Année 2012/2013 Révisions

A Exercices (Les exercices de 1 à 7 sont « SANS CALCULATRICE »)

Exercice 1 Les polynômes

On donne les polynômes P(x) = 2 x ² + 5 et Q(x) = 2 – 3 x ³ .

 Calculer la valeur numérique de P(x) pour x = 3 et celle de Q(x) pour x = –2.

 Calculer et donner les résultats sous formes réduites et ordonnées de x des expressions suivante

P(x) + Q(x) = … P(x) – Q(x) = … P(x).Q(x) = … (P(x)) ² = …

Exercice 2 Les polynômes

Factoriser les expressions A(x) = 25 x ² – 4 ; B(x) = (x – 7) ² – 9 et C(x) = 25 x ² – 4 x.

Exercice 3 Les polynômes Résoudre les équations suivantes



x ² 1  0 (3x 1)(x  5)  0 2x 1

x 1  0 Exercice 4 – Fonction du premier degré (image et antécédent)

Soit f la fonction définie par f x :   2 x 9 . On note F sa droite représentative.

a) Calculer f (3) et l’image de 6 par f : b) Déterminer l’antécédent de (– 7) par f : c) Indiquer la définition de zéro d’une fonction : d) Déterminer le zéro de la fonction f :

e) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de F avec l’axe des y :

Exercice 5 – Tracé de droites

Tracer dans le repère ci-dessous les sept droites que voici :

2 1

1 3 2 2 4 3 4 4 3 5 2

3 4

y x y x y x y x x

                     



6  y  2 ; 7  y  2x

Exercice 6– Equation de droite par le calcul

Soit les points A et B de coordonnées A(2 ; 5) et B(4 ; 9). Déterminer l’équation réduite de la droite (AB)

Exercice 7 – Retrouver une équation de droite graphiquement

a) Pour chacune des droites D1 et D2, indiquer et colorier sur le graphique les valeurs de  x et de  y . b) Donner par lecture graphique les équations des droites D1, D2, D3 et D4.

D1 : …

D2 : …

D3 : …

D4 : …

B Parties (Les parties de 1 à 9 sont « AVEC CALCULATRICE » )

Partie 1 Calculs de base

1. Calculer le nombre A défini par 1 2

3

3 4

4 5

A

 



:

2. Donner la valeur approchée de ce nombre à 0,1 près : A = ...

3. Indiquer l’écriture décimale du nombre ^{B }  ^{342 10  6}   ^{ 542 10   3}  ^:

4. En déduire son écriture scientifique : B  …

5. Donner la valeur arrondie à 3 décimales de chacun d’entre eux.

3



785 250



2  3 ^3,142857

Valeur arrondie à 3 décimales

Partie 2 Décomposition en produit de facteurs premiers

a) Décomposer chacun des nombres 785 et 250 en facteurs premiers : b) En déduire la forme irréductible de la fraction



785 250 :

Partie 3 Racines carrées

a) On considère les nombres A, B, C et D suivants :

2 2 2 2 2 2

2 ( 3) , 2 3 , ( 2 3) et ( 2 3) .

A   B   C   D  

1. Calculer chacun de ces nombres

2. Ranger ces quatre nombres par ordre croissant :

… < … < … < … b) Indiquer la forme a 3  b 2 du nombre



( 2  3) ³ _: ( 2  3) ³  ...

c) 1. Indiquer la quantité conjugué de 3  2 : … 2. Indiquer la forme



a  b c du nombre 5

3  2 en détaillant votre calcul :

Partie 4 – Les polynômes

a) On considère le polynôme P défini par P x ( )  31 x  32 x ²  2 x ⁴  60  x ³ .

 Calculer la valeur numérique de P x ( ) en x  5 :

 Factoriser le polynôme P :

b) On considère le polynôme P défini par P x ( ) 15(  x  6) ³  30(4 x  3) ²  6( x   8) 2 . Indiquer la forme développée, réduite et ordonnée de polynôme P :

Partie 5 – Les équations

1. Résoudre avec la calculatrice l’équation 3( x  6) ²  5( x   6) 3 x ²  18 : 2. Résoudre l’équation produit (2 x  5)( x  3)( x  4)  0 sans calculatrice et vérifier avec la

calculatrice les solutions

3. On considère l’équation 2 3 3 9 2

x x

  

 . Résoudre cette équation sans calculatrice et vérifier

avec la calculatrice les solutions

Partie 6 – Les fonctions Un cinéma propose deux tarifs :

 tarif 1 : 7,50 € la place ;

 tarif 2 : 5,25 € la place sur présentation d’une carte d’abonnement coûtant 27 €, valable un an.

a) Compléter le tableau suivant :

Nombre de places achetées en un an 4 15 30

Prix en € avec le tarif 1 Prix en € avec le tarif 2

b) On désigne par x le nombre de places achetées au cours d’une année. On note :

 P 1 le prix payé avec le tarif 1 ;

 P 2 le prix payé avec le tarif 2.

Exprimer P 1 et P 2 en fonction de x

En dépensant 52,50 € avec le tarif 1, combien de places a-t-on achetées ? En dépensant 84,75 € avec le tarif 2, combien de places a-t-on achetées ?

Dans une application « Graphiques » :

 régler la fenêtre avec les valeurs suivantes : XMin : – 1 ; XMax : 20 ; Pas (graduation) : 2 ; YMin : – 50 ; YMax : 250 ; Pas (graduation) : 10 ;

 représenter les fonctions tarifs 1 et 2 ;

 déterminer, par lecture graphique, le nombre de places pour lequel les tarifs 1 et 2 sont égaux.

c) Retrouver ce résultat en justifiant la réponse par un calcul ou en précisant la commande saisie à la calculatrice.

d) Préciser l’ensemble des valeurs du nombre de séances pour lesquelles le tarif 1 est plus avantageux que le tarif 2.

Partie 7 – Les équations de droites

On considère les fonctions affines f et g définies respectivement par : f (x) = 3

5 x + 2

3 et g (x) = 5 7 x + 1

3 .

1) Dans une application « Graphiques », représenter graphiquement les deux fonctions

affines f et g et déterminer une valeur approchée des coordonnées du point I, point

d’intersection des droites représentatives des fonctions affines f et g.

point I, point d’intersection des droites représentatives des fonctions affines f et g.

Partie 8 – Les pourcentages

Un magasin décide d’accorder une remise de 40% sur la vente de ses vêtements d’été.

a) Combien sera vendu un pantalon dont le prix initial est de 60 € ?

b) Soit x le prix d’un vêtement quelconque avant réduction. Exprimer son prix p(x) après réduction en fonction de x.

c) Quel était le prix initial, avant remise, d’un polo qui coûte à présent 90 € ?

Partie 9 – Les droites

1) Placer les points A(1 ; 4) et B(–5 ; –2) dans le repère ci-dessous :

2) Tracer la droite (AB) et lire graphiquement l’équation de cette droite ;

3) Tracer la droite  1 d’équation y = –2 x ; tracer la droite  2 parallèle à  1 passant par le point A et déterminer, par lecture graphique ou par calcul, l’équation réduite de la droite  2 ;

4) Tracer la droite  3 d’équation y = 1 5 x – 1.

5) Les droites  2 et  3 sont sécantes en un point C de coordonnées (x _C ; y _C ).

Par lecture graphique, compléter les inégalités suivantes par les entiers les plus proches :

…… < x C < …… et …… < y C < ……

C Théorie à connaître

La valeur numérique d’un polynôme est le réel obtenu en replaçant les lettres par le réel donné et en effectuant les opérations.

Identités remarquables

(a+b) ² = a ² +2ab+b ² (a-b) ² =a ² -2ab+b ² (a+b)(a-b)=a ² -b ²

Règle du produit nul : le produit de nombres réels est nul si et seulement si un des facteurs est nul.



a ,b  R : ab  0 ssi a  0 ou b  0

Règle du quotient nul : le quotient de nombres réels est nul si et seulement si son numérateur est nul.



a, R b, R ₀ : a

b  0 ssi a  0 Règle du produit en croix :



a,c  R b,d  R ₀ : a b  c

d ssi ad  bc La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a.

Pour tous les nombres positifs a et b, on a :



a  b  ab



a ²  a a  a avec b  0, on a :



a b  a

b Attention :



a  b  a  b de même a ²  b ²  a  b

Une fonction est une relation qui, à chaque valeur de la variable x fait correspondre au plus (0 ou 1) une valeur de y. Pour exprimer que y est une fonction de x, on écrit y=f(x) ou f : x  y=f(x).

Une fonction du premier degré en x est une expression de la forme



f : x y  mx  p avec m  0

L’ordonnée à l’origine d’une courbe (droite) représentant la fonction f est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe avec l’axe y.

En pratique, elle s’obtient en calculant la valeur numérique y de la fonction f pout x =0, c’est à dire « f (0) »

L’abscisse à l’origine d’une courbe (droite) représentant une fonction f est l’abscisse du point d’intersection de la courbe avec l’axe x.

En pratique, elle s’obtient en résolvant l’équation « 0 = f (x) »

Lorsqu’il s’agit d’une droite on résout l’ équation 0 = mx+p. On obtient –p/m.

Ce nombre est appelé le zéro de la fonction ou la racine de l’équation f(x) = 0.

Un point appartient au graphique d’une fonction lorsque ses coordonnées vérifient l’équation du graphique.

Droite horizontale : Tous les points d’une droite parallèle à l’axe x ont la même ordonnée, son équation

s’écrit y=p

Droite verticale : Tous les points d’une droite parallèle à l’axe y ont la même abscisse, son équation s’écrit x=k

La pente d’une droite est le rapport entre l’accroissement des ordonnées (



y ) et celui des abscisses (



x ) de deux points quelconques de la droite.



m  y

x  y _B y _A x _B  x _A

Détermination de l’équation d’une droite

L’expression y =mx+p est la forme générale d’une droite de pente m et passant par le point (0 ;p).

Pour déterminer l’équation d’une droite, il faut connaître les valeurs des coefficients m et p.

Recherche de m :

Soit la pente est donnée, soit la pente se calcule en utilisant la formule



m  y

x ^. La pente est égale à celle d’une droite parallèle à la droite donnée.

Recherche de p :

La pente étant connu, pour déterminer la valeur de p, il suffit de remplacer dans l ‘équation y= mx+p, x et y par les coordonnées d’un point de la droite

Pour construire le graphique d’une fonction affine ( y=mx +p),

On cherche les coordonnées de deux points qui appartiennent à la droite. Les points ( 0 ; p) et ( -p /m ; 0) par exemple

Les pourcentages

Prendre 5% de x. Augmenter x de 5%. Diminuer x de 5%.

Calcul à effectuer Multiplier par 0,05 Multiplier par 1,05 Multiplier par 0,95 Fonction linéaire f : x ^  0,05 x g : x ^  1,05 x h : x ^  0,95 x

Exemple : Prendre 5% de 20 :

f(20) = 0,05  20 = 1 Augmenter 20 de 5% :

g(20) = 1,05  20 = 21 Diminuer 20 de 5% : h(20) = 0,95  20 = 19

La calculatrice TI-Nspire :

L’ECOLE EEB1.