équations (6.14), (6.18) et (6.31), il vient

#T'^h

pp+1 = p - p^h_{1, τ} η p_{1, Ω}

2p+1

τ (6.32)

où l’on a également fait l’hypothèse

p_{1, Ω} ≈ p_{1, Ω'} (6.33)

Ce sont les relations (6.31), (6.32) et (6.18) qui ont été implantées et qui permettent de définir un indice de taille optimale par

ξ_τ ^{= h(τ)}

h(τ' ) (6.34)

Lorsque l’indice ξ_τ est supérieur à 1, l’élément τ doit être raffiné ; lorsque l’indice ξ_τ est inférieur à 1, l’élément τ doit être déraffiné. La distribution de l’indice de raffinement ξ_τ est appelée carte d’optimalité.

Cas tridimensionnel

La démonstration qui précède peut être étendue à trois dimensions. Il suffit de remplacer le nombre d’éléments du maillage adapté (6.14) par

#T'^h = h(τ) h(τ' )

3 τ∈ Th

(6.35) Tous calculs faits [BOU96/7], la relation (6.30) est remplacée par

p - p^h _1,² _τ' = 1

λ ( 2p - 1 ) (6.36)

aboutissant à la même conclusion d’équidistribution et l'équation (6.31) reste alors valable.

6.3.3 Critères requis pour les méthodes de h-adaptation

Dans les paragraphes qui suivent, nous nous intéressons uniquement aux méthodes de raffinement de maillage et n’abordons pas les méthodes de h-adaptation basées sur une régénération complète ou partielle du maillage.

Dans le cadre de la version h de la méthode des éléments finis, il est indispensable d’assurer la conformité du maillage T^h, c’est-à-dire de s’assurer que l’intersection de deux éléments τ1 et τ2 non disjoints et non identiques est : un noeud sommet commun, un côté commun, ou (à trois dimensions) une face commune.

Le raffinement local de l’élément affecte évidemment les éléments voisins, formant un sous-domaine appelé zone de transition et noté ζ_τ. Nous dirons que les méthodes de raffinement limitent la zone de transition lorsque celle-ci se réduit aux éléments connectés par un noeud à l’élément τ, c’est-à-dire lorsque

ζ_τ ⊆ χ_τ (6.37)

Enfin, nous exigeons des méthodes de raffinement qu’elles génèrent des éléments dont la taille s’approche le mieux possible de la carte d’optimalité (6.34) en respectant au mieux les critères géométriques habituellement attribués aux éléments. Ces critères peuvent être quantifiés par des indices de qualité géométrique considérant le carré et le triangle équilatéral comme les formes optimales des quadrilatère et triangle respectivement [SDR96].

Allongement

L’indice d’allongement A est défini par :

A = L_max

L_{min idéal} L_max

L_{min réel} (6.38)

où l’élément réel est comparé à l’élément de forme idéale correspondant (la carré ou le triangle équilatéral). L_max désigne la longueur de la plus grande diagonale (cas du quadrilatère) ou la longueur du plus grand côté (cas du triangle) et L_min la longueur du plus petit côté (cas du quadrilatère) ou le rayon du cercle inscrit (cas du triangle). L’élément aura un allongement acceptable si

0.8 ≤ A ≤ 1.2 (6.39)

Distorsion

L’indice de distorsion D est défini par :

D = dét J Ωidéal

Ωréel (6.40)

où l’élément réel est comparé à son élément parent idéal défini dans les axes naturels. J désigne le jacobien de la transformation isoparamétrique, Ωidéal l’aire de l’élément dans les axes naturels et Ωréel l’aire de l’élément dans les axes réels. L’indice D optimal vaut 1 correspondant au parallélogramme et au triangle à côtés rectilignes. L’élément aura un allongement acceptable si

0.8 ≤ D ≤ 1.2 (6.41)

En résumé, nous exigeons des outils de raffinements de maillage qu’ils : 1) assurent la conformité du maillage,

2) limitent la zone de transition,

3) génèrent des éléments dont la taille s’approche au mieux de la taille optimale, 4) génèrent des éléments satisfaisant aux critères de qualité géométrique (6.39) et

(6.41).

L’évaluation de ces quatre critères a déjà fait l’objet d’une étude systématique sur des configurations élémentaires typiques [ROM97].

6.3.4 Méthode de m-raffinement

Disposant de la carte d’optimalité de taille, nous souhaitons adapter le maillage en conséquence. Pour cela, nous pouvons procéder par régénération complète de la grille ou par raffinements locaux. Dans le premier cas, nous devons disposer d'un générateur automatique permettant la prescription locale en une distribution de points sur la géométrie. De tels outils existent [SDR96, DAS97] mais ils ne prévoient pas d'interface "utilisateur" permettant de saisir une carte d'optimalité. Nous avons alors développé les algorithmes de raffinement pour des maillages mixtes d’éléments 2D (triangles et quadrilatères). Adaptée des méthodes de 2- et 3-raffinement applicables aux quadrilatères [SCH95, BAN95], notre approche a le grand avantage d’être tout à fait générale et complètement intégrée de manière à permettre le traitement indifférent de maillages de quadrilatères seuls, de triangles seuls et de maillages mixtes. De plus, J. Z. Zhu et al.[ZHU93] ont montré que les méthodes de raffinement de maillage étaient satisfaisantes par rapport à la régénération complète au moins pour les éléments linéaires (p=1). Les outils développés sont schématisés à la figure 6.2. Nous ne nous sommes pas intéressés aux algorithmes de recombinaison qui permettent de transformer des maillages de triangles en maillages de quadrilatères.

grille de quadrilatères

grille mixte

grille de triangles

grille de triangles grille

mixte grille de

quadrilatères

grille de triangles maillage initial

maillage adapté

figure 6.2. Outils du logiciel de m-raffinement

Les méthodes de m-raffinement sont basées sur la division régulière d’un élément parent en m² éléments enfants. La figure 6.3 représente les motifs élémentaires fondamentaux des méthodes de 2- et 3- raffinement pour les triangles et quadrilatères.

3-raffinement 2-raffinement

figure 6.3. Motifs de division élémentaires du 2- et 3-raffinement

Les motifs de division élémentaires appliqués sans éléments de transition introduiraient évidemment une non conformité de maillage qui doit, pour satisfaire au critère 2 (paragraphe 6.3.3) être résolue dans le groupe d’éléments voisins. Le principe des méthodes de m-raffinement est basé sur la démarche illustrée à la figure 6.4 et détaillée ci-après. Il s’agit d’un algorithme récurrent puisque suivant l’indice de raffinement exigé, il y aura lieu d’appliquer plusieurs fois les motifs de subdivision élémentaires.

effectuer une subdivision niveau de subdivision élémentaire

carte d’optimalité ξτ

niveau de subdivision nodal

mettre à jourξτ

oui

non S (τ) = ar(log_m ξ_τ) maillage initial

τ ∈ T^h

maillage adapté τ' ∈ T'^h

∃ n S (n) > 0 S (n) = max

τ S (τ) ∀ τ ∈ χn

figure 6.4. Méthodologie du m-raffinement Maillage initial

Le maillage initial est considéré grossier de sorte que tous les indices de raffinement élémentaires soient supérieurs ou égaux à un. De cette manière, les techniques de déraffinement ne doivent pas être envisagées, ce qui simplifie considérablement la démarche.

Niveau de subdivision élémentaire S(τ)

Le niveau de subdivision élémentaire est défini par la relation

S (τ) = ar(log_m ξ_τ) (6.42)

liant l’indice de raffinement ξ_τ au nombre de subdivisions S(τ) nécessaires pour l’élément τ, c’est-à-dire au nombre de fois qu’il faut appliquer les motifs de division élémentaires (figure 6.3). La fonction ar désigne l’arrondi à l’entier le plus proche. Bien entendu, suivant la valeur de m, la relation (6.42) permettra de générer des éléments dont la taille sera plus au moins proche de celle requise par l’indice de raffinement (6.34).

Niveau de subdivision nodal S(n)

Afin de pouvoir gérer plus facilement les zones de transition, l’algorithme va travailler avec la valeur des niveaux de subdivision élémentaires ramenés aux noeuds par la relation

S (n) = max

τ S (τ) ∀ τ ∈ χn

(6.43)

qui indique que l’on choisit de conserver au noeud n le niveau de subdivision le plus élevé parmi tous les éléments connectés à ce noeud.

Effectuer une subdivision

On considère ensuite chaque élément τ T^h successivement. S’il existe au moins un noeud n τ dont le niveau de subdivision nodal est non nul, l’algorithme applique à cet élément τ le motif de division élémentaire approprié.

∀ τ ∈ T^h, ∃ n S (n) > 0 ⇒ subdiviser τ (6.44) Les motifs de subdivision élémentaires appropriés dépendent de la configuration élémentaire. La figure 6.5 illustre les motifs de la méthode de 3-raffinement où l’on désigne par le symbole un noeud dont le niveau de subdivision est non nul. Des motifs semblables sont disponibles pour le 2-raffinement avec une attention particulière à la configuration 2a (voir pour plus de détails [ROM97]).

0 1 2a

2b 3 4

figure 6.5. Motifs de subdivisions élémentaires (3-raffinement) Mettre à jour ξ_τ

Il serait naturel que la récurrence soit basée sur une mise à jour du niveau de subdivision nodal par une relation du type

S (n) ← S (n) - 1 (6.45)

et c’est d’ailleurs cette démarche qui figure dans la publication originale de R. Schneiders et al. [SCH95]. Toutefois, nous avons estimé préférable de comparer la taille réellement obtenue après une division à celle prescrite par l’indice de raffinement. Cette nuance prend effet pour les maillages non réguliers où l’application de motifs de subdivision élémentaires peut générer des éléments de taille très différente lorsque l’élément parent est distordu. Elle permet également de ne pas cumuler les approximations par arrondi ar dans la relation (6.42). La mise à jour de l’indice de raffinement se fait alors par la relation (6.46), si h(τ) désigne la taille initiale (de 6.34) et h(τ") celle obtenue pour l'instant

ξ_τ" = ξ_τh(τ" )

h(τ) (6.46)

et l’algorithme reprend au niveau des calculs de niveaux de subdivision élémentaires.

Récurrence

L’algorithme se termine lorsque tous les niveaux de subdivision nodaux sont nuls.

Choix optimal de m

Le choix de m doit être fait a priori. Les tests numériques effectués dans [ROM97] montrent que la méthode de 2-raffinement est quasiment toujours la plus intéressante sur base des critères de respect des tailles prescrites et de la qualité du maillage adapté.

6.4 Analyse adaptative du compartiment passager d’un véhicule

Nous avons vu au paragraphe 5.6.2 que l’analyse acoustique du compartiment passager d’un véhicule (coupe bidimensionnelle) ne comportait pas de singularités spécifiques de l’acoustique pour des fréquences inférieures à 200 Hz. Nous savons alors qu’en-dessous de cette limite, il est possible de contrôler le maillage pour satisfaire à une erreur prescrite. Nous allons étudier deux fréquences d’excitation (30 et 50 Hz) typiques d’une analyse adaptative en postulant que nous voulons atteindre une précision de 5 % (erreur relative globale prescrite). Cet exemple nous paraît pertinent car il nous permet de traiter des maillages mixtes, illustrant l'efficacité du lissage du champ de vitesses et des algorithmes de m-raffinement dans ce cas.

6.4.1 Analyse adaptative à 30 Hz (κ=1^.47)

L’estimation de l’erreur par la méthode de lissage du champ de vitesses SPRB conduit, pour le maillage initial (figure 5.14) à une erreur relative estimée par lissage du champ de vitesses de 11^.5 %. La distribution de l’indice de raffinement ξ_τ (6.34), ou carte d’optimalité, est donnée à la figure 6.6. On observe les valeurs d'indice de raffinement les plus élevées dans les zones de singularités géométriques (près des sièges) ou physiques (discontinuité des conditions aux limites de Neumann à l’avant).

figure 6.6. Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’indice de raffinement ξτ sur le maillage initial (p=1, f=30 Hz, k=0^.55 m^-1, κ=1^.47) - ηSPRB = 11^.5 %

L’application de la méthode de 2-raffinement à la carte d’optimalité 6.6 génère le maillage de la figure 6.7 dont l’erreur relative globale estimée par lissage du champ de vitesses SPRB vaut 4^.96 %, ce qui est inférieur à la tolérance que nous nous étions imposée. L’analyse adaptative a donc permis d’atteindre la valeur prescrite en une étape, ce qui est évidemment plus rapide que par raffinements uniformes. La comparaison des ordres de convergence en semi-norme H¹ entre le raffinement uniforme et l’adaptation de maillage est donnée à la figure 6.8 montrant le net avantage de cette dernière.

figure 6.7. Compartiment passager d’un véhicule : maillage adapté (1) (p=1, f=30 Hz, k=0^.55 m^-1, κ=1^.47) - ηSPRB = 4^.96 %

1%

10%

100%

100 1000 10000

uniforme adaptatif

# d.d.l.

v^*-v^h ₀ v^* ₀

κ=1.47 (f=30Hz)

figure 6.8. Compartiment passager d’un véhicule : convergence de l’erreur relative globale estimée, raffinement uniforme vs. raffinement adaptatif (p=1, f=30 Hz, k=0^.55 m^-1, κ=1^.47) 6.4.2 Analyse adaptative à 50 Hz (κ=2^.45)

L’estimation de l’erreur par la méthode de lissage du champ de vitesses SPRB conduit, pour le maillage initial (figure 5.14) à une erreur relative de 12^.2 %. La distribution de l’indice de raffinement ξ_τ (6.34), ou carte d’optimalité, est donné à la figure 6.9. A nouveau, on observe les valeurs d'indice de raffinement les plus élevées dans les zones de singularités géométriques ou physiques.

figure 6.9. Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’indice de raffinement ξτ sur le maillage initial (p=1, f=50 Hz, k=0^.92 m^-1, κ=2^.45) - ηSPRB = 12^.2 %

L’application de la méthode de 2-raffinement à la carte d’optimalité 6.9 génère le maillage de la figure 6.10 dont l’erreur relative globale estimée par lissage du champ de vitesses SPRB vaut 8^.72 %, ce qui est supérieur à la tolérance que nous nous étions imposée. La carte d’optimalité du maillage adapté est donnée à la figure 6.11 et l’application de la méthode de 2-raffinement fournit le maillage de la figure 6.12. Cette fois, l’erreur relative globale estimée est inférieure à la tolérance (4^.05 %), ce qui clôture la procédure adaptative.

figure 6.10. Compartiment passager d’un véhicule : maillage adapté (1) (p=1, f=50 Hz, k=0^.92 m^-1, κ=2^.45) - ηSPRB = 8^.72 %

figure 6.11. Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’indice de raffinement sur le maillage adapté (1)

(p=1, f=50 Hz, k=0^.92 m^-1, κ=2^.45) - ηSPRB = 8^.72 %

figure 6.12. Compartiment passager d’un véhicule : maillage adapté (2) (p=1, f=50 Hz, k=0^.92 m^-1, κ=2^.45) - ηSPRB = 4^.05 %

La comparaison des ordres de convergence en semi-norme H¹ entre le raffinement uniforme et l’adaptation de maillage est donnée à la figure 6.13 montrant le net avantage de cette dernière.

1%

10%

100%

100 1000 10000 100000

uniforme adaptatif

# d.d.l.

v^*-v^h ₀ v^* ₀

κ=2.45 (f=50Hz)

figure 6.13. Compartiment passager d’un véhicule : convergence de l’erreur relative globale estimée, raffinement uniforme vs. raffinement adaptatif (f=50 Hz, κ=2^.45)

6.4.3 Estimation d'erreur à 500 Hz (κ^=24.49)

Nous avons évoqué (paragraphe 5.6.2) les raisons pour lesquelles nous pensons que l’estimation d’erreur au-delà de 200 Hz n’est pas fiable (l’estimateur n’est pas efficace). Néanmoins, nous regardons par curiosité la carte d’optimalité à 500 Hz basée sur l’estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses SPRB et, même si nous savons pertinemment que les indices de raffinement sont probablement sous- évalués, on peut néanmoins constater que le maillage doit être raffiné globalement et non localement.

Nous interprétons ceci comme une confirmation de la domination, à cette fréquence, de l’influence de la k-singularité qui est à caractère global par opposition aux singularités géométriques qui sont à caractère local.

figure 6.14. Compartiment passager d’un véhicule : distribution de l’indice de raffinement sur la maillage initial (p=1, f=500 Hz, k=9^.24 m^-1, κ=24^.49) - ηSPRB = 26^.7 %