Calcul formel et
Mathématiques avec
la calculatrice HP Prime
Renée De Graeve
Maître de Conférence à Grenoble I
2013 Renée De Graeve, [email protected]
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0.1. INDEX 3
0.1 Index
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Index
∆LIST,301 ΠLIST,302 ΣLIST,301 I,517
≥,206 R ,68,80
≤,206 6=,206,532 k,206
∂,67 π,205
’,67, 236
”,67
*,45,137,338
+,45,136, 308,312,319,337 +infinity,205
-,45, 137, 309,337 ->,49,65
-inf,205 -infinity,205 .*, 309,338 .+, 308,337 .-, 309,337 ./, 310,339 .ˆ,339
/,45,139,141 //, 515,532 :=,49,65,517
<,206,532
<=,206,532
<>,532
==,206,532
=>,383,387,517
>,206,532
>=,206,532 [[]],311 [],311
%, 135,219
%e,205
%i,205
%pi,205
&*,338
&&, 206
&ˆ,338 ˆ,140, 338 ˆ,45
_, 381, 385,390
!, 206,239
!=,206,532
", 311
invztrans,106 a2q,109 abcuv,155 about, 525 ABS,221,349 abs,221 abscissa,450 ACOS,227 acos,227 acos2asin,119 acos2atan,119 ACOSH,232 acosh,232 ACOT,230 acot,230 ACSC,229 acsc,229 ADDCOL,330 additionally, 524 additionally,521,524 ADDROW,336 affix,450 algvar,234 ALOG,224 alog10,224 altitude,413 AND,532 and, 206,532 angle,451 4
INDEX 5 angleat,442
angleatraw,443 Ans,526 ans,526 append,293 apply,302 approx,236 ARC,429 arc,429 arcLen,452 area,453 areaat,443 areaatraw,444 ARG,220 arg,220 ASC,313 asc,313 ASEC,229 asec,229 ASIN,227 asin,227 asin2acos,118 asin2atan,119 ASINH,231 asinh,231 assume, 521 ATAN,227 atan,227 atan2acos,120 atan2asin,120 ATANH,233 atanh,233 atrig2ln,122 barycenter,399 basis,341 Beta,371
BINOMIAL,251 binomial,251 binomial, 244
BINOMIAL_CDF,254 binomial_cdf,254 BINOMIAL_ICDF,258 binomial_icdf,258 bisector,413 bitand, 207 bitor, 207 bitxor, 207
bounded_function,71 BREAK,530
canonical_form,159 CASE,528
cat,312 CEILING,209 ceiling,209
Celsius2Fahrenheit,389 center,412
cFactor,59 cfactor,59 CHAR,314 char,314 charpoly,340 CHECK,537 chinrem,156,184 CHISQUARE,250 chisquare,250
CHISQUARE_CDF,253 chisquare_cdf,253 CHISQUARE_ICDF,257 chisquare_icdf,257 cholesky,359 CHOOSE,533 Ci,378 circle,428 circumcircle,430 coeff,163 col,332 col, 298 colDim,330 collect,55 COLNORM,351 colnorm,351 colSwap,331 COMB,239 comb,239 comDenom, 61 comment, 515
common_perpendicular,393 companion, 172
compare, 520 complexroot,160 CONCAT,291,319 concat,291
COND,353 cond,353
conic,111,431 conique,111 CONJ,220 conj,220 contains, 298 content, 177 CONTINUE,529 convert,383,387 convertir,383 convexhull, 428 coordinates,453 CopyVar,518 correlation,270 COS,227 cos,227 cos2sintan,120 COSH,232 cosh,232 COT,229 cot,229 count, 298 covariance,268
covariance_correlation,271 cpartfrac, 61
crationalroot,161 CROSS,369 cross,369 CSC,228 csc,228 cSolve,95 csolve,95
cumSum,307,312 curl,77
cyclotomic,185 cZeros,96 cZzeros,95 degree,176 DELCOL,332 delcols,332 DELROW,333 delrows,333 deltalist,301 denom,62 deSolve,97 desolve,97 DET,340 det,143,340
diag,358 diff,67
DIM,294,318 dim,294,318,330 Dirac,380
distance,457 distance2,457 distanceat,445 distanceatraw,445 divergence,77 divis,146,165 division_point,409 divpc,88
DO,529,530
DOM_COMPLEX,519 DOM_FLOAT,519 DOM_FUNC,519 DOM_IDENT,519 DOM_INT,519 DOM_LIST,519 DOM_RAT,519 DOM_STRING,519 DOM_SYMBOLIC,519 DOT,369
dot,369 DrawSlp,412 e,205
EDITMAT,535 egcd,154 Ei,376
EIGENVAL,355 eigenvals,355 eigenvects,356 EIGENVV,356 eigVl,357 element,407,521 ellipse,431 ELSE,527 END,526–530 equation,457
equilateral_triangle,421 erf,374
erfc,375 euler,131
euler_gamma,205 eval,235
evalc,221
INDEX 7 evalf,236
even,127 exact,237 exbisector,414 excircle,432 EXP,225 exp,225 exp2pow,116 exp2trig,117 expand,57 expexpand,118 EXPM1,225 exponential, 244
exponential_regression,275 expr,315
extract_measure,458 ezgcd,152
f2nd, 63
factor,58,142,146 factor_xn,177 factorial,239 factors,165 fadeev, 340
Fahrenheit2Celsius,389 FALSE,205
false,205 fcoeff,170 fft,91 FISHER,250 fisher,250 fisher, 244
FISHER_CDF,254 fisher_cdf,254 FISHER_ICDF,258 fisher_icdf,258 FLOOR,209 floor,209 fMax,65 fMin,65 FNROOT,218 FOR,529 FP,210 frac, 213 fracmod,141 FREEZE,534 FROM,529 froot,161
fsolve,107 function_diff,66 Gamma,372 gauss,110 gbasis,186
gcd,128,142,151,166 GETKEY,534
GF,144 grad,78
gramschmidt,110 greduce,187 half_line,414 halftan,121
halftan_hyp2exp,114 hamdist, 208
harmonic_conjugate, 411 harmonic_division,410 has, 235
head,320 Heaviside,379 hermite,187 hessenberg,359 hessenberg, 340 hessian,78 hexagon, 426 hilbert,347 histogram,267 homothety,436 hyp2exp,118 hyperbola,432 i,205,219 iabcuv,129 ibasis,342 ibpdv,82 ibpu,84 ichinrem,134 id,208
IDENMAT,346 identity,346 idivis,128 iegcd,129 IF,526,527 ifactor,128 ifactors,128 IFERR,529 ifft,91
IFTE,527 igcd,151 ihermite,359 ilaplace,100 IM,220 im,220 image,342 incircle,433 inf,205 infinity,205 INPUT,516,534 input,516 INSTRING,313 inString,313,317 int,68,80
integer, 521 integrate,80 inter, 405
interval2center,64 inv,141,143,208 inversion,437 invlaplace,89,100 IP,210
iPart, 214 iquo,133 iquorem,134 irem,134 is_colinear,462 is_concyclic,462 is_conjugate,462 is_coplanar,463 is_element,464 is_equilateral,465
is_harmonic_circle_bundle, 471 is_harmonic_line_bundle, 471 is_isosceles,465
is_orthogonal,466 is_parallel,467 is_parallelogram,467 is_perpendicular,468 is_rectangle,468 is_rhombus,469 is_square,470 ISKEYDOWN,534 ismith,360
isobarycenter,402 isoploygon,425 isosceles_triangle,422
isPrime,130 isprime,130 ITERATE,530 ithprime,130 jacobi_symbol,132 jordan,358
JordanBlock,347 ker,342
l1norm,306,370 l2norm,306,370 lagrange,188 lagrange, 340 laguerre,191 laplace,89,100 laplacian,79 lcm,129,153,167 lcoeff,170,176 left,63,297,317 legendre,192
legendre_symbol,131 length,294,318 lgcd,129
ligne_polygonale_pointee,273 lim,70
limit,70,72 lin,113 Line,416 line,414
linear_interpolate,274 linear_regression,274 LineHorz,416 LineTan,412 LineVert,416 linsolve,108 list2mat,305 LN,222 ln,222 lname,233 lncollect,113 lnexpand,113 LNP1,225 LOCAL,532 locus,433 LOG,223 log,222 log10, 223
INDEX 9 logarithmic_regression,276
logb, 224
logistic_regression,279 LQ,361
LSQ,362 LU,363 lu,364 lvar,233
MAKELIST,289 makelist,289 MAKEMAT,345 makemat,345 MANT,214 map,302 mat2list,306 matpow,358 matrix,345 matrix,302 MAX,217 max ,217
maxnorm, 306,370 MAXREAL,205 mean, 261,283,285 median, 264,283,285 median_line,417 member, 298 mid,318 midpoint,402 MIN,217 min,217 MINREAL,205 mkisom,347 mksa,384,388 MOD,217 modgcd,152 mRow,336 mRowAdd,337 MSGBOX,534 mult_c_conjugate,222 mult_conjugate,57 nDeriv,68
neg,208 nextprime,130 norm, 306
normal, 56,136,137,140 NORMALD,249
normald,249
normald, 244
NORMALD_CDF,252 normald_cdf,252 NORMALD_ICDF,256 normald_icdf,256 normalize, 307 NOT,533 not, 206 nSolve,107 NTHROOT,218 numer,62 odd,127 odesolve,103 open_polygon, 427 OR,533
or, 206,533 order_size, 88 ordinate,459 orthocenter, 406 pa2b2,133 pade,75 parabola,435 parallel,418 parallelogram,425 parameq,459 partfrac,61 pcoef,164,170 pcoeff,164,170 perimeter,460 perimeterat,446 perimeteratraw,447 PERM,240
perm,240 permu2mat,364 perpen_bisector,418 perpendicular,418 PI,205
Pi,205 pi,205
PIECEWISE,52 piecewise,52 pivot,354 plotcontour,200 plotdensity,198 plotfield,199 plotfunc,195 plotimplicit, 197
plotlist,201,273 plotode,201 plotparam, 196 plotpolar, 197 plotseq,197 pmin,171 pmin, 340 point,401 point2d,403 POISSON,251 poisson,251 poisson, 244
POISSON_CDF,256 poisson_cdf,256 POISSON_ICDF,259 poisson_icdf,259 polar,411
polar_coordinates,456 polar_point, 403 pole,411 poly2symb,169 POLYCOEF,321 POLYEVAL,321 polyEval,171 POLYFORM,322 polygon, 427 polygonplot,272 polygonscatterplot,273 polynomial_regression,278 POLYROOT,323
POS,293 potential,79 pow2exp,117
power_regression,278 powerpc,436
powexpand,114 powmod,135,140 prepend,293 preval,69,85 prevprime,131 primpart,178 PRINT,535 print,517 product,302 projection,438 proot,159 propfrac,62 Psi,373
ptayl,162 purge,525 q2a,109 QR,365 qr,365
quadrilateral,425 quantile, 266,283,285 quartile1,265,283 quartile3,266,283 quartiles, 265,283,285 quo,138, 147,173 quorem,138, 150 QUOTE,236 quote, 236,311 radical_axis,420 radius,460 ramn,346 rand,241 randexp,248 RANDINT,240 RANDMAT,346 randMat,346 randmatrix,346 RANDNORM,247 randNorm,247 RANDOM,240 randperm,244 randPoly,173 randpoly,173 RANDSEED,248 RandSeed,248 randvector, 244 RANK,354 rank,354 RE,220 re,220
reciprocation,411 rectangle,423
rectangular_coordinates,456 REDIM,334
reduced_conic,111 ref,108
reflection,439 regroup, 56 rem,138, 148,174 remove,297 reorder,173
INDEX 11 REPEAT,530
REPLACE,335 residue,74 restart,526 resultant,181 REVERSE,290 revlist,295 rhombus,422 right,64,297,318 right_triangle,421 romberg,69 rootof,162 rotate,295,318 rotation,440 ROUND,211 round,211 row,332 row, 298 rowAdd,336 rowDim,330 ROWNORM,350 rownorm,350 rowSwap,331 RREF,343 rref,143,343 rsolve, 327 SCALE,336 SCALEADD,337 SCHUR,366 schur,366 SEC,229 sec,229 segment,419 SELECT,537 select,301 seq,531 seqsolve, 325 series,73 shift,296 shift_phase, 123 Si,377
SIGN,221 sign,221 signature,64 similarity,440 simplify,55 simult,344
SIN,227 sin,227 sin2costan,119 sincos,117 single_inter, 403 SINH,231 sinh,231
SIZE,294,318,319 size,294,318 slope,461 slopeat,448 slopeatraw,449 snedecor,250 snedecor_cdf,254 snedecor_icdf,258 solve,93
SORT,290 sort,290
SPECNORM,351 SPECRAD,352 spline, 189 sq,208 sqrfree,59 sqrt,208 square,424 srand,248
STARTAPLET,537 STARTVIEW,537 stddev, 262,283,285 stddevp, 263,283 STEP,529 StoI,65 string,315,316 STUDENT,250 student,250
STUDENT_CDF,253 student_cdf,253 STUDENT_ICDF,257 student_icdf,257 sturm,178 sturmab,179 sturmseq,179 SUB,334 subMat,334 subst,60 sum,76,301 sum_riemann,85 suppress,296
surd,218 SVD,366 svd,366 SVL,368 svl,368
SWAPCOL,331 SWAPROW,331 sylvester,181 symb2poly,168 table,286 tail,296,320 TAN,227 tan,227 tan2sincos,121 tan2sincos2,120 tangent,419 TANH,232 tanh,232 taylor,88
tchebyshev1,192 tchebyshev2,193 tcollect,124 texpand,115 THEN,526,527 time,46
tlin,122 TO,529 TRACE,355 trace,355,407 translation,441 transpose,339 triangle, 420 trig2exp,125 trigcos,122 trigexpand,124 trigsin,121 trigtan,122 TRN,339 trn,339 TRUE,205 true,205 trunc,212
TRUNCATE,212 truncate,164,213 tsimplify, 118,123 TYPE,519 type,519
ufactor, 385, 389 unapply,48 UNCHECK,537 UNTIL,530 usimplify,385,390 UTPC,248
UTPF,249 UTPN,249 UTPT,249 valuation,176 vandermonde,349 variance, 264,283,285 vector, 416
vertices, 406 vertices_abca, 407 vpotential,80 WAIT,535 when,51 WHILE,530 XOR,533 xor, 206 XPON,214 zeros,94 Zeta,374 zip,305 ztrans,104
Table des matières
0.1 Index . . . 3
I Pour commencer 33 0.2 Généralités . . . 35
0.3 Les touches CAS et . . . 36
0.4 Pour reinitialiser et pour effacer . . . 38
0.5 L’écran tactile . . . 39
0.6 Le touches . . . 39
0.7 La configuration générale . . . 40
0.8 La configuration du CAS . . . 40
0.9 La configuration de la calculatrice Shift- . . . 41
0.10 Les fonctions de calcul formel . . . 41
II Le menu CAS de la touche 43 1 Généralités 45 1.1 Les calculs dans le CAS . . . 45
1.2 La priorité des opérateurs . . . 45
1.3 La multiplication implicite . . . 46
1.4 Le temps de calcul :time . . . 46
1.5 Les listes et les séquences dans le CAS . . . 47
1.6 Différence entre expressions et fonctions . . . 48
1.6.1 Définir une fonction par une expression . . . 48
1.6.2 Définition d’une fonction de une ou plusieurs variables . . 49
1.6.3 Définir une fonction par 2 expressions : when. . . 51
1.6.4 Définir une fonction par n valeurs : PIECEWISE piecewise 52 1.6.5 Exercice sur les expressions . . . 52
1.6.6 Exercice (suite) sur les fonctions . . . 53
2 Le menu Algebra 55 2.1 Simplifier une expression : simplify . . . 55
2.2 Factoriser un polynôme sur les entiers : collect . . . 55
2.3 Regrouper et simplifier : regroup . . . 56
2.4 Développer et simplifier : normal . . . 56
2.5 Développer une expression : expand . . . 57
2.6 Multiplier par la quantité conjuguée : mult_conjugate . . . . 57 13
2.7 Factoriser une expression : factor . . . 58
2.8 Factorisation sans facteur carré : sqrfree . . . 59
2.9 Factorisation dans C : cFactor cfactor . . . 59
2.10 Substituer une variable par une valeur : subst . . . 60
2.11 Les fractions. . . 61
2.11.1 Décomposer en éléments simples : partfrac . . . 61
2.11.2 Décomposition en éléments simples sur C : cpartfrac. 61 2.11.3 Réduire au même dénominateur : comDenom . . . 61
2.11.4 Partie entière et fractionnaire : propfrac . . . 62
2.12 Extract. . . 62
2.12.1 Numérateur d’une fraction après simplification : numer . 62 2.12.2 Dénominateur d’une fraction après simplification : denom 62 2.12.3 Numérateur et dénominateur : f2nd . . . 63
2.12.4 Pour avoir le membre de gauche d’une équation : left . 63 2.12.5 Pour avoir le membre de droite d’une équation : right . 64 2.12.6 Centre d’un intervalle : interval2center . . . 64
2.12.7 Signature d’une permutation : signature . . . 64
3 Le menu Calculus 65 3.1 Définition d’une fonction : := et ->(StoI). . . 65
3.2 Maximum et minimum d’une expression : fMax fMin . . . 65
3.3 Dérivation . . . 66
3.3.1 Fonction dérivée d’une fonction : function_diff . . . 66
3.3.2 Dérivation : ∂ diff ’ ". . . 67
3.3.3 Calcul approché du nombre dérivé : nDeriv . . . 68
3.4 Intégration. . . 68
3.4.1 Primitive :int . . . 68
3.4.2 Évaluer une primitive : preval . . . 69
3.4.3 Calcul approché d’intègrales avec la méthode de Romberg : romberg. . . 69
3.5 Les limites : limit. . . 70
3.6 Limite et intégrale. . . 72
3.7 Les series : series . . . 73
3.8 Résidu d’une expression en un point : residue . . . 74
3.9 Développement de Padé : pade . . . 75
3.10 Somme indicée finie et infinie et primitive discrète : sum . . . 76
3.11 Differential . . . 77
3.11.1 Le rotationnel : curl . . . 77
3.11.2 La divergence : divergence . . . 77
3.11.3 Le gradient : grad . . . 78
3.11.4 La hessienne : hessian. . . 78
3.11.5 Le Laplacien : laplacian . . . 79
3.11.6 Le potentiel : potential. . . 79
3.11.7 Champ à flux conservatif : vpotential . . . 80
3.12 Integral . . . 80
3.12.1 Primitive et intégrale définie : integrate . . . 80
3.12.2 Intégration par parties : ibpdv . . . 82
3.12.3 Intégration par parties : ibpu . . . 84
TABLE DES MATIÈRES 15
3.12.4 Évaluer une primitive : preval . . . 85
3.13 Limits . . . 85
3.13.1 Somme de Riemann : sum_riemann. . . 85
3.13.2 Développement limité : taylor . . . 88
3.13.3 Division selon les puissances croissantes : divpc . . . . 88
3.14 Transform . . . 89
3.14.1 Transformée de Laplace : laplace . . . 89
3.14.2 Transformée de Laplace inverse : invlaplace . . . 89
3.14.3 invlaplace . . . 89
3.14.4 La transformée de Fourier rapide : fft . . . 91
3.14.5 L’inverse de la transformée de Fourier rapide : ifft . . . 91
4 Le menu Solve 93 4.1 Résolution d’équations : solve . . . 93
4.2 Zéros d’une expression : zeros . . . 94
4.3 Zéros complexe d’une expression : cZeros . . . 95
4.4 Résoudre des équations dans C : cSolve csolve . . . 95
4.5 Zéros complexe d’une expression : cZeros . . . 96
4.6 Équations différentielles . . . 96
4.6.1 Résolution des équations différentielles : deSolve desolve 97 4.6.2 Transformée de Laplace et transformée de Laplace inverse : /laplace ilaplace invlaplace . . . 100
4.7 Solution approchée de y’=f(t,y) :odesolve. . . 103
4.8 Transformée en z et transformée en z inverse. . . 104
4.8.1 Transformée en z d’une suite : ztrans . . . 104
4.8.2 Transformée en z inverse d’une fraction rationnelle : invztrans106 4.9 Résolution numérique d’équationsnSolve . . . 107
4.10 Résolution d’équations avec fsolve . . . 107
4.11 Les systèmes linéaires. . . 108
4.11.1 Résoudre un système linéaire : linsolve . . . 108
4.11.2 Réduction de Gauss d’une matrice : ref . . . 108
4.12 Les formes quadratiques . . . 109
4.12.1 Matrice d’une forme quadratique : q2a . . . 109
4.12.2 Transformer une matrice en une forme quadratique : a2q. 109 4.12.3 Méthode de Gauss : gauss . . . 110
4.12.4 Procédé de Gramschmidt : gramschmidt . . . 110
4.13 Les coniques . . . 111
4.13.1 Tracé d’une conique : conic conique . . . 111
4.13.2 Réduction d’une conique : reduced_conic . . . 111
5 Le menu Rewrite 113 5.1 Regrouper les logarithmes : lncollect . . . 113
5.2 Développer les logarithmes : lnexpand . . . 113
5.3 Linéariser les exponentielles : lin . . . 113
5.4 Transformer une puissance en produit de puissances : powexpand . . . 114
5.5 Transformer les expressions trigonomètriques et hyperboliques en tan(x/2) et en exp(x) : halftan_hyp2exp . . . 114
5.6 Développer une expression transcendante et de trigo : texpand . 115
5.7 Exp & Ln . . . 116
5.7.1 Transformer exp(n*ln(x)) en puissance : exp2pow . . . . 116
5.7.2 Transformer une puissance en une exponentielle : pow2exp117 5.7.3 Transformer les exponentielles complexes en sin et en cos : sincos exp2trig . . . 117
5.7.4 Transformer les fonctions hyperboliques en exponentielles : hyp2exp. . . 118
5.7.5 Écrire avec des exponentielles complexes : tsimplify . 118 5.7.6 Développer les exponentielles : expexpand . . . 118
5.8 Sinus . . . 118
5.8.1 Transformer les arcsin en arccos : asin2acos . . . 118
5.8.2 Transformer les arcsin en arctan : asin2atan . . . 119
5.8.3 Transformer sin(x) en cos(x)*tan(x) : sin2costan . . . 119
5.9 Cosinus . . . 119
5.9.1 Transformer les arccos en arcsin : acos2asin . . . 119
5.9.2 Transformer les arccos en arctan : acos2atan. . . 119
5.9.3 Transformer cos(x) en sin(x)/tan(x) : cos2sintan . . . 120
5.10 Tangente. . . 120
5.10.1 Transformer tan(x) avec sin(2x) et cos(2x) : tan2sincos2120 5.10.2 Transformer les arctan en arcsin : atan2asin . . . 120
5.10.3 Transformer les arctan en arccos : atan2acos. . . 120
5.10.4 Transformer tan(x) en sin(x)/cos(x) : tan2sincos . . . 121
5.10.5 Transformer une expression trigonométrique en fonction de tan(x/2) : halftan . . . 121
5.11 Trigonométrie . . . 121
5.11.1 Simplifier en privilégiant les sinus : trigsin . . . 121
5.11.2 Simplifier en privilégiant les cosinus : trigcos . . . 122
5.11.3 Transformer avec des fonctions trigonométriques inverses en logarithmes : atrig2ln . . . 122
5.11.4 Simplifier en privilégiant les tangentes : trigtan . . . . 122
5.11.5 Linéariser une expression trigonométrique : tlin . . . . 122
5.11.6 Augmenter la phase deπ2 dans les expressions trigonométriques : shift_phase . . . 123
5.11.7 Rassembler les sinus et cosinus de même angle : tcollect124 5.11.8 Développer une expression trigonométriques : trigexpand124 5.11.9 Transformer une expression trigonométrique en des expo- nentielles complexes : trig2exp. . . 125
6 Le menu Integer 127 6.1 Test de parité : even . . . 127
6.2 Test de non parité : odd . . . 127
6.3 Les diviseurs d’un nombre entier : idivis . . . 128
6.4 Décomposition en facteurs premiers d’un entier : ifactor . . . 128
6.5 Liste des facteurs premiers et de leur multiplicité : ifactors . . 128
6.6 PGCD de deux ou plusieurs entiers : gcd . . . 128
6.6.1 Le PGCD d’une liste d’entiers : lgcd . . . 129
6.7 PPCM de deux ou plusieurs entiers : lcm . . . 129
TABLE DES MATIÈRES 17
6.7.1 Identité de Bézout : iegcd . . . 129
6.7.2 Résolution de au+bv=c dans Z : iabcuv . . . 129
6.8 Primalité. . . 130
6.8.1 Test pour savoir si un nombre est premier : isPrime isprime130 6.8.2 Le N-ième nombre premier : ithprime . . . 130
6.8.3 nextprime . . . 130
6.8.4 prevprime . . . 131
6.8.5 Indicatrice d’Euler : euler . . . 131
6.8.6 Symbole de Legendre : legendre_symbol . . . 131
6.8.7 Symbole de Jacobi : jacobi_symbol . . . 132
6.8.8 Résolution de a2+ b2= p dans Z : pa2b2 . . . 133
6.9 Division . . . 133
6.9.1 Quotient de la division euclidienne : iquo . . . 133
6.9.2 Reste de la division euclidienne : irem . . . 134
6.9.3 Le quotient et le reste de la division euclidienne : iquorem134 6.9.4 Restes chinois pour des entiers : ichinrem . . . 134
6.9.5 Calcul de an mod p : powmod . . . 135
6.10 Le calcul modulaire dans Z/pZ ou dans Z/pZ[x] . . . 135
6.10.1 Développer et réduire : normal . . . 136
6.10.2 Addition dans Z/pZ ou dans Z/pZ[x] : + . . . 136
6.10.3 Soustraction dans Z/pZ ou Z/pZ[x] : - . . . 137
6.10.4 Multiplication dans Z/pZ ou Z/pZ[x] : * . . . 137
6.10.5 Quotient : quo . . . 138
6.10.6 Reste : rem . . . 138
6.10.7 Quotient et reste : quorem. . . 138
6.10.8 Division dans Z/pZ ou Z/pZ[x] : / . . . 139
6.10.9 Puissance dans Z/pZ et dans Z/pZ[x] : ˆ . . . 140
6.10.10 Calcul de an mod p ou de A(x)nmod ¶(x), p : powmod 140 6.10.11 Inverse dans Z/pZ : inv ou / . . . 141
6.10.12 Transformer un entier en sa fraction modulo p : fracmod 141 6.10.13 PGCD dans Z/pZ[x] : gcd . . . 142
6.10.14 Factorisation dans Z/pZ[x] : factor . . . 142
6.10.15 Déterminant d’une matrice de Z/pZ : det . . . 143
6.10.16 Inverse d’une matrice de Z/pZ : inv . . . 143
6.10.17 Résolution d’un système linéaire de Z/pZ : rref . . . . 143
6.10.18 Construction d’un corps de Galois : GF . . . 144
6.10.19 Factorisation d’un polynôme à coefficients dans un corps de Galois : factor . . . 146
6.11 Arithmétique des polynômes . . . 146
6.11.1 Liste des diviseurs d’un polynôme : divis . . . 146
6.11.2 Quotient euclidien de 2 polynômes : quo . . . 147
6.11.3 Reste euclidien de 2 polynômes : rem . . . 148
6.11.4 Quotient et reste euclidien : quorem . . . 150
6.11.5 PGCD de polynômes par l’algorithme d’Euclide : gcd igcd151 6.11.6 Choisir l’algorithme du PGCD de deux polynômes : ezgcd modgcd . . . 152
6.11.7 PPCM de deux polynômes : lcm . . . 153
6.11.8 Idendité de Bézout : egcd . . . 154
6.11.9 Résolution polynômiale de au+bv=c : abcuv . . . 155
6.11.10 Les restes chinois : chinrem . . . 156
7 Le menu Polynomial 159 7.1 Forme canonique : canonical_form . . . 159
7.2 Racines numériques d’un polynôme : proot . . . 159
7.3 Racines exactes d’un polynôme. . . 160
7.3.1 Encadrement exact des racines complexes d’un polynôme : complexroot . . . 160
7.3.2 Valeurs exactes des racines complexes rationnelles d’un polynôme : crationalroot . . . 161
7.4 Fraction rationnelle, ses racines et ses pôles exacts . . . 161
7.4.1 Racines et pôles exacts d’une fraction rationnelle : froot 161 7.5 Écriture selon les puissances de (x-a) : ptayl. . . 162
7.6 Calcul avec les racines exactes d’un polynôme : rootof . . . 162
7.7 Coefficients d’un polynôme : coeff. . . 163
7.8 Coefficients d’un polynôme défini par ses racines : pcoeff pcoef164 7.9 Troncature d’ordre n : truncate . . . 164
7.10 Liste des diviseurs d’un polynôme : divis . . . 165
7.11 Liste des facteurs d’un polynôme : factors . . . 165
7.12 PGCD de polynômes par l’algorithme d’Euclide : gcd . . . 166
7.13 PPCM de deux polynômes : lcm . . . 167
7.14 Créer . . . 168
7.14.1 Transformer un polynôme en une liste (format interne récur- sif dense) : symb2poly . . . 168
7.14.2 Transformer le format interne creux distribué du polynôme en une écriture polynômiale : poly2symb . . . 169
7.14.3 Coefficients d’un polynôme défini par ses racines : pcoeff pcoef . . . 170
7.14.4 Coefficients d’une fraction rationnelle définie par ses racines et ses pôles : fcoeff . . . 170
7.14.5 Coefficient du terme de plus haut degré d’un polynôme : lcoeff . . . 170
7.14.6 Évaluation d’un polynôme : polyEval. . . 171
7.14.7 Polynôme minimal : pmin . . . 171
7.14.8 Matrice compagnon d’un polynôme : companion . . . . 172
7.14.9 Polynômes aléatoires : randpoly randPoly . . . 173
7.14.10 Changer l’ordre des variables : reorder . . . 173
7.15 Algebra . . . 173
7.15.1 Quotient euclidien de 2 polynômes : quo . . . 173
7.15.2 Reste euclidien de 2 polynômes : rem . . . 174
7.15.3 Degré d’un polynôme : degree . . . 176
7.15.4 Valuation d’un polynôme : valuation . . . 176
7.15.5 Coefficient du terme de plus haut degré d’un polynôme : lcoeff . . . 176
7.15.6 Mise en facteur de xndans un polynôme : factor_xn . 177 7.15.7 PGCD des coefficients d’un polynôme : content . . . . 177
7.15.8 Partie primitive d’un polynôme : primpart . . . 178
TABLE DES MATIÈRES 19 7.15.9 Suites de Sturm et nombre de de changements de signe de
P sur ]a; b] : sturm . . . 178
7.15.10 Nombre de changements de signe sur ]a; b] : sturmab . 179 7.15.11 Suites de Sturm : sturmseq . . . 179
7.15.12 Matrice de Sylvester de deux polynômes : sylvester . 181 7.15.13 Résultant de deux polynômes : resultant . . . 181
7.15.14 Les restes chinois : chinrem . . . 184
7.16 Special. . . 185
7.16.1 Polynôme cyclotomique : cyclotomic . . . 185
7.16.2 Base de Gröbner : gbasis . . . 186
7.16.3 Réduction par rapport à une base de Gröbner : greduce. 187 7.16.4 Polynôme de Hermite : hermite . . . 187
7.16.5 Interpolation de Lagrange : lagrange . . . 188
7.16.6 Les splines naturelles : spline . . . 189
7.16.7 Polynôme de Laguerre : laguerre. . . 191
7.16.8 Polynôme de Legendre : legendre . . . 192
7.16.9 Polynôme de Tchebychev de 1-ière espèce : tchebyshev1192 7.16.10 Polynôme de Tchebychev de 2-nde espèce : tchebyshev2193 8 Le menu Plot 195 8.1 Graphe d’une fonction : plotfunc . . . 195
8.2 Courbe en paramétrique : plotparam . . . 196
8.3 Courbe en polaire : plotpolar . . . 197
8.4 Tracé d’une suite récurrente : plotseq . . . 197
8.5 Courbe implicite en 2-d : plotimplicit . . . 197
8.6 Graphe d’une fonction par niveaux de couleurs : plotdensity. 198 8.7 Le champ des tangentes : plotfield . . . 199
8.8 Lignes de niveaux : plotcontour . . . 200
8.9 Tracé de solutions d’équation différentielle : plotode . . . 201
8.10 Ligne polygonale : plotlist . . . 201
III Le menu MATH de la touche 203 9 Les fonctions sur les réels 205 9.1 les constantes de HOME . . . 205
9.2 Les constantes symboliques du CAS : e pi i infinity inf euler_gamma . . . 205
9.3 Les booléens . . . 205
9.3.1 Les valeurs d’un booléen : true false . . . 205
9.3.2 Les tests : ==, !=, >, >=, <, <= . . . 206
9.3.3 Les opérateurs booléens : or xor and not . . . 206
9.4 Les opérateurs bit à bit . . . 207
9.4.1 Les opérateurs bitor, bitxor, bitand . . . 207
9.4.2 Distance de Hamming bit à bit : hamdist . . . 208
9.5 Les fonctions usuelles . . . 208
9.6 Le plus petit entier >= à l’argument : CEILING ceiling . . . 209
9.7 Partie entière d’un réel : FLOOR floor . . . 209
9.8 Argument sans sa partie fractionnaire : IP . . . 210
9.9 Partie fractionnaire : FP. . . 210
9.10 Arrondir avec n décimales un réel ou un complexe : ROUND round211 9.11 Tronquer avec n décimales un réel ou un complexe : TRUNCATE trunc . . . 212
9.12 La partie fractionnaire d’un réel :frac . . . 213
9.13 Le Réel sans sa partie fractionnaire : iPart . . . 214
9.14 Mantisse d’un réel : MANT . . . 214
9.15 Partie entière du logarithme à base 10 d’un réel : XPON . . . 214
10 Arithmétique 217 10.1 Maximum de 2 ou plusieurs valeurs : MAX max . . . 217
10.2 Minimum de 2 ou plusieurs valeurs : MIN min . . . 217
10.3 MOD . . . 217
10.4 FNROOT. . . 218
10.5 NTHROOT surd . . . 218
10.6 % . . . 219
10.7 Complexe . . . 219
10.7.1 La touche i . . . 219
10.7.2 ARG arg. . . 220
10.7.3 CONJ conj . . . 220
10.7.4 IM im . . . 220
10.7.5 RE re . . . 220
10.7.6 SIGN sign . . . 221
10.7.7 La touche Shift-+/− : ABS abs . . . 221
10.7.8 Écriture des complexes sous la forme re(z)+i*im(z) : evalc . . . 221
10.7.9 Multiplier par le complexe conjugué : mult_c_conjugate222 10.8 Exponentielle et Logarithmes . . . 222
10.8.1 La fonction logarithme népérien LN ln log . . . 222
10.8.2 La fonction logarithme à base 10 : LOG log10 . . . 223
10.8.3 La fonction logarithmeà base b : logb . . . 224
10.8.4 La fonction anti-logarithme :ALOG alog10 . . . 224
10.8.5 La tfonction exponentielle EXP exp . . . 225
10.8.6 EXPM1 . . . 225
10.8.7 LNP1 . . . 225
11 Fonctions trigonométriques 227 11.1 Les touches des fonctions trigonométriques . . . 227
11.2 CSC csc . . . 228
11.3 ACSC acsc . . . 229
11.4 SEC sec . . . 229
11.5 ASEC asec . . . 229
11.6 COT cot . . . 229
11.7 ACOT acot . . . 230
TABLE DES MATIÈRES 21
12 Fonctions hyperboliques 231
12.1 Sinus hyperbolique : SINH sinh . . . 231
12.2 Arc sinus hyperbolique : ASINH asinh . . . 231
12.3 Cosinus hyperbolique : COSH cosh. . . 232
12.4 Arc cosinus hyperbolique : ACOSH acosh . . . 232
12.5 Tangente hyperbolique :TANH tanh . . . 232
12.6 Arc tangente hyperbolique : ATANH atanh . . . 233
12.7 Autres fonctions . . . 233
12.7.1 Liste des variables : lname . . . 233
12.7.2 Liste des variables et des expressions : lvar . . . 233
12.7.3 Liste des variables et des expressions algébriques : algvar234 12.7.4 Test de la présence d’une variable dans une expression : has235 12.7.5 Pour évaluer une expression : eval . . . 235
12.7.6 Pour ne pas évaluer une expression : QUOTE quote ’ . 236 12.7.7 Évaluation numérique : evalf approx . . . 236
12.7.8 Approximation rationnelle : exact . . . 237
13 Fonctions de probabilité 239 13.1 Factorielle : factorial ! . . . 239
13.2 Nombre de combinaisons de p objets pris parmi n : COMB comb. 239 13.3 Nombre d’arrangements de p objets pris parmi n : PERM perm . 240 13.4 Nombres aléatoires . . . 240
13.4.1 Nombre aléatoire (réel ou entier) : RANDOM . . . 240
13.4.2 Nombre entier aléatoire RANDINT. . . 240
13.4.3 La fonction rand du CAS . . . 241
13.4.4 Permutation aléatoire : randperm . . . 244
13.4.5 Faire une liste aléatoire : randvector . . . 244
13.4.6 Tirage selon une loi multinomiale : avec des programmes. 246 13.4.7 Tirage selon une loi normale : RANDNORM randNorm . 247 13.4.8 Tirage selon une loi exponentielle : randexp . . . 248
13.4.9 Pour initialiser la suite de nombres aléatoires : RANDSEED RandSeed srand . . . 248
13.4.10 UTPC . . . 248
13.4.11 UTPF . . . 249
13.4.12 UTPN . . . 249
13.4.13 UTPT . . . 249
13.5 Densité de probabilité . . . 249
13.5.1 Densité de probabilité de la loi normale : NORMALD normald249 13.5.2 Densité de probabilité de la loi de Student : STUDENT student. . . 250
13.5.3 Densité de probabilité du χ2: CHISQUARE chisquare 250 13.5.4 Densité de probabilité de la loi de Fisher : FISHER fisher snedecor . . . 250
13.5.5 Densité de probabilité de la loi binomiale : BINOMIAL binomial . . . 251
13.5.6 Densité de probabilité de la loi de Poisson : POISSON poisson. . . 251
13.6 Fonction de répartition . . . 252
13.6.1 Fonction de répartition de la loi normale : NORMALD_CDF normald_cdf . . . 252 13.6.2 Fonction de répartition de la loi de Student : STUDENT_CDF
student_cdf . . . 253 13.6.3 Fonction de répartition de la loi du χ2CHISQUARE_CDF
chisquare_cdf . . . 253 13.6.4 La fonction de répartition de la loi de Fisher-Snédécor :
FISHER_CDF fisher_cdf snedecor_cdf . . . . 254 13.6.5 Fonction de répartition de la loi binomiale : BINOMIAL_CDF
binomial_cdf. . . 254 13.6.6 Fonction de répartition de la loi de Poisson : POISSON_CDF
poisson_cdf . . . 256 13.7 Fonction de répartition inverse . . . 256
13.7.1 Fonction de répartition inverse normale : NORMALD_ICDF normald_icdf. . . 256 13.7.2 Fonction de répartition inverse de Student : STUDENT_ICDF
student_icdf. . . 257 13.7.3 Fonction inverse de la fonction de répartition de la loi du
χ2CHISQUARE_ICDF chisquare_icdf. . . 257 13.7.4 Inverse de la fonction de répartition de la loi de Fisher-
Snédécor : FISHER_ICDF fisher_icdf snedecor_icdf258 13.7.5 Fonction de répartition inverse de la loi binomiale :
BINOMIAL_ICDF binomial_icdf. . . 258 13.7.6 Fonction de répartition inverse de Poisson :POISSON_ICDF
poisson_icdf. . . 259
14 Les fonctions de statistique 261
14.1 Les fonctions de statistique à 1 variable . . . 261 14.1.1 La moyenne : mean . . . 261 14.1.2 L’écart-type : stddev . . . 262 14.1.3 L’écart-type de la population : stddevp stdDev. . . . 263 14.1.4 La variance : variance. . . 264 14.1.5 La médiane : median . . . 264 14.1.6 Différentes valeurs statistiques : quartiles. . . 265 14.1.7 Le premier quartile : quartile1. . . 265 14.1.8 Le troisième quartile : quartile3 . . . 266 14.1.9 Les déciles : quantile . . . 266 14.1.10 L’histogramme : histogram . . . 267 14.1.11 La covariance : covariance . . . 268 14.1.12 La corrélation : correlation . . . 270 14.1.13 Covariance et corrélation : covariance_correlation271 14.1.14 Ligne polygonale : polygonplot . . . 272 14.1.15 Ligne polygonale : plotlist . . . 273 14.1.16 Ligne polygonale et nuage de points : polygonscatterplot
ligne_polygonale_pointee . . . 273 14.1.17 Interpolation linéaire : linear_interpolate. . . 274 14.1.18 Régression linéaire : linear_regression . . . 274 14.1.19 Régression exponentielle : exponential_regression275
TABLE DES MATIÈRES 23 14.1.20 Régression logarithmique : logarithmic_regression276 14.1.21 Régression polynômiale : polynomial_regression 278 14.1.22 Régression puissance : power_regression . . . 278 14.1.23 Régression logistique : logistic_regression . . . 279
15 Les statistiques 283
15.1 Fonctions statistiques sur une liste : mean, variance, stddev, stddevp, median, quantile, quartiles, quartile1, quartile3 . . . 283 15.1.1 Fonctions statistiques sur les colonnes d’une matrice : mean,
stddev, variance, median, quantile, quartiles285 15.2 Les tableaux indicés par des chaînes : table . . . 286
16 Les listes 289
16.1 MAKELIST et makelist . . . 289 16.2 SORT sort . . . 290 16.3 REVERSE . . . 290 16.4 CONCAT concat . . . 291 16.4.1 Rajouter un élément à la fin d’une liste : append . . . 293 16.4.2 Rajouter un élément au début d’une liste : prepend . . . 293 16.5 POS . . . 293 16.6 DIM dim SIZE size length . . . 294 16.6.1 Avoir la liste permutée : revlist . . . 295 16.6.2 Avoir la liste permutée à partir de son n-ième élément :
rotate . . . 295 16.6.3 Avoir la liste permutée à partir de son n-ième élément :
shift . . . 296 16.6.4 Supprimer un élément dans une liste : suppress . . . . 296 16.6.5 Avoir la liste privée de son premier élément : tail . . . . 296 16.6.6 Supprimer des éléments d’une liste : remove. . . 297 16.6.7 Partie droite et gauche d’une liste : right, left . . . 297 16.6.8 Tester si un élément est dans une liste : member . . . 298 16.6.9 Tester si un élément est dans une liste : contains . . . . 298 16.6.10 Compter les éléments d’une liste ou d’une matrice vérifiant
une propriété : count . . . 298 16.6.11 Sélectionner des éléments d’une liste : select. . . 301 16.7 Liste des différences de termes consécutifs : ∆LIST deltalist 301 16.8 Somme des éléments d’une liste : ΣLIST sum . . . 301 16.9 Produit des éléments d’une liste : ΠLIST product . . . 302
16.9.1 Appliquer une fonction d’une variable aux éléments d’une liste : map apply . . . 302 16.9.2 Appliquer une fonction de 2 variables aux éléments de 2
listes : zip . . . 305 16.10Faire une matrice avec une liste : list2mat . . . 305 16.11Faire une liste avec une matrice : mat2list . . . 306 16.12Fonctions utiles pour les listes et les composantes d’un vecteur . . 306
16.12.1 Les normes d’un vecteur : maxnorm l1norm l2norm norm . . . 306
16.12.2 Pour normaliser les composantes d’un vecteur : normalize307 16.12.3 Sommes cumulées des éléments d’une liste : cumSum . . 307 16.12.4 Somme terme à terme de deux listes : + .+. . . 308 16.12.5 Différence terme à terme de deux listes : - .- . . . 309 16.12.6 Produit terme à terme de deux listes : .* . . . 309 16.12.7 Quotient terme à terme de deux listes : ./. . . 310
17 Les chaînes de caractères 311
17.1 Écriture d’une chaîne ou d’un caractère : ". . . 311 17.1.1 Pour concaténer des nombres et des chaînes : cat + . . . 312 17.1.2 Concaténation d’une suite de mots : cumSum . . . 312 17.1.3 Repérer un caractère dans une chaîne : INSTRING inString313 17.2 ASC asc . . . 313 17.3 CHAR char . . . 314
17.3.1 Pour transformer un nombre réel ou entier en une chaîne : string . . . 315 17.4 Pour utiliser une chaîne comme un nombre ou une commande : expr315 17.4.1 Pour utiliser une chaîne comme un nombre . . . 315 17.4.2 Pour utiliser une chaîne comme nom de commande . . . . 316 17.5 Évaluer une expression sous la forme d’une chaîne : string. . . 316 17.6 inString . . . 317 17.7 left . . . 317 17.8 right . . . 318 17.9 mid . . . 318 17.10rotate. . . 318 17.11Longueur d’une chaîne : dim DIM size SIZE length . . . 318 17.12+ . . . 319 17.13Avoir la liste ou la chaîne privée de son premier élément : tail . 320 17.14Début d’une liste ou d’une chaîne : head . . . 320
18 Les polynômes 321
18.1 POLYCOEF . . . 321 18.2 POLYEVAL . . . 321 18.3 POLYFORM . . . 322 18.4 POLYROOT . . . 323
19 Les suites récurrentes 325
19.0.1 Valeurs d’une suite récurrente ou d’un système de suites récurrentes : seqsolve . . . 325 19.0.2 Valeurs d’une suite récurrente ou d’un système de suites
récurrentes : rsolve . . . 327
20 Les matrices 329
20.1 Généralités . . . 329 20.2 Définition . . . 329 20.2.1 Dimension d’une matrice : dim . . . 330 20.2.2 Nombre de lignes : rowDim . . . 330 20.2.3 Nombre de colonnes : colDim . . . 330 20.3 Opérations sur les lignes et les colonnes utiles en programmation . 330
TABLE DES MATIÈRES 25 20.3.1 Rajouter une colonne à une matrice : ADDCOL . . . 330 20.3.2 Échanger deux lignes : SWAPROW rowSwap . . . 331 20.3.3 Échanger deux colonnes : SWAPCOL colSwap . . . 331 20.3.4 Extraire des lignes d’une matrice : row . . . 332 20.3.5 Extraire des colonnes d’une matrice : col. . . 332 20.3.6 Supprimer des colonnes d’une matrice : DELCOL delcols332 20.3.7 Supprimer des lignes d’une matrice : DELROW delrows 333 20.3.8 Extraire une sous-matrice d’une matrice : SUB subMat . 334 20.3.9 Redimensionner une matrice ou un vecteur : REDIM . . . 334 20.3.10 Remplacer une partie d’une matrice ou d’un vecteur : REPLACE335 20.3.11 Rajouter une ligne à une matrice : ADDROW . . . 336 20.3.12 Ajouter une ligne à une autre : rowAdd . . . 336 20.3.13 Multiplier une ligne par une expression : SCALE mRow . 336 20.3.14 Ajouter k fois une ligne à une autre : SCALEADD mRowAdd337 20.4 Création et arithmétique des matrices. . . 337 20.4.1 Addition et soustraction de deux matrices : + - .+ .- . 337 20.4.2 Multiplication de deux matrices : * &* . . . 338 20.4.3 Elévation d’une matrice à une puissance entière : ˆ &ˆ . . 338 20.4.4 Produit de Hadamard (version infixée) : .* . . . 338 20.4.5 Division de Hadamard (version infixée) : ./ . . . 339 20.4.6 Puissance de Hadamard (version infixée) : .ˆ . . . 339 20.5 Matrice transposée : transpose . . . 339 20.6 Matrice transposée de la conjuguée : TRN ou trn . . . 339 20.7 Déterminant : DET ou det . . . 340 20.7.1 Polynôme caractéristique : charpoly . . . 340 20.8 Espace vectoriel et application linéaire . . . 341 20.8.1 Base d’un sous espace vectoriel : basis . . . 341 20.8.2 Base de l’intersection de deux sous espaces vectoriels :
ibasis . . . 342 20.8.3 Image d’une application linéaire : image . . . 342 20.8.4 Noyau d’une application linéaire : ker . . . 342 20.9 Résolution d’un système linéaire : RREF ou rref . . . 343 20.9.1 Résolution de A*X=B : simult . . . 344 20.10Création de matrices . . . 345
20.10.1 Créer une matrice à partir d’une expression : MAKEMAT et makemat. . . 345 20.10.2 Matrice de zéros : matrix . . . 345 20.10.3 Matrice identité : IDENMAT ou identity . . . 346 20.10.4 Matrice aléatoire : RANDMAT et randMat randmatrix
ramn . . . 346 20.10.5 JordanBlock . . . 347 20.10.6 N -ième matrice de Hilbert hilbert . . . 347 20.10.7 Matrice d’une isométrie : mkisom. . . 347 20.10.8 Matrice de Vandermonde : vandermonde . . . 349 20.11Basique . . . 349 20.11.1 Norme de Schur ou de Frobenius d’une matrice : ABS . . 349 20.11.2 Maximum des normes des lignes d’une matrice : ROWNORM
ou rownorm . . . 350
20.11.3 Max des normes des colonnes d’une matrice : COLNORM ou colnorm . . . 351 20.11.4 Norme spectrale d’une matrice : SPECNORM . . . 351 20.11.5 Rayon spectral d’une matrice carrée : SPECRADC . . . . 352 20.11.6 Conditionnement d’une matrice carrée inversible : COND
cond . . . 353 20.11.7 Rang d’une matrice : RANK ou rank . . . 354 20.11.8 Étape de la réduction de Gauss-Jordan d’une matrice : pivot354 20.11.9 Trace d’une matrice carrée : TRACE ou trace . . . 355 20.12Avancée . . . 355 20.12.1 Valeurs propres : EIGENVAL et eigenvals. . . 355 20.12.2 Vecteurs propres : EIGENVV et eigenvects . . . 356 20.12.3 Matrice de Jordan : eigVl. . . 357 20.12.4 Matrice de Jordan et sa matrice de passage : jordan. . . 358 20.12.5 Puissance n d’une matrice carrée : matpow . . . 358 20.12.6 Matrice diagonale et sa diagonale : diag . . . 358 20.12.7 Matrice de Cholesky : cholesky. . . 359 20.12.8 Forme normale de Hermite d’une matrice : ihermite. . 359 20.12.9 Réduction de Hessenberg d’une matrice : hessenberg . 359 20.12.10ismith . . . 360 20.13Factorisation . . . 361 20.13.1 Décomposition LQ d’une matrice : LQ . . . 361 20.13.2 Norme minimale du système linéaire A*X=B : LSQ . . . . 362 20.13.3 Décomposition LU d’une matrice carrée : LU . . . 363 20.13.4 Décomposition LU : lu . . . 364 20.13.5 Décomposition QR d’une matrice carrée : QR qr . . . . 365 20.13.6 Réduction de Hessenberg d’une matrice : SCHUR schur 366 20.13.7 Singular value decomposition : SVD et svd . . . 366 20.13.8 Valeurs singulières : SVL svl . . . 368 20.14Vecteur . . . 369 20.14.1 Produit vectoriel : CROSS ou cross . . . 369 20.14.2 Produit scalaire : DOT ou dot . . . 369 20.14.3 Norme l2:l2norm . . . 370 20.14.4 Norme l1:l1norm . . . 370 20.14.5 Norme du maximum :maxnorm . . . 370
21 Les fonctions spéciales 371
21.1 La fonction β : Beta . . . 371 21.2 La fonction Γ : Gamma . . . 372 21.3 Les derivées de la fonction DiGamma : Psi . . . 373 21.4 La fonction ζ : Zeta . . . 374 21.5 La fonction erf : erf . . . 374 21.6 La fonction erf c : erfc . . . 375 21.7 La fonction exponentielle integrale Ei : Ei . . . 376 21.8 La fonction sinus integral Si : Si . . . 377 21.9 La fonction cosinus integral Ci : Ci . . . 378 21.10La fonction de Heaviside : Heaviside . . . 379 21.11La distribution de Dirac : Dirac . . . 380
TABLE DES MATIÈRES 27 22 Lesconstantes et les calculs avec des unités 381 22.1 La touche shiftée Units . . . 381 22.2 Les unités . . . 381 22.2.1 La notation des unités . . . 381 22.2.2 Les préfixes disponibles pour les noms d’unités . . . 382 22.2.3 Les calculs avec des unités . . . 382 22.3 Les Outils . . . 383
22.3.1 La conversion d’un objet-unité dans une autre unité : convert convertir =>. . . 383 22.3.2 Les changements d’unités en unités MKSA : mksa . . . . 384 22.3.3 Mise en facteur d’une unité : ufactor . . . 385 22.3.4 Simplifier une unité : usimplify . . . 385 22.4 Les constantes physiques . . . 385 22.5 Les unités . . . 385 22.5.1 La notation des unités . . . 385 22.5.2 Les calculs avec des unités . . . 386 22.5.3 La conversion d’un objet-unité dans une autre unité : convert
=>. . . 387 22.5.4 Les changements d’unités en unités MKSA : mksa . . . . 388 22.5.5 Les conversions entre degré Célsius et degré Fahrenheit :
Celsius2Fahrenheit et Fahrenheit2Celsius 389 22.5.6 Mise en facteur d’une unité : ufactor . . . 389 22.5.7 Simplifier une unité : usimplify . . . 390 22.6 Les constantes . . . 390
22.6.1 La notation des constantes chimiques ou physiques ou quan- tiques . . . 390 22.6.2 Bibliothèque des constantes physiques. . . 391
23 Les fonctions de géométrie 3D 393
23.1 La perpendiculaire commune à deux droites 3-d : common_perpendicular393
IV Les Applications et la touche Apps 395
24 Le menu Geometry 397
24.1 Généralités . . . 397 24.2 Point . . . 399 24.2.1 Point défini comme barycentre de n points : barycenter 399 24.2.2 Le point en géométrie : point . . . 401 24.2.3 Le milieu d’un segment : midpoint . . . 402 24.2.4 L’isobarycentre de n points : isobarycenter . . . 402 24.2.5 Définir au hasard un point 2-d : point2d . . . 403 24.2.6 Le point en polaire en géométrie plane : polar_point . 403 24.2.7 Un des points d’intersection de deux objets géométriques :
single_inter. . . 403 24.2.8 Les points d’intersection de deux objets géométriques :
inter . . . 405 24.2.9 Orthocentre d’un triangle : orthocenter . . . 406
24.2.10 Les sommets d’un polygone : vertices. . . 406 24.2.11 Les sommets d’un polygone : vertices_abca . . . 407 24.2.12 Point sur un objet géométrique : element . . . 407 24.2.13 Point divisant un segment : division_point . . . 409 24.2.14 Division harmonique : harmonic_division . . . 410 24.2.15 Le conjugué harmonique : harmonic_conjugate . . 411 24.2.16 Pôle et polaire : pole et polar. . . 411 24.2.17 Polaire réciproque : reciprocation . . . 411 24.2.18 Le centre d’un cercle : center . . . 412 24.3 Line . . . 412 24.3.1 Droite définie par un point et une pente : DrawSlp. . . . 412 24.3.2 Tangente au graphe de y = f (x) en x = a : LineTan . . 412 24.3.3 Hauteur d’un triangle : altitude . . . 413 24.3.4 Bissectrice intérieure d’un angle : bisector . . . 413 24.3.5 Bissectrice extérieur d’un angle : exbisector . . . 414 24.3.6 Demi-droite : half_line . . . 414 24.3.7 La droite et la droite orientée : line . . . 414 24.3.8 Le segment : Line . . . 416 24.3.9 Tracé d’une droite horizontale en 2-d : LineHorz . . . . 416 24.3.10 Tracé d’une droite verticale en 2-d : LineVert . . . 416 24.3.11 Le vecteur en géométrie plane : vector . . . 416 24.3.12 Médiane d’un triangle : median_line . . . 417 24.3.13 Droites parallèles : parallel . . . 418 24.3.14 Médiatrice : perpen_bisector . . . 418 24.3.15 Perpendiculaire à une droite : perpendicular . . . 418 24.3.16 Segment : segment . . . 419 24.3.17 Les tangentes à un objet géométrique ou la tangente en un
point d’un graphe : tangent . . . 419 24.3.18 Axe radical de deux cercles : radical_axis . . . 420 24.4 Polygon . . . 420 24.4.1 Le triangle quelconque : triangle . . . 420 24.4.2 Triangle équilatèral : equilateral_triangle . . . . 421 24.4.3 Triangle rectangle : right_triangle . . . 421 24.4.4 isosceles_triangle . . . 422 24.4.5 Losange : rhombus . . . 422 24.4.6 rectangle . . . 423 24.4.7 square . . . 424 24.4.8 quadrilateral . . . 425 24.4.9 parallelogram . . . 425 24.4.10 isoploygon . . . 425 24.4.11 L’hexagone : hexagon . . . 426 24.4.12 Le polygone : polygon . . . 427 24.4.13 La ligne polygonale : open_polygon . . . 427 24.4.14 L’enveloppe convexe de points du plan : convexhull . 428 24.5 Courbes . . . 428 24.5.1 Le cercle et ses arcs : circle . . . 428 24.5.2 Les arcs de cercle : arc ARC . . . 429 24.5.3 Le cercle circonscrit : circumcircle . . . 430
TABLE DES MATIÈRES 29 24.5.4 Tracé d’une conique : conic . . . 431 24.5.5 L’ellipse : ellipse . . . 431 24.5.6 Le cercle exinscrit : excircle . . . 432 24.5.7 L’hyperbole : hyperbola . . . 432 24.5.8 Le cercle inscrit : incircle . . . 433 24.5.9 Lieu et enveloppe : locus . . . 433 24.5.10 La parabole : parabola . . . 435 24.5.11 Puissance d’un point par rapport à un cercle : powerpc . 436 24.6 Transformation . . . 436 24.6.1 L’homothétie : homothety . . . 436 24.6.2 L’inversion : inversion . . . 437 24.6.3 La projection orthogonale : projection . . . 438 24.6.4 La symétrie droite et la symétrie point : reflection . . 439 24.6.5 La rotation : rotation . . . 440 24.6.6 La similitude : similarity . . . 440 24.6.7 La translation : translation . . . 441 24.7 Mesure et graphique . . . 442 24.7.1 Affichage de la mesure d’un angle : angleat . . . 442 24.7.2 Affichage de la mesure d’un angle : angleatraw . . . . 443 24.7.3 Affichage de l’aire d’un polygone : areaat . . . 443 24.7.4 Affichage de l’aire d’un polygone : areaatraw . . . 444 24.7.5 Affichage de la longueur d’un segment : distanceat . 445 24.7.6 Affichage de la longueur d’un segment : distanceatraw445 24.7.7 Affichage du périmètre d’un polygone :perimeterat . 446 24.7.8 Affichage du périmètre d’un polygone : perimeteratraw447 24.7.9 Affichage de la pente d’une droite : slopeat . . . 448 24.7.10 Affichage de la pente d’une droite : slopeatraw . . . . 449 24.8 Measure . . . 450 24.8.1 L’abscisse d’un point ou d’un vecteur : abscissa . . . . 450 24.8.2 L’affixe d’un point ou d’un vecteur : affix . . . 450 24.8.3 La mesure d’un angle : angle. . . 451 24.8.4 Longueur d’un arc de courbe : arcLen . . . 452 24.8.5 Aire d’un polygone : area . . . 453 24.8.6 Les coordonnées d’un point, d’un vecteur ou d’une droite :
coordinates . . . 453
24.8.7 Les coordonnées rectangulaire d’un point : rectangular_coordinates456 24.8.8 Les coordonnées polaire d’un point : polar_coordinates456
24.8.9 La longueur d’un segment et distance entre les deux objets géométriques : distance . . . 457 24.8.10 Le carré de la longueur d’un segment : distance2 . . . 457 24.8.11 L’équation cartésienne d’un objet géométrique : equation457 24.8.12 Avoir comme réponse la valeur d’une mesure affichée :
extract_measure . . . 458 24.8.13 L’ordonnée d’un point ou d’un vecteur : ordinate . . . 459 24.8.14 L’équation paramétrique d’un objet géométrique : parameq459 24.8.15 Périmètre d’un polygone : perimeter . . . 460 24.8.16 Le rayon d’un cercle : radius . . . 460 24.8.17 Pente d’une droite : slope . . . 461
24.9 Test . . . 462 24.9.1 Savoir si 3 points sont alignés : is_colinear . . . 462 24.9.2 Savoir si 4 points sont cocycliques : is_concyclic . . 462 24.9.3 Savoir si des éléments sont conjugués : is_conjugate 462 24.9.4 Savoir si des points ou /et des droites sont coplanaires :
is_coplanar . . . 463 24.9.5 Savoir si 1 point est sur un objet graphique : is_element 464 24.9.6 Savoir si on a un triangle équilatéral : is_equilateral 465 24.9.7 Savoir si on a un triangle isocéle : is_isosceles . . . 465 24.9.8 Orthogonalité de 2 droites ou 2 cercles : is_orthogonal466 24.9.9 Savoir si 2 droites sont parallèles : is_parallel . . . . 467 24.9.10 Savoir si on a un parallélogramme : is_parallelogram467 24.9.11 Savoir si 2 droites sont perpendiculaire :
is_perpendicular . . . 468 24.9.12 Savoir si on a un triangle rectangle ou si on a un rectangle :
is_rectangle. . . 468 24.9.13 Savoir si on a un losange : is_rhombus . . . 469 24.9.14 Savoir si on a un carré : is_square . . . 470 24.9.15 Savoir si 4 points forment un division harmonique : is_harmonic470 24.9.16 Ces droites sont en faisceau ? is_harmonic_line_bundle471 24.9.17 Ces cercles sont-ils en faisceau : is_harmonic_circle_bundle471 24.10Exercices de géométrie . . . 471
24.10.1 Les transformations. . . 471 24.10.2 Les lieux . . . 472 24.11 Activités de géométrie . . . 473
25 Le tableur 479
25.1 Généralités . . . 479 25.2 Description de l’écran du tableur . . . 479 25.2.1 Pour copier la formule d’une cellule . . . 479 25.2.2 Références absolues et relatives . . . 480 25.3 Les fonctions du tableur. . . 480 25.3.1 SUM . . . 480 25.3.2 AVERAGE. . . 480 25.3.3 AMORT . . . 481 25.3.4 STAT1 . . . 481 25.3.5 REGRS . . . 481 25.3.6 PredY PredX . . . 481 25.3.7 HypZ1mean HypZ2mean . . . 481 25.4 Utilisation du tableur sur des exemples . . . 481 25.4.1 Exercice 1. . . 481 25.4.2 Exercice 2. . . 482
26 Les autres Applications 487
26.1 L’Application Fonction . . . 487 26.2 L’Application Suite . . . 487 26.2.1 La suite de Fibonnacci . . . 487 26.2.2 Le PGCD . . . 488
TABLE DES MATIÈRES 31 26.2.3 L’identité de Bézout . . . 488 26.3 L’Aplet Paramétrique . . . 489 26.4 L’Aplet Polaire . . . 490 26.5 L’Aplet Résoudre . . . 490 26.6 L’Aplet Finance . . . 490 26.7 L’Aplet Système Linéaire . . . 491 26.8 Aplet Triangle Solver . . . 491 26.9 Statistiques 1-Var . . . 492 26.10Statistiques 2-Var . . . 493 26.10.1 Exercices . . . 495 26.11Aplet Inférence . . . 500 26.11.1 Fréquence d’un caractère et jugements sur échantillons . . 501 26.11.2 Échantillons extraits d’une distribution normale . . . 505 26.11.3 Échantillons extraits d’une distribution de Student . . . . 507 26.12L’Aplet Linear Explorer. . . 508 26.13L’Aplet Quadratic Explorer . . . 509 26.13.1 L’Aplet Trig Explorer . . . 509
V La programmation 511
27 Généralités 513
27.1 La forme des programmes HOME et celle des programmes CAS . 513 27.2 Pour avoir un programme peu différent d’un programme déjà fait . 514
28 Les instructions de programmation 515
28.1 Les variables . . . 515 28.1.1 Le nom des variables . . . 515 28.1.2 Les commentaires : comment // . . . 515 28.1.3 Les entrées : INPUT input InputStr . . . 516 28.1.4 Les sorties : print . . . 517 28.1.5 L’instruction d’affectation : => := I . . . 517 28.1.6 Copier sans l’évaluer le contenu d’une variable : CopyVar 518 28.1.7 Fonction testant le type de son argument : TYPE type . 519 28.1.8 Fonction testant le type de son argument : compare . . . 520 28.1.9 Faire une hypothèse sur une variable : assume . . . 521
28.1.10 Faire une hypothèse suppl’ementaire sur une variable : additionally524 28.1.11 Connaitre les hypothèses faites sur une variable : about . 525
28.1.12 Effacer le contenu d’une variable : purge . . . 525 28.1.13 Effacer le contenu de toutes les variables : restart . . . 526 28.1.14 Accès aux réponses : Ans ans(n) . . . 526 28.2 Les instructions conditionnelles . . . 526 28.3 Les boucles . . . 529
28.3.1 Les instructions FOR FROM TO DO END et FOR FROM TO STEP DO END . . . 529 28.3.2 Pour créer des boucles itératives : ITERATE . . . 530 28.3.3 L’instruction WHILE DO END . . . 530 28.3.4 L’instruction REPEAT UNTIL . . . 530
28.3.5 L’instruction BREAK . . . 530 28.3.6 La fonction : seq. . . 531 28.4 Les commentaires . . . 532 28.5 Les variables . . . 532 28.6 Les opérateurs booléens. . . 532 28.7 Les commandes des Applications. . . 537
29 Pour apprendre à programmer 539
29.1 L’instruction conditionnelle IF . . . 539 29.2 Les boucles FOR et WHILE . . . 540
29.2.1 Faire compter la calculatrice de 1 en 1 en utilisant un af- fichage . . . 540 29.2.2 Faire compter la calculatrice de 1 en 1 en utilisant une liste
ou une séquence . . . 542 29.3 Valeur approchée de la somme d’une série . . . 544 29.3.1 Série de terme général un= 1/n2 . . . 544 29.3.2 Série de terme général vn= (−1)(n + 1)/n . . . 545 29.3.3 La série de terme général wn= 1/n est divergente . . . . 546 29.4 Écriture décimale d’une fraction . . . 547 29.4.1 Sans programme . . . 547 29.4.2 Avec un programme du CAS . . . 548 29.5 La mèthode de Newton et l’algorithme de Héron. . . 550 29.5.1 La méthode de Newton . . . 550 29.5.2 Traduction de l’algorithme de Newton . . . 550 29.5.3 Traduction de l’algorithme de Héron. . . 551
30 Exemple de programmes 553
30.1 Le PGCD et l’identité de Bézout depuis Home. . . 553 30.1.1 Le PGCD . . . 553 30.1.2 L’identité de Bézout pour A et B. . . 554 30.2 Le PGCD et l’identité de Bézout depuis CAS . . . 555 30.2.1 Le PGCD avec le CAS sans faire de programme . . . 555 30.2.2 Le PGCD avec un programme CAS . . . 555 30.2.3 L’identité de Bézout avec le CAS sans faire de programme 556 30.2.4 L’identité de Bézout avec un programme CAS. . . 556
Première partie
Pour commencer
33
0.2. GÉNÉRALITÉS 35
0.2 Généralités
Avec la calculatrice HPrime vous avez deux calculatrices en une : une pour faire du calcul formel et exact (touche CAS), l’autre pour faire du calcul approché (touche HOME). Ceci correspond au mariage de deux logiciels dans la calcula- trice ; Giac/Xcas pour le CAS et le logiciel développé par HP pour ses gammes de calculatrices scientifiques et graphiques dans HOME. Ces deux logiques sont sou- vent contradictoires, ce qui a nécessité un important travail de mise en cohérence pour pouvoir utiliser des données de HOME dans CAS et réciproquement, effort qui se poursuit encore aujourd’hui.
Ainsi la logique d’un logiciel de calcul formel est de ne pas avoir de variable préaffectée et de pouvoir stocker n’importe quel type de donnée dans une vari- able dont le nom est libre (en particulier un nom de variable peut contenir plus qu’une lettre) alors que la logique des calculatrices HP38/39/40 était d’avoir des variables préaffectées dont le nom de variable est une lettre ou une lettre com- plétée par un chiffre, et ne pouvant stocker qu’un type de donnée : A, B..Z pour les réels, Z0, ..Z9pour les complexes, L0, L1..L9pour les listes, M0, M1..M9pour les vecteurs ou matrices etc.... Cela a bien sûr des conséquences importantes, si on écrit ab dans CAS, cela désigne une variable dont le nom est en deux lettres, alors que AB dans HOME désigne le produit (multiplication implicite) des deux vari- ables A et B.
Pour éviter les confusions, il est conseillé d’utiliser des noms de variables en minuscules dans le CAS, les noms de commande du CAS sont sauf exceptions en minuscules, alors que les noms de commande dans HOME sont en majuscules. Ce choix est facilité par le blocage du clavier alphabétique en minuscules dans CAS et en majuscules dans HOME. De nombreuses commandes existent dans les deux versions (HOME en majuscule, CAS en minuscules), la plupart du temps elles font la même chose, mais il existe malheureusement des exceptions, par exemple size et SIZE (voir plus bas).
Notez aussi que dans HOME, on fait la différence entre les listes (L1:={1,2,3}) et les vecteurs (M1:=[1,2,3]) et la notion de séquence n’existe pas, alors que dans CAS il n’y a pas de différence entre listes et vecteurs (v:=[1,2,3] ou v:={1,2,3}) et on peut travailler avec des séquence (s:=1,2,3).
De plus, ATTENTION ! l’historique ne reflète pas toujours ce qui a été tapé, dans l’historique de HOME les minuscules sont transformées en majuscules, alors que dans l’historique du CAS, cela dépend si l’on a coché ou non Affichage Livredans la configuration générale (Shift (Settings)).
Exemple :
Dans l’écran HOME ou dans l’écran CAS, on tape : SIZE(1,2,3)ou size(1,2,3)
On obtient dans l’historique SIZE(1,2,3) et en réponse : 3 Dans l’écran HOME, on tape :
SIZE([1,2,3])ou size([1,2,3])
On obtient dans l’historique SIZE([1,2,3]) et en réponse : {3}
Dans l’écran CAS, on tape :
SIZE([1,2,3])ou size([1,2,3])
On obtient dans l’historique (si on n’a pas coché Affichage Livre) : SIZE([1,2,3])ou size([1,2,3]) et en réponse : 3
Dans l’écran HOME, on tape :
SIZE([[1,2,3],[4,5,6]])ou size([[1,2,3],[4,5,6]])
On obtient dans l’historique SIZE([[1,2,3],[4,5,6]]) et en réponse : {2,3}
Dans l’écran CAS, on tape : size([[1,2,3],[4,5,6]])
On obtient dans l’historique (si on n’a pas coché Affichage Livre) : size([[1,2,3],[4,5,6]])
et en réponse : 2
Mais si on tape dans CAS : SIZE([[1,2,3],[4,5,6]])
On obtient dans l’historique (si on n’a pas coché Affichage Livre) : SIZE([[1,2,3],[4,5,6]])et en réponse : [2,3]
CONSEIL faites un choix : soit vous travaillez toujours dans HOME soit dans CAS car les commandes de même nom qui ne renvoient pas la même chose dans HOME et dans CAS devient vite un vrai casse-tête !
Remarque pour les utilisateurs de Xcas : la prise en main de la calculatrice mode CAS devrait être rapide. Notez toutefois que :
– il n’y a pas de support pour la traduction des commandes en français, il faut utiliser les noms de commandes en anglais (factor et non factoriser, lineet non droite, etc.)
– certaines commandes ne sont pas disponibles, HP n’ayant pas souhaité les intégrer (par exemple toutes les commandes sur les permutations)
– certains synonymes ne sont pas disponibles, et le choix fait par HP ne s’est malheureusement pas toujours porté sur la commande native Xcas en minus- cules mais sur un nom de commande mixte avec une lettre en majuscules au milieu du nom de commande.
– L’interface pour utiliser le langage de programmation de Xcas est encore per- fectible (par exemple le clavier alphabétique se bloque en majuscules même si on sélectionne un programme CAS, l’interface de la fonction de mise au point debug est expérimentale...)
0.3 Les touches CAS et
Avec la calculatrice HPrime vous pouvez choisir de travailler en mode exact ou en mode approché : il y a deux écrans, l’un pour faire du calcul exact c’est l’écran CAS, l’autre pour faire du calcul approché c’est l’écran HOME.
Dans l’écran CAS ont peut aussi faire du calcul approché par exemple 1/2 est un nombre exact et evalf(1/2)=0.5 est un nombre approché. Si dans une expres- sion il y a un nombre approché le résultat sera approché, par exepmle : 1/2 + 1/3 renvoie 5/6 alors que 0.5 + 1/3 renvoie 0.833333333333.
Dans l’écran CAS les commandes sont en minuscules et dans l’écran HOME les commandes sont en majuscules. Si vous appuyez sur CAS vous travaillez en mode exact et si vous appuyez sur vous travaillez en mode aprroché.
Qu’est-ce que cela change ?
On va considérer, par exemple, 2 suites u et v définies par ; u0 = 2
3, un+1 = 2un−2
3 (n ≥ 0) et
0.3. LES TOUCHES CAS ET 37 v0= 2
3, vn+1= 2(un−1
3) (n ≥ 0).
Dans l’écran CAS
On appuie sur CAS et on tape pour avoir les premiers termes de u : 2/3puis Enter et on obtient 2/3.
On tape :
2*Ans-2/3 puis Enter,Enter...
et on obtient 2/3, 2/3, 2/3...
En mode exact, i.e.dans l’écran CAS, la suite u est donc stationnaire et vaut 2 3. Le résultat est ici conforme au résultat théorique.
Toujours dans le CAS, on tape pour avoir les premiers termes de v : 2/3puis Enter et on obtient 2/3.
On tape :
2*(Ans-1/3) puis Enter,Enter...
et on obtient 2/3, 2/3, 2/3...
En mode exact, i.e. dans l’écran CAS, la suite v est donc stationnaire et vaut2 3. Le résultat est encore ici conforme au résultat théorique.
Dans l’écran HOME
Maintenant on appuie sur et pour avoir les premiers termes de u, on tape la valeur de u0 :
2/3puis Enter et on obtient 0.666666666667 puis.
on tape :
2*Ans-2/3 puis Enter, Enter, Enter...
et on obtient 0.666666666663,0.666666666663...
Le résultat est ici presque conforme au résultat théorique.
En mode approché i.e. dans l’écran HOME (touche ), la suite u est donc sta- tionnaire à partir de n > 0 et vaut 0.666666666663.
Toujours dans HOME (touche ), on tape pour avoir les premiers termes de v : 2/3puis Enter et on obtient 0.666666666667.
On tape :
2*(Ans-1/3) puis Enter, Enter, Enter...
et on obtient
v1=0.666666666668, v2=0.666666666670, v3=0.666666666674puis 0.666666666682, 0.666666666682, 0.666666666698
0.666666666730, 0.666666666794, 0.666666666922 etc... et apres 51 ou 52 Enter on obtient :
v401.76617829443et v502 252.46648036etc.. En mode approché, i.e. dans l’écran HOME (touche ), la suite v tend donc vers +∞.
On voit donc qu’en mode approchè les erreurs de calculs se cumulent et que les résultats affichés ne sont pas toujours conformes aux résultats théoriques !
Comment sont fait les calculs dans HOME
Dans HOME, les nombres réels sont affichés au plus 12 chiffres significatifs mais les calculs sont faits avec plus de chiffres puis sont arrondis pour être affichés par exemple :
1/3 sera représenté par 0.333333333333 (avec 12 fois le chiffre 3) 2/3 sera représenté par 0.666666666667 (avec 11 fois le chiffre 6 et un 7)
4/3 sera représenté par 1.33333333333 (avec 1 puis 11 fois le chiffre 3)
2*0.666666666667 ou 2*0.666666666663 sera représenté par 1.33333333333 (avec 1 puis 11 fois le chiffre 3)
Pour le calcul de u on tape u0: 2/3on obtient 0.666666666667 puis,
2*Ans-2/3 on obtient 1.33333333333-0.666666666667=0.666666666663 puis, 2*Ans-2/3 on obtient puisque 1.33333333333-0.666666666667=0.666666666663 etc...la suite u est donc stationnaire pour n > 0 et vaut 0.666666666663.
Pour la suite v le calcul est fait après avoir mis 2 en facteur.
On tape v0:
2/3on obtient 0.666666666667 puis,
2*(Ans-1/3) dans les différentes opérations on a toujours 12 décimales, on ob- tient :
2*(0.666666666667-0.333333333333)=2*0.333333333334=0.666666666668.
On a donc :
si A := 0.666666666666 et B := 0.333333333333, on a A == 2 ∗ B et B ==
A − B mais, 2/3 = A + 10−12 et 1/3 = B On a donc :
v0 = 2/3 = A + 10−12 v1 = 2 ∗ (A + 10−12 − B) = 2 ∗ (B + 10−12) = A + 2 ∗ 10−12 puis
v2= 2 ∗ (A + 2 ∗ 10−12 − B) = A + 22∗ 10−12 puis...
v38= A + 238∗ 10−12 = 0.94154457361 v39= A + 239∗ 10−12 = 1.21642248055 v40= A + 240∗ 10−12 = 1.76617829445 ...
v50= A + 250∗ 10−12 = 1126.56657351 v51= A + 251∗ 10−12 = 2252.46648036
puis la formule risque de n’être plus vraie à cause des erreurs d’arrondis près....
Si on utilise la commande ITERATE qui itère, en débutant par la valeur 2/3, 90 fois la fonction qui à X fait correspondre 2*(X-1/3), on tape :
ITERATE(2*(X-1/3),x,2/3,90) on obtient : 1.23794003934E15
et
ITERATE(2*(X-1/3),x,2/3,91) on obtient : 2.4758800788=2*1.23794003934E15
Donc vn = 2n−90∗ u90et quand n tend vers l’infini vn = 2n−90∗ u90 tend vers l’infini.
0.4 Pour reinitialiser et pour effacer
Pour reinitialiser la calculatrice :
– Enfoncer les touches F O C (sans être en mode ALPHA), – Faire reset avec le trombone en laissant les touches enfoncées,
– Relacher les touches puis choisir 4 FLS Utility, puis 3 Format Disk C, puis Esc puis 9 Reset.
Pour effacer :
– le dernier caractère entré il faut faire Del (c’est la grosse flèche noire).
0.5. L’ÉCRAN TACTILE 39
– la ligne d’entrée il faut faire ON.
– le dernier résultat ou la dernière commande de l’historique il faut faire Shift-Del – tout l’historique il faut faire Shift-Esc (Clear).
0.5 L’écran tactile
On remarquera que les menus au bas de l’écran (nommé ici menus du ban- deau) ne sont accessibles qu’en les touchant avec le doigt : il n’y a plus de touches F1..F6!
L’écran est tactile et cela permet de recopier tres facilement une ligne de com- mande ou une réponse de l’historique ou de lire ou relire une réponse trop longue, de sélectionner un menu puis une commande de la touche .
Pour cela :
– il suffit de rechercher la commande ou la réponse à copier en naviguant dans l’historique avec un doigt, puis de sélectionner la commande ou la réponse à copier toujours avec un doigt et d’appuyer sur Copier du bandeau quand la ligne est en surbrillance ou on appuie 2 fois rapidement avec le doigt sur la ligne à recopier,
– pour lire une réponse trop longue il suffit de balayer la ligne de la réponse avec un doigt.
– on ouvre un menu avec un doigt ou avec son numéro, on fait de même si il y a un sous-menu, puis on sélectionne la fonction avec un doigt ou avec son numéro et cela provoque l’écriture de la fonction dans la ligne de commande à gauche : il ne reste plus qu’à taper les paramètres de cette fonction et de valider avec Enter . Le résultat s’écrit alors à droite.
0.6 Le touches
– CAS
Il faut appuyer sur la touche CAS pour faire du calcul formel. Les lettres minuscules sont alors accessibles en mode ALPHA et la touche xtθn per- met d’avoir x directement.
–
Il faut appuyer sur la touche pour quitter le calcul formel et faire du calcul numérique.
– Apps
Il faut appuyer sur la touche Apps pour utiliser les différentes Applica- tions qui ont chacune 3 vues : une vue symbolique qui contient les comman- des demandées (touche Symb ), une vue graphique qui exécute les com- mandes graphiques (touche Plot ) et une vue numérique pour les résultats numériques (touche Num ).
