Semaine 17

(1)

Colle PC Semaine 17 2012-2013

Espaces euclidiens E

n

de dimension n : automorphismes orthogonaux, endomorphismes symétriques et réduction des matrices symétriques réelles

f rotation de E

3

(f 6 = Id

E3

, f ∈ SO

^E³

) Ker(f − Id

E3

) est une droite vectorielle dirigée par un vecteur unitaire u.

Il existe θ ∈ R− 2πZ, unique modulo 2π tel que pour toute base orthonormale (u, v, w) directe de E

3

, on ait :

mat

_(u,v,w)

f =





1 0 0

0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ





f est la rotation d’axe R u et d’angle θ : notation f = r

u,θ

.

f antirotation de E

3

(f 6 = Id

E3

, f ∈ O

^E³

− SO

^E³

) Deux cas se présentent :

Ker(f − Id

E3

) non réduit à { 0 } .

C’est un plan P et f la réflexion de plan P . Matrice symétrique.

Ker(f − Id

E3

)= { 0 } : 1 n’est pas va- leur propre.

Si f 6 = Id

E3

alors Ker(f + Id

E3

)= R u et f est la composée communtative d’une rotation r

u,θ

(θ 6 = 0 (π)) et d’une réflexion s de plan (Ru)

^⊥

.

f = r

u,θ

o s = s o r

u,θ

Il existe une base orthonormale (u, v, w) directe de E

3

, on ait :

mat

(u,v,w)

f =





− 1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ





Étude de l’endomorphisme dont la matrice dans une base orthonormale directe (i, j, k) est

EXERCICE 1 :

A = 1 6





2 − √

6 √

6 − √ √ 6 1 3

6 3 1





Réponse : A ∈ O

⁻3

(E

3

) symétrique et différente de − I

3

. f est une réflexion de plan P : √ 6x + 3y − 3z = 0

EXERCICE 2 :

B = 1 4





− 2 − √

6 √

√ 6

6 1 3

− √

6 3 1





Réponse : B ∈ O

⁺3

(E

3

) . Ker(f − Id

E3

)=Ru avec u =

√ 2

2 (j + k) et θ = 2π

3 (2π) et f = r

u,θ

.

EXERCICE 3 :

C = 1 4





− 2 √

6 √

√ 6

6 − 1 3

− √

6 − 3 1





Réponse : C ∈ O

3⁻

(E

3

) n’est pas symétrique . Ker(f + Id

E3

)= R u

avec u = r 3

5 i − r 2

5 et θ = − arccos 1

4 (2π) et f = s o r

u,θ

. s symétrie par rapport à ( R u)

^⊥

EXERCICE 4 :

A = − 1 9





7 4 4

− 4 8 − 1 4 1 − 8





Réponse : A ∈ O

⁺3

(E

3

) . Ker(f − Id

E3

)=Ru avec u = 1

√ 17 (i − 4k) et θ = arccos 8

9 − π (2π) et f = r

u,θ

.

EXERCICE 5 :

A = − 1 9





− 7 − 4 4 4 − 8 − 1

− 4 − 1 − 8





Réponse : A ∈ O

⁻3

(E

3

) . Ker(f + Id

E3

)=Ru avec u = 1

√ 2 (j + k) et θ = arccos − 7

9 (2π) et f = s o r

u,θ

. s symétrie par rapport à (Ru)

^⊥

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