MODELE DE DIFFUSION D EHRENFEST.
On considère l expérience aléatoire suivante : une enceinte hermétique est séparée en deux compartiments A et B de même taille. On remplit le compartiment A d un gaz. Assez rapidement, les molécules migrent d un compartiment à l autre jusqu à ce qu il y ait autant de particules dans chaque compartiment.
On se propose d étudier ce mouvement à l aide de la modélisation imaginée par les époux Ehrenfest en 1907 : on considère deux compartiments A et B : A contient N particules et B est vide. Chaque seconde, une particule choisie au hasard change de compartiment.
A. Simulation.
A l aide d un tableur, on simule l expérience avec différentes valeurs de N.
B. Etude du cas N = 2.
1. Quelles sont les répartitions possibles des 2 particules dans les 2 compartiments ? 2. Construire un graphe probabiliste illustrant les passages d un état à l autre.
Pour tout entier naturel n, on note :
an la probabilité que les 2 particules soient dans le compartiment A à l étape n.
bn la probabilité qu une seule particule soit dans le compartiment A à l étape n.
cn la probabilité que les 2 particules soient dans le compartiment B à l étape n.
Un la matrice colonne
an bn cn
.
3. Donner U0 puis la matrice de transition M telle que pour tout n de , Un 1 M Un. On admet (se montre par récurrence et a déjà été fait plusieurs fois) que, pour tout n de , Un = MnU0.
4. Calculer à la calculatrice M2 et M3. En déduire Mn pour tout n de . Donner alors U1 ; U2 ; U3 ; U10 et U11. 5. Montrer que, pour tout n de *, Un
0
1 0
si n impair et Un
0,5
0 0,5
si n pair.
La suite de matrices ( )Un n est-elle convergente ? 6. Déterminer l état stable S
a
b c
avec a b c 1 tel que M S S.
7. On considère une durée de 2n secondes et on note Tn la variable aléatoire donnant la première seconde à laquelle l enceinte revient à l état initial (les deux particules dans le compartiment A).
Compléter le tableau ci-dessous :
Instant k 1 2 3 4 ... 2n
P(Tn=k)
Exprimer l espérance de Tn en fonction de n.
8. Pour tout n de , on a
k 1 n
k
2k 1 = 4 2(n 2)
2n . Déterminer lim
n E( )Tn et interpréter ce résultat.
Remarque : Dans le cas général, on peut montrer que le temps moyen de retour à l’état initial vaut 2N
secondes à raison d’un déplacement par seconde. Mais N est de l’ordre du nombre d’Avogadro : 6,02×1023. Alors 2N est immensément plus grand que l’âge de l’univers.
Pour les physiciens Ehrenfest l’un des objectifs était de lever le «paradoxe » de l’irréversibilité : l’irréversibilité est une évidence à notre échelle : la plupart des phénomènes macroscopiques ont une orientation dans le temps bien
définie : quasiment tous les phénomènes physiques, chimiques où biologiques sont à sens unique. Le second principe de la thermodynamique décrit cette irréversibilité : un système isolé évolue vers son maximum d’entropie et l’entropie ne diminue jamais. Les physiciens Ehrenfest voulaient donc montrer comment, à partir de particules aux évolutions réversibles, on pouvait obtenir, en combinant ces évolutions, une situation macroscopique irréversible.
Dans le modèle d’Ehrenfest, chaque particule a un comportement totalement réversible et la situation macroscopique est la superposition d’un grand nombre de particules identiques. Il s’agissait donc pour le couple Ehrenfest de prouver qu’il n’y avait pas besoin de modifier les lois de la physique des particules pour décrire l’irréversibilité du monde.
