Mesures sur les suspensions et les dépots

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Mesures sur les suspensions et les dépots

Pierre Mercier

To cite this version:

Pierre Mercier. Mesures sur les suspensions et les dépots. J. Phys. Radium, 1930, 1 (9), pp.292-305.

�10.1051/jphysrad:0193000109029200�. �jpa-00233030�

MESURES SUR LES SUSPENSIONS ET LES DÉPOTS

par PIERRE MERCIER.

Sommaire. 2014 L’auteur expose quelques méthodes de mesures physiques applicables

à l’étude des suspensions ^définies.

Un premier groupe de résultats et de procédés correspond ^aux suspensions homogènes,

ne comportant qu’un ^même type ^de particules, à peu près ^toutes identiques ^{les unes aux}

autres

Dans la suite de l’article, la détermination physique ^de l’homogénéité ^des suspensions

est étudiée et conduit à la mesure et à la représentation ^de l’hétérogénéité ^des systèmes ^de particules formant des suspensions complexes par dilution dans ^un liquide.

La plupart des méthodes décrites ont servi de base à l’élaboration d’une technique

industrielle nouvelle et se trouvent aujourd’hui sanctionnées par des applications pra-

tiques.

Jusqu’à présent, ^la plupart des travaux entrepris ^{sur les} suspensions ^{ont été} dirigés

soit sur l’étude à l’état isolé des particules qui constituent les suspensions, ^{soit sur celle}

des états stables de suspensions déterminées (structure ^de dépôts, suspensions hyper- stables).

On peut ^se placer ^{à un} point ^{de vue} différent et se proposer d’étudier les phénomènes

de concentration spontanée ^des suspensions ^{soumises à l’action de la} pesanteur, ^{la forma-}

tion et l’évolution des dépôts qui constituent le stade ultime de cette concentration. C’est à

ce dernier point ^{de vue} que ^{nous nous} plaçons. Toutefois, ^une restriction est à faire : il est bien évident qu’on ^ne peut ^{étudier avec} profit ^les phénomènes ^en question qu’à ^condition d’opérer ^{sur un matériel défini.} Or, bien souvent une suspension ^{n’est pas} complètement

déterminée par la nature des particules qui la constituent et par celle du liquide-support.

Comme les mesures de spectrographie ^{en rayons X et la} comparaison ^des produits ^avant

et après ^le délayage ^le confirment, ^les particules intervienneut la plupart ^du temps par leur forme géométrique ^{et les} phénomènes de surface qui ^sont engendrés par elles. Ces phé-

nomènes sont dus, fréquemment, ^{à la} présence ^en petite quantité de matières colloïdales enrobant les particules, ^ils peuvent ^{être dus} également ^à l’électrisation superficielle ^des particules immergées. La nature et la concentration des ions présents ^{dans le} liquide

influent évidemment sur les propriétés ^des particules ^{dans le} liquide (vitesse de chute et

stabilité) ; mais cette interaction du liquide ^{et du} système ^des particules ^en présence ^ne peut ^{être étudiée} qu’à la condition que l’état des particules ^{ou des} groupes ^de particules

observées soit invariable au cours de la formation du dépôt.

Si, ^en particulier, ^le liquide jouit ^d’une propriété floculente vis à vis des particules ^de

la suspension, ^{on devra} préalablement agiter cette dernière de façon ^assez prolongée pour que les centres de coagulation partielle tels que ^ceux qui ^{ont été} photographiés par MM. Dubrisay et Trillat dans le cas du kaolin, ^{soient ou détruits ou} stabilisés sous une

forme définie (particules isolée, ^ou petits coagulums de formes et de dimensions _{à peu}

près constantes).

I. Étude des suspensions homogènes. - ^Nous appellerons suspensions ^homo- gènes ^les suspensions constituées par des particules ^de même grosseur et à peu près identiques ^{les unes aux autres.}

Par raison de symétrie, ^on montre facilement qu’étant ^{donnée une telle} suspension, si, ^{au moment où on} l’abandonne à elle-même, ^{on a} pu réaliser ^une répartition uniforme de

ses éléments dans toutes les directions, la vitesse de chute verticale de toutes les particules

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193000109029200

comprises ^{entre deux} plans horizontaux suffisamment voisins est constante à ^un même instant - à condition de s’écarter des portions ^{de la} suspension ^en contact immédiat avec les

parois ^du récipient.

Cela ne veut pas dire qu’il ^{existe une} même vitesse instantanée de toutes les particules,

mais seulement qu’il ^est possible ^{de définir une} vitesse moyenne à peu près ^la même pour chacune d’elles.

On peut donc considérer à chaque instant la suspension ^comme constituée par ^une série de couches horizontales animées de certaines vitesses, l’ordre de superposition ^{de ces}

couches restant le même dans la suspension ^{et dans le} dépôt.

La loi de Stokes appliquée à toutes les particules d’une couche conduirait à penser que peu de temps après ^l’instant initial, ^{une couche} quelconque ^{se trouve} animée d’une ceri aine

vitesse, ^constante pendant ^tout le parcours vertical de la couche, la même pour ^toutes les couches et venant s’annuler au contact du dépôt.

En fait, ^en raison de l’action directe ou indirecte (répulsions électriques, remous, etc...)

de particules ^à particules, ^{il ne} semble pas que la loi des dépôts ^{soit en} général ^d’une

forme aussi simple. ^En effet, pour la plupart ^des suspensions, ^les temps nécessaires pour atteindre leur concentration maximum ne sont nullement en rapport simple ^{avec les}

vitesses en chute libre des particules qui les constituent.

Comme les actions mutuelles des particules d’une même couche horizontale infiniment mince s’annulent par raison de symétrie, les anomalies constatées sont donc dues à des actions de couches à couches.

Dès lors la position initiale d’une couche doit intervenir dans l’expression de la loi de

son déplacement. ^Et l’étude de la formation d’un dépôt ^vrai doit reposer ^sur la connais-

sance des déplacements mutuels et absolus dans le liquide support, ^des différentes couches que l’on peut ^{définir dans la} suspension ^initiale.

On ^se propose donc de connaître à chaque instant les couples d’ordonnées caractéri- sant la position actuelle de chaque couche définie à l’instant initial dans la suspension supposée ^à répartition ^uniforme.

Cette répartition, pour des suspensions ^{dont les} particules ^{sont de l’ordre du millième}

ou du dix-millième de _mm, peut ^{être obtenue} facilement au moyen d’une agitation modé1-ée~

bien répartie ^et suffisamment prolongée; les mouvements tourbillonnaires du liquide por- teur de la suspension s’amortissent dans un temps suffisamment court pour que la réparti-

tion des particules ^{soit encore} sensiblement ^uniforme lorsque ^le liquide ^a repris ^{son immo-}

bilité apparente.

-

Dispositifs expérimentaux. - Il semelle à priori très difficile de suivre simultané- ment le déplacement ^d’un grand nombre de couches. Par contre, il est aisé de les étudier de

façon ^{isolée au cours de} dépôts successifs réalisés dans des conditions identiques.

Enregistrement ^{du mouvement d’une} couche. - On utilise un flotteur cylin-

Fig. 1.

drique totalement immergé ^{dans une} suspension ^à répartition ^{uniforme et} présentant ^une

très légère flottabilité.

Cette flottabilité se traduit par ^un faible bombement de la surface du liquide ^au-dessus

du flotteur.

à un instant dt plus tard la surface de séparation ^{de la} suspension ^{et du} li(lUidr ^sur- nageant ^{se trouve} à la distance Vo dt de la surface libre et la poussée ^{sur le flolteur est}

devenue

avec :

Dans le cas de suspensions dans l’eau.

Fi g. ^2.

’

où V~ est la vitesse initiale de la couche supérieure, d ^{la densité de la} suspension par

rapport ^à l’eau, S la section du flotteur.

A partir de l’instant t’ où » équilibrera exactement f, le flotteur s’enfoncera avec une

vitesse égale à celle de la couche qui ^à l’instant t’ contenait sa section inférieure.

Il suffit donc de suivre le mouvement du flotteur pour connaître à chaque instant, ^avec

sa vitesse la position occupée par la couche ^en question ; ^en particulier, ^{il est} facile de déter- miner la position initiale de la couche dans la suspension à répartition ^uniforme. (La figure ¹ reproduit ^{une courbe du} dépôt ^{obtenu avec} l’appareil ; ^le temps ^{est en} abscisses).

On _{n’a pas} tenu compte ^{dans ce} qui précède ^du liquide déplacé par le flotteur. Exami-

nons de plus près ^ce déplacement et supposons le flotteur immobile pendant ^un instant dt.

La couche qui ^{se trouvait au} contact de sa section inférieure au début de l’instant considéré se trouve à la fin à une distance v dt. Entre le flotteur et cette couche, ^{il existe}

uue lame d’eau pure d’épaisseur V di. Si le flotteur avance à son tour de la même quan- tité V dï, cette lame d’eau chassée de la partie inférieure du flotteur s’élève le long ^{de sa}

surface latérale et gagne par le plus court ^{chemin l’eau} qui surnage le dépôt.

Elle pourrait également ^se mêler à la suspension ^{et en} modifier la dilution. En pra-

tique, ^{en observant} les abords immédiats du flotteur au cours du dépôt, ^on constate effecti- vement l’existence d’un courant d’eau pure enveloppant le flotteur cylindrique.

Etant donné la faible vitesse de déplacement ^du flotteur, le courant d’eau n’intéresse

qu’une ^très petite partie ^{de la} suspension ; ^{et comme sa} production ^est continue, ^{sa vitesse}

s’établit de telle sorte que les dy) ^{dus a la} poussée ^{de la} suspension soient exactement

compensés par la résistance opposée ^{au courant.} C’est pour cette raison que dans le ^cas de

particules n’exerçant pas les ^{unes sur} les autres d’actions répulsives sensibles, l’eau pure

déplacée ^{entoure d’un} voile très mince le flotteur imnergé ^{dans la} suspension (figure ^2).

Solutions réalisées.

Balancier astatique ^avec enregistrement optique ^{sur un}

tambour. Le flotteur est suspendu par ^un cheveu ou un crin chirurgical.

Longueur admissible du balancier : de 0,20 ^{m. à Il m.} donnant facilement des courses

de 7 à 35 cm.

Précision. - Poussée relative de l’ordre de 2 à quelques décigrammes.

S~usLbnLt~ du fi~au = 1 mgr.

La connaissance de la vitesse de dépôt ^{au cours du} temps d’un certain nombre de

couches’ voisines, permettrait ^{de définir avec} précision ^le dépôt ^{et en} particulier ^donnerait l’expression de la concentration des particules (densité ^{de la} suspension) ^{à un instant} quel-

conque ^{et en un} point quelconque, puisque ^{au cours du} temps ^{la masse} comprise ^entre

deux couches déterminées reste constante.

Dans le cas d’une suspension ^dans l’eau, ^on établit facilement que si d ^est la densité de

suspension, ^S la densité des particules par rapport ^à l’eau, ^rja la concentration en poids ^des particules par unité de volume

(en effet d == poids ^de l’eau résiduelle

toutefois on peut chercher à obtenir simultanément la loi de déplacement d’une couche et

sa variation de densité. La première ^méthode qui ^{s’offre est} celle de la « Surcharge ^».

Méthode de la surcharge. - ^{Le fléau A 0 B,} qui supporte ^le flotteur F porte ^au milieu de 0 A une surcharge ;en forme de cavalier s. Cette surcharge peut ^venir s’appuyer

en une position quelconque ^{du fléau sur un} support ^{double et} réglable ^S qui laisse passer le fléau en retenant la surcharge (figure 3).

Fig. 3.

On règle ^{S de façon} que le fléau soit délesté de la surcharge ^{à un} instant tel que la ^sec- tion inférieure du flotteur se trouve dans le plan ^{H au} voisinage ^{duquel on} désire connaître la densité de la suspension. ^A l’instant to ^{où la} surcharge s ^{vient au} contact du support S,

le fléau s’immobilise. Il reprend sa course un instant dt plus tard, lorsque l’atmosphère

entourant le flotteur se sera appauvrie ^en particules de telle sorte que la poussée ^{sur le}

flotteur ait décru d’une quantité égale à s (puisque s ^{était au milieu de 0 A).}

Dans ces conditions :

où w 7= section du flotteur.

V et S représentent la vitesse de chute des particules ^et la densité moyenne de la su~pen- sion au niveau ~I.

(a

1) représente ^{en effet le} poids relatif des particules présentes par unité de volume de suspension de densité 1.

Or, ^{V est connu} par la pente ^{de la courbe} caractéristique donnée par le déplacement ^du

fléau (plus exactement on connaît Vto ^et Vto -i-8t).

On a donc : -.

au niveau H à l’instant 1. + ^E.

Méthode différentielle.

Cette méthode est basée sur l’enregistrement ^{du mouve-}

ment relatif de deux flotteurs liés au déplacement de deux couches voisines Vi V,.

Ce premier ^{mouvement donne une mesure de 8} - 1 ; si, ^en’même temps, ^on enregistre

le déplacement moyen de Vl V2 ^on obtient la courbe de la densité entre les couches 1V, V2

en fonction du déplacement moyen de Vl V~.

On peut compléter ^{ce résultat en} interrompant périodiquement ^{la source lumineuse} qui

sert à l’enregistrement optique : ^{Dans ces} conditions, ^la projection ^des segments ^{de courbes}

obtenus sur l’axe des espaces donne ^en effet une mesure de la vitesse de chute de la couche moyenne ^{au cours} du temps. ^{On retrouve donc les} résultats du premier appareil, ^{avec, en} outre, ^{la mesure} continue de la densité. L’appareil ^semble susceptible de donner des résul- tats d’une grande précision ^s’il est convenablement fabriqué.

(Montage ^des équipages ^{mobiles sur} pivots ^et rubis.)

Etats distincts des particules constituant une couche au cours d’un dépôt.

On n’a considéré jusqu’à présent que des particules ^en équilibre dynamique ^{dans le} liquide.

Chaque ^couche yest supportée par le liquide ambiant et subit le contre-coup ^des déplace-

ments de celles qui ^la précèdent.

Ces interactions de couche à couche se font par l’intermédiaire du liquide qui ^les supporte ^et leurs évolutions peuvent être étudiées par le jeu ^{des densités} 6fictives ^du système ^total.

Dans un deuxième stade, qui ^commence à l’instant où la couche étudiée vient au con-

tact du dépôt sous-jacent, ^les particules qui la constituent ne sont plus supportées par le liquide ^et reposent ^{les unes sur les} autres, directement, ^ou par l’intermédiaire de leur

atmosphère (c’est-à-dire des molécules de liquides entraînées par électrisation).

A partir ^{de ce} moment la couche n’exerce plus ^{aucune action sur} la densité du liquide qui ^la baigne, ^{mais elle} pèse ^sur le) fond ^{du vase et les} charges qui ^{en résultent} peuvent

être décelées au moyen"d’un dispositif spécial.

Par exemple, ^un élément de surface peut ^être suspendu ^au voisinage ^{du fond du vase}

à l’extrémité d’un fléau stable par l’intermécliaire d’un crin.

Les charges pesant ^{sur l’élément de} surface déterminent une inclinaison très petite ^du

fléau qui ^est enregistrée optiquement après amplification.

Mais il est à noter que le flotteur utilisé pour suivre l’évolution[de ^la suspension ^donne également ^des renseignements ^sur la concentration du dépôt : ^à partir ^{du moment} ’où ^sa

base vient au contact du dépôt ^elle exerce sur celui-ci une pression sensiblement égale ^à

celle ’que ^transmet la couche que cette base ^a suivie dans son,mouvement’jusqu’àrcet ^ins-

tant. , ,,

"

Remarques. - 1° ^{Si le} dépôt était constitué par des sphères rigides ^non chargées ^au

contact les unes des autres, il est bien évident que la position ^de chaque couche faisant par-

tie du dépôt serait invariable.

En fait, ^en raison de la forme des particules qui n’admettent pas ^une rigidité ^aussi absolue, ^{et en} raison de l’interaction des atmosphères particulaires, ^les dépôts ^{se contrac-}

tent au fur et à mesure que leur épaisseur s’accroît et cette concentration du dépôt ^sous

l’action des couches nouvelles qui s’ajoutent ^{sans cesse est} naturellement freinée par la viscosité du liquide qui doit transsuder à travers le dépôt.

2,° L’ensemble des résultats précédents suppose l’existence de suspensions homogènes ;

on peut ^se demander si cette notion correspond à une réalité physique.

L’étude systématique ^de l’hétérogénéité permet ^de répondre ^{à cette} question.

2. Représentation ^{et étude des} suspensions hétérogènes. - ^Si l’homogénéité

est une propriété ^non discernable au premier abord, il n’en est pas de même de l’hétérogé-

néité dans bien des cas.

Pour la définir, remarquons ^au préalable que la concentration relative des particules d’espèces différentes intervenant dans un même mélange ^{est seule} intéressante, ^{la densité}

de la suspension obtenue par dilution du mélange et par conséquent la concentration du

mélange ^des particules ^{dans la} suspension, étant très aisée à fixer ou à déterminer (mesure

de densité).

Or, ^les particules d’espèces distinctes se différencifnt les unes des autres, ^{dans les} suspensions, par leurs vitesses de chute inégales, ^{si on} opère ^{en Tltilieu} suffisaut»ieiit ^dilué.

Dans de telles conditions, et dans des limites de temps suffisamment rapprochées, ^la

formule de Stckes est en effet applicable ^à chaque particule.

La représentation ^de l’hétérogénéité ^d’un mélange ^de particules peut ^donc être donnée par ^un diagramme à deux dimensions : l’axe des abscisses correspondant ^{t aux vitesses} respectives ^des particules, celui des ordonnées à leurs concentrations.

Caractère de la représentation. - ^{1. Cas d’un} mélange ^à IV constituants définis.

Chaque constituant est représenté par ^un segment vertical, parallèle à l’axe des

concentrations, ^{dont la} longueur ^{définit sa} concentration, l’abscisse commune à tous les

points ^du segment caractérisant le constituant par ^sa vitesse de chute.

Pour des raisons de continuité, ^les segments successifs ayant nécessairement une

ordonnée commune, ^on représentera ^le mélange ^au moyen d’un diagramme ^{en escalier.}

Fig. ^4.

On voit in2médiaternent :

Que l’ordre de succession des segments ^ne peut ^être changé, mais que les ^concentra- tions et les vitesses peuvent ^être en=,croissance ^{directe ou} inverse, ^{d où deux} représenta-

tions distinctes possibles, dont l’une est la symétrique ^{de l’autre.}

Pour des raisons de commodités,’" qui apparaîtront plus loin, ^convenons d’adopter ^la

représentation ^dans laquelle ^{le sens} de variation des abscisses et des ordonnées est inversé

(courbe descendant vers la droite),

’

En raison du caractère arithmétique ^des grandeurs mesurées le long ^{de l’axe des coor-} données, on voit également que le diagramme parcouru de gauche ^{à droite ne} peut jamais

être croissant. Il part de la valeur 1 et aboulit à 0 en des points quelconques ^{sur l’axe des V} (côté ^{des V} positifs) (Figure 4).

2° Suspension ^à constituants en nombre infini.

Il peut exister des suspensions

dont le nombre des constituants est suffisamment grand pour que tout ^se passe ^comme si la

suspension ^ne comportait que des particules d’espèces différentes. Etant donnée la petitesse

des particules ^et l’importance ^des quantités ^sur lesquelles ^on opère ordinairement, ^les segments caractérisant chaque espèce ^de particule ^{dans le} diagramme ^{d’une telle} suspension

tendent vers zéro, ^{et le} diagramme ^{se confond avec une} courbe continue (décroissante

pour V ~). ^La courbe n’est coupée par ^une parallèle ^{aux ordonnées} qu’en ^un point (double

au plus) (figure 5).

Détermination pratique ^de l’hétérogénéité. - La méthode est basée sur l’enre-

gistrement ^{continu de la} pression hydroslatique ^{dans un} plan horizontal, fixe, ^{situé à une}

certaine distance de la surface libre de la suspension.

On suppose :

Il Qu’à l’instant initial la répartition uniforme de tous les systèmes ^de particules ^cons-

tituant la suspension ^se trouve correctement réalisée, ^{ce résultat} peut être obtenu par ^une

agitation modérée, prolongée ^{et bien} répartie.

2° Que la densité relative de la suspension par rapport ^au liquide ^{vecteur est suffit}

samment petite puur que le mouvement de chaque particule soit à peu près le même que si elle se trouvait seule et isolée dans le liquide.

Dans ces conditions, ^cette pression dépend :

1° D’un facteur constant (correspondant ^{à la} présence ^du liquide supposé pur compris

entre le plan H et la surface libre du liquide).

~° D’un terme variable correspondant ^à la différence entre le poids ^des particules ^com- prises ^{dans un} cylindre vertical de section unité, situé dans le plan H, ^{limité à la surface}

libre et de la poussée exercée par le liquide ^{sur les dites} particules.

Ce terme variable relatif au système ^de particules ^{de densité 8 est t} égal ^{à :}

Si ⁿ² représente ^le poids ^des particules comprises ^{dans le} cylindre précédent, ^{et si le}

liquide ^{vecteur a} pour densité ¹ (cas ^de l’eau).

Dispositif expérimental. - On utilisée un cylindre immergé verticalement dans la

suspension ^à définir de telle sorte que ^sa section supérieure affleure la surface libre de la

suspension ; ^le plan ^{H est le} plan horizontal de sa base.

Pour mesurer les variations de pression ^{dans le} plan II, ^on suspend ^le cylindre précé-

,

Fig. 6.

’

dent par l’intermédiaire d’un crin ou d’un cheveu à un fléau très stable dont on peut ^suivre

par ^une méthode optique ^les déplacements angulaires-supposés ^très petits. (Figure 6.)

Les déplacements verticaux du flotteur étant supposés négligeables, ^on obtient les résultats suivants :

1° Cas d’une suspension homogène ^la poussée ^{exercée sur le cylindre se} réduit à la

poussée ^{verticale due à la} pression ^{dans le} plan H; ^cette pression, ^en raison de la

-e

’

Fig.7.

remarque précédente décroît linéairement tant qu’il existe des particules au-dessus du

plan ^H puisque ^la quantité ^de particules qui passent à travers le plan ^{H à} chaque ^instant

est indépendante ^du temps : ^{toutes les} particules ayant la même vitesse et toutes les couches horizontales qui ^{leur sont} équivalentes ^étant équidistantes (à l’instant initial la

suspension ^est supposée ^à répartition uniforme).

La courbe enregistrée (poussée ^{sur le} cylindre ^en fonction du temps) ^{est donc un} segment ^{de droite} interrompu ^à l’instant où les dernières particules franchissent le plan ^H.

Adoptons, comme axes particuliers pour la poussée ^{et le} temps ^{des axes} contenant les extrémités du segment de droite : dans ces conditions, l’origine ^des temps correspond ^au

moment où on abandonne la suspension à elle-même après y avoir rendu uniforme la répar-

tition des particules, ^et l’ordonnée d’un point quelconque ^du segment ^{A B} correspond ^à

l’excédent de pression ^défini précédemment ^{et dû aux} particules présentes au-dessus du

plan horizontal H (figure 7).

2J Cas de deux constituants.

Si on suppose la suspension constituée par deux

systèmes ^de particules homogènes Si Sa, de vitesses différentes V1 V2, ^{on obtient un enre-} gistrement tel que ACB’ ; ^en effet, ^tant qu’il existe au-dessus du plan ^{H des} particules ^des

deux systèmes, ^à chaque instant il passe à ^travers le plan ^{H un} même nombre de particules

de chacun des systèmes, ^{et la} poussée ^{sur le} cylindre décroît linéairement (segment AC) (Figure 7).

Fig. 8.

Si 1 est la hauteur du cylindre, ^{au bout du} temps p ti ⁼ les ^dernières particules ^d

i 1

système Si (système ^des particules ^les plus grosses) franchissent le plan H. Il n’existe plus

alors au-dessus de H que des particules ^du système ^Sa. L’enregistrement comporte ^{donc un}

dernier segment ^CB’.

On démontre facilement que la poussée totale due initialement au poids relatif des par- ticules du deuxième système ^est représentée géométriquement par l’ordonnée OD (D ^étant

le point ^{de rencontre de CB’} prolongé ^avec l’axe des ordonnées). Il s’ensuit immédiate- ment que DA représente ^la poussée due à l’instant initial aux particules ^du système Si.

Si les I)aî-ticules ^{des deïtx} systè)ïtes ^{ont la luêrne} dercsité, ^le rapport ^{de OD à} DA, repré- sente la proportion ^de particules du deuxième système ramenée à celle du premier; ^ou

1 OD

t DA, ¹

^d

^S

encore les rapports OA _{A OA} ^et DA représentent les concentrations respectives ^des systèmes ^Sa

et Si ^{dans le} mélange ^{à l’état sec.}

De la même façon, ^on démontrerait aisément (figure S) que la ligne ^{brisée ABCD} repré-

sente un mélange ^{de trois} constituants et que OC’ - C’B’

B’A sont proportionnelles ^aux

concentrations des constituants dans le mélange ^ternaire étudié, ^et ainsi de suite pour ^une

suspension à ît constituants.

3° Cas général.

^{Si on a affaire à une} suspension comportant ^un nombre très grand

de constituants distincts, ^on obtient nécessairement une courbe CC’ (figure 9). ^{Cette courbe}

tourne sa concavité vers les Pt positifs, ^{comme on} peut l’établir facilement en considérant

la courbe comme constituée par ^un très grand ^{nombre de} segments de droite.

Elle commence d’ailleurs parlun segment rectilipne (To Mo) ^{dont la} ’projection ^{sur l’axe}

des t est inversement proportionnelle à la vitesse des particules douées de la plus grande

vitesse de chute.

On _a, en effet, ^si to représente ^{la mesure de la} projection ^{de ce} segment ^{sur l’axe} des t, tao ⁼ l ^avec les conventions précédentes (1 ^- distance du plan ^{H à la surface} libre).

0

Pour que le segment ToMo ^{soit de} longueur ^nulle, il faudrait que Vo ^soit infini, ^ce qui

montre que le segment ToIVIo existe bien dans tous les cas.

Considérons la courbe C proprement ^{dite : on se} propose de trouver à partir ^{de la}

connaissance de cette courbe l’expression de la concentration des particules de vitesse V

(comprise ^{entre 0 et} Vo) existant dans le mélange complexe ^étudié.

Fig. 9.

Soit deux points ^voisins MIM2 ^{sur la courbe} MoM’ : ^{si la distance} M1M2 ^{est assez} petite

en regard de la courbure de la courbe, ^on peut remplacer ^l’arc M1M2 par la ^{corde M1M2,} Appliquons à cette corde le raisonnement fait précédemment ^{dans le cas où la} repré-

sentation était une ligne ^brisée.

La pression élémentaire ~P dans le plan ^{H à l’instant} initial, ^{due à la} présence ^des particules caractérisées par le segment M1lB12 ^est proportionnelle à la concentration de ces

particules ^{dans le} mélange ^étudié.

Si Pa ^{est la somme de la} pression totale due à toutes les particules présentes ^au-dessus

de H à l’instant initial et àl’la concentration des particules correspondant ^à Ap.

On ^a

à la limite :

Calculons OP.

or

et

d’où :

où en divisant par (t2 ^ce te

à la limite :

dp Pour aboutir à

l’expression définissant l’hétérogénéité ^{de la} suspension, ^calculons v dv - ^en

remarquant que cette expression estitiée ^au diagramme (,3V) ^{de la} suspension jpar

Nous savons d’autre part que v == -

et

qui représente l’équation différenrîelle du diagramme définissant l’hétérogénéité (en ^fonction

de t et de 1».

Si au lieu de calculer immédiatement ’P rh, on intègre (i), ^{on obtient :}

D’où 1

ce qui ^{constitue une} expression paramétrique ^{de P et} de v, ^{en fonction} de t, ^en remarquant

1

que ^et p sont’ ^des fonctions de t.

Cette dernière expression permet de construire le diagramme point par point (’).

Suspensions hétérogènes uniformes. - Si le diagramme ^d’une suspension ^hétéro- gène est sensiblement rectiligne (Fig. 10), ^{on a} d’après (~) :

(1) Dans tout le calcul précédant ^dP caractérise le poids relatif des particules de vitesse v comprises ^à l’instant initial dans un cylindre vertical de base unité .(située ^{dans le} plan H) et de hauteur 1, tandis que p

représente l’ordonnée d’un point ^{de la courbe} enregistrée.

La courbe enregistrée ^{est un arc} d’hyperbole. Les constantes Ci ^et 6’2 ^{ont une} signification

liée au type ^du diagramme ^{de la,} suspension.

Fi~. 10.

Erreurs systématiques ^{dues aux} mouvements du cylindre analyseur. - ^Nous

avons supposé jusqu’à présent ^les déplacements verticaux du cylindre analyseur négli- geables.

Si ce mouvement vertical est proportionnel ^à dP, ^{on a}

d 1 = - ~ d P (s ^constante caractéristique ^de l’appareil)

et comme

et

Ou en revenant à la représentation paramétrique, ^{on obtient :}

qui ^{est la} représentation paramétrique ^exacte.

Fig - if.

Espèces ^de particules ^à densités différentes.

Dans ce qui précède, ^{nous avons} supposé que toutes les espèces ^de particules présentes avaient la même densité. Le dia- gramme obtenu pour chaque suspension caractérisait, ^{dans ces} conditions, ^la concentration

en poids ^de chaque constituant dans le mélange ^{à sec.}

Si les densités des espèces distinctes ne sont pas toutes égales ^entre elles, ^le diagramme

donne les concentrations en poids ^relatifs (poids apparents ^des particules immergées ^dans

le liquide vecteur).

Proposons-nous d’obtenir, ^en fonction de ces quantités, les concentrations en poids

vrais :

soit _xix2 ... xn, les concentrations ^en poids des différents constituants à l’état de

mélange ^sec par définition, ^{on a :~}

soit : dn, les densités respectives ^des constituants, P1P2 ^... Pn, les concentrations en poids relatifs par définition.

on a également :

Ces concentrations en poids ^{relatifs sont} indépendantes de la dilution de la suspen- sion.

Soit 8 la densité de la suspension ^{à un} certain état de dilution.

Si X’i X’2 ... x’n représentent ^les quantités ^en poids des différents constituants par unité de volume de la suspension à cette densité

on a :

Observons _que b

1 représente ^le poids ^relatif par unité de volume de la totalité des

particules présentes ^{dans les} suspensions

En divisant les deux membres de l’équation précédente par a ^{- 1, on obtient} l’équa-

tion :

Chacun des termes du deuxième membre caractérisant le poids ^{relatif des} particules

de chaque espèce présentes par unité de volume de suspension. ^{On a} nécessairement :

Puisque ^les Pi P2 Pn ^sont indépendants ^{de la} dilution, voyons ^vers quelles ^{limites ten} dent, lorsque ^la dilution décroît indéfiniment, ^les expressions correspondantes :

Lorsque la dilution décroît indéfiniment , 1 ^tend vers s (densité ^{à l’état} ] sec] ^{du mélange}

des particules lorsqu’on ^ne tient pas compte des vides intercalaires entre particules).

Dans ces mêmes conditions, les x’ tendent vers,les Xo os.

On ^a donc à la limite :

On en déduit:

On vérifie aisément que pour di = a3 Pi = Xi ^{comme il a été dit} précédemment. (Ega-

lité des concentrations en poids ^{vrais et} relatifs).

Remarque. - Les molécules d’eau qui peuvent ^être entraînées _{par voie} électrique par certaines particules ^ne changent ^en rien leurs poids ^{relatifs dans la} suspension correspon- dante et se traduisent simplement par des variations de la vitesse de chute des particules,

variations qui ^{sont en} relation directe avec l’importance ^de l’atmosphère ^{entraînée dans le} déplacement ^des particules. ^La correction ne s’y applique ^donc pas.

Les résultats expérimentaux ^{obtenus en} application ^{des méthodes} qui viennent d’être décrites feront l’objet ^d’un exposé ^ultérieur qui comportera ^en particulier, ^{l’énoncé de} quelques formules susceptibles de traduire les phénomènes expérimentaux ^{observés, avec}

certaines approximations.

Manuscrit reçu le 2 juillet ^1930.